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Caro aluno Ao elaborar o seu material inovador, completo e moderno, o Hexag considerou como principal diferencial sua exclusiva metodologia em pe- ríodo integral, com aulas e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado. O material didático é composto por 6 cadernos de aula e 107 livros, totalizando uma coleção com 113 exemplares. O conteúdo dos livros é organizado por aulas temáticas. Cada assunto contém uma rica teoria que contempla, de forma objetiva e transversal, as reais necessidades dos alunos, dispensando qualquer tipo de material alternativo complementar. Para melhorar a aprendizagem, as aulas possuem seções específicas com determinadas finalidades. A seguir, apresentamos cada seção: No decorrer das teorias apresentadas, oferecemos uma cuidadosa seleção de conteúdos multimídia para complementar o repertório do aluno, apresentada em boxes para facilitar a compreensão, com indicação de vídeos, sites, filmes, músicas, livros, etc. Tudo isso é en- contrado em subcategorias que facilitam o aprofundamento nos temas estudados – há obras de arte, poemas, imagens, artigos e até sugestões de aplicativos que facilitam os estudos, com conteúdos essenciais para ampliar as habilidades de análise e reflexão crítica, em uma seleção realizada com finos critérios para apurar ainda mais o conhecimento do nosso aluno. multimídia Um dos grandes problemas do conhecimento acadêmico é o seu distanciamento da realidade cotidiana, o que dificulta a compreensão de determinados conceitos e impede o aprofundamento nos temas para além da superficial memorização de fórmulas ou regras. Para evitar bloqueios na aprendizagem dos conteúdos, foi desenvolvida a seção “Vivenciando“. Como o próprio nome já aponta, há uma preocupação em levar aos nossos alunos a clareza das relações entre aquilo que eles aprendem e aquilo com que eles têm contato em seu dia a dia. vivenciando Sabendo que o Enem tem o objetivo de avaliar o desempenho ao fim da escolaridade básica, organizamos essa seção para que o aluno conheça as diversas habilidades e competências abordadas na prova. Os livros da “Coleção Vestibulares de Medicina” contêm, a cada aula, algumas dessas habilidades. No compilado “Áreas de Conhecimento do Enem” há modelos de exercícios que não são apenas resolvidos, mas também analisados de maneira expositiva e descritos passo a passo à luz das habilidades estudadas no dia. Esse recurso constrói para o estudante um roteiro para ajudá-lo a apurar as questões na prática, a identificá-las na prova e a resolvê- -las com tranquilidade. áreas de conhecimento do Enem Cada pessoa tem sua própria forma de aprendizado. Por isso, cria- mos para os nossos alunos o máximo de recursos para orientá-los em suas trajetórias. Um deles é o ”Diagrama de Ideias”, para aque- les que aprendem visualmente os conteúdos e processos por meio de esquemas cognitivos, mapas mentais e fluxogramas. Além disso, esse compilado é um resumo de todo o conteúdo da aula. Por meio dele, pode-se fazer uma rápida consulta aos principais conteúdos ensinados no dia, o que facilita a organiza- ção dos estudos e até a resolução dos exercícios. diagrama de ideias Atento às constantes mudanças dos grandes vestibulares, é ela- borada, a cada aula e sempre que possível, uma seção que trata de interdisciplinaridade. As questões dos vestibulares atuais não exigem mais dos candidatos apenas o puro conhecimento dos conteúdos de cada área, de cada disciplina. Atualmente há muitas perguntas interdisciplinares que abrangem conteúdos de diferentes áreas em uma mesma questão, como Bio- logia e Química, História e Geografia, Biologia e Matemática, entre outras. Nesse espaço, o aluno inicia o contato com essa realidade por meio de explicações que relacionam a aula do dia com aulas de outras disciplinas e conteúdos de outros livros, sempre utilizan- do temas da atualidade. Assim, o aluno consegue entender que cada disciplina não existe de forma isolada, mas faz parte de uma grande engrenagem no mundo em que ele vive. conexão entre disciplinas Herlan Fellini De forma simples, resumida e dinâmica, essa seção foi desenvol- vida para sinalizar os assuntos mais abordados no Enem e nos principais vestibulares voltados para o curso de Medicina em todo o território nacional. incidência do tema nas principais provas Todo o desenvolvimento dos conteúdos teóricos de cada coleção tem como principal objetivo apoiar o aluno na resolução das ques- tões propostas. Os textos dos livros são de fácil compreensão, com- pletos e organizados. Além disso, contam com imagens ilustrativas que complementam as explicações dadas em sala de aula. Qua- dros, mapas e organogramas, em cores nítidas, também são usados e compõem um conjunto abrangente de informações para o aluno que vai se dedicar à rotina intensa de estudos. teoria Essa seção foi desenvolvida com foco nas disciplinas que fazem parte das Ciências da Natureza e da Matemática. Nos compilados, deparamos-nos com modelos de exercícios resolvidos e comenta- dos, fazendo com que aquilo que pareça abstrato e de difícil com- preensão torne-se mais acessível e de bom entendimento aos olhos do aluno. Por meio dessas resoluções, é possível rever, a qualquer momento, as explicações dadas em sala de aula. aplicação do conteúdo 2 © Hexag Sistema de Ensino, 2018 Direitos desta edição: Hexag Sistema de Ensino, São Paulo, 2020 Todos os direitos reservados. Autores Herlan Fellini Pedro Tadeu Batista Vitor Okuhara Diretor-geral Herlan Fellini Diretor editorial Pedro Tadeu Batista Coordenador-geral Raphael de Souza Motta Responsabilidade editorial, programação visual, revisão e pesquisa iconográfica Hexag Sistema de Ensino Editoração eletrônica Arthur Tahan Miguel Torres Matheus Franco da Silveira Raphael de Souza Motta Raphael Campos Silva Projeto gráfico e capa Raphael Campos Silva Imagens Freepik (https://www.freepik.com) Shutterstock (https://www.shutterstock.com) ISBN: 978-65-88825-01-3 Todas as citações de textos contidas neste livro didático estão de acordo com a legislação, tendo por fim único e exclusivo o ensino. Caso exista algum texto a respeito do qual seja necessária a inclusão de informação adicional, ficamos à dis- posição para o contato pertinente. Do mesmo modo, fizemos todos os esforços para identificar e localizar os titulares dos direitos sobre as imagens publicadas e estamos à disposição para suprir eventual omissão de crédito em futuras edições. O material de publicidade e propaganda reproduzido nesta obra é usado apenas para fins didáticos, não repre- sentando qualquer tipo de recomendação de produtos ou empresas por parte do(s) autor(es) e da editora. 2020 Todos os direitos reservados para Hexag Sistema de Ensino. Rua Luís Góis, 853 – Mirandópolis – São Paulo – SP CEP: 04043-300 Telefone: (11) 3259-5005 www.hexag.com.br contato@hexag.com.br 3 SUMÁRIO MATEMÁTICA ÁLGEBRA TRIGONOMETRIA E ARITMÉTICA GEOMETRIA PLANA Aulas 1 e 2: Potenciação e radiciação 6 Aulas 3 e 4: Equações do primeiro grau e problemas clássicos 14 Aulas 5 e 6: Equações do segundo grau 22 Aulas 7 e 8: Teoria dos conjuntos 27 Aulas 1 e 2: Trigonometria no triângulo retângulo 36 Aulas 3 e 4: Produtos notáveis 41 Aulas 5 e 6: Fatoração 44 Aulas 7 e 8: Conjuntos numéricos 49 Aulas 1 e 2: Introdução à geometria plana 56 Aulas 3 e 4: Ângulos num triângulo e ângulos numa circunferência 62 Aulas 5 e 6: Razão proporcional e teoremas de Tales e da bissetriz interna 70 Aulas 7 e 8: Pontos notáveis de um triângulo 75 4 Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais. H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais. H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem. H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos. H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construçãode argumentos sobre afirmações quantitativas. H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos. Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela. H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional. H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais. H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma. H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano. Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida. H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano. H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas. H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente. H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas. Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas. H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais. H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação. H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas. Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas. H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas. H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas. H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos. H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação. H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos. Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação. H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências. H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos. H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos. Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade- quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística. H27 Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados (não em classes) ou em gráficos. H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade. H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação. H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade. 5 ÁLGEBRA: Incidência do tema nas principais provas UFMG Encontraremos propriedades de potenciação e radiciação em questões tanto de Matemática como de Física e Química. Não é difícil encon- trar alguma questão em ambas as fases da Vunesp, exigindo do candidato a produção de equações do 1º e 2º graus. Esta prova possui questões dissertativas com alto grau de dificuldade. Portanto, devemos somar os conteúdos deste livro com os próximos para resolver os exercícios. Potenciação e radiciação, são cobrados em questões de variações de grandezas físicas. Teoria dos conjuntos é cobrada com descrição no enunciado. Equações são assuntos básicos que necessitam de outros tópicos para que tenham uma aplicação. Dentro dos temas abordados neste livro, o equacionamentos do 1º e 2º graus possuem maior incidência nesse vestibular. Esta prova exigirá de seu candidato alta habi- lidade em potenciação. A leitura de um texto aliada a um raciocínio lógico-matemático será fundamental para resolver problemas clássicos de equações do 1º grau. A PUC-Camp exige do candidato uma firme análise das propriedades básicas de potencia- ção e radiciação, quando explora questões de exponenciais e logaritmos. O vestibular da Santa Casa aborda as proprie- dades de potenciação e radiciação, dentro dos exercícios de Exatas. Realizar equacionamen- tos do 1º ou 2º graus é imprescindível nas questões objetivas. O Enem exigirá dos candidatos conceitos básicos de potenciação e radiciação. Encon- traremos também situações problemas que precisam de equações do 1º e 2º graus para serem resolvidas. Potenciação e radiciação, por serem assuntos básicos, dificilmente serão cobrados. Já para equações do 1º e 2º grau, podemos encontrar alguma questão, na primeira fase, exigindo uma leitura mais atenta. Tanto no exame de qualificação, quanto no exame discursivo, ocorrem questões de equações do 1º e 2º graus. Conceitos de potenciação e radiciação estarão, em grande parte, das questões de Exatas. O processo seletivo da Unigranrio possui questões mais diretas, diferentemente do Enem. Assim, a álgebra possui grande inci- dência nessa prova e o candidato deve estar muito bem esclarecido em relação a todos os temas. O processo seletivo para Medicina da Souza Marques possui questões contextualizadas, e os conteúdos abordados neste livro são essenciais para suas resoluções. Esse vestibular exige pontos específicos do candidato, pois possui uma quantidade menor de questões. Assim, a resolução de equações do 1º e 2º graus e os outros temas abordados neste livro são fundamentais. A UFPR possui um vestibular com questões dissertativas e objetivas, com alto grau de dificuldade. O candidato deve resolver com proeza questões de equação do 1º grau. Apresenta questões bem elaboradas, que alinham os conteúdos deste livro com os próximos e outras áreas de Exatas. 6 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO COMPETÊNCIAS: 1 e 2 HABILIDADES: 1, 3, 4, 7, 10 e 11 AULAS 1 E 2 1. POTENCIAÇÃO Cálculo do valor de ( 2 __ 3 ) 3, no qual a base é um núme- ro racional: ( 2 __ 3 ) 3 = ( 2 __ 3 ) ∙ ( 2 __ 3 ) ∙ ( 2 __ 3 ) = 8 ___ 27 No caso em que n < 2, definimos: b0 = 1, para b ≠ 0; b1 = b Algebricamente, sendo x ℝ, a potenciação pode ser es- crita da seguinte forma: x = x¹ x ∙ x = x² x ∙ x ∙ x = x³ 1.2. Potenciação com expoente inteiro negativo Dada uma base b real não nula e um expoente n ℤ, define-se: b–n = 1 __ bn Assim, quando o expoente for um número inteiro negativo, pode-se inverter a base a fim de tornar o expoente positivo e efetuar as operações como foi visto anteriormente. Modelo 3–2 = 1 __ 32 = 1 __ 9 ( 2 __ 5 ) –2 = 1 ____ ( 2 __ 5 ) 2 = 1 ___ 4 ___ 25 = 25 ___ 4 10–2 = 1 ___ 102 = 1 ___ 100 = 0,01 x–1 = 1 __ x , sendo x ℝ e não nulo 1.3. Potenciação com expoente racional Dado um número real a e um número racional m __ n , sendo m ℤ e n ℤ* (n ≠ 0), definimos a potenciação de base a e expoente m __ n da seguinte forma: a = n dXXX am multimídia: vídeo Introdução à potenciação FONTE: YOUTUBE 1.1. Potenciação com expoente natural Representa-se por bn, sendo b (denominado base) um número real, e n (denominado expoente) um número natural maior que 2, o produto de n fatores iguais a b, o seguinte produto: bn = b ∙ b ∙ b ∙ ... ∙ b n fatores Modelo Cálculo do valor de 25, no quala base é um núme- ro natural: 25 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32 Cálculo do valor de (–3)³, no qual a base é um número inteiro negativo: (–3)³ = (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) = –27 (–3)4 = (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) = 81 Atenção: Observe que, se a base for um número real ne- gativo, e o expoente for um número natural ímpar, o re- sultado será negativo; no entanto, se o expoente for um número natural par, o resultado será positivo. 7 Como podemos ver, quando temos um expoente racional na forma da fração m __ n , podemos reescrever a potência como uma raiz n-ésima de am. Definiremos as pro- priedades das raízes n-ésimas aritméticas no próxi- mo capítulo. 1.4. Propriedades De modo geral, sendo a e b números reais, e m e n núme- ros inteiros, valem as seguintes propriedades: Produto de potências de mesma base Quando se tem o produto entre duas potências de mesma base, somam-se os expoentes e conserva-se a base: P1: a m ∙ an = am+n 23 ∙ 25 = 23+5 = 28 ( 1 __ 2 ) 5 ∙ 23 = 2–5 ∙ 23 = 2–5+3 = 2–2 = 1 __ 22 = 1 __ 4 16 ∙ 32 = 24 ∙ 25 = 24+5 = 29 x2 · ( 1 __ x ) = x2 ∙ x–1 = x1 = x Quociente de potências de mesma base Quando se tem o quociente entre duas potências de mes- ma base, subtraem-se os expoentes e conserva-se a base: P2: am __ an = a m–n, se a ≠ 0 e m n 5 7 __ 53 = 57–3 = 54 ( 1 __ 3 ) 9 : ( 1 __ 3 ) 5 = ( 1 __ 3 ) 9–5 = ( 1 __ 3 ) 4 x 7 __ x3 = x4 Potência de um produto A potência de um produto pode ser escrita como um pro- duto de potências: P3: (a ∙ b) m = am ∙ bm (2 ∙ 5)³ = 2³ ∙ 5³ = 8 ∙ 125 = 1 000 (x ∙ y)² = x² ∙ y² Potência de um quociente A potência de um quociente pode ser escrita como um quo- ciente de potências: P4: ( a __ b ) m = a m __ bm , se b ≠ 0 ( 2 __ 3 ) 2 = 2 2 __ 32 = 4 __ 9 ( x __ yz ) 3 = x 3 ____ (yz)3 = x 3 ___ y3z3 Potência de uma potência Quando se tem uma potência em que sua base apresen- ta outra potência, mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes: P5: (a m)n = am ∙ n (52)3 = 52 ∙ 3 = 56 (2 ∙ 32)4 = 24 ∙ (32)4 = 24 ∙ 32 ∙ 4 = 24 ∙ 38 (x2 ∙ y5)3 = (x2)3 ∙ (y5)3 = x2 ∙ 3 · y5 ∙ 3 = x6 ∙ y15 Atenção: Observe que (am)n ≠ amn. No caso de (am)n, a base do expoente n é am, e, no caso de amn, a base do expoente n é m, e mn é o expoente da base a. Veja um exemplo: (2²)³ = (2²) ∙ (2²) ∙ (2²) = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64 22³ = 22 ∙ 2 ∙ 2 = 28 = 256 Note, também, que, devido à propriedade comutativa da multiplicação, resulta que (am)n = (an)m. 1.4.1. Resumo das propriedades Sendo a e b números reais, e m e n números inteiros, segue que: P1: a m ∙ an = am+n P2: am __ an = a m – n, se a ≠ 0 e m ≥ n P3: (a ∙ b) m = am ∙ bm P4: ( a __ b ) m = a m __ bm , se b ≠ 0 P5: (a m)n = am ∙ n 1.5. Número na forma de potência Nas expressões numéricas em que é possível escrever to- das as potências com uma base comum, é possível utilizar as propriedades de potenciação descritas. Observe alguns exemplos utilizando a base 2: 1 = 20 2 = 2¹ 4 = 2² 8 = 2³ 16 = 24 1/2 = 2–1 1/4 = 2–2 1/8 = 2–3 1/16 = 2–4 √ __ 2 = 21/2 √ __ 4 = 22/2 = 2 √ __ 8 = 23/2 √ ___ 16 = 24/2 = 22 8 Também é possível escrever alguns números racionais na forma de uma potência com base inteira: 0,5 = 5 ___ 10 = 1 __ 2 = 2–1 0,25 = 25 ___ 100 = 1 __ 4 = 2–2 0,125 = 125 ____ 1000 = 1 __ 8 = 2–3 Veja como se pode simplificar o cálculo de uma expressão numérica envolvendo potências de mesma base: [ 4 ∙ ( 1 __ 8 ) –2 ∙ 163 ] –1 _____________ 0,58 ∙ ( 1 ___ 32 ) 2 Escrevendo cada fator como uma potência de base 2, segue que: [ (22) ∙ (2–3)–2 ∙ (24)3 ] –1 ________________ (2–1)8 ∙ (2–5)2 Utilizando, agora, as propriedades da potenciação, pode-se realizar as simplificações: (2 2 ∙ 26 ∙ 212)–1 ___________ 2–8 ∙ 2–10 = (2 2+6+12)–1 _______ 2–8+(–10) = (2 20)–1 _____ 2–18 = 2–20–(–18) = 2–2 = 1 __ 4 1.6. Potências e notação científica Como foi visto, potências do tipo bn podem ser utilizadas para simplificar um produto de n termos iguais a b. Quan- do se trata de grandezas muito grandes ou muito peque- nas, pode-se utilizar potências de base 10 para representar esses números. Esse tipo de representação é denominada notação científica. Observe a fórmula da notação científica: m ∙ 10e na qual m é denominado mantissa, um número racional maior que 1 e menor que 10, enquanto que e é denomi- nado a ordem de grandeza, expoente da base 10. Caso deseje escrever o número 2 500 000 (dois milhões e quinhentos mil) de forma mais concisa: 2 500 000 = 2,5 ∙ 1 000 000 = 2,5 ∙ 106 Imagine um grande prédio em construção, com todos os seus elementos e estruturas, fundações, vigas e tijolos. Fazendo uma analogia com a construção de um prédio, a potenciação e a radiciação são a base para a construção dos conhecimentos algébricos. Você poderá utilizar os conhecimentos aprendidos de potenciação na disciplina de Física, no uso da notação científica, e na área de Geografia, mais especificamente na área de cartografia, uma vez que trabalhar com potências facilita a mudança de escalas. CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS 9 2. RADICIAÇÃO Chama-se radical a raiz enésima de um número real , sendo um número maior ou igual a zero, e n um número natural maior ou igual a 2. n √ __ , em que [ R+ e n [ N, com n ≥ 2, é chamado de radical. Modelo √ ___ 16 5 √ __ 2 √ ___ 1 ___ 36 O termo radical também é representado pelo símbolo √ __ 0 . 2.1. Propriedades 2.1.1. 1ª propriedade Observe um radical com índice ímpar: 3 √ ____ 125 = 5 e 125 = 53 3 √ ____ 125 = 3 √ __ 53 = 5 Agora, veja um radical com índice par: 2 √ ____ 121 = 11 e 121 = 112 2 √ ____ 121 = 2 √ ___ 112 = 11 De modo geral, vale a igualdade n √ ___ n = , para todo [ R+ e n [ N, com n ≥ 2. Modelos √ __ 42 = 4 6 √ __ 76 = 7 8 √ __ 78 = 7 Atenção: Essa propriedade é válida somente para igual a zero ou maior que zero. Caso ocorra, por exemplo, 4 √ ____ (-2)4 , a expressão não equiva- lerá a – 2, pois 4 √ ____ (-2)4 = 4 √ ___ 16 = 2. Se, porém, o índice for ímpar, a propriedade n √ __ n = continuará válida. Veja: 3 √ ____ (-1)3 = –1 Dessa forma, para uma expressão com radicais, é preciso impor a condição de existência: Se o índice for ímpar (n é ímpar), o radicando poderá ser qualquer número real: n √ __ xn = x, x R Se o índice for par (n é par), o radicando deverá ser um número real não negativo: n √ __ xn = x, x 0 (condição de existência) 2.1.2. 2ª propriedade Pode-se representar o número 2 por meio de diferentes radicais: 2 = 5 √ __ 25 2 = 10 √ ___ 210 Então: 5 √ __ 25 = 10 √ ___ 210 Para obter a igualdade, é possível fazer: 10 √ ___ 210 = 10 : 2 √ ____ 210 : 2 = 5 √ __ 25 De modo geral, segue que n √ ___ m = n : p √ ___ m:p , para todo [ R+ e n [ N, com n ≥ 2, sendo p um número diferente de zero e divisor comum de m e n. Essa propriedade comumente é usada para simplificar al- guns radicais. Modelos 8 √ __ 74 = 8 : 4 √ ____ 74 : 4 = 2 √ __ 7 10 √ ___ 32 = 10 √ __ 25 = 10 : 5 √ ____ 25 : 5 = 2 √ __ 2 2.1.3. 3ª propriedade Observe as expressões 3 √ _____ 27 ∙ 8 e 3 √ ___ 27 · 3 √ __ 8 . De modo geral, segue que: n √ ____ a ∙ b = n √ __ a · n √ __ b , para todo a [ R+, b [ R+ e n [ N, com n ≥ 2. Modelos √ _____ 4 ∙ 10 = √ __ 4 ∙ √ ___ 10 4 √ _______ 1 ___ 10 ∙ 100 = 4 √ ___ 1 ___ 10 ∙ 4 √ ____ 100 2.1.4. 4ª propriedade Observe as expressões 3 √ ___ 27 ___ 8 e 3 √ ___ 27 ____ 3 √ __ 8 10 De modo geral, segue que n √ __ a __ b = n √__ a ___ n √ __ b , para todo a [ R+, b [ R + * e n N, com n ≥ 2. Modelos √ ___ 30 ___ 7 = √ ___ 30 ____ √ __ 7 3 √ _____ 0,001 = 3 √ ______ 1 _____ 1.000 = 3 √ __ 1 ______ 3 √ _____ 1.000 = 1 ___ 10 2.2. Potenciação e radiciação com radicais Veja uma potenciação com radicais: ( 5 √ __ 2 ) 4 = 5 √ __ 2 · 5 √ __ 2 · 5 √ __ 2 · 5 √ __ 2 = 5 √ _________ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 5 √ __ 24 De modo geral, para efetuar a potenciação com um ra- dical, eleva-se o radicando ao expoente dado: ( m √ __ a ) n = m √ __ an , em que a ≥ 0, m é um número natural maior que 1, e n é um número inteiro. Modelo 1 ( √ __ 5 ) 3 = √ __ 53 ( 2 3 √ __ 3 ) 5 = 25 · 3 √ __ 35 = 32 · 3 · 3 dXX 32 = 96 3 dXX 32 ( 6 dXXXXX 4 – x ) 2 = 62 · dXXXXXX (4 – x)2 = 36 · (4 – x) = 144 – 36x, com x ≤ 4 ( dXX 5 + 3 ) 2 = ( dXX 5 ) 2 + 2 · dXX 5 · 3 + 32 = 5 + 6 dXX 5 + 9 = 14 + 6 dXX 5 Para entender o procedimento da radiciação com radicais, compare as expressões: 2 dXXXXX 3 dXXXX 729 = 2 dXX 9 = 3 e 6 dXXXX 729 = 3 Como as duas expressões são iguais a 3, então: 2 dXXXXX 3 dXXXX 729 = 6 dXXXX 729 = 3 De modo geral, para efetuar a radiciação com radicais, po- de-se fazer m dXXX n dXX a = m · n dXX a , em que a ≥ 0 e m e n são núme- ros naturais maiores que 1. Modelo 2 3 dXXX dXX 2 = 3 · 2 dXX 2 = 6 dXX 2 dXXXXXXX 3 dXXXXX 1.000 _____ 64 = 2 · 3 d XXXXX 1.000 _____ 64 = 6 dXXXX 103 ___ 26 = 6 dXXX 103 ____ 6 dXX 26 = dXXX 10 ____ 2 2.3. Racionalização de denominadores O processo de racionalização do denominador consiste em multiplicar a fração dada pelo número 1, escrito como fra- ção, de modo que o produto nos denominadores seja um número racional. 1 ___ dXX 2 = 1 ___ dXX 2 · 1 = 1 ___ dXX 2 · dXX 2 ___ dXX 2 = 1 · dXX 2 ______ dXX 2 · dXX 2 = dXX 2 ____ dXX 22 = dXX 2 ___ 2 Observe que, depois da racionalização, escreve-se de outra forma o número dado, agora com denominador racional. Calcular dXX 2 ___ 2 é mais simples do que calcular 1 ___ dXX 2 . Acompanhe a racionalização dos denominadores de alguns números agrupados nas situações a seguir: Modelo 1 Racionalização do denominador de 2 ____ 3 dXX 8 . 2 ____ 3 dXX 8 = 2 ____ 3 dXX 8 · dXX 8 ___ dXX 8 = 2 √ __ 8 ____ 3 ∙ 8 = √ __ 8 ___ 12 Racionalização do denominador de 3 ___ 4 dXX 3 . 3 ___ 4 dXX 3 = 3 ___ 4 dXX 3 · 4 dXX 33 ___ 4 dXX 33 = 3 4 dXX 33 ____ 4 dXX 34 = 3 4 dXX 33 ____ 3 = 4 dXX 33 Uma Mente Brilhante História do matemático John Nash, criador do “Equilíbrio de Nash”, uma teoria com aplica- ção em Economia na área de Teoria de jogos, teoria que acabou premiando Nash com o Prê- mio de Ciências Econômicas em Memória de Alfred Nobel. FONTE: YOUTUBE multimídia: vídeo 11 Modelo 2 Racionalização do denominador de 3 ______ dXX 3 + 1 . Como nesse denominador há uma adição em que pelo me- nos uma parcela é um número irracional, utiliza-se o produto da soma pela diferença para racionalizar o denominador. Racionalização do denominador de 2 _______ dXX 2 + dXX 5 . Nesse denominador, há uma adição de dois números irracionais. Para racionalizá-lo, multiplica-se a fração por: Racionalização do denominador de dXX 6 ______ 4 – dXX 5 . O produto da soma pela diferença de a e b é: (a + b) · (a – b) = a2 – b2 2.4. Potência com expoente fracionário O expoente de uma potência pode ser um número em for- ma de fração. Observe o exemplo a seguir: 51/2 = ( √ ___ 51/2 )2 – 1ª propriedade dos radicais ( √ ___ 51/2 )2 = dXXX 51/2 · dXXX 51/2 = dXXXXXX 51/2 + 1/2 – propriedade do produto de potências de mesma base dXXXXXX 51/2 + 1/2 = dXX 51 = dXX 5 Portanto: 51/2 = dXX 5 . Se 51/2 = dXX 5 , então 53/2 = (51/2)3 = ( dXX 5 ) 3 = dXX 53 Da mesma forma, é possível escrever outras potências de expoente fracionário como um radical. 25/3 = 3 dXX 25 multimídia: sites https://pt.khanacademy.org/math/pre-alge- bra/pre-algebra-exponents-radicals [ 1 __ 8 ] 2/3 = 3 dXXXX [ 1 __ 8 ] 2 = 3 √ ____ ( 1 __ 23 ) 2 = 3 dXXX 1 __ 26 = 1 __ 4 (0,3)2/7 = 7 dXXXXX (0,3)2 = 7 √ ____ 0,09 De modo geral, pode-se dizer que am/n = n √ __ am para todo a [ R+, m [ Z e n [ N, com n 2. Aplicação do conteúdo 1. Examine as afirmações a seguir: I. A subtração ( 2 √ __ 8 – 3 √ __ 2 ) 3 equivale a 2 √ __ 2 . II. 5 √ __ 8 é maior do que 11 √ __ 2 . III. (6 √ __ 3 )2 é igual a 108. As afirmativas corretas são: a) I e II apenas. b) I e III apenas. c) II e III apenas. d) I, II e III. Resolução: Alternativa B I. Correta. Desenvolvendo a subtração: (2 √ __ 8 – 3 √ __ 2 )3 = (2 √ __ 23 – 3 √ __ 2 )3 = = (2 √ __ 22 · 2 – 3 √ __ 2 )3 = = (2 √ __ 22 · √ __ 2 – 3 √ __ 2 )3 = (4 √ __ 2 – 3 √ __ 2 )3 = = ( √ __ 2 ) 3 = 2 √ __ 2 II. Incorreta. 5 √ __ 8 = 5 √ ______ 22 ∙ 2 = 5 √ __ 22 · √ __ 2 = = 10 √ __ 2 < 11 √ __ 2 III. Correta. Teremos: (6 √ __ 3 )2 = 36 · 3 = 108 2. Analise as seguintes expressões: I. 3 √ ___ 12 ____ 2 = 3 √ __ 2 12 II. (2 √ __ 3 ) -1 = √ __ 3 ___ 6 III. (24) 1 __ 2 = 2 √ __ 2 A(s) alternativa(s) verdadeira(s) é(são): a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) I e III. Resolução: Alternativa B I. Incorreta. 3 √ ___ 12 ____ 2 = 3 · 2 · √ __ 3 ________ 2 = 3 √ __ 3 II. Correta. (2 √ __ 3 )-1 = 1 ____ 2 √ __ 3 · √ __ 3 ___ √ __ 3 = √ __ 3 ___ 6 III. Incorreta. (24) 1 __ 2 = 2 4 __ 2 = 22 = 4 3. Assinale a alternativa correta: a) √ __ 4 + √ __ 5 < 3 b) ( √ __ 3 + √ __ 2 )2 = ( √ __ 3 )2 + ( √ __ 2 ) 2 = 3 + 2 = 5 c) 9 ___ √ __ 3 = 6 √ __ 3 d) 4 ______ ( √ __ 5 - 1 ) = √ __ 5 + 1 e) √ ___ 16 = 4 Resolução: Alternativa D a) Incorreta, pois √ __ 4 + √ __ 5 > 3 b) Incorreta, pois ( √ __ 3 + √ __ 2 ) 2 = = ( √ __ 3 ) 2 + 2 √ __ 3 ∙ √ __ 2 + ( √ __ 2 )2 = 5 + 2 √ __ 6 . c) Incorreta, pois 9 ___ √ __ 3 = 9 ___ √ __ 3 ∙ √ __ 3 ___ √ __ 3 = 9 √ __ 3 ____ 3 = 3 √ __ 3 . d) Correta, pois 4 ______ ( √ __ 5 – 1 ) · √ __ 5 + 1 ______ √ __ 5 + 1 = √ __ 5 + 1 . e) Incorreta, pois √ ___ 16 = 4. 4. Analisando os números reais, x = √ ___ 2,7... y = [ √ ____ 0,25 + (163/4)-1 ] -1 z = 3 √ ____ (23)2 – √ ________ 3 √ __ 56 · ( 5 __ 6 ) -2 é FALSO afirmar que: a) z _ y < – 3 __ 2 b) x – y < 1 __ 5 c) x + z < 0 d) x + y + z ( ℝ – ℚ) Resolução: Alternativa A x = √ ___ 2,7... = √ _____ 2 + 7 __ 9 = √ ___ 25 ___ 9 = 5 __ 3 y = [ √____ 0,25 + ( 4 √___ 163 ) -1 ] -1 y = ( √ __ 1 __ 4 + 4 √ _____ ( 1 ___ 16 ) 3 ) -1 y = ( 1 __ 2 + 1 __ 8 ) -1 y= ( 5 __ 8 ) -1 y = 8 __ 5 z = 3 √ ____ (23)2 – √ ________ 3 √ __ 56 ∙ ( 5 __ 6 ) -2 26/3 – √ ________ 56/3 ∙ ( 6 __ 5 ) 2 22 – √ _____ 52 · 36 ___ 25 = 4 – 6 = –2 a) Falso. z __ y < – 3 __ 2 2 __ 8 __ 5 = –2 · 5 __ 8 = – 5 __ 4 e – 5 __ 4 > – 3 __ 2 . b) Verdadeiro. x – y < 1 __ 55 __ 3 – 8 __ 5 < 1 __ 5 1 ___ 15 < 1 __ 5 . c) Verdadeiro. x + z < 0 5 __ 3 – 2 < 0 -- 1 __ 3 < 0. d) Verdadeiro. x + y + z (ℝ – ℚ), pois a soma de três números racionais será sempre um número racional. 5. O valor da expressão √ ___ 50 – √ ___ 18 + √ ___ 98 é: a) √ ____ 130 b) –5 √ __ 2 c) 9 √ __ 2 d) 5 √ ___ 13 e) 15 √ __ 2 Resolução: Alternativa B √ ___ 50 – √ ___ 18 – √ ___ 98 = 5 √ __ 2 – 3 √ __ 2 – 7 √ __ 2 = = –5 √ __ 2 13 DIAGRAMA DE IDEIAS POTENCIAÇÃO RADICIAÇÃO EXPOENTE (QUANTIDADE DE VEZES QUE A BASE É MULTIPLI- CADA POR ELA MESMA) BASE (NÚMERO A SER MULTIPLICADO) OPERAÇÃO INVERSA DA POTENCIAÇÃO a a• a• a• a•... •an n VEZES (BASE) (RADICANDO) (EXPOENTE) (ÍNDICE) RAIZ VEM DO LATIM RADIX, QUE QUER DIZER LADO. QUANDO DIZEMOS RAIZ QUADRADA DE 9, ESTAMOS PENSANDO EM: “QUAL É O LADO DO QUADRADO DE ÁREA 9?” an 9=3 9 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14 1. EQUAÇÕES A primeira referência conhecida que trata das equações está relacionada ao chamado Papiro de Rhind (também conhecido como Papiro de Ahmes), um dos documentos egípcios mais antigos sobre Matemática, escrito no ano de 1650 a.C.. A álgebra começa a ser pesquisada a partir do século XI, com a obra de al-Khwarizmi (738-850 d.C), que trata do estudo das equações com uma ou mais incógnitas em uma resolução de problema. Em sua interpretação, quan- do é possível representar em linguagem simbólica, na for- ma de uma equação, o resultado é a equação como uma consequência da situação-problema. Al-Khwarizmi, um dos maiores matemáticos árabes, resolvia as equações de um modo semelhante ao atual: tudo, até mesmo os números, era representado por palavras. O livro Al-jabr wa’l mugãbalah trazia explicações minuciosas sobre a re- solução de equações. Diofante, por sua vez, foi um matemático grego que viveu no século III. Ele se dedicou à álgebra e aplicou a ideia de representar um número desconhecido por uma letra; as- sim, influenciou decisivamente outros matemáticos. A equação de 1.º grau é definida como “uma sentença aberta que exprime uma igualdade entre duas expres- sões numéricas”. A palavra “equação” deriva do latim equatione, que significa “equacionar”, “igualar”. As expressões numéricas, separa- das pelo sinal de igualdade, chamam-se “membros”; cada membro é composto por “termos”; e esses termos, que mul- tiplicam as letras, chamam-se “coeficientes de termo”. Observe a seguinte igualdade: 1 + x = 3 Essa igualdade leva o nome de sentença matemática aberta ou equação, pois pode ser verdadeira ou falsa, de- pendendo do valor atribuído à variável x. Nesse caso, se o valor de x for 3, a sentença será falsa. Por outro lado, se o valor atribuído for 2, a sentença será verdadeira. Como x = 2 torna a sentença verdadeira, afirma-se que o número 2 é a raiz da equação. O conjunto dos valores que tornam uma equação verdadei- ra é chamado de conjunto solução. No exemplo dado, o conjunto solução S é: S = {2} multimídia: sites https://pt.khanacademy.org/math/cc-sixth-grade- -math/cc-6th-equations-and-inequalities Modelos 1. 2x + 4 = 6, para x [ R O único valor real que torna a equação verdadeira é x = 1, logo S = {1}. 2. x² = 4, para x [ R Os valores reais que tornam a equação verdadeira são x = 2 ou x = –2, logo S = {–2, 2}. 3. 0x + 1 = 1, para x [ R Nesse caso, nota-se que independentemente do valor de x, a equação é verdadeira, logo S = R. 4. x² = –1, para x [ R Nesse caso, nota-se que não há valor real de x que torne a equação verdadeira, logo S = Ø. Para descobrir os valores que compõem o conjunto solu- ção, é possível manipular a equação utilizando algumas propriedades com o intuito de isolar a variável (incógnita) em um dos membros da equação. EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU E PROBLEMAS CLÁSSICOS COMPETÊNCIA: 5 HABILIDADES: 19, 21, 22 e 23 AULAS 3 E 4 15 P1: Se somarmos ou subtraírmos um mesmo número de ambos os membros de uma igualdade, esta per- manecerá verdadeira. Modelos 1. x – 4 = 10 x – 4 + 4 = 10 + 4 x = 14 Logo, S = {14} 2. 3 + x = 1 3 + x – 3 = 1 – 3 x = –2 Logo, S = {–2} A equação do primeiro grau é a mais simples das equações estudadas no Ensino Médio, mas não é me- nos importante do que as outras. As famosas fórmulas da disciplina de física, como Q m · c · , que equaciona a quantidade de calor, e a equação horária do movimento retilíneo uniforme, s = S0 + vt, são equações do primeiro grau. Aprender a manipular as equações do primeiro grau fará com que você aumente seus horizontes tanto em matemática quanto em física. CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS P2: Se multiplicarmos ou dividirmos por um mesmo número ambos os membros de uma igualdade, esta permanecerá verdadeira. Modelos: 1. x __ 4 = 6 x __ 4 · 4 = 6 · 4 x = 24 Logo S = {24} 2. –2x = 6 –2x ___ –2 = 6 ___ –2 x = –3 Logo, S = {–3} 2. EQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU Uma equação do primeiro grau pode ser representada na forma ax + b = 0, com a i 0, a partir de manipulações algébricas descritas anteriormente. Uma vez escritas nessa forma, é possível encontrar facilmente o conjunto solução subtraindo o termo independente b de ambos os membros e, em seguida, dividindo-os por a. Em uma equação de primeiro grau, ocorrem apenas ope- rações de soma, subtração, multiplicação e divisão. Assim, é possível reduzir uma equação de primeiro grau à forma ax + b = 0, realizando apenas essas quatro operações. Observe alguns exemplos de como manipular as equações com o intuito de isolar a incógnita: 1. 5(x – 3) = –2(x – 1) Deve-se aplicar a propriedade distributiva, com o objetivo de eliminar os parênteses, respeitando a regra de sinais: 5x – 15 = –2x + 2 Somando 2x em ambos os membros para isolar a incógnita: 5x – 15 + 2x = –2x + 2 + 2x ä 7x – 15 = 2 Somando 15 em ambos os membros e finalmente dividindo por 7: 7x – 15 + 15 = 2 + 15 ä 7x = 17 7x __ 7 = 17 ___ 7 à x = 17 ___ 7 Logo, S = { 17 ___ 7 } 16 2. x __ 4 = 5 __ 2 Para cancelar o denominador 4 da fração x __ 4 , ambos os membros devem ser multiplicados por 4: x __ 4 · 4 = 5 __ 2 · 4 x = 20 ___ 2 = 10 Logo, S = {10} 3. x ___ –4 = 3 __ 2 De modo semelhante ao exemplo anterior, ambos os membros da igualdade devem ser multiplicados por –4: x ___ –4 · (–4) = 3 __ 2 · (–4) x = –12 ____ 2 = –6 Logo, S = {–6}. Outra maneira de resolver equações desse tipo é realizan- do o produto cruzado: a __ b = c __ d à a · d = b · c x ___ –4 = 3 __ 2 à 2x = 3(–4) 2x = –12 à x = –12 ____ 2 = –6 4. x + 2 _____ 6 = 5 __ 3 Realizando o produto cruzado, temos: 3(x + 2) = 6 · 5 à 3x + 6 = 30 3x = 30 – 6 3x = 24 x = 24 ___ 3 = 8 Logo, S = {8}. 5. 12 – x ______ 3 + 1 = x __ 2 Em somas ou subtrações de frações, primeiramente é pre- ciso encontrar o mínimo múltiplo comum entre os deno- minadores. Assim, todos os denominadores são reduzidos a um denominador comum, permitindo, então, cancelá-lo: mmc(1,2,3) = 6 2 · (12 – x) + 6 · 1 ______________ 6 = 3 · x ____ 6 Multiplicando ambos os membros por 6, os denominado- res são cancelados. Efetuando as operações no restante da igualdade, temos: 24 – 2x + 6 = 3x à 30 = 3x + 2x 30 = 5x x = 30 ___ 5 = 6 Logo, S = {6} 2.1. Resolvendo sistemas de duas equações de primeiro grau Em problemas envolvendo equações de primeiro grau, é possível ter mais de uma incógnita a ser calculada. Nes- se caso, deve-se ter também mais de uma equação. Um conjunto de equações determina um sistema de equa- ções. Existem principalmente dois métodos para resolver tais sistemas: o método da substituição e o método da adição. 2.1.1. Método da substituição Esse método consiste em obter, a partir de uma das equa- ções, uma incógnita em funçãodas demais. Depois, subs- titui-se esse resultado nas outras equações. Observe um exemplo: Considere as seguintes equações: Primeiramente, escolhe-se uma das equações e isola-se qualquer uma das incógnitas. Por exemplo, a incógnita x na equação (I) é isolada: (I) x + 3y = 11 ä x = 11 – 3y Em seguida, o valor encontrado para x na equação é subs- tituído (II): (II) 2x + y = 7 2(11 – 3y) + y = 7 22 – 6y + y = 7 –5y = –15 y = –15 ____ –5 = 3 Logo, y = 3. Com esse resultado, é possível substituir o valor de y em quaisquer das equações. Utilizamos a equação (I): (I) x + 3y = 11 x + 3(3) = 11 x + 9 = 11 x = 2 Assim, a solução do sistema de equações é x = 2 e y = 3. 17 2.1.2. Método da adição Esse método consiste em igualar os coeficientes de uma das incógnitas em ambas as equações de modo que, ao so- má-las, esses coeficientes se anulem, diminuindo a quanti- dade de incógnitas. Veja o exemplo: Considere o mesmo sistema de equações do exemplo anterior: Nos restaurantes por quilo, ou self-service, ocorre um exemplo de aplicação de uma equação de primeiro grau. Três informações são indicadas no leitor da balança: 1) o peso da comida; 2) o valor por quilo da comida; 3) o valor a ser pago. Com duas das três informações, é possível verificar a terceira informação desconhecida por meio de uma equação do primeiro grau: Peso da comida = x gramas Valor do kg da comida = R$ 30,00 / kg Valor a ser pago: R$ 12,00 Valor a ser pago = Peso da comida multiplicado pelo valor do quilo da comida R$12,00 = x kg ∙ 30 R$/kg 12 = x ∙ 30 x = 12 ___ 30 x = 0,4 kg ou 400 g VIVENCIANDO The Story of Maths FONTE: YOUTUBE multimídia: vídeo Se multiplicarmos a equação (I) por –2, obteremos o se- guinte sistema: Somando a equação (I) e (II), temos: Observe que a escolha do fator –2 para multiplicar a equa- ção teve como finalidade igualar o valor absoluto dos co- eficientes da incógnita x nas duas as equações. Agora, a partir do valor de y, basta substituir em quaisquer das equações. Em (I), temos: (I) x + 3y = 11 x + 3(3) = 11 x + 9 = 11 x = 2 Assim, a solução do sistema de equações é x = 2 e y = 3. 18 Aplicação do conteúdo A resolução de um problema matemático consiste em trans- formá-lo em linguagem matemática, como uma equação, utilizando os dados fornecidos para chegar a uma conclu- são, com base no pedido no enunciado. Por meio de alguns exemplos, será demonstrado como problemas envolvendo equações de primeiro grau são enunciados: 1. Dado um número x, a soma do dobro desse número com 6 equivale à diferença entre o triplo desse número e 4. Qual é esse número? Resolução: “soma do dobro desse número com 6”: 2x + 6 “diferença entre o triplo desse número e 4”: 3x – 4 Logo: 2x + 6 = 3x – 4 6 + 4 = 3x – 2x 10 = x Portanto, o número pedido é 10. 2. Um executivo distribui seus rendimentos mensais da seguinte maneira: 1 __ 8 para o plano de saúde, 1 __ 4 para a poupança, 1 __ 6 para a alimentação e a moradia e os R$ 6.600,00 restantes para o lazer. Quanto o executivo poupa a cada mês? Resolução: Quando o problema menciona “ 1 __ 8 para o plano de saúde”, entende-se que ele destina 1 __ 8 do valor total que recebe para o plano de saúde. Como o valor que ele recebe ao todo não é conhecido, ele é denominado x. Assim, é possível escrever que, para o pagamento do plano de saúde, ele destina 1 __ 8 de x, ou seja, 1 __ 8 ∙ x = x __ 8 . Assim, se todos os valores que ele destina a cada atividade forem somados, teremos o valor total de x: x __ 8 + x __ 4 + x __ 6 + 6 600 = x mmc(4,6,8) = 24 13x + 158 400 = 24x 158 400 = 24x – 13x 158 400 = 11x x = 158 400 _______ 11 = 14 400 Dessa forma, como o o valor total recebido mensalmente pelo executivo foi denominado x, segue que o valor P des- tinado à poupança corresponde a 1 __ 4 de x: P = 1 __ 4 x = x __ 4 = 14.400 ______ 4 = 3 600 3. Em uma chácara, há galinhas e vacas, totalizando 14 cabeças e 38 pés. Calcule o número de galinhas. Resolução: Sendo x o número de galinhas e y o número de vacas, e considerando que cada vaca e cada galinha possuem uma cabeça, cada galinha possui dois pés, e cada vaca, quatro. Temos: Como o objetivo é obter o número de galinhas (x), pelo método da adição é possível eliminar a outra incógnita (y). Assim, a equação (I) deve ser multiplicada por –4, e ambas as equações devem ser somadas: Multiplicando ambos os lados da equação por –1, temos: –2x = –18 à 2x = 18 x = 9 Portanto, nessa chácara há 9 galinhas. 4. Em uma escola de música, o salário mensal de um pro- fessor é de R$ 800,00. Além disso, ele ganha R$ 20,00 por mês por cada aluno inscrito em suas aulas. Para receber R$ 2.400,00 por mês, quantos alunos devem estar matri- culados em suas aulas? Resolução: Considerando x a quantidade de alunos matriculados e multiplicando o valor recebido por cada aluno matricula- do (R$ 20,00) pela quantidade de alunos matriculados, obtém-se o valor recebido pelo professor por cada aluno inscrito em suas aulas. Somando ao valor fixo de R$ 800,00, chega-se ao salário final do professor. Como ele deve receber mensalmente R$ 2.400,00, temos a seguinte equação: 20 · x + 800 = 2 400 19 Resolvendo a equação: 20 · x = 2 400 – 800 20 · x = 1 600 x = 1.600 _____ 20 = 80 Assim, deve haver 80 alunos matriculados. 3. PROBLEMAS CLÁSSICOS Alguns problemas são comuns no vestibular, e não há fór- mula para resolvê-los. No entanto, analisando a resolução de alguns deles, é possível utilizar os mesmos métodos para problemas semelhantes. Observe os exemplos: Uma torneira enche um tanque em 16 horas, e outra, em 12 horas. Estando o tanque vazio e abrindo simul- taneamente as duas torneiras, em quanto tempo en- cherão o tanque? Um trabalhador em uma fazenda consegue arar todo o campo em 16 horas. Um outro trabalhador consegue arar o mesmo campo em 12 horas. Em quanto tempo os dois trabalhadores conseguem arar um campo idên- tico trabalhando ao mesmo tempo? Note que os dois problemas, apesar de tratarem de temas distintos, possuem semelhanças. Com efeito, a resolução de ambos é idêntica. Assim, se soubermos resolver um de- les, também saberemos resolver o outro. Devido a essa similaridade entre questões, serão apresenta- dos alguns problemas e suas resoluções para que os méto- dos de resolução possam ser aplicados em outras situações que podem aparecer no vestibular. 3.1. O problema das torneiras Uma torneira enche um tanque em 16 horas, e outra, em 12 horas. Estando o tanque vazio e abrindo simultaneamente as duas torneiras, em quanto tempo encherão o tanque? Análise Nessa situação-problema, não é possível aplicar a regra de três, uma vez que as capacidades de trabalho das torneiras são diferentes. O caminho, nesse caso, é identificar as fra- ções do trabalho que as respectivas torneiras realizam em uma unidade de tempo. Assim, é preciso verificar a parte do tanque que cada torneira enche em 1 hora. Se a primeira torneira enche o tanque todo em 16 horas, então em 1 hora ela encherá 1 ___ 16 do tanque. Se a segunda torneira enche o tanque todo em 12 horas, então em 1 hora ela encherá 1 ___ 12 do tanque. Solução Sendo x horas o tempo que as duas torneira gasta- rão para encher o tanque juntas, em uma hora elas encherão do tanque. Assim, Veja: 6 __ 7 h = 6 __ 7 · 60 min = 360 ___ 7 min = 51 3 __ 7 min Resposta: 6 6 __ 7 horas ou 6 horas e 51 3 __ 7 minutos. 3.2. O problema das lojas Juliana foi ao shopping center e entrou em 5 lojas. Em cada uma, gastou R$ 1,00 a mais do que a metade do que tinha ao entrar. Ao sair do shopping center, pagou R$ 3,00 de estacionamento e ficou com R$ 2,00. Quanto Juliana tinha antes de entrar na primeira loja? Solução algébrica Sendo x reais a quantia inicial de Juliana, tem-se: Loja Entrou com... Gastou Saiucom... 1 x x __ 2 + 1 x __ 2 – 1 2 x – 2 ____ 2 x – 2 ____ 4 + 1 x – 2 ____ 4 – 1 3 x – 6 ____ 4 x – 6 ____ 8 + 1 x – 6 ____ 8 – 1 4 x – 14 _____ 8 x – 14 _____ 16 + 1 x – 14 _____ 16 – 1 5 x – 30 _____ 16 x – 30 _____ 32 + 1 x – 30 _____ 32 – 1 Depois de pagar R$ 3,00 de estacionamento, resulta que: x – 30 _____ 32 – 1 – 3 = 2 x – 30 _____ 32 = 6 x = 222 Solução aritmética Observando a situação-problema do fim ao começo, tem-se: 54 Resposta: Juliana tinha no início R$ 222,00. 20 3.3. O problema das idades Eric diz a Douglas: “Hoje eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tu tiveres a idade que eu tenho, a soma das nossas idades será 90 anos”. Descubra a idade atual de cada um. Análise Uma bom auxílio para resolver os problemas de idade é construir uma tabela contendo as idades dos personagens envolvidos, no presente e /ou no passado e/ou no futuro e, em seguida, montar equações considerando que a diferença entre idades não muda: “Se, quando Douglas nasceu, Eric tinha x anos, Eric sempre será x anos mais velho do que Ma- theus no presente, no passado ou no futuro”. Solução Considerando os dados do problema, é possível construir a seguinte tabela. Passado Presente Futuro Eric y 2x 90 – 2x Douglas x y 2x Acompanhe passo a passo a construção da tabela: 1. Eric disse: “Hoje eu tenho o dobro da idade que tu tinhas [...]”. Daí, Eric, no presente, tem 2x anos, e Douglas, x anos, no passado. 2. Eric disse: “[...] quando eu tinha a idade que tu tem”. Então, Eric tinha y anos no passado (quando Douglas tinha x anos), sendo y anos também a idade de Douglas hoje, no presente. 3. Eric disse: “Quando tu tiveres a idade que eu tenho [...]”. Então, no futuro, a idade de Douglas será 2x (a mesma de Eric no presente). 4. Eric disse: “[...] a soma das nossas idades será 90 anos”. Então, como no futuro a idade de Douglas será 2x, a de Eric será o que está faltando para completar os 90 anos, ou seja, a idade de Eric será (90 – 2x) anos. Considerando que, em qualquer tempo, a diferença entre as idades será sempre a mesma: I. y – x = 2x – y 2y = 3x Aqui, recorre-se ao artifício do problema da proporção para evitar as frações. 2y = 3x = 6k x = 2k y = 3k II. y – x = (90 – 2x) – 2x y + 3x = 90 3k + 6k = 90 k = 10 x = 20 y = 30 Logo, hoje Eric tem 2x = 40 anos, e Douglas, y = 30 anos. 3.4. O problema dos tratores Para arar um campo, o primeiro trator gasta 2 horas a menos do que o terceiro e uma hora a mais do que o segundo. Se o primeiro e o segundo tratores trabalha- rem juntos, a operação pode ser feita em 1 hora e 12 minutos. Quanto tempo gastariam os 3 tratores, juntos, para arar um campo idêntico? Análise Se, para efetuar um trabalho, gastam-se 3 horas, em uma hora faz-se 1 __ 3 desse trabalho. Assim, se, para efetuar um trabalho, gastam-se x horas, em uma hora faz-se 1 __ x des- se trabalho. Solução Se o terceiro trator gasta sozinho x horas, temos: 1. Tempo gasto pelo primeiro trator = (x – 2) horas 2. Tempo gasto pelo segundo trator = tempo gasto pelo primeiro trator, menos 1 hora = (x – 3) horas. Observe: Se o primeiro trator gasta uma hora a mais do que o segundo, então o segundo gasta uma hora a menos do que o primeiro. 3. 1h e 12 minutos = ( 1 + 12 ___ 60 ) h = 6 __ 5 h 4. Em uma hora de trabalho, o primeiro trator realiza 1 ____ x – 2 do serviço, o segundo faz 1 ____ x – 3 , e os dois, juntos, fazem 1 __ 6 __ 5 = 5 __ 6 . Assim: 5x2 – 37x + 60 = 0 x = 5 ou x = 2,4 (não convém) Dessa forma, o primeiro, o segundo e o terceiro tratores gas- tam, respectivamente, x – 2 = 3h, x – 3 = 2h e x = 5h. En- tão, se os três gastarem y horas para fazer o serviço juntos, em uma hora eles farão: 1 __ y = 1 __ 2 + 1 __ 3 + 1 __ 5 = 31 ___ 30 Resposta: 30 ___ 31 horas. 21 3.5. O problema da água e do vinho Um barril contém 30 litros de água, e o outro, 20 litros de vinho. Simultaneamente, x litros de cada barril são tro- cados. Essa operação se repete várias vezes e é possível comprovar que a quantidade de vinho em cada barril se mantém constante depois da primeira operação. Determi- ne quantos litros (x) são trocados em cada operação. Solução De início, temos: No 1.º barril: água = 30L vinho = 0 No 2.º barril: água = 0 vinho = 20L Depois da primeira troca, temos: No 1.º barril: água = (30 – x)L vinho = xL fração de vinho = x ___ 30 No 2.º barril: água = xL vinho = (20 – x)L fração de vinho = 20 – x _____ 20 ( Lembre-se: fração = parte ____ todo ) A partir da primeira troca, as quantidades de vinho perma- necem inalteradas em cada barril. Então, as quantidades de vinho trocadas são iguais: Vinho que sai do 1.º barril = Vinho que sai do 2.º barril. As- sim, obtemos: x ___ 30 · x = ( 20 – x _____ 20 ) · x Uma vez que x é diferente de zero, ficamos com: x __ 3 = 20 – x _____ 2 x = 12 Resposta: 12 litros DIAGRAMA DE IDEIAS EQUAÇÕES DO 1º GRAU PROBLEMAS CLÁSSICOS • Das Torneiras • Das Lojas • Das Idades • Da Água e Vinho • Dos Tratores Volume versus tempo Decréscimos sucessivos Organização de tabelas: idade versus tempo Mistura Execução de trabalho versus tempo CONHECIMENTOS PRÉVIOS: • OPERAÇÕES BÁSICAS • FRAÇÕES • DISTRIBUTIVAS • X É UMA INCOGNITA • TODA EQUAÇÃO TEM UM CONJUNTO SOLUÇÃO. • 2 É A RAIZ QUE TORNA A EQUAÇÃO UMA SEN- TENÇA VERDADEIRA. 1 + x = 3 1º membro IGUALDADE ENTRE OS MEMBROS 2º membro EXIGE UMA LEITURA ATENTA ORGANIZAÇÃO NAS SOLUÇÕES NÃO POSSUEM UMA FÓRMULA PRONTA 22 EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU COMPETÊNCIA: 5 HABILIDADES: 19, 21, 22 e 23 AULAS 5 E 6 1. EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU Uma equação de segundo grau pode ser escrita na forma ax² + bx + c = 0, com a i 0 e a, b e c parâmetros reais. As equações desse tipo podem apresentar até duas solu- ções distintas, ou seja, podem existir dois valores reais de x que satisfaçam a igualdade. É por meio da fórmula de Bhaskara que as soluções devem ser encontradas: Sendo a, b e c os coeficientes de uma equação do tipo ax² + bx + c = 0, com a i 0, as duas soluções (denominadas raízes) x1 e x2 são dadas, então, por: x1 = –b + dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 2a e x2 = –b – √ _______ b2 – 4ac ____________ 2a O termo b2 – 4ac, denominado discriminante, é represen- tado pela letra grega delta maiúscula (D). O valor numérico do discriminante indica a quantidade de raízes reais distin- tas da equação: Se D > 0 (discriminante positivo), a equação possui duas raízes reais diferentes. Se D = 0 (discriminante nulo), a equação possui ape- nas uma raiz real. Se D < 0 (discriminante negativo), a equação não possui raízes reais. Para solucionar uma equação do segundo grau, é neces- sário calcular a raiz quadrada do discriminante. Quando se tem D < 0, o radical é negativo, e seu resultado para números reais não pode ser definido. Modelos 1. Encontre o conjunto solução da equação. x² – 5x + 6 = 0 Determinando os parâmetros, segue: a = 1 b = –5 c = 6 Calcula-se primeiramente o discriminante: D = b2 – 4ac = (–5)2 – 4 · 1 · 6 = 1 Como D > 0, a equação apresentará duas raízes reais dis- tintas: x1 e x2: x = –b ± dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 2a = –(–5) ± dXX 1 _________ 2 · 1 = 5 ± 1 _____ 2 = = { x1 = 5 + 1 _____ 2 = 3 x2 = 5 – 1 ____ 2 = 2 Logo, o conjunto solução é S = {2, 3}. 2. Encontre o conjunto solução da equação. 25 + x² – 10x = 0 Determinando os parâmetros, segue: a = 1 b = –10 c = 25 Note que os parâmetros a e b são, respectivamente, os coeficientes de x² e x, e c é o termo independente, não sendo necessariamente o primeiro, segundo e terceiro termos da equação. Identificando o discriminante: D = b2 – 4ac = (–10)2– 4 · 1 · 25 = 0 Como D = 0, a equação apresentará apenas uma raiz real. x = – b ± √ _______ b2 – 4ac ____________ 2a = –(–10) ± √ __ 0 __________ 2(1) = 10 ± 0 ______ 2 = 5 Logo, o conjunto solução é S = {5}. 3. Encontrar o conjunto solução da equação x² + x + 1 = 0. Determinando os parâmetros, segue: a = 1 b = 1 c = 1 23 Calculando o discriminante: D = b2 – 4ac = (1)2 – 4(1)(1) = –3 Como D < 0, a equação não apresenta raízes reais, portan- to não é necessário calcular as raízes. O conjunto solução é S = Ø. 1.1. Condições para o número de raízes reais O valor numérico do discriminante indica o número de raízes reais de uma equação de segundo grau. Assim, é possível, caso haja um coeficiente desconhecido, verificar sob quais condições esse parâmetro oferece duas, uma ou nenhuma raiz real. Imagine as seguintes situações: um designer de interiores precisa verificar se os móveis de uma casa estão bem dis- postos dentro de cada cômodo e um pedreiro precisa confirmar a metragem de uma parede antes de levantá-la. Com efeito, em todos os momentos em que um cálculo de área for exigido, a equação de segundo grau será a ferramenta essencial para a resolução do problema. VIVENCIANDO Aplicação do conteúdo 1. Qual deve ser o valor real do parâmetro k para que a equação 2x² + 4x + k = 0 forneça apenas uma solu- ção real? Resolução: Determinando os parâmetros, segue: a = 2 b = 4 c = k Como a equação deve fornecer apenas uma raiz real, o dis- criminante deve ser nulo: D = b2 – 4ac = 0 4² – 4 · 2 · k = 0 16 – 8k = 0 –8k = –16 k = –16 ____ –8 = 2 Logo, ocorrer k = 2 na equação 2x² + 4x + k = 0, haverá apenas uma raiz real. Veja que não é preciso calcular a raiz. 2. Quais os valores de m para que a equação mx² – x + 1 = 0 apresente duas raízes reais distintas? E para quais valores não apresenta raízes reais? Resolução: Determinando os parâmetros, segue: a = m b = –1 c = 1 Para que a equação apresente duas raízes reais, o discrimi- nante deve ser positivo: D = b2 – 4ac > 0 (–1)² – 4 · m · 1 > 0 1 – 4m > 0 –4m > –1 m < 1 __ 4 Logo, se o valor de m for menor que 1 __ 4 , a equação apresen- tará duas soluções reais distintas. Para que a equação não apresente raízes reais, o discrimi- nante deve ser negativo: D = b2 – 4ac < 0 (– 1)² – 4 · m · 1 < 0 1 – 4m < 0 – 4m < –1 m > 1 __ 4 Dessa forma, se o valor de m for maior que 1 __ 4 , a equação não apresentará raiz real. 24 4x – 5 = 0 à x = 5 __ 4 Assim, as raízes são x1 = 0 e x2 = 5 __ 4 , ou seja, S = { 0, 5 __ 4 } . 1.3. Soma e produto das raízes de uma equação de segundo grau Considerando uma equação do segundo grau com ax² + bx + c = 0, com a i 0, as duas soluções x1 e x2 são dadas por: x1 = – b + √ _______ b2 – 4ac ____________ 2a e x2 = – b – √ _______ b2 – 4ac ____________ 2a . Sendo S a soma das raízes: S = x1 + x2 = _ b + √ __ ∆ ________ 2a + – b – √ __ ∆ ________ 2a . ä ä S = –b + √ __ ∆ – b – √ __ ∆ _______________ 2a . ä ä S = – 2b ___ 2a = – b __ a . Logo: S = – b __ a ä –S = b __ a Sendo P o produto das raízes: P = x1 · x2 = (–b + √ __ ) _______ 2a · (–b – √ __ ) ______ 2a ä ä P = (–b) 2 – ( √ __ )2 __________ 4a2 = b 2 – √ __ _____ 4a2 ä ä P = b 2 – (b2 – 4ac) ___________ 4a2 = 4ac ___ 4a2 = c __ a Logo: P = c __ a Substituindo em ax² + bx + c = 0, considerando o coe- ficiente dominante igual a 1, segue: x² – Sx + P = 0 Assim, o coeficiente do termo do 1.º grau será a soma das raízes com o sinal trocado, e o termo independente será o produto das raízes. Modelo supondo x1 > x2 Se x2 – 3x + 2 = 0, então { x1 = 2 x2 = 1 Se x2 – x – 12 = 0, então { x1 = 4 x2 = –3 1.2. Equações de segundo grau incompletas Quando uma equação do segundo grau ax² + bx + c = 0 apresenta b = 0 ou c = 0, mesmo sendo possível utilizar a fórmula de Bhaskara, existem modos mais eficientes de encontrar as raízes. 1.2.1. Caso b = 0 Uma equação do tipo ax² + c = 0 pode ser resolvida sem a utilização da fórmula de Bhaskara. Observe um exemplo: Calcule as soluções da equação 2x² – 8 = 0. Isolando o termo x² em um membro da equação: 2x² = 8 x² = 4 Como existem dois valores para x, que, quando elevados à segunda potência, resultam no valor 4, as raízes da equa- ção são x1 = 2 e x2 = –2. Assim, S = {–2, 2}. Calcule as soluções da equação x² + 5 = 0. Isolando o termo x²: x² = –5 Note que não existe um valor que, elevado ao quadrado, resulte em um número negativo. Assim, S = Ø. 1.2.2. Caso c = 0 Caso o termo independente seja nulo, haverá uma equação do tipo ax² + bx = 0. Essas equações podem ser resolvidas fatorando a expressão: ax² + bx = 0 à x (ax + b) = 0 Para um produto ser nulo, um dos fatores deve ser nulo: x = 0 ou ax + b = 0 à x = –b ___ a Assim, as raízes são x1 = 0 e x2 = –b ___ a . Observe um exemplo: Calcule as raízes da equação 4x² – 5x = 0. Fatorando o primeiro membro da equação: 4x² – 5x = 0 à x(4x – 5) = 0 Para o produto ser nulo, é preciso ter: x = 0 ou 25 1.4. Equações biquadradas Quando uma equação do quarto grau possui a forma: ax4 + bx² +c = 0 (sendo a i 0) ela é denominada equação biquadrada. Note que a equação de quarto grau possui somente variáveis com expo- ente par. Observe alguns exemplos de equação biquadrada: x4 + 2x2 – 1 = 0 2x4 – 8 = 0 x4 – 4x2 = 0 Contudo, casos como: x4 + 2x3 – x2 + 7 = 0 5x4 – 2x2 + x – 1 = 0 não são equações biquadradas, pois possuem coeficientes não nulos em variáveis de grau ímpar. Esses casos particulares de equações incompletas de quar- to grau podem ser resolvidos por meio de uma substituição de variável realizada de modo a reduzir a equação de quar- to grau a uma de segundo grau. Considere a equação ax4 + bx² + c = 0, com a i 0. Subs- tituindo x² por y, resulta: x4 = (x²)² = (y)² = y² Logo, a equação na variável y é: ay² + by + c = 0 Como já visto, essa equação possui as raízes: y1 = –b + dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 2a e y2 = –b – dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 2a . No entanto, como x² = y, segue que x = ± √ _ y , logo: x1 = √ __ y1 x2 = – √ __ y1 x3 = √ __ y2 x4 = – √ __ y2 Modelo 1. Resolva a equação x4 – 13x² + 36 = 0. Substituindo x² por y, temos: y² – 13y + 36 = 0 Essa equação pode ser resolvida por meio da fórmula de Bhaskara, resultando em y1 = 4 e y2 = 9. Contudo, como x² = y, segue que: x² = 4, logo x1 = 2 e x2 = –2. x² = 9, logo x3 = 3 e x4 = –3. Assim, o conjunto solução é S = {–2, –3, 2, 3}. 2. Encontre o conjunto solução da equação biquadrada x4 + x2 – 2 = 0. Substituindo x² por y, temos: y² + y – 2 = 0 Resolvendo a equação de segundo grau, resulta y1 = 1 e y2 = –2. Retornando à variável x, chega-se a: x² = 1, logo x1 = 1 e x2 = –1. x² = –2 (não há valores reais de x que satisfaçam essa igualdade) Assim, o conjunto solução é S = {–1, 1}. 3. Encontre as raízes da equação x4 – 16 = 0. Realizando a substituição x² = y, temos: y² – 16 = 0 Equações do segundo grau estão intimamente relacionadas às funções do segundo grau estudadas na disciplina de Física. Um exemplo é a equação horária do espaço s = s0 + v0t + 1 __ 2 at2, para t0 = 0, chamada de “sorvetão”. A resolução desse tipo de problema se torna mais fácil com a aplicação da fórmula de Bhaskara. CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS 26 DIAGRAMA DE IDEIAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU CONHECIMENTOS PRÉVIOS: • FATORAÇÃO • PRODUTO NOTÁVEL • POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO ax² + bx + c = 0 com a ≠ 0 x = 2a - b+- b² - 4ac DISCRIMINANTE b² - 4ac= 0 há 2 raízes reais e distintas há 2 raízes reais e iguais não há raízes reais = 0 0 SE y² = 16 y = ± 4, ou seja, y1 = 4 e y2 = –4. Como x² = y, retornando a equação à variável x,segue que: x² = 4, logo x1 = 2 e x2 = –2. x² = –4 (não há valores reais de x que satisfaçam essa igualdade) Assim, o conjunto solução é S = {–2, 2}. 27 TEORIA DOS CONJUNTOS COMPETÊNCIAS: 1, 5 e 6 HABILIDADES: 1, 2, 5, 21, 22, 23 e 25 AULAS 7 E 8 1. TEORIA DOS CONJUNTOS Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência de elemento ao conjunto são definidos como primitivos, isto é, são aceitos sem definição. Não obstante, a noção de conjunto pode ser compreendi- da intuitivamente como um agrupamento de elementos. Observe os exemplos a seguir: Conjunto dos números naturais menores que 10; Conjunto das letras do alfabeto; Conjunto dos números pares; Conjunto dos dias de uma semana; Conjunto dos números primos; Conjunto dos números inteiros negativos; Conjunto dos polígonos regulares. É possível representar um conjunto nomeando seus elemen- tos um a um e organizando-os entre chaves e separados por vírgulas. Nesse modelo, o conjunto está representado por extensão. Por exemplo, pode-se representar o conjunto A dos números naturais menores que 10 da seguinte maneira: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Assim, está indicado que os elementos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 pertencem ao conjunto A. Atenção: As chaves são utilizadas para representar con- juntos. Ou seja, a e {a} são diferentes: A representação por extensão pode ser aplicada para con- juntos infinitos ou finitos, mesmo que o número de ele- mentos seja muito grande. Veja: Conjunto dos números ímpares positivos: B = {1, 3, 5,...} é conjunto infinito Conjunto dos números pares positivos menores que 400: C = {2, 4, 6,..., 398} é conjunto finito Também é possível representar um conjunto por meio de uma figura chamada diagrama de Euler-Venn. Por exemplo, um conjunto A = {0, 2, 4, 6, 8} pode ser rep- resentado pelo seguinte diagrama: Nos casos em que é dada uma propriedade característica dos elementos de um conjunto, afirma-se que o conjunto está representado por compreensão. Observe: 1.1. Relações de pertinência Quando o objetivo é indicar que um determinado elemento x faz parte de um conjunto A, afirma-se que o elemento x pertence ao conjunto A, relação que é simbolizada da seguinte maneira: x [ A Do mesmo modo, se o objetivo é indicar que um elemento x não pertence a um conjunto A, a representação é: x Ó A As relações de pertinência [ e Ó relacionam um ele- mento a um conjunto. Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}. É possível realizar as seguintes afirmações: 1 [ A (Lê-se: o elemento 1 pertence ao conjunto A) 6 Ó A (Lê-se: o elemento 6 não pertence ao conjunto A) 28 1.2. Relações de inclusão Para relacionar dois conjuntos, são utilizadas as relações de inclusão. Se todo elemento de um conjunto B está contido em outro conjunto A, afirma-se que o conjunto B está contido no conjunto A. Essa relação é simbolizada da seguinte maneira: B , A Caso algum elemento de B não pertença ao conjunto A, o conjunto B não estará contido em A. Essa relação é simbolizada da seguinte maneira: B ÷ A As relações de inclusão , e ÷ relacionam dois conjuntos. Considerando os conjuntos A e B representados pelo dia- grama de Venn, temos: Atenção: As relações de pertinência sempre relacionam um elemento a um conjunto, e as relações de inclusão rel- acionam dois conjuntos. Observe os exemplos: 1 , {1, 2, 3} Errado – a relação de inclusão “,” relaciona dois con- juntos, e 1 é um elemento. {1} , {1, 2, 3} Correto – o conjunto formado pelo número 1 está conti- do no conjunto {1, 2, 3}. {2} [ {1, 2, 3} Errado – o elemento {2} não pertence ao conjunto {1, 2, 3}. 2 [ {1, 2, 3} Correto – o elemento 2 pertence ao conjunto {1, 2, 3} É possível, em alguns casos, tratar conjuntos como elemen- tos de um outro conjunto. Veja: A = {1, 2, 3, {3}} Nesse caso, o conjunto A é formado pelos algarismos 1, 2 e 3 e por um conjunto que contém o algarismo 3. Dessa forma, é possível escrever: {3} [ {1, 2, 3, {3}} O conjunto unitário {3} é tratado como sendo um elemen- to do conjunto A. 1.3. Igualdade de conjuntos Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Caso dois conjuntos A e B sejam iguais, a indi- cação será A = B. A negação da igualdade é indicada por A i B (A é dife- rente de B). Isso quer dizer que um desses conjuntos possui algum elemento que não pertence ao outro. Observe que, se A , B e B , A, então A = B. 1.4. Conjunto universo Em diversas situações, é importante estabelecer o con- junto U, ao qual pertencem os elementos de todos os conjuntos considerados. Esse conjunto é denominado conjunto universo. Por exemplo, ao tratar da população humana, o conjunto universo é constituído de todos os seres humanos. Para descrever um conjunto A por meio de uma proprieda- de característica p de seus elementos, é preciso mencionar, de modo explícito ou não, o conjunto universo U no qual se está trabalhando: A = {x [ U | x tem a propriedade p} ou A = {x | x tem a propriedade p}, quando nos referimos a U de modo implícito. 1.5.Conjunto unitário O conjunto que possui um único elemento é chamado de conjunto unitário. Considere, por exemplo, o conjunto P = { x | x é um número primo par e positivo}. O único número primo par é 2. Logo, P é um conjunto uni- tário e é possível escrever P = {2}. 29 1.6. Conjunto vazio O conjunto que não possui elementos é chamado de con- junto vazio. Observe: Se A for o conjunto dos números primos menores que 2, esse conjunto não possuirá elemento, pois não há número primo menor que 2. O conjunto vazio é representado por { } ou Ø. Note que, como o símbolo Ø já representa um conjunto, para representarmos um conjunto vazio podemos escrever { } ou Ø, mas não {Ø}. 1.7. Subconjuntos Os conjuntos A e B, são também representados por diagrama: A = {1, 3, 7} e B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8} É possível notar que qualquer elemento de A também per- tence a B. Nesse caso, afirma-se que A está contido em B ou A é subconjunto de B. A indicação é: A , B (A está contido em B). Esse símbolo significa “está contido”. Também é possível dizer que B contém A. A indicação é: B . A (B contém A) Esse símbolo significa “contém”. Caso exista ao menos um elemento de A que não pertença a B, afirma-se que A não está contido em B, ou que B não contém A. Exemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 6} Observe que o elemento 4 pertence a A, mas não pertence a B. A indicação é: A ÷ B (A não está contido em B) B À A (B não contém A) O símbolo ÷ significa “não está contido”, e À significa “não contém”. Um conjunto A é subconjunto do conjunto B quando qual- quer elemento de A também pertence a B. Lembre-se: Se A , B e B , A, então A = B. Os símbolos ,, ., ÷ e À são aplicados para relacio- nar conjuntos. Para todo conjunto A, tem-se A , A. Para todo con- junto A, tem-se Ø , A, em que Ø representa o con- junto vazio. 2. OPERAÇÕES 2.1. União de conjuntos Considere os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}. Agora,considere um conjunto C, formado pelos elementos que pertencem a A, ou a B, ou a ambos: O conjunto C é chamado união de A e B. A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B. A união de A e B é indicada por A < B (A união B). O símbolo < significa união ou reunião. 2.1.1. Propriedades da união P1 A < A = A (idempotente) P2 A < Ø = A (elemento neutro em relação ao conjunto vazio) P3 A < B = B < A (comutativa) P4 (A < B) < C = A < (B < C) (associativa) Modelos 1. Determine a união dos conjuntos A = {0, 2} e B = {x [ N | x é impar e 0 < x < 6}. 30 A união dos conjuntos A e B é: Por diagrama, temos: Observe que os conjuntos A e B não possuem elementos comuns. 2. Determine a união dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6}. A união entre os conjuntos A e B pode ser representada da seguinte forma, pelo diagrama de Venn: Logo, A < B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2.2. Intersecção de conjuntos Sejam os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2,3, 4}. Vamos determinar um conjunto C formado pelos elemen- tos que são comuns a A e a B, ou seja, os elementos que pertencem a A e também pertencem a B. O conjunto C é chamado intersecção de A e B. A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são comuns a A e a B. Designamos a intersecção de A e B por A > B (A inter B). A > B = {x | x [ A e x [ B} O símbolo > significa intersecção. 2.2.1 Propriedades da intersecção P1 A > A = A (idempotente) P2 A > U = A (elemento neutro em relação ao conjunto universo) P3 A > B = B > A (comutativa) P4 (A > B) > C = A > (B > C) (associativa) Modelo 1. Em cada caso a seguir, determine A > B e crie a repre- sentação em diagrama. a) A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4} b) A = {0, 2} e B = {1, 3, 5} Do enunciado: a) Em diagrama: b) Note que não há elementos em comum entre A e B. Devi- do a isso, a intersecção desses conjuntos é vazia. Quando A > B = Ø, os conjuntos A e B são chamados disjuntos. 2.3. Diferença de conjuntos Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8}. Agora, considere um conjunto C formado pelos elemen- tos que pertencem a A, mas que não pertencem a B: O conjunto C é a diferença de A e B. A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto dos ele- mentos que pertencem a A, mas que não pertencem a B. A diferença de A e B é indicada por A – B (A menos B). A – B = {x | x [ A e x Ó B} Em diagrama: amarelo 31 Se B , A, a diferença A – B denomina-se complementar de B em relação a A e é indicada por C B A . C B A = A – B Por exemplo, se B = {2, 3} e A = {0, 1, 2, 3, 4}, então C B A = A – B = {0, 1, 4}. Em diagrama: O complementar de B em relação a A é o que falta para o conjunto B ficar igual ao conjunto A. Assim, o complementar de B em relação a A só está definido se, e somente se, B , A. Aplicação do conteúdo 1. Se A = {4, 5, 6, 7}, B = {5, 6} e E = {5, 6, 8}, determine: a) C B A b) B – E Resolução: a) C B A = A – B = {4, 5, 6, 7} – {5, 6} C B A = {4, 7} b) B – E = {5, 6} – {5, 6, 8} B – E = Ø 3. PRINCIPAIS SÍMBOLOS LÓGICOS | (tal que) ù (intersecção) ø (união) ? (qualquer que seja) '! (existe um único) ä (implicar) [ (pertence) Ó (não pertence) . (contém) À (não contém) , (está contido) ÷ (não está contido) à (equivalente) ` (e) ~ (ou) . (maior que) , (menor que) ' (existe ao menos um) (não existe) 5 (igual) Þ (diferente) < (aproximadamente) 4. NÚMERO DE ELEMENTOS EM UM CONJUNTO A: N(A) O número de elementos contidos no conjunto A é repre- sentado por n(A). Observe: A = {x | x representa os dias de uma semana} ä n(A) = 7 Lembre-se: Conjunto unitário A = {x | x é dia da semana que começa com a letra D} A = {domingo} ä n(A) = 1 Conjunto vazio A = {x | x é dia da semana que começa com a letra M} A = { } ou Ø ä n(A) = 0 Conjuntos finitos e infinitos A = {2, 3, 4} ä n(A) = 3 ä A é finito B = {2, 3, 4,...} ä B é infinito Conjuntos iguais A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 2, 3, 3} e C = {x | x [ N e 1 ø x ø 3} A = B = C, em todos os casos, n(A) = n(B) = n(C) = 3. 5. CONJUNTOS DISJUNTOS Dois conjuntos A e B, não vazios, são disjuntos se não pos- suírem elementos comuns. Veja: A > B = Ø 5.1. Pertinência e inclusão de elemento para conjunto [ Ó (pertence) e (não pertence) 32 de subconjunto para conjunto , ÷ (está contido) e (não está contido) de conjunto para subconjunto . À (contém) e (não contém) A é subconjunto de B. A , B, lê-se: “A está contido em B”. A é parte de B. Modelo Sendo A = {1, {1}, 2, 3}, de acordo com as afirmações: 1 [ A (verdadeiro) {1} [ A (verdadeiro) {1} , A (verdadeiro) Ø [ A (falso) Ø Ó A (verdadeiro) 2 , A (falso) 2 [ A (verdadeiro) {2} ÷ A (verdadeiro) 6. NÚMEROS DE SUBCONJUNTOS Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e so- mente se, todo elemento de A pertence também a B. Com a notação A , B indicamos que “A é subconjunto de B” ou “A é parte de B” ou “A está contido em B”. A negação de A , B é indicada por A ÷ B, que se lê: “A não está contido em B” ou “B não contém A”. A indicação simbólica é: A , B à (?x) (x [ A é x [ B). Modelos {1, 2} , {1, 2, 3, 4} {5} , {5, 6} {1, 2, 3} ÷ {4, 5, 6} Lembre-se 1. O conjunto vazio está contido em qualquer conjun- to A, isto é, Ø , A, ?A. 2. Qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo, isto é A , A, ?A. 3. Chama-se subconjunto próprio de um conjunto A qualquer subconjunto de A que seja diferente de A. Simbolicamente, B é subconjunto próprio de A, se B ⊂ A e B ≠ A. Aplicação do conteúdo 1. Quantos subconjuntos possui o conjunto A = {a, b, c}? Resolução: Em primeiro lugar, registre todos os subconjuntos de A: Ø; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; {a, b, c}. Há, portanto, 8 subconjuntos. Analisando o que acontece com os elementos, em relação aos subconjuntos, é possí- vel dizer que cada um deles pode ou não aparecer. Então, para o elemento a, temos duas possibilidades quanto à sua presença no subconjunto (aparecer ou não aparecer). O mesmo acontece com os elementos b e c. Assim, segundo o princípio fundamental da contagem ou princípio multipli- cativo na análise combinatória, temos. 2. Quantos subconjuntos possui um conjunto A com n elementos? Resolução: Conforme explicado no exemplo anterior, cada elemento de A pode ou não estar presente num determinado subconjun- to C, devido ao fato de A ter n elementos. Dessa forma: Portanto: n.° de subconjuntos = 2 · 2 · 2 ... 2 n vezes Com isso: n° de subconjuntos = 2n 7. CONJUNTOS DAS PARTES DE UM CONJUNTO Considere o conjunto A = {1, 2, 3}, que tem os seguintes subconjuntos: ... 33 o conjunto vazio; os conjuntos de um elemento: {1}, {2} e {3}; os conjuntos com os dois elementos {1, 2}, {1, 3} e {2, 3}; o próprio conjunto A. É denominado conjunto das partes do conjunto A o conjunto P(A) formado por todos os subconjuntos do conjunto A: P(A) = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} Observe que o conjunto vazio, o conjunto A e os demais subconjuntos de A são elementos do conjunto P(A). É correto, por exemplo, afirmar que {3} [ P(A), mas é in- correto afirmar que {3} , P(A). 7.1. Número de elementos do conjunto das partes Observe o quadro: Conjunto A Conjunto P(A) Número de elementos P(A) Potência Ø {Ø} 1 20 {b} {Ø, {b}} 2 21 {b1, b2} {Ø, {b1}, {b2}, {b1, b2} 4 22 {b1, b2, ... bn,} n elementos {Ø, {b1}, {b2}, ..., {b1, b2, ...,bn}} 2n 2n De modo geral, é possível afirmar que: Se A tem n elementos, então P(A) tem 2n elementos. Modelo Determine quantos elementos tem o conjunto das partes do conjunto A, sabendo que A tem 4 elementos. Se o conjunto A tem 4 elementos, ou seja, n = 4, então P(A) tem 24 elementos, isto é, P(A) tem 16 elementos. Número de subconjuntos (conjuntos das partes) Se um conjunto A possui n elementos, então A possui 2n subconjuntos, que podem ser representados por: n(P(A)) = 2n(A) 8. NÚMEROS DE ELEMENTOS DA UNIÃO Entre dois conjuntos: n(A < B) = n(A) + n(B) – n(A > B) Modelo Para a união de três conjuntos, temos n ( A<B<C ) = n (A) + n (B) + n (C) -- n (A>B) -- n (B>C) -- n (A>C) + n (A>C>B). DIAGRAMA DE IDEIAS • 0 • 2 • 4 • 6 A •8 • A É UM CONJUNTO • 0, 2, 4 E 6 SÃO ELEMENTOS A ISTO É, PERTECEM A A • O ELEMENTO 8 NÃO PERTENCE AO CONJUNTO A TRIGONOMETRIA e ARITMÉTICA: Incidência do tema nas principais provas UFMG Trigonometria no triângulo retângulo será cobrado neste vestibular com questões contextualizadas. Por meio de gráficos de tabelas, utilizaremos os conceitos de razão e proporção para solucionar questões na área de Exatas. Razão e proporção são temas cobrados com grande incidência, em situações do cotidiano, sempre descritos em textos ou em gráficos. Já trigonometria no triângulo retângulo é um assunto cobrado, em sua maioria, em geometria. Não faltarão questões abordando os conceitos básicos da trigonometria na prova da Comvest. Saber utilizar produtos notáveis com agilidade é importante. Trabalhar com razão