Potenciação e sua propriedades

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POTENCIAÇÃO E SUAS PROPRIEDADES:
 A potenciação ou exponenciação é a operação matemática que representa a multiplicação de fatores iguais. Ou seja, usamos a potenciação quando um número é multiplicado por ele mesmo várias vezes.
Para escrever um número na forma de potenciação usamos a seguinte notação:
Sendo a ≠ 0, temos:
a: Base (número que está sendo multiplicado por ele mesmo)
n: Expoente (número de vezes que o número é multiplicado)
Para melhor entender a potenciação, no caso do número 23 (dois elevado a terceira potência ou dois elevado ao cubo), tem-se:
23 = 2 x 2 x 2 = 4 x 2 = 8
Sendo,
2: Base
3: Expoente
8: Potência (resultado do produto)
Exemplos:
52: lê-se 5 elevado à segunda potência ou 5 ao quadrado, donde:
5 x 5 = 25
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS:
⇒ Expoente igual a 1
Quando o expoente for igual a um positivo, a potência será o próprio número da base. Veja os exemplos abaixo:
a1 = a. 21 = 2. 41= 4. 1001= 100.
⇒ Expoente igual a 0
Se o expoente for 0, a reposta referente à potência sempre será 1. Acompanhe os exemplos:
a0 = 1. 10000 = 1. 2500= 1.
Produto de potências de mesma base:
O resultado de um produto entre duas potências de bases iguais será uma terceira potência, na qual a base será igual às bases das potências que foram multiplicadas, e o expoente será igual à soma dos expoentes dessas potências.
Matematicamente, se a for pertencente ao conjunto dos números reais, e m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, com a ≠ 0, teremos:
an∙am = an + m
Imagine que temos a seguinte multiplicação:
Utilizando a propriedade teremos:
Qual seria o resultado da conta abaixo:
Analisando a multiplicação entre as potências, vemos que todas possuem a mesma base, que é o número 3. Dessa forma, temos o direito de utilizar a propriedade para facilitar nossa conta.
Divisão de potências de mesma base:
Na divisão de potências de mesma base, mantemos a base no resultado, e seu expoente será a diferença entre os expoentes das potências que estão sendo divididas.
Assim, traduzindo matematicamente, se a for pertencente ao conjunto dos números reais, m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, com a ≠ 0, teremos:
an:am = an – m
Exemplo:
a9:a7 = a9 – 7 = a2
Observe os exemplos abaixo:
Potência de Potência:
Suponha que temos o seguinte exemplo:
Quando temos uma potência que está elevada a outro expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.
Por haver um expoente elevado à nossa potência, tivemos que manter a base 2 conservada e realizar a multiplicação entre os expoentes 2 e 3, obtendo o resultado 6. Este número será o novo expoente da potência.
Mas, e se nossa potência estiver elevada a um outro expoente, e esse expoente estiver elevado a outro expoente? Parece complicado até para ler, mas na prática é muito simples.
Vejamos outro exemplo que trata disso:
Nesse caso, a nossa potência inicial 44 está elevada ao expoente 2, que por sua vez, está elevado ao expoente 3. 
Como existe um expoente elevado na potência inicial, podemos usar a propriedade:
Divisão entre Potências de mesmo Expoente:
Suponha que temos o seguinte exemplo:
Neste exemplo, as potências compartilham algo em comum, que é o expoente 2. Quando isso ocorre, podemos fazer uso da propriedade que diz:
Em uma divisão entre potências de mesmo expoente, conservamos o expoente e dividimos as bases.
(a:b)n = an:bn
Aplicando a propriedade então, teremos:
Vejamos mais um exemplo:
Desta vez, possuímos uma divisão entre três potências que compartilham o mesmo expoente. Assim, podemos aplicar a propriedade:
Começamos dividindo 12 por 2, obtendo 6 como resultado. Após isso, dividimos este 6 por 3 e encontramos o resultado 2. Com isso, 2 se torna a nova base e 4 permanece sendo o expoente da potência.
Multiplicação de bases diferentes e expoente iguais: 
Para multiplicar duas potências com os expoentes iguais e bases diferentes, mantém-se o expoente e multiplicam-se as bases.
(a·b)n = an·bn
Expoentes negativos: 
Quando um expoente é negativo, seu sinal poderá ser invertido desde que, para isso, a base da potência também seja invertida.
Potências com expoente racional:
Caso uma potência apresente base a e expoente m/n, ela poderá ser reescrita como a raiz enésima de a elevado a m. Assim, matematicamente, teremos:
IMPORTANTE:
Base negativa e expoente ímpar:
Quando a base é negativa e o expoente é ímpar o resultado será negativo.
Exemplo:
(-2)3 = -8
Base negativa e expoente par:
Quando a base é negativa e o expoente é par o resultado é positivo.
Exemplo:
(-5)2 = 25
-32=-9, pois o – não está entre parênteses, logo ele não está sendo elevado a 2. Observe: -(3.3)=-(9) -9.
LISTA DE EXERCÍCIOS:
Q. 1
Reduza a uma só potência 
a) 5⁴ : 5² =
 b) 8⁷ : 8³ =
 c) 9⁵ : 9² = 
d) 4³ : 4² =
 e) 9⁶ : 9³ = 
f) 9⁵ : 9 =
 g) 5⁴ : 5³ =
 h) 6⁶ : 6 =
 i) a⁵ : a³ = 
j) m² : m =
 k) x⁸ : x = 
l) a⁷ : a⁶ =
Q. 2
Reduza a uma só potência 
a) 4³ x 4 ²= 
b) 7⁴ x 7⁵ = 
c) 2⁶ x 2²=
 d) 6³ x 6 =
 e) 3⁷ x 3² = 
f) 9³ x 9 =
 g) 5 x 5² = 
h) 7 x 7⁴ =
 i) 6 x 6 = 
j) 3 x 3 = 
l) 9² x 9⁴x 9 =
 m) 4 x 4² x 4 =
 n) 4 x 4 x 4= 
0) m⁰ x m x m³ =
 p) 15 x 15³ x 15⁴x 15 =
Q. 3
Reduza a uma só potência: 
a) 7² x 7⁶ = 
b) 2² x 2⁴= 
c) 5 x 5³ = 
d) 8² x 8 = 
e) 3⁰ x 3⁰ =
 f) 4³ x 4 x 4² =
 g) a² x a² x a² = 
h) m x m x m² =
 i) x⁸ . x . x = 
j) m . m . m =
Q. 4
Reduza a uma só potência:
 a) 2⁵ : 2³ =
 b) 7⁸ : 7³=
 c) 9⁴ : 9 =
 d) 5⁹ : 5³ =
e) 8⁴ : 8⁰ =
f) 7⁰ : 7⁰ =
Q. 5
Reduza a uma só potência: 
a) (5⁴)²=
 b) (7²)⁴ =
c) (3²)⁵=
 d) (4³)²=
e) (9⁴)⁴ =
f) (5²)⁷ =
g) (6³)⁵ =
h) (a²)³ =-
i) (m³)⁴ =
j) (m³)5=
 k) (x⁵)²=
 l) (a³)⁰=
 m) (x⁵)⁰=
Q.6
Reduza a uma só potência:
 a) (7²)³ =
 b) (4⁴)⁵ =
c) (8³)⁵ =
 d) (2⁷)³ =
 e) (a²)³ = 
f) (m³)⁴ =
 g) (a⁴)⁴ = 
h) (m²)⁷ =
Q. 7
A metade de 45 é:
a) 4
b) 5
c) 410
d) 49
e) 29
Q.8
Enem - 2016
Para comemorar o aniversário de uma cidade, a prefeitura organiza quatro dias consecutivos de atrações culturais. A experiência de anos anteriores mostra que, de um dia para o outro, o número de visitantes no evento é triplicado. É esperada a presença de 345 visitantes para o primeiro dia do evento.
Uma representação possível do número esperado de participantes para o último dia é:
a) 3 × 345
b) (3 + 3 + 3) × 345
c) 33 × 345
d) 3 × 4 × 345
e) 34 × 345
Q. 9
A metade de 164 é igual a: 
a) 216. 
b) 215.
c) 84.
d) 42.
e) 217.
Q. 10
CFTMG 2015
Sendo y = 4¹º.8⁻³.16⁻², a metade do valor de y vale:
 32
a) 2-3
b) 2-4
c) 2-5
d) 2-6
Q. 11
A igualdade falsa é:
a) (-9)0=1
b) 90=1
c) (-5)2=52
d) (-3)2= -32
Q. 12
Se a= 2 e c= 5, então a c é igual a:
a) 32
b) 10
c) -10
Q. 13
(IDECAN-2018-CRF-SP- Agente de manutenção)
Júlio contou um fato para seu primo Carlos e disse que parar ele saber exatamente o ano que aconteceu esse fato é preciso calcular a terça parte do resultado da sentença a seguir. O ano foi (32)3-130+7:
a) 245.
b) 723.
c) 729.
d) 736.
Q. 14
(FANDATEC-2019- Prefeitura de Santa Cecília do sul- RS)
Os números podem ser escritos e representados de diversas formas. Uma delas e sob a forma de potência. O seguinte número fracionário 1/243 pode ser escrito sob a forma:
a) 35
b) 93
c) 3-5
d) 27-2
e) 53
Q. 15
(ICAP-2016- Prefeitura de Santiago do sul-SC)
Na potenciação (22+32+42+52)0 qual o valor que assume?
a) 1.
b) 45.
c) 63.
d) 55.
Q. 16
(FAUEL-2017-Prev São José-PR) 
Qual o resultado da expressão 23-32?
a) 0.
b) 5.
c) 2.
d) -1.
e) -2.
Q. 17
(INSTITUTO AOSCP-2013- Colégio Pedro II)
Qual é o resultado de uma potenciação em que o expoente é igual a 3 e a base é o número que, elevado ao quadrado, é igual a 9?
a) 3
b) 9
c) 18
d) 27
e) 81
Q. 18
(QUADRIX-2013-CREF)
 Qual o valor de [-(-2)3-23]?
a) 0.
b) 1.
c) 8.
d) -8.
e) -16.
Q. 19
O valor de 93÷3 é:
a) 35
b) 33
c) 9
d) 93
Q. 20
(MPE-RS-2017)
A metade de 440 é igual a
a) 220.
b) 239.
c) 240.
d) 279.
e) 280.
Q. 21
(BIG-ADVICE-2017)
 Simplificando a expressão y= a-1.a4÷a6, teremos y igual a:
a) 1/a3
b) a3
c) 1/a2
d) 2/3a
e) a9
Q. 22
O valor da expressão (-2)4+(-9)0-(-3)2 é:
a) 7
b) -23
c) 8
d) -8
e) -7
Q. 23
(ZAMBINI-2016-MPE-SP)
A expressão numérica abaixo apresentacomo resultado
a) 243.
b) 729.
c) 2187.
d) 6561.
Q. 24
(FAEPESUL-2016- Prefeitura de Grão Pará-SC)
Acerca das propriedades de potenciação, assinale a alternativa INCORRETA 
a) 34÷3-2=36
b) (-4/7)3÷(-4/7)5=(-4/7)-2
c) 22/3=4/9
d) (-2/5)3= -8/125
e) 4-3= 1/64
Q. 25
(COPEVE-UFAL-2014)
Dadas as afirmativas a respeito de potência com expoente inteiros quaisquer e bases inteiras não nulas,
I. am. an= am+n
II. am+bm= (a+b)m
III. am.bm= (a.b)m
Verifica-se que está(ão) correta(as). Apenas
a) I
b) III
c) I e II
d) I e III
e) II e II
Q. 26
(EXÉRCITO-2013-ESSA-Sargento)
Encontre o valor numérico da expressão 
E= 117+117+117+117+117+117+117+117+117+117+117
a) 118
b) 1114
c) 1117
d) 1217
e) 12177
Q. 27
(IDIHTEL-2016- Prefeitura de Itaquitinga-PE)
O número 102+101+100 é a representação de que número:
a) 100
b) 101
c) 010
d) 111
e) 110
Q. 28
(MGA-2015- Prefeitura pelotas-RS)
53. 512 corresponda a:
a) 515
b) 536
c) 2515
d) 2536
Q. 29
(FUNRIO-2016- Prefeitura Trindade-GO)
Ao resolver uma questão de matemática um aluno encontrou como resposta a expressão dada por 43+43+43+43.
Esse resultado equivale ao seguinte número:
a) 412
b) 44
c) 163
d) 1612
e) 1224
Q. 30
(FAUEL-2015-FMSFI)
Calcule menos nove elevado a terceira potência
a) 27.
b) 729.
c) -729.
d) -27.
Q. 31
(CONSESP-2012- Prefeitura de Monte mor-SP)
Determine o valor de (2/3)-3=
a) 26/6.
b) 27/8.
c) 24/4.
d) 22/3.
Q. 32
(CONSESP-2012- Prefeitura de Monte mor-SP)
Reduzindo em uma só potência 78/7
a) 1.
b) 0.
c) -7.
d) 77.
Q. 33
(CONSESP-2012- Prefeitura de Monte mor-SP)
Calcule: (-7)3
a) 123.
b) -343.
c) 221.
d) -127.
Q. 34
(CONSESP-2012- Prefeitura de Monte mor-SP)
Se X= -100+70-(-6)0, qual o valor do número real X? 
a) 100.
b) -1.
c) 10.
d) -55.
. 35
(MARINHA-2016-CFN-Saldado fuzileiro naval) (Adotado)
Determine o valor da expressão abaixo.
 [(-1/2)4÷(-1/2)3] . (-1/2)6
a) -2.
b) -1.
c) (-1/2)7.
d) 0.
e) (-1/2)3.
Q. 36
(MARINHA-2016-CFN-Saldado fuzileiro naval) (Adotado)
Determine o valor da expressão abaixo.
 [(-1/2)4÷(-1/2)3] ÷ (-1/2)6
a) -2.
b) -1.
c) 0.
d) 32.
e) -32.
Q. 37
(BIO-RIO-2015-ETAM)
Se dividirmos 212 por 45 obtemos:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
Q. 38
(BIO-RIO-2015-ETAM)
O número 10-5 pode ser escrito como:
a) 1/105. 
b) 5/10.
c) 0.
d) -5.
e) -10.
Q. 39
(MARINHA-2014-EAM-MARINHEIRO)
Quanto vale a metade de 22014?
a) 22.
b) 27.
c) 21007.
d) 22013.
e) 22015.
Q. 40
(MARINHA-2014-EAM-MARINHEIRO) (Adaptado)
Determine o valor de 20104/(20102)2
a) 2020.
b) 1.
c) 2010.
d) 0.
e) 6010.
Q. 41
(FATEC-2014)
Das três sentenças abaixo:
I. 2x+3= 2x. 23
II. (25)x=52x
III. 2x+3x= 5x
a) Somente a I é verdadeira;
b) Somente a II é verdadeira;
c) Somente a III é verdadeira;
d) Somente a II é falsa;
e) Somente a III é falsa;
Q. 42
Calcule as potências
a) 4-2
b) 4-3
c) 5-1
d) 3-3
e) 2-5
Q. 43
Reduza a uma só potência:
a) (54)2
b) (72)4
c) (33)0
d) (94)4
e) (63)5
Q. 44
(FGR-2010- Prefeitura Belo Horizonte-MG)
Numa aula do 8° ano do ensino fundamental II, a professora apresentou o seguinte problema: “ Qual o maior número 245 ou 330?” 
Quatro alunos levantaram a mão para responder. José disse que era o número 330. Marta disse que eram iguais. Luiz disse que era impossível compará-los e Sabrina disse que era o 245. Qual aluno deu a resposta CORRETA?
a) José.
b) Marta.
c) Luiz.
d) Sabrina.
Q. 45
(COLÉGIO MILITAR)
A fração 230/8 é igual a:
a) 210.
b) 88.
c) 227
d) 818.
Q. 46
Qual o dobro de 25?
a) 25.
b) 23.
c) 143.
d) 26.
Q. 47
(MARINHA-2014-EAM-MARINHEIRO) (Adaptado)
Determine o valor de 20104/20103
a) 2020.
b) 1.
c) 2010.
d) 0.
e) 6010.
Q. 48
(MARINHA-2014-EAM-MARINHEIRO) (Adaptado)
Determine o valor de (20104)5/(20102)9
a) 20202.
b) 1.
c) 20105.
d) 0.
e) 20104.
Q. 49
(MARINHA-2014-EAM-MARINHEIRO) (Adaptado)
Determine o valor de 20104. 20102
a) 20208.
b) 1.
c) 20106.
d) 0.
e) 20104.
Q. 50
O triplo de 36 é igual a:
a) 34.
b) 43.
c) 37.
d) 48.
Q. 51
O valor de (165)2. 42 é igual a: 
a) 1917.
b) 1612.
c) 1610.
d) 1611.
Q. 52
O valor de 42÷ 22 é igual a:
a) 4.
b) 16.
c) 5.
d) 6.
e) 0.
f) GABARITO:
 
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Vitor Alberto Rocha-matemática 
 
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1 
 
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 “ Vitória sem luta, é triunfo sem glória” – Provérbio chinês 
Vitor Alberto Rocha-Matemática 
	31 	
 
Q. 01: a) 52; b) 84; c) 93; d) 4; e) 93; f) 94; g) 5; h) 65; i) a2; j) m; k) x7; l)a
Q. 02: a) 45; b) 79; c) 28; d) 64; e) 39; f) 94; g) 53; h) 75; i) 62; j) 32; l) 97; m) 44; n) m4; p) 159
Q. 03: a) 78; b) 26; c) 54; d) 83; e) 30; f) 46; g) a6; h) m4; i) x10; j) m3
Q. 04: a) 22; b) 75; c) 93; d) 56; e) 84; f) 70
Q. 05: a)58; b) 78; c) 310; d) 46; e) 916; f) 514; g) 615; h) a6; i) m12; k) x10; m) 50
Q. 06: a) 76; b) 420; c) 815; d) 221; e) a6; f) m12; g) a16; h) m14
Q. 07: Alternativa correta Letra: “E” 
Q. 08: Alternativa correta Letra: “C” 
Q. 09: Alternativa correta Letra: “B”
Q. 10: Alternativa correta Letra: “A”
Q. 11: Alternativa correta Letra: “D”
Q. 12: Alternativa correta Letra: “A”
Q. 13: Alternativa correta Letra: “A”
Q. 14: Alternativa correta Letra: “C”
Q. 15: Alternativa correta Letra: “A”
Q. 16: Alternativa correta Letra: “D”
Q. 17: Alternativa correta Letra: “D”
Q. 18: Alternativa correta Letra: “E”
Q. 19: Alternativa correta Letra: “A”
Q. 20: Alternativa correta Letra: “D”
Q. 21: Alternativa correta Letra: “A”
Q. 22: Alternativa correta Letra: “C”
Q. 23: Alternativa correta Letra: “D”
Q. 24: Alternativa correta Letra: “C”
Q. 25: Alternativa correta Letra: “D”
Q. 26: Alternativa correta Letra: “A”
Q. 27: Alternativa correta Letra: “D”
Q. 28: Alternativa correta Letra: “A”
Q. 29: Alternativa correta Letra: “B”
Q. 30: Alternativa correta Letra: “C”
Q. 31: Alternativa correta Letra: “B”
Q. 32: Alternativa correta Letra: “D”
Q. 33: Alternativa correta Letra: “B”
Q. 34: Alternativa correta Letra: “B”
Q. 35: Alternativa correta Letra: “C”
Q. 36: Alternativa correta Letra: “E”
Q. 37: Alternativa correta Letra: “D”
Q. 38: Alternativa correta Letra: “A”
Q. 39: Alternativa correta Letra: “D”
Q. 40: Alternativa correta Letra: “B”
Q. 41: Alternativa correta Letra: “E”
Q. 42: a) 1/42; b) 1/43; c) 1/5; d) 1/33; e) 1/25
Q. 43: a) 58; b) 78; c) 30; d) 916; e) 615
Q. 44: Alternativa correta Letra: “A”
Q. 45: Alternativa correta Letra: “C”
Q. 46: Alternativa correta Letra: “D”
Q. 47: Alternativa correta Letra: “C”
Q. 48: Alternativa correta Letra: “A”
Q. 49: Alternativa correta Letra: “C”
Q. 50: Alternativa correta Letra: “C”
Q. 51: Alternativa correta Letra: “D”
Q. 52: Alternativa correta Letra: “A”