n8-080720c

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DETERMINAÇÃO DA VISCOSIDADE DE UM FLUIDO 
A PARTIR DA MOVIMENTAÇÃO DE ESFERAS 
 
 
O experimento realizado virtualmente, através de uma simulação online 
disponibilizada no e-disciplinas, é baseado na movimentação de queda uma 
esfera mergulhada em uma substância e na determinação de seu coeficiente de 
viscosidade absoluta através da velocidade limite. O principal intuito da análise 
é verificar a validade da Lei de Stokes, que se refere a força de fricção atuante 
em um objeto que se movimento no interior de um fluido, e a eficiência de 
aplicação da Correção de Ladenburg, fator utilizado para reduzir a influência do 
arranjo (como a proporção entre o dimensões da esfera e do recipiente) nos 
resultados experimentais de velocidade e viscosidade. 
Vários grupos de esferas com diversos diâmetros diferentes foram 
disponibilizados para cada aluno, juntamente com uma temperatura fixa do 
fluido, e medições de tempo foram realizadas com um cronômetro a fim de 
obter-se a velocidade limite que a esfera atinge. Destarte, a partir da lei empírica 
e representação gráfica, calculamos o parâmetro η em a partir da velocidade 
antes e após a correção. Por fim, comparamos os resultados obtidos com o 
esperado teoricamente para essa substância, e percebemos que o fator de 
Ladenburg não foi suficiente na correção da velocidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Thais Ananda Brasil Gouvêa - 8568144, Victor Rocha Cardoso Cruz - 11223757 e 
Vitor Rodrigues da Silva - 11371774 
 
Nemitala
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poderia ser mais resumido...
Nemitala
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9,4
Nemitala
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muito longo....
 
INTRODUÇÃO 2 
PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS 8 
ARRANJO EXPERIMENTAL 8 
FÓRMULAS GERAIS DE INCERTEZA 9 
METODOLOGIA 10 
DETERMINAÇÃO DE η ATRAVÉS DA LEI DE STOKES 10 
DETERMINAÇÃO DE η POR MEIO DA ANÁLISE GRÁFICA 14 
ANÁLISE DE DADOS E RESULTADOS 15 
1) DETERMINAÇÃO DE η ATRAVÉS DA LEI DE STOKES 15 
TABELA I 15 
TABELA II 17 
TABELA III 18 
TABELA IV 20 
TABELA V 21 
TABELA VI 22 
TABELA VII 23 
TESTES Z’s 23 
2) DETERMINAÇÃO DE η POR MEIO DA ANÁLISE GRÁFICA 27 
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 27 
AJUSTE MANUAL 30 
COMPATIBILIDADE Z 37 
DISCUSSÃO DE RESULTADOS 39 
VELOCIDADE LIMITE 39 
LEI DE STOKES E CORREÇÃO DE LADENBURG 40 
ANÁLISE GRÁFICA DE RESULTADOS 42 
CONCLUSÃO 43 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 43 
 
 
 
 
 
1 
 
INTRODUÇÃO 
 
Fluídos são entidades físicas, geralmente associados à líquidos e gases, 
que têm a propriedade de tomar a forma do recipiente o qual está inserido, 
podendo ser mais ou menos compreensíveis, ou seja, não possuem volume e 
densidade bem definidos. Diferentemente dos corpos rígidos, os fluidos ideais 
possuem a característica de escoar/fluir por menor que seja a força de 
cisalhamento a eles submetida (tensão aplicada tangencialmente à sua 
superfície). Sendo assim, há um deslocamento de uma camada mais superficial 
em relação a outra mais profunda, chamado de escoamento laminar. 
Uma das propriedades dos fluidos reais é a ​viscosidade​, que mede a 
dificuldade de um fluido em escoar, ou seja, qual a pressão mínima necessária 
para causar um deslocamento de uma camada laminar em relação à outra 
paralela, além de mensurar a resistência do fluido à movimentação de um objeto 
em seu interior (como em um mergulho). Sendo assim, é mais fácil para um 
barco navegar em um oceano de água do que de óleo, por exemplo. Dessa 
maneira podemos traduzir a viscosidade como o atrito/fricção sob um corpo 
imerso devido a fluido em questão. 
Quando um paraquedista realiza um salto é incorreto dizer que ele está 
em queda livre, pois essa descrição obriga que a pessoa esteja submetido apenas 
à força gravitacional (Peso). Entretanto, o ar atmosférico também é um fluido 
real que possui viscosidade, ou seja, apresenta uma resistência contrária ao 
deslocamento do paraquedista sob o ar, atenuando assim a aceleração aplicada 
sobre o homem. Dessa maneira, quanto maior a velocidade de queda do corpo, 
maior a força vertical contrária a queda. A partir de certo momento, ambas as 
forças aproximam-se de um equilíbrio (resultante igual a zero) e a velocidade de 
queda permanece praticamente constante (chamada de velocidade terminal). 
 
2 
Nemitala
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tem o empuxo também, embora seja da ordem de 1000 vezes menor....
Se quiser um resultado final com muita precisão, deve levar o empuxo em consideração...
Nemitala
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introdução pode ter teoria, mas deve ter justificativa e objetivos...
 
Acima podemos observar o comportamento da velocidade de queda de 
um paraquedista em função do tempo. Notasse que a velocidade terminal 
(representada pela terceira unidade de escala no eixo vertical) jamais é atingida 
por ele, pois a curva descrita pela velocidade (em função do tempo) tem a reta 
v=vterminal como assíntota. Ou seja, matematicamente, é necessário que um 
tempo teórico infinito tenha transcorrido para que a velocidade do paraquedista 
atinja o resultado terminal. 
Entretanto, em termos físicos, a partir de certo tempo, que depende da 
massa e dimensões do paraquedista, pressão do ar e outros parâmetros, a curva 
v(t) e a reta constante da velocidade máxima será indistinguível graficamente. 
Nesse momento a diferença entre a velocidade real e a terminal é ìnfima quando 
comparada a magnitude e prováveis valores de incertezas dessas grandezas. 
Portanto, é razoável considerar velocidade limite atingida pelo do paraquedista à 
velocidade terminal. 
De maneira análoga, uma esfera imersa em um líquido (como na figura 
abaixo) está submetida à três forças: seu Peso (P), devido à atração gravitacional 
da Terra, a Força de Empuxo (Fe), que é uma força de reação do fluido pela 
presença do objeto, e a Força de Atrito (Fa), relacionada à dificuldade de 
movimentação desse objeto no interior do fluido viscoso. Após certo intervalo 
de tempo desde a submersão, a força resultante atuante no corpo (soma vetorial 
de P, Fe e Fa) torna-se nula, e sua velocidade de deslocamento aproximasse de 
uma constante (velocidade limite). 
 
A Força de Empuxo (Fe) pode ser deduzida a partir do ​Princípio de 
Arquimedes​, que enuncia que a pressão exercida por um fluido num corpo 
sólido, de área de base A e altura h, totalmente imerso, é proporcional à 
profundidade do objeto. Sendo assim, a pressão aplicada na base inferior é p2 
3 
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Realce
Nemitala
Riscado
Nemitala
Realce
 
menor que a pressão sobre a base superior. Logo a resultante das forças p1 
superficiais exercidas sobre o corpo é vertical e para cima e tem módulo igual a 
expressão (1.1), onde ​ρ é a densidade do fluido ​V o volume submerso (no caso, 
todo o volume do corpo) e ​g​ a aceleração gravitacional. 
(1.1) 
A Força de Atrito (Fa) devido ao meio viscoso, que tem mesma direção e 
sentido que a Força de Empuxo, pode ser demonstrada através da ​Lei de Stokes 
[1]. Ela afirma que a força de fricção para um objeto esférico deslocando-se no 
interior de um fluido é igual a expressão abaixo (1.2), onde ​v é a velocidade da 
esfera, ​r seu raio e ​η o coeficiente de viscosidade dinâmico. Porém, a validade 
dessa Lei exige algumas condições: a esfera deve completamente coberta pelo 
fluido (não pode haver bolhas de ar entre ambos), seumovimento deve ser 
exclusivamente translacional vertical (não deve rotacionar) e as paredes do 
recipiente devem estar muito distante da esfera (volume de fluido infinito). 
(1.2) 
O sinal negativo indica que a força de fricção tem sentido contrário à 
velocidade da esfera. O coeficiente de viscosidade de um fluido varia com a 
temperatura, quanto maior o grau de agitação de sua moléculas menor é a 
viscosidade desse fluido. Entretanto, caso o experimento seja realizado em um 
fluido com temperatura constante, ​η não se altera, tornando todos os 
multiplicadores da velocidade constantes (​6πη​). Sendo assim, podemos 
substituí-los por uma constante ​b​, representada na ​Fa​ da figura acima. 
Instantes após a total submersão da esfera no fluido, ela ainda apresenta 
uma velocidade de deslocamento vertical variável, pois, como no exemplo do 
paraquedista, as forças contrárias ao Peso do objeto ainda não possuem, juntas, 
módulo suficiente para equilibrá-lo. Sendo assim, a partir da Segunda Lei de 
Newton, pode-se deduzir a força resultante atuante na esfera como o somatório 
vetorial das forças sob ela (Fa, fe e P). Utilizando um sistema de coordenadas 
com o eixo vertical apontado para baixo, escreve-se (1.3): 
(1.3) 
4 
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fluxo laminar...
 
O Peso da esfera é fruto do produto de sua massa ​m pela aceleração da 
gravidade ​g​, a massa, por sua vez, pode ser interpretada como a densidade do 
material ​ρ​e (que a compõe a esfera) multiplicado pelo seu volume próprio ​V​. 
Analogamente, a Força de Empuxo é resultado do produto da densidade do 
fluido ​ρ​, do volume ​V da esfera (já que ela está completamente imersa) e da 
gravidade. Dessa maneira, é possível fatorar a subtração entre os módulos de P e 
Fe e representar a massa aparente da esfera (​m*​) da forma abaixo (1.4). 
(1.04) 
Para encontrar um expressão para a velocidade de deslocamento da esfera 
no meio viscoso e, posteriormente, sua velocidade limite (terminal), é 
necessário resolver a ​equação diferencial linear de 1ª ordem ​(1.3). 
Primeiramente, divide-se toda a expressão pela massa da esfera, a fim de deixar 
a derivada da velocidade livre de multiplicadores, em seguida isola-se a 
velocidade e sua derivada de um lado da igualdade, pondo o termo com apenas 
constantes (m* g /m) do outro lado (1.5). 
(1.5) 
A solução de uma equação diferencial dessa natureza é a soma da solução 
da homogênea associada e da solução particular (​v = v​h + v​p​). A componente 
homogênea de (1.5) é representada pelo termo à esquerda igualado a zero. 
Nesse caso, é possível isolar a velocidade e sua derivada (​dv/dt​) de um lado da 
igualdade e a constante que multiplica ​v​ do outro (1.6). 
(1.6) 
Sendo assim, temos um termo da forma ​v’/v​, que é igual a derivada do 
logaritmo do módulo de ​v em função da variável ​t (tempo), ou seja, basta 
integrar ambos os membros e isolar ​v ​através da exponenciação (1.7). Como a 
velocidade da esfera é sempre positiva, podemos remover o módulo do 
logaritmo. Por fim, substitui-se a exponencial com a constante C de integração 
por um termo β, que pode assumir qualquer valor real. 
5 
 
 
(1.7) 
Por outro lado, a solução particular pode ser obtida por meio dos 
princípios físicos antes expostos. A equação de movimento (1.5) tem como 
variável independente o tempo t, em que a velocidade ​v e aceleração ​dv/dt 
dependem. Uma vez que o tempo transcorrido é muito alto (t tende ao infinito), 
teremos um regime em que a somatória das forças será igual a zero, ou seja, o 
corpo deslocando-se pelo fluido terá velocidade terminal constante, análogo ao 
exemplo do paraquedista. 
Outra maneira de pensar é que, como a expressão (1.5) possui variáveis 
dependentes (​v e ​dv/dt​) iguais a uma constante (​m*g/m​), é razoável estimar que 
uma de suas soluções particulares seja também uma constante. Portanto, 
podemos fazer ​v​= , implicando a aceleração (​dv/dt​) seja igual a zero, já que a v∞ 
derivada de uma constante é nula. Logo, ao substituir ​v​= e ​dv/dt​=0 em (1.5), v∞ 
podemos isolar essa constante e encontrar seu resultado (1.8), que equivale a 
velocidade limite da esfera no meio. 
(1.8) 
A expressão da velocidade de uma esfera nesse fluido (1.9) em função do 
tempo é representada pela soma entre a solução homogênea (1.7) e particular 
(1.8). Assumindo que a esfera parte do repouso antes de mergulhar, a 
velocidade inicial no tempo t=0 é zero (v(0)=0), podemos determinar o valor da 
constante β (1.10), que multiplica a solução homogênea, e obter, por fim a 
relação de dependência da velocidade em função do tempo e dos parâmetros 
dados a respeito do fluido e da esfera (1.11). 
(1.9) 
 (1.10) 
6 
 
(1.11) 
Para obter o valor do coeficiente de atrito viscoso do fluido é preferível 
não trabalhar com valores variantes. Por esse motivo, utilizaremos a velocidade 
no infinito (ou velocidade infinita) para tecer essa relação encontrar a v∞ 
viscosidade, pois é mais fácil medi-la através de um experimento real. Posto 
isso, a expressão da velocidade fica igual à solução particular da equação de 
movimento (1.8). Em seguida, podemos substituir as constantes ​b (1.2), ​m* 
(1.4) e assumir o volume ​V ​da esfera como sendo .πr3
4 3 
(1.12) 
O coeficiente viscoso determinado pela Lei de Stokes é a viscosidade 
dinâmica η, que tem como unidade, no SI, Pa.s (N.s/m²), mas é comumente 
usada no sistema CGS, que tem como unidade o Poise (g/cm.s). Porém, há 
também a chamada viscosidade cinemática ν, que é resultado na razão entre a 
viscosidade dinâmica e a densidade do fluido ρ, ela tem como unidade no SI 
m²/s, mas é muito usada também no sistema CGS, cuja unidade é o Stoke. 
Desta forma, deduzimos qual o valor do coeficiente de atrito viscoso 
dinâmico (1.13) o qual uma esfera de raio ​r e densidade ​ρ​e ​está submetida ao 
movimentar-se no interior de certo fluido. Porém, é importante atentar-se às 
limitações impostas pela Lei de Stokes, que exigem um arranjo experimental 
ideal (como volume de fluido infinito e esfera sem rotação) para sua completar 
validade. À vista disso, correções deverão ser feitas para o experimento (elas 
serão apresentadas no decorrer no relatório), já que o recipiente que contém o 
óleo é finito e demais complicações podem surgir. 
(1.13) 
 
7 
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Lápis
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como a correção de Ladenburg afeta o v lim..
Objetivos?
 
PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS 
 
ARRANJO EXPERIMENTAL 
Todo o experimento foi realizado com a ajuda de um software [1] 
desenvolvido por alunos da POLI que simula a queda de uma esfera de alumínio 
em um recipiente contendo óleo. O arranjo utilizado é constituído de alguns 
elementos comuns a todas as simulações disponíveis, já contendo valores de 
incerteza, são eles: 
- Um cilindro de vidro de raio ​2,516 ± 0,004 cm preenchido de óleo que 
apresenta dois níveis de referência em vermelho. O primeiro está há 10cm 
da superfície, e é utilizado para que a esfera já o atinja próximo da 
velocidade limite. O segundo tem 10cm de altura em relação ao fundo, e 
é usado para facilitar a visualização da bolinha. O espaçamentoentre os 
dois, ou seja, a distância total que a esfera percorre, é de ​65,0 ± 0,2 cm​; 
- Óleo de densidade ​0,883 ± 0,001 g/cm³​ preenchendo todo o recipiente; 
- Esferas de alumínio (densidade de ​7,85 g/cm³ ± 0,01 g/cm³​) de diversos 
diâmetros diferentes para cada aluno (apresentadas à seguir); 
- Cronômetros com incerteza instrumental de 0,01s. Porém, também foi 
considerado o tempo de médio resposta do cérebro humano, que é em 
torno de 0,1s. Resultando em uma incerteza final do tempo de ​0,1s​. 
 
8 
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Riscado
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Riscado
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Riscado
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aço inox...
Densidade do alumínio é 2,7 g/cm3
Nemitala
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instrumental...
 
A partir de uma animação calibrada, escolhemos uma simulação dentre as 
nove opções disponíveis de acordo com o final do número USP de cada 
integrante, resultando nos grupo 3, 4 e 4. Cada um deles possuía 8 esferas de 
diâmetros distintos, que foram medidos com um micrômetro (incerteza 
instrumental ​0,0005 cm​). A temperatura a qual o óleo estava submetida também 
era distinta para cada grupo. Elas são: 
- ALUNO 1 (Grupo 7): T = 26,8 ± 0,1 ºC 
- ALUNO 2 e 3 (Grupo 4): T = 26,0 ± 0,1 ºC 
 
FÓRMULAS GERAIS DE INCERTEZA 
Algumas incertezas ao longo do experimento foram obtidas através das 
regras gerais de propagação de erros (elas serão indicadas quando surgirem): 
A) Para expressões em que as variáveis (grandezas que possuem incertezas) 
se somam e estão multiplicadas por constantes (que não têm erro), como 
f=ax+by​, podemos escrever a incerteza de ​f​ da seguinte forma: 
(2.A) 
B) Para expressões em que as variáveis estão sendo multiplicadas entre si e 
apresentam expoentes constantes, como , podemos y /z )f = k.(x 
a b c 
escrever a incerteza de ​f​: 
(2.B) 
METODOLOGIA 
Como já exposto na ​Introdução e resumo, o experimento realizado tem 
por objetivo de encontrar empiricamente a viscosidade de um fluido, deduzido a 
partir da Lei de Stokes. Como ela demanda algumas condições ideias que fogem 
ao nosso alcance, também realizaremos aproximações com o objetivo de 
corrigir os resultados e chegar o mais próximo do teórico. Por fim, 
confeccionamos curvas características de velocidade em função do tempo para 
obter ​η​ graficamente, via MMQ. 
Sendo assim, os procedimentos de obtenção e análise de dados foram 
dividido em 2 etapas: 
9 
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Realce
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grupo
Nemitala
Lápis
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Lápis
 
1) DETERMINAÇÃO DE ​η​ ATRAVÉS DA LEI DE STOKES 
Na primeira parte do experimento realizamos medições do tempo de 
queda de diversas esferas em fluido. Com os dados, calculamos a velocidade 
limite que cada bolinha atinge e, através dela, encontramos o coeficiente de 
viscosidade do óleo deduzida a partir da ​fórmula de Stokes (1.13). No entanto, 
como o arranjo utilizado é ideal e não satisfaz às condições de aplicabilidade 
dessa Lei, corrigimos os valores de velocidade e ​η para tentar chegar o mais 
próximo do teórico. 
Primeiramente cada integrante do grupo realizou 5 medições para o 
diâmetro (em mm) de cada uma das 8 esferas correspondentes a sua situação 
(grupo 7 e 4), a fim de reunir uma quantidade maior dados e reduzir as 
flutuações estatísticas. Logo após, cada esfera foi mergulhada no recipiente 
cilíndrico de óleo, com velocidade inicial igual a zero, e o tempo de percurso 
(em s) das esferas entres as duas linhas vermelhas foi aferido também cinco 
vezes, pelo mesmo motivo anterior. 
Com essas medições, cada aluno calculou o diâmetro médio (em mm) de 
suas esferas, considerando a incerteza final como sendo a composição da 
incerteza instrumental do micrômetro com a incerteza estatística (desvio padrão 
da distribuição). O mesmo foi realizado com o tempo de queda (em s), o tempo 
médio foi encontrado e a incerteza final usada como sendo a composição da 
incerteza do tempo (apresentada no ​Arranjo​) e a incerteza estatística (desvio 
padrão de todos os valores de t medidos). 
Como apresentado na Introdução, a velocidade de um corpo em queda 
livre sob qualquer fluido jamais atingirá a “velocidade infinita”, ou seja, seria o 
teto de rapidez que o objeto de dimensões estabelecidas em um fluido com 
propriedades conhecidas poderia atingir após cair em um tempo que se 
aproxima do infinito. Sendo assim, consideramos que os 10cm postos entre a 
superfície do fluido e o posição em que começamos a cronometrar é suficiente 
para que a esfera alcance 99% da velocidade infinita (terminal). Essa 
aproximação será retomada e analisada na ​Discussão​. 
Em seguida, tomando como base a fórmula para obtenção de viscosidade 
(1.13), que utiliza o quadrado do raio da esfera, dividimos o diâmetro por dois e 
elevamos ao quadrado, sua incerteza foi obtida pelas fórmulas gerais. Com os 
valores de tempo médio e distância total percorrida pelas esferas calculamos 
suas velocidades limites e respectivas incertezas. Por fim, utilizamos (1.13) para 
10 
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Realce
Nemitala
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Nemitala
Realce
Nemitala
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não precisa ser tão detalhista...
 
obter o valor experimental e real do coeficiente de viscosidade ​η​, estimamos 
também o seu erro. 
Logo após, reunimos todos os resultados obtidos pelos alunos em um 
tabela, onde a o diâmetro e tempo média consiste na média simples entre as 15 
medições de cada uma, sua incerteza foi estimada como sendo a composição da 
incerteza instrumental e a estatística (desvio padrão de todos os 15 dados). 
Assim, com os diâmetros e intervalos de tempo médio do grupo, calculamos 
cada uma das grandezas anteriores (raio ao quadrado, velocidade e ​η​) 
novamente. 
Contudo, como supracitado, há algumas limitações ligadas à dedução 
realizada na ​Introdução​. A expressão (1.13), que relaciona a viscosidade de um 
fluido com a velocidade de uma esfera movimentando-se em seu interior, parte 
da Lei de Stokes que, por sua vez, exige que o arranjo utilizado tenha 
características ideias. Dentre elas, que o volume de fluido seja infinito (ou muito 
maior que as dimensões da esfera) e as paredes do recipiente não influenciem 
em sua queda. 
Sendo assim, torna-se necessário realizar uma correção ​C na velocidade 
limite (obtida anteriormente) para que ela aproxime-se da velocidade infinita 
(alcançada pela esfera após um intervalo de tempo infinito). Esse ajuste é 
conhecido como Correção de Ladenburg, e leva em conta os raios da esfera ​r​, 
do cilindro ​R (recipiente) e uma constante ​α​, que é deduzida experimentalmente 
(tomando como base esferas e recipientes de diversos raios) e aparece na 
literatura com um valor de, aproximadamente, 2,4[3] (adimensional). 
(2.1) 
Para transformar velocidade limite encontrada experimentalmente em 
uma velocidade infinita aproximada, como demanda a Lei de Stokes, 
multiplica-se por 1+C, sendo C o fator de correção de Ladenburg. Com o 
resultado, usa-se novamente (1.13), mas agora com a velocidade corrigida, para 
calcular a viscosidade ​η ​esperada para condições ideais desse fluido. As 
incertezas dos novos dados foram obtidos com base nas fórmulas gerais de 
incerteza, apresentadas anteriormente. 
Dessa maneira, é esperado, após a devida correção, que a viscosidade do 
fluidonão mude mais com as dimensões da esfera e do recipiente que os 
11 
 
contém. Portanto, na formulação (1.13) teremos apenas duas variáveis, onde a 
velocidade depende do raio ao quadrado da esfera, e as demais grandezas 
permanecem constantes, resultando em um gráfico ​v ​x r² que apresenta uma reta 
inclinada. Além disso, também é esperável que todos os valores resultantes de ​η 
individuais dos aluno para cada esfera devam ser compatíveis entre si, por se 
tratar de um mesmo fluido. 
Como a viscosidade de um fluido tem forte dependência com sua 
temperatura, e cada integrante do grupo realizou medições e cálculos a partir de 
conjuntos cujas temperaturas eram diferentes, é preciso normalizar os ​η ​obtidos 
para uma mesma dada temperatura. Assim, utilizamos o gráfico abaixo, que 
contém a curva (em rosa) de viscosidade cinemática da substância utilizada em 
função da temperatura, e efetuamos a correção Ct (2.2) sob a velocidade, onde η 
é o coeficiente cinemático de cada aluno experimental de cada aluno em sua 
temperatura prevista pela curva característica e ηo o parâmetro do fluido à 25ºC. 
(2.2) 
 
12 
 
Sendo assim, multiplicamos, mais uma vez, a velocidade de cada esfera, 
já antes corrigida pelo fator de Ladenburg, pela normalização Ct (2.3) de 
temperatura a 25º C. Dessa maneira, foi possível por parte de todos os alunos 
utilizar uma última vez a expressão (1.13) e encontrar a mesma viscosidade 
experimental intrínseca da substância utilizada, com a minimização da 
influência da temperatura ou de precariedades do arranjo. 
Para o procedimento de análise, comparamos os valores de velocidade 
obtidos antes e após a correção de Ladenburg, para inferir os limites de 
aplicação da ​fórmula de Stokes e como a proporção entre o raio da esfera e do 
cilindro contribuem para a disparidade de resultados. Em seguida, utilizamos o 
gráfico acima para retirar a viscosidade absoluta do fluido a 25ºC e testar a 
compatibilidade com a encontrada por cada esfera. Por fim, realizamos testes de 
Z’s entre os valores de η encontrados depois da correção através de cada 
método, pela fórmula teórica e graficamente (a seguir). 
 
2) DETERMINAÇÃO DE ​η​ POR MEIO DA ANÁLISE GRÁFICA 
A dedução realizada na ​Introdução (1.12) expõe a relação que existe 
entre a velocidade limite atingida por uma esfera em meio fluido e o seu raio ao 
quadrado, ou seja, o módulo de sua velocidade cresce com o quadrado do raio 
(considerando as demais grandezas constantes). Caso seja feito um gráfico de 
velocidade em função do raio da esfera teríamos uma parábola, o que 
dificultaria bastante a análise. No entanto, se for confeccionado um gráfico de ​v 
x r² (2.3) teríamos uma reta, cujo coeficiente angular é igual às constantes, 
possibilitando, assim, a obtenção da viscosidade ​η ​da substância. 
(2.3) 
Com base nisso, tomamos as velocidades obtidas no primeiro 
procedimento da etapa 1 e os raios ao quadrados calculados de cada esfera para 
confeccionar um gráfico ​v ​x r²​. Entretanto, ao plotar os pontos (r²,v) notamos 
que a dependência de ​v por ​r² ​não era linear ou seja, não seria possível ajustar 
uma reta inclinada aos dados e obter seu coeficiente. Os motivos dessa 
ocorrência são as limitações impostas por Stokes: não se tem todas as moléculas 
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Nemitala
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na realidade deveria ser dividido, o que é multiplicado é o Eta... Ficou errado no slide que passei...
Nemitala
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do óleo livre, parte delas interagem com as paredes do recipiente e interferem na 
dependência linear da velocidade. 
Assim sendo, em seguida, realizamos a correção de Ladenburg a fim de 
aproximar a velocidade limite inferida à velocidade teórica infinita prevista pela 
Lei de Stokes. Confeccionamos o gráfico sobrepondo a curva anterior e 
pudemos notar que a disparidade entre as duas velocidades cresce à medida que 
o raio aumenta, possibilitando o ajuste mais preciso de uma reta inclinada. 
Calculamos seu coeficiente angular através de dois método: 
- Pelo Método dos Mínimos Quadrados, que foi realizado 3 vezes 
com o objetivo de obter uma convergência nos valores de 
coeficientes e incertezas. 
- Graficamente, confeccionamos à mão uma reta máxima e mínima, 
baseando-se na barra de erros da velocidade, e obtivemos o 
coeficiente angular e linear do ajuste com as respectivas incertezas. 
Por fim, a partir da função (2.3), é possível perceber que o coeficiente 
angular da reta apresenta constantes previamente estabelecidas (aceleração da 
gravidade, densidade do fluido e da esfera) e o parâmetro ​η​, ​que queremos 
descobrir. Portanto, usamos os resultados obtidos pelos dois métodos gráficos 
para encontrar o valor da viscosidade desse fluido para o arranjo de cada 
integrante do grupo e testar a compatibilidade entre eles através do teste Z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
Nemitala
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outras hipóteses assumidas para os cuidados?
 
ANÁLISE DE DADOS E RESULTADOS 
 
1) DETERMINAÇÃO DE η ATRAVÉS DA LEI DE STOKES 
- TABELA I 
Tabela com as cinco medições de ​diâmetro (em mm) das 8 esferas 
disponíveis para cada aluno, com incerteza instrumental de 0,005 mm (ou 
0,0005 cm). Consta também o cálculo do ​diâmetro médio ​dmed de cada uma 
delas (em mm) por meio de (3.1.1), sua ​incerteza final ​σfinal ​(3.1.2) é a raiz da 
soma quadrática da incerteza estatística ​σest (​desvio padrão ​dividido pela raiz 
do número total de medidas) (3.1.3) com a incerteza instrumental ​σinst​. 
(3.1.1) (3.1.2) 
(3.1.3) 
 Aluno 1 
Grupo da esfera 1 esfera 2 esfera 3 esfera 4 esfera 5 esfera 6 esfera 7 esfera 8 
 diâmetro (mm) 
d1 1,506 1,981 2,489 3,179 3,962 4,758 5,492 6,346 
d2 1,502 1,989 2,375 3,171 3,958 4,761 5,509 6,360 
d3 1,511 2,007 2,492 3,159 3,946 4,773 5,489 6,350 
d4 1,515 2,000 2,499 3,189 3,955 4,746 5,500 6,352 
Diam médio 1,509 1,99 2,49 3,18 3,96 4,76 5,496 6,351 
Desvio 
padrão 0,006 0,01 0,06 0,01 0,01 0,01 0,009 0,006 
Incerteza 
final 0,003 0,006 0,03 0,006 0,003 0,006 0,005 0,003 
 
 
 
 
 
 
 
15 
Nemitala
Lápis
 
Aluno 2 
esfera 1 esfera 2 esfera 3 esfera 4 esfera 5 esfera 6 esfera 7 esfera 8 
diâmetro (mm) 
1,502 1,982 2,490 3,179 3,985 4,754 5,499 6,343 
1,515 2,080 2,494 3,192 3,952 4,759 5,503 6,339 
1,485 1,970 2,495 3,113 3,969 4,769 5,490 6,352 
1,500 1,989 2,510 3,165 3,959 4,749 5,509 6,360 
1,50 1,99 2,49 3,17 3,96 4,757 5,501 6,348 
0,01 0,05 0,01 0,03 0,01 0,009 0,008 0,009 
0,01 0,05 0,01 0,03 0,01 0,009 0,008 0,009 
 
Aluno 3 
esfera 1 esfera 2 esfera 3 esfera 4 esfera 5 esfera 6 esfera 7 esfera 8 
diâmetro (mm) 
1,505 1,995 2,491 3,179 3,983 4,755 5,500 6,342 
1,515 2,008 2,485 3,191 3,950 4,759 5,502 6,349 
1,485 1,951 2,498 3,115 3,968 4,769 5,489 6,355 
1,500 1,988 2,509 3,167 3,959 4,748 5,510 6,361 
1,50 1,99 2,49 3,17 3,96 4,757 5,501 6,352 
0,01 0,02 0,01 0,03 0,01 0,009 0,009 0,008 
0,01 0,02 0,01 0,03 0,01 0,009 0,009 0,008 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
Nemitala
Lápis
Nemitala
Lápis
Nemitala
Lápis
Nemitala
Caixa de texto
fórmula diferente do aluno 1
 
- TABELA II 
A segunda tabela apresenta as cinco medições do ​tempo de queda ​(em s) 
de cada uma das esferas feito pelos alunos, com incerteza instrumental de 0,01s. 
O ​tempo médio de queda foi calculado analogamente aos diâmetros, sua 
incerteza final é a raiz da soma quadrática entre a ​incertezainstrumental​, o 
tempo de resposta do cérebro humano (0,1s) e o ​desvio padrão dos dados 
(calculado como anteriormente). 
ALUNO 1 
 Tempo de queda (s) 
t1 18,85 11,34 7,74 4,92 3,57 2,68 2,35 1,82 
t2 18,76 11,42 7,77 4,80 3,59 2,65 2,34 1,79 
t3 18,97 11,14 7,79 4,87 3,55 2,62 2,39 1,75 
t4 18,79 11,47 7,63 4,87 3,52 2,49 2,38 1,74 
t5 18,78 11,31 7,92 5,00 3,57 2,65 2,40 1,82 
t médio 18,8 11,3 7,8 4,9 3,6 2,7 2,4 1,8 
Desvio 0,09 0,1 0,1 0,07 0,03 0,07 0,03 0,04 
Inc final 0,1 0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 
ALUNO 2 
Tempo de queda (s) 
17,67 10,92 7,00 4,82 3,51 2,66 2,26 1,66 
17,93 10,76 7,11 4,87 3,42 2,48 2,32 1,73 
17,72 10,93 7,04 4,76 3,58 2,59 2,40 1,80 
17,89 10,86 7,14 5,08 3,50 2,58 2,33 1,86 
17,82 11,06 7,18 4,95 3,56 2,54 2,38 1,72 
17,8 10,9 7,1 4,9 3,5 2,6 2,3 1,7 
0,1 0,1 0,07 0,1 0,06 0,07 0,05 0,08 
0,1 0,1 0,1 0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 
ALUNO 3 
 
17,98 11,05 7,22 4,91 3,40 2,62 2,22 1,57 
18,36 10,94 7,12 4,77 3,40 2,36 2,09 1,58 
18,05 10,94 7,06 4,83 3,27 2,49 2,10 1,58 
18,04 10,91 7,15 4,85 3,33 2,42 2,10 1,64 
18,20 10,98 7,17 4,77 3,34 2,55 2,02 1,56 
18,1 10,9 7,2 4,8 3,3 2,5 2,1 1,6 
0,2 0,05 0,06 0,06 0,05 0,1 0,07 0,03 
0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 
17 
Nemitala
Lápis
Nemitala
Caixa de texto
usaram fórmula errada na planilha...
Nemitala
Lápis
 
- TABELA III 
A Tabela abaixo dispõe as grandezas utilizados no cálculo de ​η​: 
Raio ao quadrado de cada esfera ​(em cm²)​, com ​incerteza (em cm²) (3.1.4) 
obtida por meio da fórmula de geral (2.B), considerando o erro de ​r ​o mesmo do 
diâmetro ​dmed​. 
(3.1.4) 
Velocidade (cm/s) ​limite atingida pelas esferas, calculada pela razão entre a 
distância total (65,0 ± 0,2 cm) percorrida por ela e o intervalo de tempo 
transcorrido (3.1.5). A sua ​incerteza (em cm/s) ​(3.1.6) foi encontrada através 
de (2.B). 
(3.1.5) 
(3.1.6) 
Enfim, o cálculo de ​η ​(eta) ​no sistema ​cgs (em g/cm.s)​, calculado a partir da 
equação (1.13) deduzida na ​Introdução​. Sua ​incerteza (em g/cm.s) (3.1.7) foi 
obtida por meio da fórmula geral (2.B), em que o termo relativo à subtração das 
densidades tem erro (3.1.8) encontrado por (2.A). A gravidade utilizada foi 
978,64 ± 0,01 cm/s²​. 
(3.1.7) 
(3.1.8) 
 
 
 
18 
Nemitala
Lápis
 
ALUNO 1 
raio^2 (cm²) 0,00569 0,00995 0,0155 0,0252 0,03913 0,0566 0,0755 0,1008 
inc (cm²) 0,00002 0,00006 0,0004 0,0001 0,00007 0,0001 0,0001 0,00009 
Veloc (cm/s) 3,46 5,7 8,4 13,3 18 25 27 36 
inc (cm/s) 0,03 0,1 0,2 0,3 1 1 1 2 
eta (cgs) 2,49 2,63 2,8 2,86 3,3 3,5 4,2 4,2 
inc (cgs) 0,02 0,04 0,1 0,07 0,1 0,2 0,2 0,3 
 
ALUNO 2 
0,0056 0,0099 0,0156 0,0252 0,0393 0,0566 0,0757 0,1007 
0,0001 0,0005 0,0001 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002 0,0003 
3,65 5,95 9,1 13,3 18,5 25 28 38 
0,03 0,08 0,2 0,3 0,5 1 1 2 
2,34 2,5 2,58 2,9 3,2 3,4 4,1 4,1 
0,04 0,1 0,05 0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 
 
ALUNO 3 
0,0056 0,0099 0,0156 0,0252 0,0393 0,0566 0,0757 0,1009 
0,0001 0,0002 0,0001 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002 0,0003 
3,60 5,94 9,1 13,5 19,5 26 31 41 
0,03 0,08 0,2 0,3 0,5 1 1 2 
2,37 2,53 2,59 2,83 3,1 3,3 3,7 3,7 
0,04 0,07 0,05 0,09 0,1 0,1 0,1 0,2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
- TABELA IV 
A próxima tabela é dividida em duas partes: 
1) A primeira aglutina todos os individuais de ​diâmetro médio (em cm) e 
tempo médio (em s) dos integrantes do grupo por meio de uma média 
simples (3.1.9). A ​incerteza final ​σfinal (3.1.2) é a raiz da soma 
quadrática entre a i​ncerteza estatística ​σest (desvio padrão (3.1.3) sobre 
a raiz do número de dados (15)), e a ​incerteza instrumental ​σinst (do 
micrômetro e do cronômetro). 
(3.1.9) 
 
 Grupo 
diam médio 
(cm) 0,1503 0,1995 0,2486 0,3167 0,3962 0,4758 0,5499 0,6351 
Desvio 
padrão 0,0010 0,0031 0,0036 0,0027 0,0012 0,0009 0,0008 0,0007 
Incerteza 
final 0,0005 0,0005 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 
Tempo 
médio (s) 18,3 11,1 7,3 4,9 3,5 2,6 2,3 1,7 
Desvio 
padrão 0,46 0,22 0,33 0,09 0,11 0,09 0,13 0,10 
Incerteza 
final 0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 
 
 
2) A segunda usa esses dados médios entre 3 alunos para calcular os demais 
parâmetros, como ​raio ao quadrado (em cm²)​, velocidade limite (em 
cm/s) e viscosidade (em g.cm/s)​. Seus valores e incertezas foram obtidos 
como na ​Tabela III 
 
raio^2 (cm) 0,00566 0,00991 0,01554 0,02518 0,0392 0,0566 0,0756 0,1008 
inc (cm) 0,00004 0,00005 0,00007 0,00008 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 
Veloc (cm/s) 3,56 5,87 8,9 13,3 18,7 25 29 38 
inc (cm/s) 0,03 0,06 0,2 0,3 0,6 1 1 2 
eta (cgs) 2,41 2,56 2,66 2,86 3,2 3,4 4,0 4,0 
inc (cgs) 0,03 0,03 0,05 0,06 0,1 0,1 0,2 0,2 
20 
Nemitala
Lápis
 
- TABELA V 
A tabela a seguir apresenta as dados de velocidade e viscosidade após a 
correção (2.1) de cada aluno para um recipiente cujo raio é muito maior que a 
esfera (volume relativo infinito). 
Obtivemos o ​Fator C (​adimensional) através da equação (2.1) para cada 
esfera separadamente. Consideramos que sua incerteza é muito pequena 
quando comparada às demais e pode ser desprezada. Ele foi escrito com 4 
algarismos significativos. 
Com ele, voltamos a calcular a ​velocidade corrigida (cm/s) da esfera, 
dessa vez corrigida multiplicando-a por ​1+C​. Sua incerteza foi obtida 
pela fórmula geral (2.A), como sendo o erro da velocidade anterior vezes 
a correção 1+C. 
Por último, com a velocidade e os dados anteriores, foi recalculado a 
viscosidade eta corrigida (em g.cm/s)​, agora com a influência do arranjo 
reduzida. A incerteza foi obtida da mesma maneira que a velocidade 
(multiplicando o valor antigo de eta por 1+C) 
 Aluno 1 
Fator C 0,0771 0,1042 0,1329 0,1744 0,2243 0,2785 0,3308 0,3947 
Vel cor 
(cm/s) 3,73 6,3 9,5 15,7 22,3 31 36 51 
inc (cm/s) 0,03 0,09 0,2 0,4 0,7 1 2 3 
eta cor (cgs) 2,31 2,38 2,5 2,44 2,7 2,7 3,1 3,0 
inc (cgs) 0,02 0,05 0,1 0,09 0,1 0,2 0,2 0,4 
 
Aluno 2 
0,0767 0,1037 0,1331 0,1742 0,2248 0,2783 0,3312 0,3944 
3,93 6,6 10,4 15,7 22,7 32 37 52 
0,03 0,1 0,2 0,4 0,7 1 2 3 
2,17 2,27 2,3 2,4 2,6 2,7 3,1 2,9 
0,02 0,05 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 0,4 
 
Aluno 3 
0,0768 0,1040 0,1331 0,1742 0,2248 0,2784 0,3312 0,3947 
3,88 6,56 10,3 15,8 24 33 41 57 
0,03 0,09 0,2 0,4 1 1 2 3 
2,21 2,29 2,29 2,4 2,5 2,6 2,8 2,7 
0,05 0,08 0,06 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 
21 
Nemitala
Lápis
Nemitala
Lápis
Nemitala
Realce
 
- TABELA VI 
Essa tabela, como a Tabela IV, interliga todos os dados obtidos após a 
correção por cada um dos alunos por meio das médias simples da distribuição. 
O primeiro valor é o ​Fator C médio (adimensional) entre os três obtidos 
para cada esfera dos alunos. Foi obtido por (3.1.9) e não possui incerteza 
atribuída. 
Em seguida está apresentado o cálculo da ​velocidade média corrigida 
(em cm/s)​, calculada pelo produto entre a velocidade média sem correção 
(Tabela IV) e o parâmetro 1+C, usando o ​Fator C médio​. 
E por fim o valor da ​viscosidade eta médio (em g.cm/s)​, obtido por 
(​1.13) e incerteza calculada como na Tabela V. 
 
 Grupo 
Fator C 0,0768 0,1040 0,1331 0,1742 0,2248 0,2784 0,3312 0,3947 
Vel cor 
(cm/s) 3,83 6,48 10,0 15,7 22,9 32 38 53 
inc (cm/s) 0,03 0,07 0,2 0,3 0,7 1 2 3 
eta cor (cgs) 2,23 2,31 2,35 2,43 2,6 2,6 3,0 2,9 
inc (cgs) 0,03 0,03 0,06 0,07 0,1 0,2 0,2 0,3 
 
- TABELA VII 
A última tabela apresenta os mesmos dados na Tabela V mas aplicando a 
normalização de temperatura Ct, expressa por (2.2), nas viscosidades de cada 
esfera dos alunos. Assim como na correção do volume infinito, esse ​Fator Ct 
(adimensional) ​não apresenta incertezas, é apenas escrito com 4 algarismo 
significativos. 
A nova ​viscosidade normalizada eta (em gcm/s) é resultado damultiplicação entre as viscosidades corrigidas da tabela anterior e o termo 
(1+Ct). A incerteza é obtida como anteriormente, pelo produto entre a incerteza 
de eta e esse termo. 
 
 Aluno 1 
Fator Ct 1,118 1,118 1,118 1,118 1,118 1,118 1,118 1,118 
eta cor 2 
(cgs) 2,59 2,66 2,8 2,7 3,0 3,1 3,5 3,4 
inc (cgs) 0,03 0,05 0,1 0,1 0,1 0,2 0,3 0,4 
 
22 
Nemitala
Caixa de texto
quais valores usou para calcular ct?
 
Aluno 2 
1,075 1,075 1,075 1,075 1,075 1,075 1,075 1,075 
2,34 2,44 2,4 2,62 2,8 2,9 3,3 3,1 
0,03 0,05 0,1 0,09 0,1 0,2 0,3 0,4 
 
Aluno 3 
1,075 1,075 1,075 1,075 1,075 1,075 1,075 1,075 
2,37 2,46 2,46 2,6 2,7 2,8 3,0 2,9 
0,05 0,09 0,06 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 
 
 
- TESTES Z’s 
Como última parte da análise das tabelas, realizamos testes de 
compatibilidade Z entre as velocidades e viscosidades obtidas: 
 
1) Primeiramente os alunos fizeram um teste ​Z entre os de ​velocidades (eta​) 
associada à cada esferas antes (​Tabela III​) depois da correção (Tabela V), 
a fim de mensurar como a proporção entre o raio da bolinha e o raio do 
recipiente contribui para imprecisão do resultado obtido pela ​fórmula de 
Stokes​. 
 
Z (veloc e 
veloc cor) 
6,9 4,8 4,7 4,4 4,8 3,6 4,5 3,8 
Z (veloc e 
veloc cor) 
7,2 5,0 5,1 4,4 4,9 3,7 4,6 4,0 
Z (veloc e 
veloc cor) 
7,1 5,0 5,1 4,4 5,2 3,9 5,2 4,3 
 
Pode-se perceber que a disparidade entre as duas velocidades em termos 
das incertezas é maior em relação às esferas menores, mas isso só ocorre 
pois as incertezas associadas a elas são muito pequenas quando 
comparada às medidas. Enquanto as velocidades das esferas maiores têm 
uma absoluta maior entre a corrigida e sem correção mas as altas 
incertezas compensam e, por esse motivo, possuem teste Z menor. 
 
 
 
23 
Nemitala
Caixa de texto
discussão
Nemitala
Caixa de texto
não pode comparar se estão em temperaturas diferentes...
Nemitala
Lápis
 
2) Em seguida, realizamos um teste ​Z entre o maior e menor valor de 
viscosidade (eta​) associada às esferas (​Tabela V​) depois da correção 
(2.1). Esse procedimento tem como objetivo aferir a efetividade da 
Correção de Ladenburg utilizada, pois, após aplicá-la, a viscosidade não 
deveria mais variar com as dimensões da esfera. 
 
Z (maior e 
menor eta 
corrigido) 
3,4 3,7 2,9 
 
Na tabela é visível que os testes Z feitos resultaram em incompatibilidade 
para o aluno 1 e 2 e compatibilidade de 3 sigmas para o aluno 3. 
Comprovando que, apesar de Z ser muito próximo da compatibilidade 
(resultados em 4 sigmas), a correção não foi suficiente e as viscosidades 
para cada esfera continuam destoantes. 
 
3) O mesmo foi feito para as ​viscosidades eta normalizadas pela 
temperatura (2.2) que, mais uma vez, deveriam ser iguais entre as esferas 
de cada aluno (pois a dependência com suas dimensões já teria sido, em 
teoria, atenuada) mas resultaram em incompatibilidade de mesmo grau (já 
que fator de correção é o igual para cada aluno) para todos eles. 
 
4) Logo após, as ​viscosidades eta normalizadas à temperatura de 25ºC de 
cada esfera foram comparada com o esperada de ​2,85 stokes pela curva 
característica rosa (que se adequa mais aos resultados obtidos pelos 3 
alunos). Porém, esse gráfico (Metodologia) apresenta as viscosidades 
cinemáticas ν, então foi preciso transformá-la na viscosidade absoluta por 
meio da expressão abaixo (3.1.10), com ​ρ ​sendo a densidade do fluido. 
Não foi considerado incerteza para o valor esperado. 
(3.1.10) 
 
 Aluno 1 
esperado 2,517 
Z 2,65 52,04 25,61 27,72 22,72 12,90 12,90 8,56 
 
24 
Nemitala
Lápis
 
Aluno 2 
2,517 
7,2 49,7 23,5 27,7 22,4 12,5 12,6 8,3 
 
Aluno 3 
2,517 
2,9 29,0 40,4 21,8 23,5 13,7 14,6 9,7 
 
Isso demonstra que a viscosidade é mais compatível com a teórica para as 
esferas pequenas, pois a proporção entre o seu diâmetro e o diâmetro do 
recipiente cilíndrico é menor, reduzindo a influência das paredes do 
recipiente no experimento. Portanto, pode-se perceber que a correção de 
Ladenburg, mais uma vez, não foi eficiente em adequar as viscosidades e 
livrá-las das precariedades do arranjo. 
 
5) Por último, cada aluno realizou um média ponderada (3.1.10) de seus 
resultados finais de ​viscosidade eta ​normalizada e os comparou com as 
demais médias do grupo. Isso foi feito com o propósito de verificar se os 
óleos utilizados por cada um são os mesmos, já que, ao normalizar-se a 
temperatura, os valores de viscosidade deveriam ser compatíveis entre si 
para que substância utilizada seja a mesma. 
 
 
(3.1.8) 
 
 Aluno 1 
pi 1475 382 85 104 58 18 13 6 
eta*pi 3814 1018 237 282 174 54 47 22 
eta media 2,6357 
inc eta 
media 
0,0005 
 
 
25 
Nemitala
Lápis
Nemitala
Lápis
 
Aluno 2 
1593 413 92 112 63 19 15 7 
3723 1010 226 293 178 55 48 22 
2,4002 
0,0004 
 
Aluno 3 
397 138 269 71 77 25 24 11 
941 340 662 184 206 68 71 33 
2,477 
0,001 
 
Alunos Z 
1 e 2 370 
1 e 3 145 
2 e 3 71 
 
É possível verificar que, pelo teste Z entre as médias dos alunos, 
nenhuma das viscosidades é compatíveis com outra, tratando-se de uma 
incongruência experimental, já que o aluno 2 e 3 analisaram a mesma 
situação. Porém, é também notório que a disparidade é bem maior da 
viscosidade da aluno 1 em relação às demais, pois ele realizou a 
experiência em um arranjo diferente dos outros que, possivelmente, 
possui um óleo com ​η​ diferente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
Nemitala
Lápis
 
2) DETERMINAÇÃO DE ​η​ POR MEIO DA ANÁLISE GRÁFICA 
- MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 
Aberta a possibilidade de que cada conjunto de dados possa ter sido 
realizado com óleos diferentes (apesar da densidade ser igual), foi 
confeccionado um gráfico para cada viscosidade escolhida pelos componentes 
(o aluno 1 com a viscosidade 7 e os alunos 2 e 3 com a viscosidade 5). Sendo 
assim, o aluno 1 realizou um gráfico e o aluno 3 outro, já que ele possui o 
mesmo arranjo que o aluno 2 mas desvios padrões associados às medidas 
menores (​Tabela I​). 
Ao representar os dados de velocidades em função do raio ao quadrado, 
expressada por (2.3), obtidas antes da correção (em azul), foi possível notar (os 
dois gráficos do aluno 1 abaixo exemplificam isso) que a distribuição não 
apresenta um comportamento linear, ou seja, muitos pontos não são 
contemplados por essa reta. Dessa maneira, realizamos a correção de 
Ladenburg, com o propósito de tornar essa dependência linear, e voltamos a 
representar os pontos de velocidade corrigida (em laranja) e percebemos que era 
possível ajustar com maior precisão uma reta aos pontos. 
 
Exemplificação feita pelo Aluno 1: 
 
 
 
27 
Nemitala
Lápis
Nemitala
Caixa de texto
linhas auxiliares ajudam a fazer leitura dos pontos...
 
 
 
 
Portanto, utilizamos esses dados de cada aluno e utilizamos o Método dos 
Mínimos Quadrados com o objetivo de ajustar uma reta inclinada de equação 
(2.3), de velocidade (eixo das ordenadas) em função do raio ao quadrado de 
cada esfera (eixo das ordenas) e encontrar seu coeficiente angular (​a​) e linear 
(​b​). Partimos dos raios quadrados médio, calculados ​Tabela III​, e as velocidades 
limite corrigidas da ​Tabela V do aluno 1 e 3, e cada um realizou o seu MMQ 
três vezes, a fim de obter uma convergência de resultados. 
 
Aluno 1 - Viscosidade 7: 
a​ = ​602 ± 9 
b ​= 0,45 ± 0,07 
 
Aluno 3 - Viscosidade 5: 
a = ​612 ± 9b ​= 0,45 ± 0,07 
 
 
 
 
28 
Nemitala
Lápis
Nemitala
Caixa de texto
outros gráficos?
 
A expressão (2.3) tem como variáveis a velocidade e o raio ao quadrado, 
portanto, os demais parâmetros são constantes e equivalem ao coeficiente 
angular a dessa função afim (3.2.1) Sendo assim, a partir dos valores 
encontrados à pouco, é possível determinar a viscosidade média associada ao 
fluido de movimentação da esfera. A incerteza dessa grandeza (3.2.2) foi obtida 
pelas fórmula de incerteza geral aplicadas sob a expressão abaixo. 
(3.2.1) 
(3.2.2) 
 
Aluno 1 - Viscosidade 7: ​MMQ 
η​ = ​2,52 ± 0,04 
 
Aluno 3 - Viscosidade 5: ​MMQ 
η​ = ​2,47 ± 0,04 
 
A função (2.3) não possui coeficientes lineares, apenas angular. Sendo 
assim, é necessário fazer um teste Z de compatibilidade entre o coeficiente 
linear ​b​ encontrado pelos alunos e o valor real da função (zero). 
 
Aluno 1 - Viscosidade 7:​ ​Z = 1,70 
 
Aluno 3 - Viscosidade 5: ​Z = 1,70 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
Nemitala
Lápis
 
- AJUSTE MANUAL 
Como segunda técnica de obtenção dos coeficientes angulares e lineares 
da função ​v(r²) ​utilizamos o ajuste de reta manual para os conjuntos de dados do 
aluno 1 e 3. Com base nas barras de erro associadas a cada medida de 
velocidade, foi feito um retângulo guia, cujas diagonais correspondem a reta 
máxima e mínima dessa distribuição e delas foi retirado os coeficientes 
máximos e mínimos, cujas incertezas consiste na metade da diferença entre eles. 
Os gráficos, dessa vez para todos os alunos, também foram feitos em 
Excel com o objetivo de comparar visualmente a diferença entre as velocidades 
medidas (em azul) e corrigidas pelo fator Ladenburg (em laranja) para cada 
esfera. Uma reta inclinada foi adequada aos pontos laranjas e sua equação 
determinada pelo Excel. Os coeficientes do aluno 1 e 3 também serão usados na 
análise de compatibilidade final. 
 
Aluno 1 - Viscosidade 7: 
 
 
 
 
 
30 
Nemitala
Lápis
 
Aluno 2 - Viscosidade 5: 
 
 
Aluno 3 - Viscosidade 5: 
 
31 
Nemitala
Lápis
Nemitala
Lápis
 
Aluno 1 - Viscosidade 7: 
 
 
32 
 
 
 
a​ = ​(49 ± 4)​·​10 
b ​= 2 ± 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
Nemitala
Lápis
 
Aluno 3 - Viscosidade 5:
34 
 
 
a​ = ​(60 ± 7)​·​10 
b ​= 1 ± 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
Da mesma maneira que o feito com o MMQ, utilizamos a expressão (2.3) 
para extrair o coeficiente angular da reta feita manualmente e, com ele, obter a 
viscosidade associada ao fluido (3.2.1). A incerteza foi obtida analogamente, 
usando a fórmula (3.2.2). 
Aluno 1 - Viscosidade 7:​ resultado manual 
η​ = ​3,1 ± 0,2 
 
Aluno 3 - Viscosidade 5: ​resultado manual 
η​ = ​2,5 ± 0,3 
 
Fizemos o mesmo com o coeficiente angular calculado pelo ajuste do 
Excel e obtivemos a viscosidade. Como a ferramento não nos fornece valores de 
incerteza, consideramos o erro de ​a​ sendo 1 na última casa decimal 
Aluno 1 - Viscosidade 7:​ via Excel 
η​ = ​3,153 ± 0,005 
 
Aluno 3 - Viscosidade 5: ​via Excel 
η​ = ​2,761 ± 0,004 
 
O coeficiente linear ​b encontrado graficamente (com o ajuste a mão) 
também sofreu um teste de compatibilidade com valor de zero, uma vez que a 
expressão (2.3) não tem termos independentes das variáveis. 
Aluno 1 - Viscosidade 7:​ ​Z =​ ​1,00 
 
Aluno 3 - Viscosidade 5:​ ​Z = 0,25 
 
 
 
 
 
 
 
36 
Nemitala
Lápis
 
- COMPATIBILIDADE Z 
Como última etapa da nossa análise de dados, iremos comparar as 
viscosidades encontradas pelos métodos gráficos, através do coeficiente angular 
da reta, pelo ajuste a mão e MMQ. 
 
1) Primeiramente, fizemos um teste Z entre os diversos valores de 
viscosidade obtidas pelos métodos: MMQ, manualmente e pelo Excel 
Aluno 1 - Viscosidade 7: 
Z(mmq e manual) =​ ​ 5,38 
Z(mmq e excel) = 15,7 
Z(manual e excel) = 0,26 
 
Aluno 3 - Viscosidade 5: 
Z(mmq e manual) =​ ​ 0,099 
Z(mmq e excel) = 7,23 
Z(manual e excel) = 0,86 
 
Podemos perceber que os únicos valores de viscosidade compatíveis 
foram os obtidos manualmente e pelo excel. Isso pode ter ocorrido pois o MMQ 
funciona como um média ponderada, favorecendo os valores com menos 
incerteza em seu ajuste, enquanto o método manual e pelo excel trata cada dado 
da mesma maneira, buscando ajustá-los do modo mais adequado visualmente. 
 
2) Logo após, um teste de compatibilidade foi feito entre as viscosidades 
encontradas com os métodos gráficos (MMQ e manual) com o valor 
esperado de 2,517 g/cm.s (obtida pela gráfico e equação (3.1.10) para a 
viscosidade dinâmica dessa substância. 
Aluno 1 - Viscosidade 7: 
Z(esperado e manual) =​ ​ 2,92 
Z(esperado e mmq) = 0,075 
 
Aluno 3 - Viscosidade 5: 
Z(esperado e manual) =​ ​ 0,056 
Z(esperado e mmq) = 1,18 
37 
Nemitala
Lápis
Nemitala
Lápis
 
 
Com esses resultados, é notável que as viscosidades obtidas por esses 
métodos se mostraram mais compatíveis com o valor esperado do que a 
viscosidade obtida pela média ponderada na análise das tabelas. 
 
3) Em seguida, fizemos o teste com a viscosidade obtidas pelo MMQ e pela 
ajuste a mão entre o aluno 1 e 3, com o objetivo de verificar se os óleos 
usados são iguais. 
Viscosidade MMQ: 
Z(1 e 3) = 0,89 
 
Viscosidade gráfico a mão: 
Z(1 e 3) = 1,66 
 
Por meio desse teste Z, é possível comprovar que os óleos utilizados pelo 
aluno 1 e 3 são os mesmos e, consequentemente, o mesmo do aluno 2 (haja 
visto que o aluno 2 e 3 realizaram a análise sob o mesmo conjunto de dados) 
 
4) Por último realizamos um teste Z de compatibilidade entre o coeficiente 
de viscosidade obtido pela média ponderada, pelo MMQ e pelo gráfico 
feito à mão 
Aluno 1 - Viscosidade 7: 
Z(média ponderada e manual) =​ ​ 2,32 
Z(média ponderada e mmq) = 2,89 
 
Aluno 3 - Viscosidade 5: 
Z(média ponderada e manual) =​ ​ 0,56 
Z(média ponderada e mmq) = 0,17 
 
Dessa maneira, podemos ver que há compatibilidade a nível máximo de 3 
sigmas entre os resultados obtidos pelos diversos métodos e que a coleta de 
dados e estimativa de incertezas do aluno 3 foi mais precisa, considerando que 
trata-se do mesmo óleo. 
38 
Nemitala
Lápis
Nemitala
Lápis
Nemitala
Caixa de texto
todas essas comparações de compatibilidade deveriam só estar no item de discussão
 
DISCUSSÃO DE RESULTADOS 
 
1) VELOCIDADE LIMITE 
Como primeiro passo do processo, iremos retomar uma aproximação feita 
na Metodologia, de que a esfera, ao percorrer os primeiros 10 cm da camada de 
fluido, atingiria 99% da velocidade “infinita” prevista. Primeiramente aplicamos 
expressão (1.12) para cada esfera utilizada pelo aluno 1 (tomamos ele como 
exemplo pois o desvio padrão é o menor) e calculamos qual seria velocidade 
máxima que a bolinha poderia atingir. Substituímos as constantes pelos dados 
apresentados no ​Arranjo Experimental e consideramos a viscosidade dinâmica 
como sendo a obtida para cada esfera separadamente na ​Tabela III​. 
Dessa maneira, calculamos as velocidades infinitas teóricas para as 
esferas 1 à 8 do aluno 1 e obtivemos os resultados na primeira linha da tabela 
abaixo (todos em cm/s). Com base nas velocidades teóricas obtidas, foi feito a 
razão com a velocidade real, já corrigida pela Fator de Ladenburg calculada na 
Tabela V​. É possível observar de modo geral que a consideração de 10 
centímetros como suficiente para a esfera atingir uma velocidade próxima da 
infinita é corroborada, uma vez que, em todos os casos, a velocidadereal gira 
em torno de 99% e chega e, dentro do arredondamento, atinge até 100%. 
 
veloc real 
cor 3,6 6,3 9,5 15,7 22,3 31,4 36,3 50,6 
veloc 
infinita 3,73 6,33 9,48 15,67 22,29 31,36 36,35 50,64 
% 96 100 100 100 100 100 100 100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
Nemitala
Caixa de texto
qual eta usou?
Nemitala
Realce
Nemitala
Realce
Nemitala
Realce
 
2) LEI DE STOKES E CORREÇÃO DE LADENBURG 
Como apresentado na ​Introdução a Lei de Stokes consiste na definição da 
força de fricção que uma esfera sofre em um quedra livre dentro de um fluido 
viscoso. No entanto, ela tem alguns limites de aplicação para sistemas reais, 
entre eles está a proporção entre o tamanho da esfera e do recipiente utilizado, 
se essa relação for muito próxima, as moléculas do vão interagir relativamente 
bastante com as paredes do tubo, fazendo com que o coeficiente de viscosidade 
seja superior ao esperado para aquela substância. Assim, com o objetivo de 
amenizar essa influência que foi nos propusemos a utilizar a Correção de 
Ladenburg (2.1). 
Com isso em mente, os alunos realizaram suas medições para o diâmetro 
e tempo de percurso de cada uma das oito esferas disponibilizadas (​Tabela I​). 
Inicialmente, nada indicava que os óleos utilizados poderiam ser diferentes e, 
por esse motivo, aglutinamos os resultados em tabelas com a média do grupo 
(​Tabela II​). Sendo assim, cada um de nós obtivemos valores de viscosidades 
que variam: quanto maior o diâmetro da esfera, maior o parâmetro ​η 
encontrado. Esse resultado era esperado já que, como supracitado, é essencial 
considerar as restrições impostas pela Lei de Stokes. 
Dessa maneira, calculamos o fator de correção para cada uma das esferas 
e o multiplicamos pelas velocidades antes obtidas, com o objetivo de atenuar a 
influência do arranjo no resultado de viscosidade. Isso ficou bastante visível 
pelo ​1º teste Z​, que nos demonstrou como velocidade, em números de incerteza, 
se alterou com a correção. No entanto, após os cálculos da Tabela V, notamos 
que, mesmo depois do fator de Ladenburg, as viscosidades de cada esfera 
permaneciam muito díspares. A fim de mensurar essa diferença, realizamos o ​2º 
teste Z entre o maior e menor valor de viscosidade, e atestamos que elas eram 
incompatíveis. 
Esse resultado não corrobora as leis físicas, pois a viscosidade é, como 
dito na ​Introdução​, uma propriedade intrínseca do fluido. Sendo assim, não há 
sentido, após corrigirmos as velocidades e, em teoria, adequá-las a um arranjo 
ideal, que a viscosidade de um mesmo aluno varie com o tamanho da esfera. 
Um comportamento interessante percebido durante o tratamento de dados é que, 
caso fosse aplicado duas vezes, a Correção de Ladenburg seria suficiente para 
tornar os valores de ​η ​compatíveis. 
40 
Nemitala
Lápis
 
Desse modo modo, como não foi passada nenhuma restrição associada à 
correção de Ladenburg e há uma escassez de fontes que a abordam, tornar-se 
possível indagar que, para as condições experimentais submetidas à correção de 
Ladenburg nesse arranjo, vão além dos seus limites de aplicação. Portanto, a fim 
de obter resultados compatíveis que reforçam os princípios físicos, seria 
necessário dispor de uma correção diferente da utilizada, ou ainda aplicar o 
quadrado do fator Ladenburg, algo que não estava previsto na descrição teórica 
do experimento. 
Por conta da insuficiência do fator de Ladenburg, o erro foi cumulado 
quando se realizou a normalização de temperatura das viscosidades para 25ºC. 
Entretanto, permanecemos com o método experimental e fizemos a média 
ponderada para todos valores de viscosidade relativos às esferas. Com eles, 
primeiramente comparamos com o obtido pelos demais colegas do grupo e 
verificamos, pelo 5º teste Z, que as viscosidades são incompatíveis, apesar do 
aluno 2 e 3 terem realizado a análise sob a mesma base de dados. Isso pode ter 
ocorrido pois as incertezas das esferas menores são muito baixas, promovendo 
uma erro muito reduzido para a média ponderada. 
Analisando as viscosidades médias percebemos que, apesar deles serem 
incompatíveis entre si, a única curva característica (gráfico da Metodologia) que 
melhor adequa todos eles é a azul, sendo, portanto, outro forte indício de que as 
incertezas foram subestimadas e/ou os dados coletados incorretamente. Ao 
realizar o teste Z entre as viscosidades médias e valor nominal esperado pela 
curva azul, de 2,517 g/cm.s (viscosidade dinâmica) obtivemos, mais uma vez, 
incompatibilidade (Z’s de, respectivamentes, 255, 269 e 40). 
Portanto, podemos concluir que houveram diversos problemas com a 
análise de dados desse experimento através da Lei de Stokes: A correção 
proposta não foi suficiente em adequar os resultados ao previsto pelas leis 
físicas; As viscosidades médias não atingiram compatibilidade satisfatória com 
o esperada para substância utilizada; e não foi possível determinar com precisão 
a viscosidade do óleo, já que os alunos 2 e 3, que analisaram o mesmo conjunto, 
não obtiveram resultados compatíveis entre si. 
 
 
41 
Nemitala
Realce
Nemitala
Lápis
Nemitala
Caixa de texto
Na realidade faltou checar a hipótese de que o fluxo é laminar para todas as esferas...
 
3) ANÁLISE GRÁFICA DE RESULTADOS 
Apesar das dificuldades encontradas na primeira parte de análise do 
experimento, quando o conjunto de dados foi representada graficamente, por 
meio dos pontos ​(​r²,v​), ficou bem nítido a dependência da velocidade com o 
quadrado do raio da esfera. O gráfico do aluno 1 utilizado de exemplo na seção 
do MMQ demonstra que, sem a correção, os pontos experimentais não podem 
ser aproximados à uma reta, comportamento que ocorre com a velocidade 
corrigida, onde é possível ajustar uma linha de tendência e obter seu coeficiente. 
Contudo, ao obter os coeficientes de viscosidade pelos dois métodos 
diferentes e realizar o teste Z entre eles (1º compatibilidade Z) percebemos que 
os resultados encontrados pelo gráfico à mão e pelo ajuste do Excel não são 
compatíveis com o obtido pelo MMQ. Uma das hipótese possíveis para esse 
comportamento é que o MMQ, assim como a média ponderada, favorece os 
dados com menor incerteza agregada em detrimento dos outros. E, como já dito, 
as incertezas pode ter sido subestimadas, proporcionando esse desempenho. 
Diferentemente da análise das tabelas, sustentada pela ​fórmula de Stokes​, 
o ajuste gráfico pelos diversos métodos propiciou coeficientes mais precisos e 
compatíveis com o esperado pela curva característica azul, como mostra 2ª 
compatibilidade Z. ​Sendo assim, essa conclusão fortalece a indagação de que a 
correção de Ladenburg foi insuficiente no propósito de adequar as condições 
experimentais reais às limitações impostas pela ​Lei de Stokes​, necessitando, 
portanto, de um novo fator para exercer esse papel. 
Outro quesito que não pôde ser corroborado pela análise das tabelas mas 
foi visivelmente comprovado pela análise gráfica é a respeito da natureza dos 
óleos utilizados por cada um dos aluno. Havia ficado em dúvida, pelas 
incompatibilidades apresentadas anteriormente, se as substâncias usados pelo 
aluno 1 e 3 era iguais ou não. Porém, por meioda 3ª ​compatibilidade Z pode-se 
notar que as viscosidades encontradas pelo MMQ e pela ajuste à mão são 
compatíveis em nível de 1 a 2 sigmas, atestando que o óleo utilizado é igual. 
 
 
 
 
 
 
42 
Nemitala
Riscado
Nemitala
Realce
Nemitala
Caixa de texto
a diferença entre o mmq e o excel é que o segundo não leva em consideração as incertezas dos pontos...
 
CONCLUSÃO 
 
Através da coleta e análise de dados relativos a queda de esferas de 
diferentes tamanhos em óleo, pudemos, por meio da ​fórmula de Stokes ​e do 
ajuste gráfico, obter a viscosidade dinâmica da substância. Pudemos perceber 
que o Fator de Ladenburg utilizada não foi suficiente nem eficaz na correção 
das velocidades reais às ideais exigidas por ​Stokes​, fazendo com que a 
viscosidade final atribuída ao fluido fosse variável. Comportamento esse que 
contraria os princípios físicos e químicos, uma vez que a viscosidade é uma 
característica inerente à substância. 
Apesar disso, a representação gráfica da dependência linear da velocidade 
máxima da bolinha com o quadrado do seu raio nos permitiu observar que a ​Lei 
de Stokes é descreve bem o comportamento de uma esfera em meio viscoso, 
ainda que alguns pontos não se acomodam sob a reta, por conta da ineficiência 
da correção feita e prováveis erros sistemáticos na coleta de dados. Contudo, 
com o coeficiente angular dessa reta inclinada, ainda foi possível obter uma 
viscosidade compatível com a esperada pela curva de viscosidade do óleo. 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
[1] H. A. Radi and J. O. Rasmussen, Principles of Physics (Springer, New 
York, 2013) p. 342 
[2] ​https://edisciplinas.usp.br/mod/resource/view.php?id=2976032 
[3]​https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/5040044/mod_resource/conte
nt/6/Experimento6-2020.pdf 
43 
https://edisciplinas.usp.br/mod/resource/view.php?id=2976032
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/5040044/mod_resource/content/6/Experimento6-2020.pdf
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/5040044/mod_resource/content/6/Experimento6-2020.pdf
Nemitala
Lápis