Ludwing Javier Salazar Guerrero - Probabilidad y estadística-Grupo Editorial Patria (2018) - Rodrigo Yañez

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Probabilidad 
y estadística
Ludwing Javier 
Salazar Guerrero
para bachilleratos tecnológicos
2a edición
Acorde con el modelo educativo para la educación obligatoria
Ludwing Javier 
Salazar Guerrero
Probabilidad 
y estadística
para bachilleratos tecnológicos
II
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Renacimiento 180
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II
para bachilleratos tecnológicos
Serie DGETI
Derechos reservados:
© 2018, Ludwing Javier Salazar Guerrero
© 2018, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.
Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca
Del. Azcapotzalco, Código Postal 02400, Ciudad de México
Miembro de la Cámara Nacional de la Industrial Editorial Mexicana
Registro Núm. 43
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido 
de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, 
sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en México
Printed in Mexico
 edición : 2018
Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinadora editorial: Alma Sámano Castillo
Supervisión de producción editorial: Miguel Ángel Morales Verdugo
Diseño de portada e interiores: Perla Alejandra López Romo
Diagramación: Jorge Antonio Martínez Jiménez, Gustavo Vargas Martínez
Ilustraciones y fotografías: Perla Alejandra López Romo, Jorge Antonio 
Martínez Jiménez, Gustavo Vargas Martínez, Thinkstock
Agradecemos a CASIO México Marketing, S. de R.L. de C.V., su apoyo para 
la publicación de pantallas de la calculadora científica CASIO FX-991ES.
III
 
Tabla de contenidos
INTRODUCCIÓN VII
COMPETENCIAS VIII
 VIII
 VIII
 VIII
Eje. Del manejo de la información al pensamiento 
estocástico. Primera parte 2P
A
R
T
E
1
APERTURA 3
DESARROLLO 8
 
 
3 
1.1 Nociones y conceptos básicos de estadística y probabilidad 8
1.2 Enfoques de probabilidad. ¿Qué significa cada enfoque de probabilidad?, ¿qué significan 
las medidas de tendencia central?, ¿para qué obtener estos valores? 17
1.3 Técnicas de conteo y agrupación en clases para la determinación de probabilidades 27
CIERRE 47
Evaluación sumativa 47
 1. 49 2. 49
IV
CONTENIDO
Eje. Del manejo de la información al pensamiento 
estocástico. Segunda parte 50P
A
R
T
E
2
APERTURA 51
DESARROLLO 57
 51
2.1 ¿Qué es el riesgo?, ¿qué papel juega la probabilidad y estadística en el estudio del riesgo? 
Usos de la estadística y probabilidad en situaciones dadas 57
2.2 Usos de la estadística y probabilidad en situaciones dadas 57
2.3 Análisis de la información 60
2.4 Nociones de incertidumbre, azar y aleatoriedad 72
2.5 Tipos de eventos en el estudio de la probabilidad 73
CIERRE 94
Evaluación sumativa 94
1. 95 2. 95
Eje. Del manejo de la información al pensamiento 
estocástico. Tercera parte 96P
A
R
T
E
3
APERTURA 97
DESARROLLO 102
 97
3.1 Estudio de la información. ¿Qué papel juegan las medidas de tendencia central?, ¿cómo 
representar la información en un gráfico estadístico?, ¿cómo estudiar un gráfico estadístico?, 
¿qué papel juega la probabilidad en el manejo de la información? 102
3.2 Cálculo de las medidas de tendencia central y su representatividad en términos 
de la variabilidad y contexto situacional 110
3.3 Construcción de gráficos estadísticos en la representación de la información 121
3.4 Análisis de tipos de gráficos estadísticos 121
CIERRE 124
Evaluación sumativa 124
 1. 125 2. 125
V
CONTENIDO
Eje. Del manejo de la información al pensamiento 
estocástico. Cuarta parte 126P
A
R
T
E
4
APERTURA 127
DESARROLLO 132
 127
4.1 Medidas de tendencia central. ¿Qué es la moda, la media aritmética, la mediana? 
¿Qué es un cuartil?, ¿qué es una medida de dispersión?, ¿qué es una medida de forma?, 
¿qué es una medida de correlación? 132
4.2 Análisis de la información y toma de decisiones. ¿Qué información brindan las medidas 
de tendencia central?, ¿cuándo se puede considerar que todas dan la misma información?, 
¿en cualquier fenómeno tienen significado? 151
CIERRE 170
Evaluación sumativa 170
1. 171 2. 171
Glosario 172
VII
 
Introducción
John von Neumann
Edgar Allan Poe
 es una obra que tiene como base el modelo de competencias 
y está apegado al programa de estudios de la Dirección General de Educación Tecnológica e Industrial (DGETI) de la 
Secretaría de Educación Pública.
El libro se divide en cuatro partes; en cada una de ellas se presentan secuencias didácticas (Deduce y aprende) 
diseñadas con la finalidad de resolver situaciones problemáticas y vinculadas al tema integrador.
La obra propicia que el estudiante trabaje en forma individual y en equipo; posibilita la discusión, para que comu-
nique de manera asertiva sus ideas; también promueve el uso de la hoja electrónica Excel y la calculadora científica.
Al principio de cada parte se encuentra un examen diagnóstico y una secuencia integradora, así como la rúbrica 
para evaluarla; al final de cada unidad se presenta una lectura, una autoevaluación y la recuperación de la información.
Cada parte está organizada en tres momentos: Apertura, Desarrollo y Cierre. Las actividades de apertura son aque-
llas a partir de las cuales es posible identificar y recuperar las experiencias, los saberes, las percepciones y los conocimien-
tos previos del alumno, se realizan por medio de diferentes técnicas, como, lluvia de ideas, cuestionarios y aquello que el 
maestro considere pertinente, podrán tener una duración de 5 a 10 minutos. Las actividades de desarrollo relacionan los 
saberes, los conocimientos previos del alumno e introducen nuevos conocimientos técnicos y científicos. Finalmente, 
las actividades de cierre permiten al estudiante sintetizar y recuperar lo estudiado. Para ello se sugiere utilizar mapas 
mentales o conceptuales, exposiciones orales, solución de ejercicios y portafolios de evidencias.
La obra se ha diseñado para que el alumno sea el protagonista y desarrolle sus habilidades de lectura, expresión 
oral y escrita. Además, contiene ejercicios y problemas que le permitan relacionar la teoría con su entorno social.
En esta obra se reflejan más de 40 años de experiencia docente, por ello, se ha puesto especial atención a los 
temas que se le dificultan al alumno y por eso mismo se utiliza un lenguaje claro y acorde al nivel educativo, se abor-
dan los contenidos por aprender en forma concisa y con el suficiente rigor matemático con el fin de que fundamente 
las bases de los conocimientos para la probabilidad y la estadística. Asimismo, el diseño del libro es atractivo e invita al 
estudiante a trabajar evitando el tedio y la monotonía.
Espero que esta segunda edición de se convierta en un 
auxiliar didáctico para el docente y una útil herramienta de apoyo para el alumno en su trabajo diario.
Finalmente, deseo agradecer a la Secretaría Académica y a la Comisión de Operación y Fomento de Actividades 
Académicas del Instituto Politécnico Nacional.
El autor
VIII
Competencias
Propósitos de la asignatura
Que el estudiante aprenda a identificar, utilizar y comprender los sistemas de tratamiento estadístico; inferir sobre la 
población a través de las muestras; el tratamiento del azar y la incertidumbre.
Competencias genéricas
 • Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 
 – Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades. 
 – Identifica sus emociones, las maneja de manera constructiva y reconoce la necesidad de solicitar apoyo ante 
una situación que lo rebase.
 – Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones. 
 – Administra los recursos disponibles teniendo en cuenta las restricciones para el logro de sus metas. 
 • Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretaciónde sus expresiones en distintos géneros. 
 – Valora el arte como manifestación de la belleza y expresión de ideas, sensaciones y emociones. 
 • Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos 
y herramientas apropiados. 
 – Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 
 – Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas. 
 • Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 
 – Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos 
contribuye al alcance de un objetivo.
 – Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos. 
 – Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 
 • Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 
 – Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad, reconociendo y controlando 
sus reacciones frente a retos y obstáculos. 
 • Participa y colabora de manera efectiva en grupos diversos. 
 – Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de 
acción con pasos específicos. 
 – Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 
 – Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro 
de distintos equipos de trabajo.
Competencias disciplinares
 • Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, 
geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
 • Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
 • Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos 
establecidos o situaciones reales.
 • Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, me-
diante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación.
 • Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su com-
portamiento.
1
COMPETENCIAS 
 • Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades 
físicas de los objetos que lo rodean.
 • Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su perti-
nencia.
 • Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
Perfil de Egreso: El Perfil de Egreso de la Educación Media Superior, expresado en ámbitos individuales, define el tipo 
de alumno que se busca formar.
A través del logro de los aprendizajes esperados de la asignatura Probabilidad y estadística, gradualmente se im-
pulsará el desarrollo de los siguientes ámbitos:
Pensamiento crítico y solución de problemas: Utiliza el pensamiento lógico y matemático, así como los métodos de 
las ciencias para analizar y cuestionar críticamente fenómenos diversos. Desarrolla argumentos, evalúa objetivos, resuel-
ve problemas, elabora y justifica conclusiones y desarrolla innovaciones. Asimismo, se adapta a entornos cambiantes. 
Pensamiento matemático: Construye e interpreta situaciones reales, hipotéticas o formales que requieren la utilización 
del pensamiento matemático. Formula y resuelve problemas, aplicando diferentes enfoques. Argumenta la solución ob-
tenida de un problema con métodos numéricos, gráficos o analíticos. Adicionalmente, de forma transversal se favorecerá 
el desarrollo gradual de los siguientes ámbitos:
 Lenguaje y comunicación: Se expresa con claridad en forma oral y escrita tanto en español como en lengua indí-
gena en caso de hablarla. Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere conclusiones a partir de ellas. 
Se comunica en inglés con fluidez y naturalidad. 
 Habilidades digitales: Utiliza adecuadamente las Tecnologías de la Información y la Comunicación para investi-
gar, resolver problemas, producir materiales y expresar ideas. Aprovecha estas tecnologías para desarrollar ideas e 
innovaciones. Exploración y comprensión del mundo natural y social: obtiene, registra y sistematiza información, 
consultando fuentes relevantes, y realiza los análisis e investigaciones pertinentes. Comprende la interrelación de 
la ciencia, la tecnología, la sociedad y el medio ambiente en contextos históricos y sociales específicos. Identifica 
problemas, formula preguntas de carácter científico y plantea las hipótesis necesarias para responderlas. 
 Habilidades socioemocionales y proyecto de vida: Es autoconsciente y determinado, cultiva relaciones interper-
sonales sanas, maneja sus emociones, tiene capacidad de afrontar la adversidad y actuar con efectividad y reconoce 
la necesidad de solicitar apoyo. Fija metas y busca aprovechar al máximo sus opciones y recursos. Toma decisiones 
que le generan bienestar presente, oportunidades y sabe lidiar con riesgos futuros.
 Colaboración y trabajo en equipo: Trabaja en equipo de manera constructiva, participativa y responsable, propone 
alternativas para actuar y solucionar problemas. Asume una actitud constructiva.
P
A
R
T
E
1
EJE
Del manejo de 
la informacion 
al pensamiento 
estocástico
Componentes
 Riesgo, inferencia y aleatoriedad: Elementos de la Es-
tadística y la Probabilidad.
Contenido central
 Conceptos básicos de Estadística y Probabilidad. Recolec-
ción de datos y su clasificación en clases. Uso del conteo y 
la probabilidad para eventos.
Contenidos específicos
 1.1 Nociones y conceptos básicos de estadística y probabilidad.
 1.2 Enfoques de probabilidad. ¿Qué significa cada enfoque de 
probabilidad?, ¿qué significan las medidas de tendencia 
central?, ¿para qué obtener estos valores?
 1.3 Técnicas de conteo y agrupación en clases para la determi-
nación de probabilidades.
Aprendizajes esperados
 Usa un lenguaje propio para situaciones que necesiten del 
estudio con elementos de estadística y probabilidad.
 Usa técnicas de conteo o agrupación en la determinación 
de probabilidades.
 Organiza la información como parte de la estadística para 
el estudio de la probabilidad.
 Estudia el complemento que ofrece la estadística para la 
probabilidad.
Productos esperados
 Dada una colección de datos, calcular su promedio.
APERTURA
Evaluación diagnóstica
Instrucciones: Resuelve cada uno de los siguientes problemas, elige la letra que hace verdadera la oración y anótala 
en el paréntesis.
 1. En la compra de un refrigerador de $13 500, se da una oferta de 
30% de descuento. ¿Cuánto tendrá que pagar la persona que lo 
compra? ( )
 ) $13 500 ) $4 050 ) $9 450 ) $10 000
 2. Una persona compra una televisión con un costo de $7 500 
en la cual le ofrecen un descuento de 20% y sobre éste 40%. 
¿Cuánto dinero le descontarán del precio del televisor? ( )
 ) $3 000 ) $1 200 ) $3 900 ) $4 500
Primera parte
4
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
1
 3. En una circunferencia de 6 cm de radio se desea trazar un ángulo que cu bra 30% del área del círculo. 
¿De cuántos grados debe ser el ángulo? ( )
 ) 60° ) 108° ) 120° ) 50°
 4. Un maestro viaja a su centro de trabajo en Chiapas y recorre 50 km, de los cuales recorre en autobús 
1
2
 del camino, 
1
3
 en ferrocarril, en burro 
1
10
 y el resto a pie. ¿Cuántos kilómetros recorrió a pie? ( )
 ) 3.333 km ) 70 km ) 140 km ) 100 km
 5. Un equipo de futbol ha ganado 8 partidos de un total de 20 que ha jugado. ¿Qué porcentaje de partidos 
ha perdido? ( )
 ) 8% ) 60% ) 2.5% ) 4%
 6. La longitud de una varilla para construcción es de 12 m. ¿Cuántas varillas se comprarán para cubrir 
un techo de 3 3 m, formando una cuadrículade separación de 10 cm? ( )
 ) 15.5 varillas ) 6 varillas ) 7 varillas ) 3 varillas
 
 7. Si seis manzanas cuestan $10.50. ¿Cuál será el costo de 10 man-
zanas? ( )
 ) $17.50 ) $20.50 ) $13.50 ) $25.00
 8. Un banco cobra $3.50 por cada $500 que emite un cheque cer-
tificado, si por la emisión de un cheque cobra $66.50, ¿cuál es el 
valor del cheque? ( )
 ) $70.00 ) $66.50 ) $3.50 ) $9 500
 
 9. Escribe los dos números que siguen en las siguientes sucesiones 
3, 8, 13, 18, ___, ___. ( )
 ) 24, 28 ) 23, 28 ) 31, 81 ) 22, 28
 10. Un sastre tiene un paño de 16 m del cual cada día corta un octa-
vo de la tela. ¿Al cabo de cuántos días cortará el sastre el último 
pedazo de tela? ( )
 ) 10 días ) 6 días ) 4 días ) 8 días
5
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
Tema integrador
Secuencia didáctica
Un fabricante de ropa debe de confeccionar 100 000 playeras para jóvenes entre 16 y 22 años de edad. Para determinar las preferencias 
del mercado debe contratar una compañía que haga el estudio.
El estudio se forma por las siguientes etapas:
 
 a) Primera etapa: Consiste en documentar la información acerca de las mo-
das, cortes y colores, etc., en un máximo de tres hojas.
 b) Segunda etapa: Cada compañía debe de definir las estrategias para deter-
minar el color, talla, tela, el tipo de corte de la camisa y todo lo que considere 
para el proyecto. Para ello, sugerimos diseñar un cuestionario que le ayude 
en la obtención de la información y la metodología que usará. (Esta informa-
ción se utilizará en las unidades siguientes.)
 c) Tercera etapa: Realiza una presentación utilizando los medios electró- 
nicos para exponer sus conclusiones a las que llegue el equipo. En esta pri-
mera parte encontrarás actividades que te permitan desarrollar tu proyecto.
Apertura Desarrollo Cierre
• Formen equipos de cinco 
alumnos.
• Escriban en el cuaderno el análisis que 
hicieron sobre la situación didáctica.
• Lean el tema integrador.
• Realicen la secuencia 
didáctica que se plantea.
• ¿Cuáles son los requerimientos de informa-
ción que se desean para poder diseñar el 
cuestionario que se va a utilizar? La mues-
tra se aplica por lo menos a 40 personas 
por cada alumno, en total 200.
• ¿Todas las preguntas de tu cuestionario 
son cuantificables para poder procesarlas?
• ¿Qué tipo de playera es la que se 
fabricará?
• ¿Cuántas playeras se fabricarán de cada 
color?
• ¿Cuántas playeras de cada talla se 
fabricarán?
• ¿Hay algún material en especial a utilizar 
en la fabricación de las playeras?
• Analicen el problema. • Analicen la información obtenida y deter-
minen para qué sirve.
• Diseñen los instrumentos para agrupar la 
información que se requiere.
• Determinen los instrumentos de presenta-
ción gráfica.
• Realicen una presentación de la 
información.
• Realicen intercambio de información con 
sus compañeros de otros equipos para 
meditar las situaciones no consideradas, 
recuerden que se van a producir 100 000 
playeras.
• Elaboren con esta información un resumen 
y agréguenlo a su portafolio de evidencias.
6
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
1
Rúbrica para evaluar la secuencia didáctica del tema integrador, primera y segunda etapas
Aspecto a 
evaluar
Excelente 
(4)
Bueno 
(3)
Satisfactorio 
(2)
Deficiente 
(1)
Análisis de 
la situación 
didáctica.
Realiza una investigación 
completa de la situación.
Realiza una investigación 
clara y convincente.
La investigación no es 
clara y sólo se presentan 
recortes de páginas web.
La investigación es 
deficiente y no aporta 
conocimientos claros.
Desarrollo 
del tema 
integrador.
La presentación del 
tema usa los medios 
electrónicos, su lenguaje 
es claro y preciso, tiene un 
orden en los contenidos, 
los argumentos que 
presenta están bien 
fundamentados y sus 
conclusiones son correctas.
La presentación del tema 
usa los medios electrónicos, 
su lenguaje no es muy claro 
y poco preciso, tiene un 
orden en los contenidos, los 
argumentos que presenta 
están bien fundamentados 
y sus conclusiones son 
correctas.
La presentación del 
tema usa los medios 
electrónicos, su lenguaje 
no es muy claro y poco 
preciso, no hay orden en los 
contenidos, los argumentos 
que presenta están bien 
fundamentados y sus 
conclusiones son correctas.
La presentación del tema 
usa los medios electrónicos, 
su lenguaje no es muy 
claro y poco preciso, no hay 
orden en los contenidos, los 
argumentos que presenta 
están bien fundamentados 
y sus conclusiones no son 
correctas.
Presentación 
de 
resultados.
Contesta más de 90% 
de las preguntas y realizó 
todas las actividades.
Contesta entre 70 y 89% 
de las preguntas y realizó 
todas las actividades.
Contesta entre 60 y 69% 
de las preguntas y realizó 
todas las actividades.
Contesta menos de 60% 
de las preguntas y realizó 
todas las actividades.
Rúbrica para evaluar la secuencia didáctica del tema integrador, tercera etapa
Actividad: Exposición
Instrumento: Rúbrica
Valor: 40
Aspecto a 
evaluar
Excelente 
(4)
Bueno 
(3)
Satisfactorio 
(2)
Presentación Destaca su organización y 
comprensión del proyecto. La 
exposición fue clara. El grupo 
siempre se interesó por el tema.
Valor: 15 puntos
Fue adecuada y con cierta 
organización. El grupo pudo entender 
la mayor parte de lo que se dijo. 
Valor: 8 puntos
Presentación mal preparada. 
Información desorganizada e 
incompleta. El grupo no prestó 
atención a la exposición.
Valor: 4 puntos
Cualidades 
de la 
expresión 
oral
Correcta dicción, volumen adecuado; 
estableció contacto visual con el 
grupo; empleó correctamente el 
lenguaje kinésico; y confianza. No 
incurre en el uso de muletillas. 
Valor: 15 puntos
Demostró poca confianza, ya que 
evitaba el contacto visual con el 
grupo. Empleó correctamente el 
lenguaje kinésico. Ocasionalmente 
se observó el uso de muletillas. El 
volumen fue adecuado.
Valor: 8 puntos
Demostró inseguridad, empleando 
muletillas; con un volumen bajo y 
no se observó control del lenguaje 
kinésico. 
 
Valor: 4 puntos
Tiempo Duró el tiempo asignado. 
Valor: 5 puntos
Duró, aproximadamente, el tiempo 
asignado.
Valor: 3 puntos
La presentación fue muy breve 
o muy extensa.
Valor: 1 punto
Material de 
apoyo
Presenta lenguaje icónico, que 
refuerza lo expresado verbalmente. El 
material contiene palabras acordes al 
nivel del receptor y ortografía. Coloca 
solamente los datos relevantes.
Valor: 5 puntos
Presenta lenguaje icónico, pero 
el material está recargado de 
información. Presenta errores 
ortográficos. Contiene palabras 
acordes al nivel del receptor.
Valor: 3 puntos
Presenta material con ausencia de 
lenguaje icónico. Errores ortográficos 
y descuida el nivel del receptor. 
 
Valor: 1 punto
7
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
Propósito del portafolio de evidencias Periodo
Integrar los productos esperados de la asignatura relacionando el proceso de aplicación de los 
principios y técnicas de la estadística a la vida cotidiana del estudiantado.
Asignatura Estadística Nombre del alumno
Criterios de reflexión sobre los productos esperados Comentarios del alumno
¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar los productos 
esperados que se presentaron?
¿Qué aprendizajes esperados se confirman en este portafolios?
Monitoreo de productos
Comentarios del docente
# Título Fecha de elaboración 
1
2
3
4
5
6
7
8
Propósito
Que el estudiante analice fenómenos sociales o naturales, utilizando las herramientas básicas de la estadística y de la teoría de la proba-
bilidad para muestrear, procesar y comunicar información social y científica, para la toma de decisiones.
¿Qué aprenderás?
 • Usarás una gran cantidad de información con la que podrás realizar una tabla de frecuencias para evaluar el comportamiento de una 
muestra determinada y, por ende, el comportamiento deuna población con respecto a una variable.
¿Para qué te servirá?
Podrás manejar la información de un gran número de datos en forma individual o agrupada y representarla gráficamente.
8
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
1
“Maestro, 
tú que me diste lo más valioso, que 
es la letra para expresar mi 
pensamiento: te doy mi agradecimiento.”
Anónimo
“Pobre discípulo el que no deja atrás 
a su maestro.” 
Leonardo da Vinci 
(1452-1519)
“El verdadero discípulo es el que supera 
al maestro.” 
Aristóteles 
(384-322)
DESARROLLO
1.1 Nociones y conceptos básicos de estadística y probabilidad 
Por mucho tiempo, el hombre ha tratado de predecir el futuro; por ejemplo, para las 
profecías de Nostradamus hoy se realiza una gran cantidad de estudios, a fin de 
asociar sus predicciones a hechos que suceden, lo que muestra que el hombre 
trata cada día de saber lo que puede ocurrir en el futuro cercano y a largo plazo, ya 
que si esto no sucediera se podría crear una catástrofe mundial, la cual nos llevaría 
indiscutiblemente a la destrucción del mundo. 
Un ejemplo actual es determinar el porqué del calentamiento de la Tierra y sus 
consecuencias, el crecimiento de la población y sus requerimientos de alimentos, 
vestido, espacios y servicios. En la seguridad social se tiene que predecir con gran 
certeza el número de pensiones que se tendrán que pagar en el año o en un futu- 
ro cercano o lejano, y esto no puede considerarse una adivinanza o predicción sin 
fundamento científico, lo mismo sucede con el número de consultas médicas, ciru-
gías y medicamentos que se utilizarán en determinado tiempo. En una compañía de 
seguros, el número de personas que morirán durante el año por muerte natural o 
por accidente, y la cantidad de siniestros por incendio son datos importantes a considerar para evitar riesgos en los 
negocios, sus predicciones son tan exactas que les permite determinar la utilidad y el pago de dividendos que tendrán 
en el año. Las grandes compañías no pueden tomar deci-
siones basadas en un adivino que lee cartas o consulta su 
bola de cristal; por el contrario, requieren tomar decisiones 
con un alto grado de seguridad y de una base científica de 
alto nivel. 
Por otro lado, te habrás preguntado alguna vez para 
qué sirven las matemáticas, y es posible que aún no en-
cuentres la razón. Hoy que te toca estudiar una de las tantas 
ramas de esta ciencia: la estadística y la probabilidad, 
posiblemente te pre-
guntes lo mismo. En 
la actualidad lo que 
nació como un simple 
juego es una de las 
herramientas más poderosas en la toma de decisiones de muchas empresas, que 
con base en las experiencias pasadas pueden predecir lo que su futuro les depara 
y con ello establecer las políticas que se deben seguir.
Otras compañías utilizan la estadística para reportar su información o realizar 
los controles de calidad de sus productos, supervisar el cobro de los impuestos y 
establecer el buen o mal funcionamiento de una empresa. Al finalizar este libro des-
cubrirás el significado de la estadística y la probabilidad, recuerda que tú eres el actor 
principal en este libro, así que adelante caminante, que el camino se hace al andar.
9
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
Desarrollo histórico de la estadística 
Los inicios de la estadística datan del año 2238 a.C., en China, cuando el emperador 
Yao efectuó el primer censo general de su imperio. Los egipcios y los judíos también 
efectuaron recuentos de su población. Los romanos, con el objeto de cobrar los 
tributos, realizaron censos que les servían para saber la cantidad de recursos que 
tenían para la guerra, situación muy importante en esa época.
Un censo de los más famosos es el mandado a hacer por Octavio Augusto, 
primer emperador romano (63 a.C.-14 d.C.), para que se inscribiera todo el mundo, 
según frases del evangelio.
En España, los árabes se dedicaron al estudio de la estadística en los años 727 
d.C. a 746 d.C., se sabe que en 1139 d.C., se concedió a los muzárabes de Toledo 
permiso para la formación de un catastro para la reparación de las tierras, los censos 
efectuados se utilizaron en las provincias españolas para el recuento de la pobla-
ción, así como las tierras que le pertenecían para el cobro de los tributos.
En Inglaterra se iniciaron las publicaciones gráficas y se ordenaron en forma de índices los fenómenos sociales ya 
calculados en números, basándose en libros parroquiales introducidos en el curso del siglo xvi, en los que se llevaba un 
recuento de los nacimientos, matrimonios y defunciones; esto, en el siglo xvii influyó en la formación del seguro y los 
juegos de azar, lo que desarrolló el cálculo de probabilidades.
El comerciante de paños Juan Graunt fue considerado Benemérito de la estadística, pues en 1662 demostró la 
uniformidad de los matrimonios, nacimientos y defunciones basados en libros parroquiales.
La estadística recibió un nuevo impulso hasta los trabajos de Adolphe Quetelet (1796-1874), quien hizo la ciencia 
del cálculo de los casos y acontecimientos afines, a partir de la cual ellos dedujeron las regularidades y legalidades; 
entonces, la estadística moral empezó a considerarse.
También apareció la estadística comercial dedicada a comparar el movimiento de los países, el volumen de im-
portación y exportación, precios de productos agrícolas, principales manufacturas y todo aquello que formara parte de 
la balanza comercial; gracias a esto y a las estadísticas oficiales es posible la realización en la época moderna de los 
trabajos elaborados en la investigación estadística.
La primera organización de estadística oficial es la formada en Suecia en 1756, en donde una condición editaba 
los índices de población anual; además, se crearon departamentos con servicios completos de registro, ordenación y 
publicación de material estadístico en Francia en 1796 y 1800, Baviera en 1801, Italia en 1803, Prusia en 1805, Aus-
tralia en 1810, Bélgica en 1832, Grecia en 1834, Hannover y Holanda en 1848, Sajonia en 1849, Mecklemburgo en 
1851, Brunswick en 1853, Oldemburgo en 1855, Rumania en 1859, Suiza en 1860, Gran Ducado de Hesse en 1861 
y Serbia en 1862. En Estados Unidos no hay departamento fijo de estadística y en Inglaterra está a cargo de empleados 
de distintos negocios.
En 1902, en Alemania, se creó la estadística obrera, así como en Francia, Austria e Inglaterra, con el fin de recoger 
todos los hechos relativos a la situación de la clase trabajadora para servir a los fines de los mismos.
En 1885 se creó el Instituto Internacional de Estadística con la conmemoración de la de Londres, 
esta institución se destina a favorecer los progresos de la estadística tanto administrativa como científica, está integrada 
por miembros titulares y honorarios de las distintas naciones que se distinguen en el dominio de la estadística tanto 
administrativa como científica, este instituto se encarga de publicar un boletín trimestral y un anuario de estadística 
internacional.
El boletín trimestral contiene notas minuciosas sobre las decisiones del instituto e informa acerca de la estadística 
oficial de varios países; además, presenta trabajos sobre estadística internacional y un resumen de las publicaciones más 
importantes y recientes sobre estadística, así como también una bibliografía internacional de las últimas publicaciones 
en estadística.
El anuario ofrece comparaciones de estadística internacional elaborada por datos facilitados por diversos países y cele-
bra sesión o congresos cada dos años, siendo el primero en 1887 en Roma, 1889 en París, 1891 en Viena, 1893 en Chica-
go, 1895 en Berna, 1897 en San Petersburgo, 1899 en Christiania, 1901 en Budapest, 1903 en Berlín y 1905 en Londres.
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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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Apertura de la actividad 
Deduce y aprende
La estatura
Propósito: Desarrolla tus habilidades para organizar una serie de datos.
Conocimientos previos: Básicos de aritmética.
Material: Libro
Desarrollode la actividad
 1. Formen equipos de tres alumnos.
 2. Cada alumno pregunta la estatura a 20 personas diferentes, pueden ser familiares, amigos o compañeros. Registren sus respues-
tas en la siguiente tabla y compartan los datos obtenidos con los demás integrantes del equipo para que todos tengan la misma 
información.
Tabla 1.1
 3. Ordenen los datos de la tabla anterior en forma creciente o decreciente y escríbanlos en la siguiente tabla.
Tabla 1.2 Datos
 a) ¿Qué diferencias encuentran en la recopilación de datos? 
 
 
 b) El número de datos es 
 c) El dato mayor es 
 d ) El dato menor es 
 e) El rango del dato mayor y del dato menor es . ¿Qué unidad de medi-
da creen que se debe utilizar en esta actividad? 
 
11
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
 f ) ¿Sería correcto utilizar kilómetros? . ¿Por qué? 
 
 4. Anoten en la siguiente tabla el número de veces que se repiten las estaturas.
Tabla 1.3 Frecuencias
Estatura Frecuencia Multiplica la estatura por la frecuencia
Suma
 5. Obtengan el promedio de las estaturas. Escriban su respuesta a continuación. 
 
 6. Otra forma de calcular el promedio es utilizando los datos de la tercera columna 
de la tabla 1.3, cuyos valores se obtienen multiplicando la estatura (dato de la 
primera columna) por la frecuencia (dato de la segunda columna) y el resultado 
se escribe en la tercera columna. Se suma lo obtenido en la tercera columna y se 
coloca en el último renglón, se divide entre la suma de la segunda columna, con 
ello se obtiene el promedio: . Comparen los resultados de los incisos 6 y 
5. ¿Cómo son? 
 7. Observen la tabla 1.3, columna de la frecuencia. ¿Cuál es el número mayor? 
¿A qué renglón corresponde en la estatura? 
 , este valor es la moda.
Cierre de la actividad
 8. Consideren sus respuestas anteriores y redacten una descripción o definición con sus propias palabras de los siguientes términos.
 a) Frecuencia. 
 b) Rango. 
 c) Promedio. 
 d ) Moda. 
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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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1
Estadística
Desde el punto de vista etimológico, la palabra estadística proviene del latín , estado; del alemán , estado; 
y del latín , balanza. Definimos estadística como la ciencia de recolectar, describir e interpretar una cantidad de 
datos, los que se organizan y procesan para brindar información y tomar decisiones o inferir.
La estadística trabaja sobre una gran cantidad de datos, utiliza las bases de la matemática pura y las enlaza con el 
mundo real. Cuando existe un fenómeno social podemos representarlo con un modelo matemático, y por medio de 
éste hacer predicciones futuras del sistema, basado en hipótesis, mientras más datos se tengan, más precisa será la 
toma de decisiones.
Divisiones de la estadística
La estadística se divide en dos ramas: estadística descriptiva y estadística inferencial. La primera se dedica a la organiza-
ción y resumen de los datos, utilizando fórmulas, reglas y procedimientos para su presentación en forma tabular como 
gráfica; la segunda permite la emisión de juicios o conclusiones basados en los conocimientos que se tienen de la 
población o muestra.
 Estadística descriptiva
 División de la estadística 
 Estadística inferencial
Concepto de probabilidad
El concepto de probabilidad proviene del término latino que tiene como significado aquella posibilidad de 
que un hecho suceda. Este concepto se inicia con los juegos de azar, y esto dio auge a que muchos científicos se dedica-
ran a su estudio. Cardano publicó en 1520 ; más tarde, en el siglo xvii, Pierre Fermat y Blaise 
Pascal son los primeros en interactuar con el estudio de los problemas relacionados con los juegos de azar. Blaise Pascal 
al que se le considera como el fundador de la estadística, podemos citar al caballero que en 1657 publicó el primer libro 
de probabilidad. El auge de la probabilidad se alcanza en el siglo xviii debido principalmente a los juegos de azar, en 1713 
se publica el teorema de Bernoulli y la distribución binomial, en 1738 De Moivre desarrolla el teorema central de límite.
La probabilidad, junto con la estadística, nos permite la recolección de datos, organizarlos y procesarlos, utilizando 
tablas que nos ayudan a tomar de decisiones.
Dentro del manejo de datos hay datos que se repiten una serie de veces, los cuales reciben el nombre de fre-
cuencia, cuando esta frecuencia se divide entre el total de datos obtenemos la frecuencia relativa, conocida como 
probabilidad frecuencial.
Tipo de datos
Cuando realizamos una encuesta nos encontramos con una serie de datos que podemos clasificar como: cuantitativos 
o cualitativos. Los primeros se refieren a la cantidad, es decir, son números que representan un conteo de datos, ejemplo 
de ello es el número de años, el peso o la estatura de una persona. Los segundos se refieren a una cualidad, categoría 
o atributo de los datos, por ejemplo: el género de las personas, masculino o femenino.
Determina si los siguientes datos son cuantitativos o cualitativos.
 ) Precio de una computadora. 
 ) Marca de una computadora. 
 Ejercicio 1
13
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
 ) Tiempo de uso de la computadora. 
 ) Uso principal de la computadora. 
 ) Número de personas que usan la computadora. 
 ) Indicar si la computadora tiene conexión a Internet. 
 ) Edad de los usuarios de la computadora. 
 ) Estado civil de la persona. 
 ) Número de hermanos. 
 ) Estado civil de los padres: casados, divorciados, … 
Datos cuantitativos 
Este tipo de datos se dividen en discretos y continuos, los primeros se refie-
ren a cuando los datos pueden contarse; por ejemplo, edad, peso, número 
de huevos que pone una gallina, número de suscripciones a una revista, 
número de lectores de un periódico y el padrón electoral del país, entre 
otros. Los segundos se refieren a que los datos pueden tomar un número 
infinito de valores cubriendo un rango o intervalo; por ejemplo, el tiempo 
que tarda un avión en un viaje, el tiempo que se tarda en ordeñar una vaca, 
la duración en minutos de una llamada y la distancia de tu casa a la escuela.
 Ejercicio 2
Determina si los siguientes datos son continuos o discretos. Escribe en el paréntesis C si es continuo o una D si es 
discontinuo.
 ) Número de materias que llevas este 
semestre. ( )
 ) Tiempo de espera para ser atendido 
por el cajero. ( )
 ) El salario de una persona. ( )
 ) El número de horas que estudias. ( )
 ) Tiempo de estudio en tu casa. ( )
 ) El número de hijos de una persona. ( )
 ) El costo de un artículo. ( )
 ) El dinero que gastas en diversiones. ( )
 ) El tiempo que dura la clase. ( )
 ) El número de personas que pasan 
por una esquina. ( )
Actividad socioemocional
 1. ¿Consideras importante esta materia?
 
 2. ¿Sabes cuándo la aplicarás?
 
 3. ¿Crees que es una materia complicada?
 
 4. ¿Conoces los requisitos de aplicación de esta materia?
 
 
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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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Datos cualitativos
Otra forma de clasificar estos datos es con el uso de dos niveles de medición: nominal y ordinal.
El nivel de medición nominal consiste en nombres etiquetados o categorías que pueden ordenarse; por ejemplo, 
el nivel de clase social: bajo, medio y alto. El nivel de medición ordinal es cuando los datos se pueden colocar en un 
orden, pero no es posible diferenciar entre los valores; por ejemplo, en una empresa: gerente, subgerente, empleado 
de oficina y empleado de aseo.
Determina si los siguientes datos cualitativos son nominales u ordinales.
 ) Los maestros de una escuela. 
 ) En una tabla de peso existen los niveles alto, normal y bajo. 
 Ejercicio 3
Recolección de datos
Las técnicas de recolección de datos y el diseño de los experimentos facilitan la obtención de los datos en forma rápida 
y económica, de ellas depende el éxito de una buena información,éstas deben ser lo más apegadas a la población en 
estudio. Las formas más comunes de la recolección de datos son:
 1. Entrevista por teléfono. Es una técnica habitual que se utiliza para recoger datos, su ventaja es que es rápido, barato 
y sencillo. Sus desventajas son que pueden hacer preguntas sencillas y las personas que contestan el teléfono no 
siempre desean ser entrevistadas, lo que causa una molestia. La ventaja es que se pueden cubrir grandes áreas sin 
desplazarse.
 2. De puerta en puerta. Contienen alto grado de respuesta, los cuestionarios deben ser cortos, se puede fijar el nivel 
socioeconómico de las personas, se cubren grandes áreas, permiten tener fácilmente un control del sector econó-
mico al que se dirige.
 3. Abordaje en la calle. Las áreas deben ser de gran movimiento y, por lo general, se utiliza para establecer la acep-
tación que se tiene en los productos, la entrevista debe ser breve, ya que por lo general la persona se dirige a un 
lugar donde se tiene una hora de entrada.
 4. Entrevista personal. La entrevista personal resulta costosa y emplea mucho tiempo realizarla, por lo general, son 
muestras pequeñas. Se debe tener en cuenta la buena selección de los entrevistadores, pues de ellos depende la 
respuesta.
 5. Utilizando el correo. Se usa con frecuencia para recopilar datos cuando se cuenta con un listado o cuando los 
entrevistados están dispersos en un área muy grande. En él se pueden incluir preguntas en las que los encuesta-
dos dispondrán de tiempo suficiente para releerlas y pensar la respuesta, pero si es extenso no lo contestarán. La 
devolución es el mayor problema que plantea el cuestionario por correo.
 6. Entrevista en centros comerciales. Esta actividad se realiza cuando se desea ver el impacto de un producto y ob-
tener opiniones de compradores. Los entrevistadores se instalan en áreas de mucho movimiento e invitan a las 
personas elegidas a contestar algunas preguntas.
La recolección de datos es muy importante, y cómo se realice es un factor determinante en costos y en la calidad 
de la información. El diseño del cuestionario debe ser cuantificable y realizado por un experto para obtener la informa-
ción necesaria que facilite su procesamiento.
15
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
Estadística descriptiva
Como vimos en la sección Deduce y aprende, la estadística descriptiva es una rama de las matemáticas que se encarga 
de recolectar ciertas características de un conjunto de datos, por ejemplo, el peso y la estatura de los cuales procedemos 
a ordenar, realizar un análisis y una representación gráfica con el fin de poder estudiar las características de esa población 
o muestra.
Población y muestra
Una población es el conjunto de individuos o elementos de interés; por ejemplo: los habitantes de un país, los peces 
que viven en un lago, los alumnos de una escuela o los alumnos que estudian preparatoria; como observamos, la 
población es relativa al tipo de estudio que realizamos, es decir, que la población es cuando se considera a todos los 
elementos.
Muestra es una parte de la población y se utiliza cuando al estudiar la población tiene un alto costo o no se puede 
acceder a ella. Un problema que se presenta en la elección de la muestra es que ésta sea representativa y proporcione 
una visión útil de la naturaleza de la población. Si la muestra no es representativa es posible obtener conclusiones inco-
rrectas sobre la población. Ejemplo de ello es cuando nosotros deseamos 
saber el número de peces que se encuentran en un lago, si el muestreo 
lo realizamos en una sola parte del lago lo más seguro es que esta mues-
tra no sea representativa.
Los parámetros son medidas que se obtienen de la población, como 
ejemplos tenemos el promedio y la moda.
Los datos que se obtienen de una muestra forman una estadística, 
como son la media y la moda muestrales, la diferencia entre un pará-
metro y un estadístico depende de si se considera a la población o a la 
muestra.
Muestreo aleatorio simple
Para elegir una muestra podemos utilizar métodos muy sofisticados, pero 
una de las formas más sencillas es el muestreo aleatorio simple, nos 
referimos a que cada elemento de la población tenga la misma oportu-
nidad de ser seleccionado. Este tipo de muestreo nos permite tener una 
muestra con rapidez y con cierta confianza. Se puede utilizar una tabla de 
números aleatorios, o si se desea se puede generar con una computado-
ra, o utilizar una urna, procediendo de la siguiente manera:
Se numera la población en forma consecutiva, dependiendo del 
número de elementos, se selecciona una tabla de números aleatorios; 
por ejemplo, para una población de 450 elementos la tabla será de tres cifras, para una de 70 elementos la tabla será 
de dos cifras. Cuando utilizamos una tabla de números aleatorios elegimos de ésta un lugar para iniciar el conteo y se 
excluyen aquellos que se repiten. Otra forma es utilizar algún tipo de programa que permita generar los números alea-
torios, por ejemplo, Excel.
De la siguiente lista de alumnos elegimos a siete:
 ) Utilizando un generador de números aleatorios.
 ) Utilizando una urna con papeles numerados del 1 al 30.
 Ejemplo
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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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Lista de alumnos:
 1. Pérez García Juan
 2. Toledo Álvarez Isaac
 3. Uribe Rodríguez Luis
 4. Pérez Rodríguez Alberto
 5. Jiménez Lira Israel
 6. Juárez Chavarría Iván
 7. Alcántara Talavera Rodrigo
 8. García Pedro Omar
 9. Rodríguez Anaya Enrique
 10. González Juárez Efraín
 11. Perea Carbajal Luis
 12. Mejía Flores Andrea
 13. Sánchez Pérez Liliana
 14. Herrera Brito Yolanda
 15. Alejo Peralta Carlos
 16. Flores Rodríguez Pedro
 17. Ayala Martínez Sofía
 18. Rodríguez Hernández Juan
 19. Salgado González Gustavo
 20. Guardado Gutiérrez Gabriel
 21. Chávez Bravo Omar
 22. Espinosa Andrade Mauricio
 23. Pérez Lara Manuel
 24. Zapata Rodríguez Emiliano
 25. Torres Anaya Luz María
 26. Anaya Cervantes Federico
 27. Hernández López Disney
 28. Hernández Gutiérrez Norma
 29. Ramírez Martínez Luis
 30. Olan González Juan
Utilicemos un programa para generar números aleatorios, en este caso son siete, pueden pedir a la máquina más 
números si lo desean. A continuación se presenta cómo se genera un número aleatorio menor que 30 utilizando 
Excel:
En la hoja de Excel se debe teclear =aleatorio.entre(Inferior, supe-
rior) y enter para la aceptación, con lo que se genera un número 
aleatorio entre los valores inferior y superior definidos por el usuario, 
basta copiar la fórmula para cada uno de los siete lugares y listo.
Con la calculadora
En la calculadora Casio fx-991ES pueden generar números aleato-
rios entre cero y uno utilizando la tecla Shift Ran# =. 
Corta 30 pedazos de papel de igual forma y tamaño, colócalos en una caja y saca siete de ellos, estas muestras son 
ejemplo de muestreo aleatorio simple y el seleccionador no tiene culpa de los errores que ocurran con dicha muestra.
Existen otras técnicas de muestreo, como el aleatorio estratificado, sistemático, por conglomerados (muestreo pro-
babilístico) y no probabilístico, como son: las muestras subjetivas, por cuotas y las muestras por grupos naturales, las 
cuales no son objeto de estudio en este libro.
17
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
Realiza lo que se pide. 
 1. Una encuesta sobre los periódicos que se leen en tu ciudad 
o estado. Para ello, cada alumno debe encuestar a 20 per-
sonas y preguntarles: ¿qué periódico o periódicos leyó hoy? 
Haz una tabla de frecuencias y obtén el promedio, moda y 
rango.
 2. Realiza un muestreo aleatorio simple para escoger 5, 10 y 15 
alumnos de la lista de alumnos de tu salón.
 Ejercicio 4
1.2 Enfoques de probabilidad. ¿Qué significa cada enfoque 
de probabilidad?, ¿qué significan las medidas de tendencia 
central?, ¿para qué obtener estos valores?
Las técnicas de conteo nos posibilitan abordar situacionesdonde se requiere saber el número de permutaciones o com-
binaciones que hay en un evento dado. Este tema se trata en forma algebraica y gráfica, para ello se utiliza el diagrama 
de árbol y se hacen necesarias las operaciones factoriales.
Espacio muestral
Definimos el espacio muestral de un experimento aleatorio como el conjunto de posibles resultados que se pueden 
presentar al realizar dicho experimento. La notación usual que se utiliza para representar el espacio muestral es S o Ω.
Si en un saco se tienen tres canicas: azul, verde y roja, ¿cuáles son los posibles resultados al sacar dos canicas sin 
reemplazo?
Nota: Sin reemplazo quiere decir que una vez que se saca una de las canicas no se regresa al saco, con reemplazo 
la canica sí se regresa al saco y se toma otra.
Solución
Formas en que se pueden sacar las dos canicas:
 Primera canica Segunda canica Formas
 Verde A V
 Azul
 Roja A R
 Azul V A
 Verde
 Roja V R
 Azul R A
 Roja
 Verde R V
 Ejemplo
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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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El espacio muestral se forma de los seis resultados.
 {AV, AR, VA, VR, RA, RV}
Si en un saco se tienen tres canicas: azul, verde y roja, ¿cuáles son los posibles resultados, al sacar dos canicas con 
reemplazo?
 Ejercicio 5
Consideremos un dado de cuatro caras, ¿cuál es el espacio muestral que se obtiene al lanzarlo?
Solución
El espacio muestral son los resultados que se pueden obtener cuando se lanza el dado, y se observa la cara que 
queda hacia abajo, por lo que los resultados que se pueden obtener son: 1, 2, 3, 4.
El espacio muestral es Ω {1, 2, 3, 4}.
 Ejemplo
Resuelve el siguiente problema.
Considera dos dados de seis caras, uno azul y otro rojo. ¿Cuál es el espacio muestral que se obtiene al lanzarlos?
 Ejercicio 6
Consideremos dos dados de cuatro caras, uno azul y otro rojo. ¿Cuál es el espacio muestral que se obtiene al lanzarlos?
Solución
Cada cara del dado está numerada del 1 al 4, el espacio muestral se considera como el conjunto de parejas ( , ), 
donde es el resultado del dado rojo y el resultado del dado azul.
Resultados dado rojo
1 2 3 4
R
es
ul
ta
do
s 
da
do
 a
zu
l
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4)
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4)
 Ejemplo
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 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
Determina el espacio muestral en los siguientes ejercicios.
 1. Tira un dado. Determina el espacio muestral y el subconjunto de resultados posibles para cada evento.
 Ejercicio 7
Lancemos tres monedas y observemos el número de soles que caen. Determinemos el espacio muestral.
Solución
Cuando se lanzan las monedas, el número de soles que pueden caer es 0, 1, 2 o 3 soles; éste es el espacio muestral.
Apertura de la actividad
Deduce y aprende
Espacio muestral
Propósito: Desarrollar sus habilidades en la obtención de espacios muestrales.
Conocimientos previos: ¿Qué es una permutación? ¿Qué es una combinación?
Materiales:
 • Tres monedas de diferente valor • Tres dados de diferente color • Tres dados del mismo color
Desarrollo de la actividad
 1. Reúnanse en parejas y contesten las siguientes preguntas. Recuerden que pueden repetir el experimento las 
veces que deseen.
 2. Realicen el siguiente experimento: Lancen una moneda, ¿qué resultados pueden obtener? 
Cierre de la actividad
 3. El espacio muestral al lanzar una moneda es: 
 4. Lancen un dado. ¿Qué resultados pueden obtener? 
 5. El espacio muestral de lanzar un dado es: 
 6. Tomen dos monedas y láncenlas (como si echaran volados). Determinen el espacio muestral que se puede 
obtener. 
 7. Tomen dos dados y láncenlos. Determinen el espacio muestral. 
 8. Determinen el espacio muestral que se obtiene al lanzar un dado y una moneda. 
 9. Determinen el espacio muestral que se obtiene al lanzar dos dados y observen la suma de las caras superiores. 
 
 
 10. Determinen el espacio muestral que se obtiene al lanzar dos dados y observen la diferencia de las caras supe-
riores, la mayor menos la menor. 
 11. Determinen el espacio muestral al lanzar una moneda cinco veces. 
 12. Determinen el espacio muestral al lanzar tres monedas. 
 Ejemplo
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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
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R
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E
1
 ) Obtén un par.
 ) Obtén un impar.
 ) Obtén un número primo.
 2. Lanza cuatro monedas y cuenta el número de soles que se pueden obtener en los lanzamientos.
 3. El número de personas atendidas en una de las cajas de supermercado.
 4. El número de llamadas por teléfono que se reciben en una casa. 
 5. Lanza cinco monedas al aire y observa el número de águilas.
 6. Cuando se prueba un foco, ¿cuáles son los posibles resultados que 
se pueden obtener?
 7. Una caja con 50 focos tiene 10% de focos defectuosos. Los focos 
se prueban uno a uno hasta que se encuentran los que están en mal 
estado. ¿Cuáles son los posibles resultados que se pueden obtener?
 8. Lanza un dado 10 veces y registra el número de veces en el cual el 
dado es mayor que cuatro.
 9. Lanza dos monedas y un dado, ¿cuál es el espacio muestral que se 
puede obtener?
 10. En un saco se tienen tres canicas de diferente color: azul, negra y roja. Saca una canica, observa su color 
y regrésala al saco; saca una segunda canica y regrésala al saco. ¿Cuál es el espacio muestral? Si la canica no se 
regresa al saco, ¿cuál es el espacio muestral?
Introducción a la probabilidad
El concepto de probabilidad tiene varias definiciones:
 1. Empírica.
 2. Clásica o de Laplace.
 3. Frecuencia relativa o de von Misses.
 4. Axiomática o de Kolmogorov.
Probabilidad empírica
En la vida diaria, escuchamos frases como:
 1. Es muy probable que llueva mañana. 
 2. Con 99% de probabilidad aprobó el examen de estadística.
 3. La probabilidad de que tenga un accidente es de 1%. 
 4. La probabilidad de que muera de influenza es de 2%.
 5. Probablemente mañana mi tía venga a cenar.
 6. Posiblemente me operen.
21
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
La escuela empírica expone que la probabilidad es una medida de nuestro grado de incertidumbre respecto a la 
verdad, de una afirmación o de la ocurrencia de un hecho.
Definición clásica de probabilidad o de Laplace
La definición clásica de probabilidad considera que la probabilidad de un evento es igual al cociente del número de 
casos favorables al evento, entre el número total de casos posible:
( ) =
Donde:
A es un evento de puntos favorables y queremos asignar una probabilidad de que suceda sobre un espacio muestral 
de puntos, tal que todos los eventos elementales tengan la misma probabilidad. Esta corriente considera que todos 
los eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir, ejemplo de ello es que al tirar un dado obtengamos un 6 que es 
igual a obtener un 5 o un 3, o cualquiera de los otros números, y es igual a un sexto.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6
1
6
= = = = = = =
Probabilidad relativa
La interpretación relativa considera que un experimento es aleatorio si se puede realizar un número indefinido de ve-
ces. Al menos teóricamente, cada repetición nos da un resultado que forma uno de los puntos del espacio muestral. 
Definimos que el evento ha ocurrido en una repetición si el resultado obtenido es uno de los puntos que caracterizan 
(favorable) a .
Este tipo de probabilidad se basa en la frecuencia que se obtiene al realizar un evento, ejemplo de ello es lanzar 
un dado n veces y se anota el resultado de cada lanzamiento.
 es el número de repeticiones en las que se ha obtenido el resultado , y es el número total de repeticiones, 
así la probabilidad del evento es:
( ) lím=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟→ ∞
Si deseamos obtener la probabilidad relativa de 3, al lanzar un dado veces; entonces: representa el número 
de veces que se obtuvo tres y representa el número de lanzamientos, así la probabilidad relativa está dada por:
( 3) lím
1
6
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
→ ∞
Apertura de la actividad
Deduce y aprende
Calculala probabilidad relativa
Propósito: Determinar la probabilidad relativa de la cara de un dado.
22
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
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1
Conocimientos previos:
 1. ¿Qué es un espacio muestral?
 2. ¿Qué es un evento?
 3. ¿Cuál es el espacio muestral de un dado?
 4. ¿Qué es la frecuencia simple?
Materiales:
 • Dado • Pirinola
Desarrollo de la actividad
 1. Formen equipos de tres alumnos.
 2. Realicen la tabla de frecuencias absolutas simples para el lanzamiento de un dado 200 veces.
 3. En la siguiente tabla escriban sus resultados para los primeros 100, 150 y 200 tiros del dado.
Tabla 1.4
Cara del dado Para 100 Para 150 Para 200
1
2
3
4
5
6
 4. ¿Cuál es el espacio muestral del experimento? 
 5. La probabilidad de un evento es igual al cociente de las frecuencias absolutas simples entre el total de las frecuen-
cias. Este cociente recibe el nombre de 
 Calculen las siguientes probabilidades:
 (1) (2) (3) 
 (4) (5) (6) 
 La primera de ellas se lee: “La probabilidad de obtener un uno al tirar un dado es igual a 
 6. ¿Todas las probabilidades son iguales? 
 7. Cuando (el número de tiradas crece) y la probabilidad tienden a estabilizarse hacia un número en particular, 
¿cuál es? 
 8. Comparen este número con el de sus compañeros. ¿Se parecen? 
 9. Anoten en la siguiente tabla los resultados que obtuvieron sus compañeros para el caso de 200 lanzamientos.
23
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
Tabla 1.5 Probabilidad
P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6)
Eq
ui
po
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
Suma
Promedio
 10. Sumen las probabilidades de cada columna y obtengan su promedio.
 11. ¿Todas las probabilidades son iguales? 
 12. Cuando (el número de tiradas), crece, ¿la probabilidad tiende a estabilizarse hacia un número en particular? 
¿Cuál? 
 
 13. ¿La probabilidad ( ) tiende a estabilizarse hacia un número en particular? ¿Cuál? 
¿A cuál? 
 14. Si tiran el dado y cae cinco, ¿la siguiente tirada se verá afectada por este resultado? ¿Por qué? 
 
 15. Realicen la tabla de frecuencias absolutas simples para el giro de una pirinola 100 veces. 
 16. En la siguiente tabla escriban los resultados para los primeros 75, 100 y 125 giros de la pirinola.
Tabla 1.6 Frecuencias absolutas simples
Cara de la pirinola Para 75 Para 100 Para 125
Todos ponen
Toma uno
Toma dos
Toma todo
Pon uno
Pon dos
 ¿Cuál es el espacio muestral del experimento? 
24
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
1
 17. La probabilidad de un evento es igual al cociente de las frecuencias absolutas simples entre el total de las frecuen-
cias. Calculen las siguientes probabilidades:
 (Todos ponen) (Toma uno) (Toma dos) 
 (Toma todo) (Pon uno) (Pon dos) 
 18. ¿Todas las probabilidades son iguales? 
 19. Cuando (número de giros crece), ¿la probabilidad tiende a estabilizarse hacia un número en particular? ¿Cuál? 
 
 20. Comparen este número con el de sus compañeros. ¿Se parecen? 
 21. Anoten en la siguiente tabla los resultados que obtuvieron sus compañeros para el caso de 125 giros.
Tabla 1.7 Probabilidad
P(Todos ponen) P(Toma uno) P(Toma dos) P(Toma todo) P(Pon uno) P(Pon dos)
Eq
ui
po
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
Suma
Promedio
 22. Sumen las probabilidades de cada columna y obtengan su promedio.
 23. ¿Todas las probabilidades son iguales? 
 24. ¿La probabilidad ( ) tiende a estabilizarse hacia un número en particular? ¿Cuál? 
 
Definición axiomática o de Kolmogorov
Este tipo de probabilidad se basa en axiomas que fundamentan de manera formal el estudio de la probabilidad y el 
desarrollo científico de esta disciplina, basados en los axiomas de Kolmogorov.
La probabilidad es una función en la cual se mide la posibilidad de que ocurra un evento. Para cualquier experi-
mento es necesario asignar a cada evento del espacio muestral S un número ( ) que mida la ocurrencia de .
Sea la función de probabilidad: ( )
Total de casos favorables
Total de casos equiprobables
=
25
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
El número ( ) debe cumplir los siguientes axiomas.
 1. P(S) 1; S es el evento seguro.
 2. Para cualquier evento A se tiene P(A) > 0.
 3. Para cualquier sucesión infinita de eventos disjuntos: A1, A2, A3, …, es decir, Ai Aj φ; si i j, se tiene:
( ) ( ) ( ) ( ) ...
1 1
1 2 3 4∑ ( )
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= = + + + +
=
∞
=
∞
El símbolo U expresa la unión de los conjuntos desde 1 hasta infinito y el símbolo nos indica la suma 
desde 1 hasta infinito de las probabilidades de los eventos .
El primero y segundo axiomas aseguran que la probabilidad de cualquier evento debe ser un número en el 
intervalo cerrado [0, 1]. El axioma uno nos asegura que si un evento siempre se da, éste es el evento seguro y tiene 
probabilidad uno, el dos nos asegura que la probabilidad del evento imposible es cero.
Lancemos un dado y observemos el número que aparece en la cara superior. Determinemos:
 1. El espacio muestral.
 2. La probabilidad de un número impar.
 3. La probabilidad de un número par.
Solución
Cuando se lanza un dado los resultados que se pueden obtener son 1, 2, 3, 4, 5 y 6, lo que forma el espacio muestral.
En las siguientes soluciones utilizamos la fórmula:
Sea la función de probabilidad: ( )
Total de casos favorables
Total de casos equiprobables
( =
 1. Sea el evento de que el dado caiga un número impar, entonces, los resultados favorables son tres y el total de 
resultados son 6, aplicando la fórmula de probabilidad:
 ( ) = =
3
6
1
2
 2. Sea el evento de que el dado caiga un número par, entonces, los resultados favorables son tres y el total de 
resultados son 6, aplicando la fórmula de probabilidad:
 ( ) = =
3
6
1
2
 Ejemplo
Lanza un dado y observa el número que aparece en la cara superior. Determina la probabilidad de un número primo.
 Ejercicio 8
26
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
1
Un saco contiene ocho canicas rojas, cuatro azules y 15 blancas. Se elige una canica con reemplazo. ¿Cuál es la 
probabilidad de que:
 1. la canica sea roja?
 2. la canica sea azul?
 3. la canica sea blanca?
 Ejercicio 9
En un saco se tienen cuatro canicas rojas, tres azules y cinco blancas. Si se saca una canica al azar con reemplazo 
(regresando la canica que se saca al saco), calculemos las siguientes probabilidades.
 1. Sacar una canica roja.
 2. Sacar una canica azul.
 3. Sacar una canica blanca.
 4. Sacar una canica negra.
 5. Sacar una canica.
Solución
Primero definimos los eventos:
 1. obtén una canica azul.
 2. obtén una canica roja.
 3. obtén una canica blanca.
 4. obtén una canica negra.
 5. obtén una canica.
Para determinar la probabilidad de estos eventos utilizamos la fórmula de probabilidad clásica.
Sea la función de probabilidad: ( ) =
Total de casos favorables
Total de casos ess quiprobables
Los casos favorables para el evento son 3, para son 4 y son 5, para son cero; el total de casos equiprobables 
son 12.
Las probabilidades de los eventos son:
 ) ( ) = =
3
12
1
4
 ) ( ) = =
0
12
0
 ) ( ) = =
4
12
1
3
 ) ( ) = =
12
12
1
 ) ( ) =
5
12
 Ejemplo
27
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
¿Qué significan las medidas de tendencia central? 
En ocasiones, se requieren características que re-
presenten a los datos que se están trabajando, 
como las gráficas, que muestran de manera rápida 
su comportamiento. Las características de dichos 
datos comúnmente son las medidas de tendencia 
central que nos permiten tener una idea de su 
comportamiento. Por ejemplo, cuando nos dicen 
que el promedio para ingresar a nivel medio supe-
rior es de 7.5, esto representa el comportamiento 
de calificaciones que deben tener esos alumnos; 
o bien, decir que el color de moda esta primavera 
es el verde determinará que una gran cantidad de 
gente utilice este color.
Las medidas de tendencia central más utili-zadas son media o promedio, mediana y moda.
Para qué obtener estos valores?
Estas medidas se utilizan para resumir en un solo 
valor a una serie de valores. Como su nombre lo in- 
dica, “medidas de tendencia central”, ubican al conjunto de datos en un centro. Éstos en ocasiones pueden representar 
al conjunto de datos y en otras puede suceder que la idea que se dé está muy alejada de la realidad. Un primer ejemplo 
es la edad que tienen los alumnos de tu grupo, si obtenemos el promedio de ellos posiblemente sea de 16 años, esto 
nos indicaría que si tomamos a un alumno de ese grupo su edad estaría muy cerca de los 16 años. En un segundo ejem-
plo, los salarios que perciben los trabajadores de una compañía cualquiera, si el promedio es $8 000, ¿crees que todos 
los trabajadores estarían alrededor de este salario?
1.3 Técnicas de conteo y agrupación en clases 
para la determinación de probabilidades
La probabilidad nace con los juegos de azar y a través del tiempo toma mayor relevancia en la ciencia para la determina-
ción de fenómenos que se pueden predecir con una cierta exactitud. Utilizaremos ejemplos que te permiten entender 
cómo utilizar esta herramienta en diversos problemas.
El factorial de un número entero positivo o cero se define como el producto de todos los números naturales 
menores e iguales a él y está dado por:
! ( – 1)( – 2)( – 3) … 5 4 × 3 × 2 × 1
Donde:
 ! Define la operación factorial.
 El factorial de cero se define como uno, es decir: 0! 1.
El factorial de cinco se escribe como 5!, se lee: “el factorial de cinco” y está dado por:
5! 5 × 4 × 3 × 2 × 1 120
 Ejemplo
28
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
1
Operaciones con factoriales
Se pueden realizar operaciones con el factorial de un número, para ello consideren los siguientes ejemplos.
Escribe el factorial de los siguientes números.
 ) 3! 
 ) 7! 
 ) 10! 
 ) 2! 
 ) 0! 
 Ejercicio 10
Realicemos la siguiente operación: 
5
4
!
!
=
Solución
Por la definición de factorial de un número, el numerador y el denominador de la fracción es:
5
4
5 4 3 2 1
4 3 2 1
5
!
!
=
× × ×3 2
×3 2
=
 Ejemplo
Realiza la siguiente operación:
8
7
!
!
=
 Ejercicio 11
Realicemos la siguiente operación:
7
3 4 4
!
!( )!−
=
Solución
7
3 4 4
7
3 0
7
3
7 6 5 4 3 2 1
3 2 1
!
!( )!
!
! !0
!
!−
= = =
6 56 5 × × ×3 2
×2
= 7 6 5 477 66
 Ejemplo
Realiza las siguientes operaciones.
 ) 
3
3 2
!
( )!−
= ) 
5
6 3
!
( )!−
=
 Ejercicio 12
29
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
 ) 
9
2 9
!
( )!−
=
 ) 
12
12 5
!
( )!−
=
 ) 
14
13 15 13
!
!( )!−
=
 ) 
9
4 7 4
!
!( )!−
=
 ) 
15
13 15 13
!
!( )!−
=
 ) 
7
4 2
!
( )!−
=
 ) 
8
8 4
!
( )!−
=
 j 
13
14 9
!
( )!−
=
 ) 
10
10 9
!
( )!−
=
 ) 
5
3 5 3
!
!( )!−
=
 ) 
51
35 35 33
!
!( )!−
=
 ) 
15
13 27 23
!
!( )!−
=
Análisis combinatorio
En muchas situaciones de la vida diaria y de las matemáticas, en particular en la probabilidad, nos encontramos con el pro-
blema de agrupar elementos de un cierto conjunto, siguiendo un determinado criterio o característica. La parte de las mate-
máticas que se ocupa de esta tarea se le conoce con el nombre de análisis combinatorio o simplemente combinatoria.
El análisis combinatorio nos permite conocer cuál es el número de eventos posibles al realizar un experimento, 
ejemplo de ello son los juegos de azar, en los que se tienen que contar los posibles resultados de números que se 
tienen al jugar la lotería, el melate, el trébol, etcétera.
Principio de suma y multiplicación 
El principio de multiplicación nos permite contar el número de mane-
ras en las que podemos realizar dos eventos, si el primero de ellos se 
puede realizar de cualesquiera maneras, y el segundo igualmente 
de maneras (la segunda inmediatamente después de la primera), 
entonces, ambas operaciones se pueden realizar de × maneras. 
En general, si tenemos eventos, donde el primero de ellos se puede 
realizar de cualesquiera 1 maneras, el segundo inmediatamente des-
pués del primero de 2 maneras y así sucesivamente hasta el enésimo 
evento, el cual se puede realizar de maneras, entonces las ope-
raciones se pueden realizar de 1 × 2 × … × maneras distintas.
Se tienen tres ciudades distintas , y , donde se puede ir de la ciudad a la de tres maneras distintas y de la 
ciudad a la de cuatro maneras distintas. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de la ciudad a la ?
Solución
 
 3 maneras 4 maneras
 Ejemplo
30
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
1
Para cada camino de a se pueden tomar cuatro caminos de a 
Y como tenemos tres caminos de a se puede viajar de la ciudad a la en un total de 3 × 4 12 maneras.
Se tienen tres ciudades , y , donde se puede ir de la ciudad a la de cuatro maneras distintas y de la ciudad 
 a la de tres maneras distintas. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de la ciudad a la ?
 Ejercicio 13
Determinemos lo siguiente: 
Se lanzan tres monedas al aire. ¿De cuántas maneras diferen-
tes pueden caer?
Solución
Cada moneda puede caer de dos formas distintas: águila o sol, 
entonces la operación de lanzar al aire tres monedas, da como 
resultado 2 × 2 × 2 23 8 resultados posibles, en las que 
pueden caer las monedas.
 Ejemplo
Determina lo siguiente:
Se lanzan cinco monedas al aire. ¿De cuántas maneras diferentes pueden caer?
 Ejercicio 14
Determina lo siguiente:
Se lanzan cinco tetraedros al aire. ¿De cuántas maneras diferentes pueden caer?
 Ejercicio 15
Se lanzan tres dados tetraedros (dados de cuatro caras), la cara que cae hacia abajo es la que se toma en cuenta. 
Calculemos de cuántas maneras diferentes pueden caer.
Solución
Cada tetraedro puede caer de cuatro formas distintas, entonces, la operación de lanzar al aire tres tetraedros da como 
resultado: 4 × 4 × 4 43 64 resultados posibles.
 Ejemplo
31
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
Resuelve los siguientes problemas. 
 1. Se lanzan 15 dados al aire. ¿De cuántas maneras diferentes pueden caer?
 2. Se lanzan 20 monedas al aire. ¿De cuántas maneras diferentes pueden caer?
 3. Se lanzan dos dados dodecaedros al aire. ¿De cuántas maneras diferentes pueden caer?
 4. Un arreglo floral se puede hacer con tres colores distintos de rosas: 
dos colores distintos de margaritas y dos tipos de colores de gladio-
las. ¿Cuántos arreglos florales distintos se pueden realizar?
 5. Una aerolínea tiene programados siete vuelos diarios en temporada 
vacacional de la Ciudad de México a Cancún y cinco vuelos de Can-
cún a Isla Mujeres. ¿Cuántas opciones diferentes de vuelo ofrece la 
aerolínea para viajar de la Ciudad de México a Isla Mujeres?
 6. Un restaurante ofrece seis tipos de sopa, ocho tipos de guisado y tres 
tipos de postre. ¿Cuántos tipos distintos de menú podemos tener?
 7. Un experimento consiste en lanzar tres monedas al aire y dos tetrae-
dros. ¿De cuántas maneras distintas pueden caer?
 8. Supón que una placa de automóvil consta de dos letras distintas 
seguidas de tres dígitos distintos. ¿Cuántas placas distintas pueden 
hacerse?
 Ejercicio 16
Dos técnicas de conteo que se consideran importantes en el análisis combinatorio son las permutaciones y las combi-
naciones. En las primeras, el orden es el que importa y en las combinaciones no importa el orden. Ésta es la diferencia 
que se debe tener en cuenta para determinar si es una combinación o una permutación.
Hallemos las permutaciones y combinaciones que se pueden obtener de los números 1, 2 y 3.
 Permutaciones Combinaciones
 123 123
 132
 213
 231
 312
 321
Observemos que cada permutación de los números 1, 2 y 3 es distinta, o sea, cada número obtenido al permutar 
los números 1, 2 y 3 es diferente. En cambio, en las combinaciones, el orden no importa y por ello sólo se tiene un 
resultado. Así los arreglos: 123, 213, 321, 231 y 312, todos son iguales cuando se hablade combinaciones y son di- 
ferentes si se trata de permutaciones, es lo que establecemos como la diferencia entre permutación y combinación.
 Ejemplo
32
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
1
Escribe todas las permutaciones y combinaciones de la palabra tres.
 Ejercicio 17
De todas las permutaciones y combinaciones de la palabra tres, que se forman con dos letras (aunque la palabra 
no tenga sentido).
 Ejercicio 18
Hallen todas las permutaciones y combinaciones de los números 1, 2 y 3 que se pueden formar con dos cifras.
 Solución
 Permutaciones Combinaciones
 12 12
 13 13
 21 23
 23
 31
 32
Como el orden en las combinaciones no importa, es lo mismo tener 12 que 21, 13 y 31, 23 y 32.
 Ejemplo
Determinemos lo siguiente:
¿Cuántas permutaciones de dos cifras se forman con los números 1, 2 y 3?
Solución
Tenemos tres diferentes elementos (1, 2 y 3) y debemos seleccionar dos entre ellos, entonces, 3, 2 y, por 
tanto, el número de permutaciones de dos objetos tomados de tres elementos es:
3 2
3 3 2 1
62 = =
×2
=
!
( )3 2 ! !1
 Ejemplo
Permutaciones
Una ordenación de un conjunto con objetos en un orden dado se llama permutación de los objetos tomados todos 
a la vez. Una permutación de elementos tomados de elementos distintos con , está determinada por:
( , )
!
( )!
= = =
−
P P 
33
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
Determina el número de permutaciones para los valores de y que se dan a continuación:
 ) 5, 3
 ) 3, 3
 ) 5, 1
 ) 7, 4
 ) 9, 5
 ) 10, 6
 ) 8, 3
 ) 7, 5
 ) 9, 4
 ) 11, 10
 Ejercicio 20
Determina lo siguiente:
¿Cuál es el número de permutaciones de dos letras de la palabra tres?
 Ejercicio 19
Determinemos el número de permutaciones, si 4 y 3.
Solución
4
3
4 3
4 4 3 2 1
1
24= =
×3 2
=
!
( )4 3 !
 Ejemplo
Determinemos lo siguiente:
¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con las letras de la palabra AMOR?
Solución
Consideremos que el orden importa debido a que cada palabra tiene un significado diferente.
Por el principio de multiplicación podemos utilizar tres casillas, una por cada letra que ocupará ese lugar.
 
Letras
En la primera casilla puede ir cualquiera de las cuatro letras que forman la palabra AMOR, como consideramos que 
el orden importa; en la segunda casilla sólo pueden ir tres letras y así en la tercera casilla sólo pueden ir dos letras.
 4 3 2 
Letras
Realizamos el producto: 4 × 3 × 2 4! 24 posibles palabras.
Este problema visto como el número de permutaciones de cuatro objetos tomados de tres a la vez, en lenguaje co-
mún es hallar el número de palabras de tres letras diferentes que pueden formarse con las cuatro letras mencionadas.
 Ejemplo
34
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
1
Diagrama de árbol
Otra forma de solucionar este problema es utilizando un diagrama de árbol. Un diagrama de árbol es una represen-
tación gráfica que se utiliza para enumerar todos los posibles resultados de una serie de experimentos en donde cada 
uno puede ocurrir de un número finito de maneras. La construcción de un diagrama de árbol se ilustra a continuación 
para este ejemplo:
La construcción de un diagrama de árbol se ilustra a continuación para la letra A, observa cómo se forman las 
ramas y trata de construir las demás para las letras M, O y R. 
 1ª. letra 2ª. letra 3ª. letra 4. letra palabras que se forman
 O R AMOR
 M
 R O AMRO
 M R AOMR
 A O
 R M AORM
 M O ARMO
 R
 O M AROM
Para realizar el diagrama de árbol para la palabra de tres letras tomadas de la palabra AMOR se procede de la 
siguiente manera: la primera letra se puede elegir de la palabra AMOR de cualquiera de las letras, por ello se colocaron 
las letras de la palabra AMOR en la primera columna; la segunda letra, dado que en la primera opción tomamos la letra A 
(o la M; O; R), en esta rama sólo podemos elegir de las letras palabras restantes M, O, R, por ello en esa rama coloca-
mos esas letras en la segunda columna, en las otras letras se suprime la letra que se tomó. La tercera letra que se elige 
depende de las elecciones hechas anteriormente, en la primera rama se tomaron las letras A y M, así que se pueden 
tomar las letras O y R; en la segunda rama se han tomado las letras A y O, por lo que sólo se pueden elegir M y R; en 
la tercera rama se utilizaron las letras A y R, así que podemos utilizar las letras M y O, por lo que se continúa cada una 
de las ramas hasta que se hayan utilizado todas las letras dadas.
Tenemos permutaciones de tres letras tomadas de cuatro, entonces, tenemos que 4 y 3; por lo tanto, hay:
4 3
4 4
1
4 243 = = =
!
( )4 3 !
!
!
! palabras posibles
Utiliza las tres formas antes descritas y resuelve los siguientes problemas.
 ) ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con las letras de la palabra COPIA?
 ) ¿Cuántas palabras de dos letras se pueden formar con las letras de la palabra AMOR?
 Ejercicio 21
35
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
 1. Realiza en el cuaderno el diagrama de árbol para el problema anterior.
 2. En la bolsa de tu pantalón hay cinco monedas de varias cantidades (cincuenta centavos, un peso, dos pesos, 
cinco pesos y diez pesos). Si se extraen:
 ) Dos ) Tres ) Cuatro ) Cinco
 monedas. Halla el número de formas distintas que pueden salir las monedas.
3. Un saco contiene cinco canicas de colores: blanca, azul, roja, negra y amarilla. ¿De cuántas formas diferentes 
podemos sacar 1, 2, 4 o 5 canicas?
 Ejercicio 22
En un saco hay cinco canicas: blanca, azul, roja, negra y amarilla, si se extraen del saco tres de ellas sin repetición, es 
decir, no se devuelve al saco la canica extraída. ¿Cuántas posibles formas podemos tener?
Solución
Si aplicamos el principio de multiplicación, utilicemos tres casillas: una para cada canica que vamos a extraer.
 
Canicas
En la primera casilla, podemos colocar cinco canicas; en la segunda sólo quedan cuatro dentro del saco, por ello, 
colocamos un cuatro y ahora dentro del saco sólo tenemos tres, por ello, colocamos el tres en la tercera casilla.
 5 4 3 
Canicas
Realizamos el producto 5 × 4 × 3 60 formas distintas en que pueden aparecer las canicas.
Por otra parte, podemos ver este problema como el número de permutaciones de tres canicas tomadas de cinco, 
entonces, 5 y 3.
5 3
5 5 4 3 2 1
603 = =
× × ×3 2
=
!
( )5 3 ! !2
 formas posibles de que salgan las canicas
Una tercera forma es utilizando el diagrama de árbol. Veamos de cuántas formas podemos sacar la primera cani- 
ca, podemos colocar las canicas en un saco o usar una caja y dentro de ésta poner un papelito con el color de la cani ca. 
Ahora, trata de sacar una canica de la caja, ¿cuál crees que puede salir? En efecto, puede ser blanca, azul, roja, negra o 
amarilla, así la primera canica la podemos obtener de cinco formas distintas. La segunda canica la podemos sacar de 
cuatro formas diferentes debido a que ya salió una y la tercera la sacamos de tres formas diferentes, es decir, hay 60 
formas distintas en que podemos extraer tres canicas de un saco que contiene 5, por cualquier método que elijamos.
 Ejemplo
Determinemos lo siguiente:
En el salón de clases desean escoger al jefe de grupo, vocal y tesorero. Si en el salón se tienen 50 alumnos, ¿de 
cuántas formas se pueden elegir?
 Ejemplo
36
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
1
Solución
Tenemos cincuenta formas de elegir al jefe de grupo que es el total de los alumnos del salón, ahora. Si ya escogimos 
al jefe de grupo, sólo tenemos 49 alumnos dentro de los cuales podemos elegir al vocal y ya que se escogió al vocal, 
para elegir al tesorero sólo tendremos 48 alumnos.
 50 49 48 
 Jefe Vocal Tesorero
Es decir, tenemos 117 600 formas distintas de escoger al jefe de grupo, vocal y tesorero. En este problema el orden 
se considera, ya que no tienen las mismasfunciones cada uno de los elementos.
Planteando el problema como el número de permutaciones que se pueden hacer de 50 objetos tomados de tres, 
tenemos que 50 y 3.
50 3
50 50
47
50 49 48 1176003 = = = 4949
!
( )50 3− !
!
!
Resuelve los siguientes problemas. 
 1. Si un equipo de futbol tiene 11 
jugadores y 4 reservas y se desea 
elegir un capitán y el suplente del 
capitán, ¿de cuántas formas se 
puede hacer?
 2. En una compañía que cuenta con 
100 trabajadores se desea elegir 
a un comité sindical formado por 
un representante, un secretario 
y un tesorero, ¿de cuántas formas 
se puede formar el comité?
 3. Entre 40 personas se realiza una rifa de un refrigerador como primer premio y 
de una pantalla como segundo. ¿De cuántas formas se pueden elegir a los dos 
ganadores?
 Ejercicio 23
Determinemos lo siguiente:
Virginia desea realizar una rifa y para ello utiliza los números del 0 al 9. ¿Cuántos números se formarán de tres cifras 
sin repetirse ninguno de ellos?
 Ejemplo
37
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
Solución
Utilicemos el principio de multiplicación, el primer número lo podemos elegir de 10 formas diferentes, el segundo 
de 9 y el tercero de 8 formas.
 10 9 8 
Como son 10 los elementos y queremos tomar tres de ellos, pues nos piden encontrar el número de permutaciones 
de 10, tomados de tres, por ello 3, es decir:
10 3
10 10
7
10 9 8 7203 = = = × 9 =
!
( )10 3− !
!
!
Realiza lo siguiente:
Virginia desea realizar una rifa y para ello utiliza los números del 3 al 9. ¿Cuántos posibles números se formarán de 
4 cifras?, sin repetirse ninguno de los números.
 Ejercicio 24
Permutaciones donde el número de elementos se repiten
Cuando tenemos permutaciones donde los objetos tienen varios artículos iguales y deseamos saber el número de per-
mutaciones de cierto número de ellos, utilizamos la siguiente fórmula.
!
! ! !1 2× × ×
Donde:
 n Objetos que forman el numerador y el denominador. Se forman por los elementos que se repiten: n1, n2, 
…, nr.
Hallemos lo siguiente:
Un saco contiene dos canicas de color verde y dos canicas de color blanco. ¿De cuántas formas se pueden ordenar?
Solución
Sean 1 las dos canicas de color verde, 2 las dos canicas de color blanco y es el número de canicas, o sea, cuatro, 
aplicamos la fórmula anterior.
4
2
6
!
! !2
= formas
 Ejemplo
38
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
1
Resuelve los siguientes problemas.
 1. Un saco contiene tres canicas de color verde y dos canicas de color blanco. ¿De cuántas formas se pueden 
extraer?
 2. En una bolsa hay monedas de varios valores: tres de cincuenta centavos, dos de un peso, dos de cinco pesos y 
dos de diez pesos. Si se extraen del saco monedas, ¿de cuántas formas se pueden ordenar?
 3. ¿Cuántas señales diferentes se pueden formar con ocho banderas colocadas en una línea vertical, si se tienen 
cuatro banderas rojas, tres blancas y una azul?
 4. Una persona tiene seis libros de cálculo diferencial, cinco de física y dos de química. ¿De cuántas formas los 
puede ordenar?
 5. ¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras: NACIONALIDAD, aunque éstas no tengan ningún significado?
 Ejercicio 25
Un grupo de exploradores tiene dos banderas rojas, tres verdes y 
cinco azules. ¿De cuántas formas las puede ordenar?
Solución
Sean 1 las dos banderas de color rojo, 2 las tres banderas de 
color verde, 3 las cinco banderas de color azul y es el número 
de banderas, o sea, 10.
10
2 3 5
2 520
!
! !3 !
=
 Ejemplo
Determinemos lo siguiente:
Una placa se forma por tres números y tres letras. ¿Cuántas placas se pueden obtener?
Solución
Utilicemos seis casillas, una por cada número o letra:
 
 Números Letras
En la primera casilla, podemos colocar nueve números, del 1 al 9, el cero no lo contamos. En la segunda podemos 
colocar 10 números del 0 al 9 (los números se pueden repetir) y en la tercera podemos colocar del 0 al 9, para las 
letras consideremos que el abecedario está formado por 26 letras y excluimos la LL y Ñ. Entonces, el número de 
placas que se pueden formar es:
 9 10 10 26 26 26 
 Números Letras
Realizamos el producto y obtenemos: 9 × 10 × 10 × 26 × 26 × 26 900 × 17 576 15 818 400.
 Ejemplo
39
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
Determinemos lo siguiente:
Se desean realizar placas de tres números y tres letras, con la condición de que las letras no se repitan. ¿Cuántas 
placas se pueden formar?
Solución
Utilizamos el principio de multiplicación, en los números no hay restricciones, por lo que podemos colocar 10 núme-
ros en cada casilla, excepto en la primera que colocamos 9; en la primera casilla de las letras podemos colocar 26, 
como piden que no se repitan, en la siguiente casilla sólo podemos colocar 25 letras, y en la última 24. Realizamos 
el producto y obtenemos:
 9 10 10 26 25 24 14 040 000 placas
 Números Letras
 Ejemplo
Resuelve los siguientes problemas:
 1. ¿Cuántas placas se forman si cada una tiene un número y una letra?
 2. ¿Cuántas placas se forman si cada una tiene tres números y dos letras?
 3. ¿Cuántas placas se forman si cada una tiene tres números y cuatro letras?
 Ejercicio 26
Resuelve los siguientes problemas.
 1. Se desean diseñar placas de tres números y tres letras, con la condición de que las placas no tengan el número 
nueve y la letra A. ¿Cuántas placas se pueden formar?
 2. Se desean realizar placas de tres números y tres letras, con la condición de que las placas no empiecen con un 
número impar y las letras inicien con la letra A. ¿Cuántas placas se pueden formar?
 3. Se desean realizar placas de tres números y tres letras, con la condición de que las letras de las placas no tengan 
vocales y no se repitan las letras. ¿Cuántas placas se pueden formar?
 4. Se desean realizar placas de tres números y tres letras, con la condición de que las letras empiecen con una 
vocal y las demás letras no se repitan. ¿Cuántas placas se pueden formar?
 5. En cierto país se cuenta con un parque vehicular de dos millones de vehículos automotores y se prevé que el 
crecimiento de éstos sea de 10% cada año. ¿Cuántas placas se requieren tener para estos vehículos, si la con-
dición es que tenga el mismo número de letras y números?
 6. Se tienen tres canicas verdes y dos azules en una caja. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sacar cuatro 
canicas?
 7. En un salón de clases de 20 alumnos se desea escoger a tres para el comité (presidente, secretario y vocal). 
¿De cuántas formas diferentes se pueden elegir?
 8. Si una persona juega a la lotería y sabe que los billetes están formados por números de seis dígitos. ¿Cuántos 
números se jugarán?
 Ejercicio 27
40
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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E
1
Combinaciones
En una combinación el orden no importa, la palabras TRES la podemos escribir en diferentes formas: SERT, REST, 
SETR, …, todas tienen diferentes significado. Si el orden se considera, entonces son diferentes y esto recibe el nombre 
de permutación. Si el orden no importa todas son iguales, recibe el nombre de combinación.
Otro ejemplo es cuando se tiran dos dados, si caen: (1, 2) o (2, 1), se considera una sola combinación. Si tenemos 
los números 1, 2 y 3, los números que podemos formar de tres cifras son: 123, 132, 231, 213, 321, 312, para el efecto 
de una combinación todos son iguales.
Cuando deseamos seleccionar elementos de entre elementos diferentes, sin tomar en cuenta el orden, lo 
calculamos utilizando la siguiente fórmula:
( ,
!
!( )!,
) = = = = ( ) = −
Resuelve los siguientes problemas.
 1. Determina el número de combinaciones que se pueden realizar con la palabra MONEDA, tomadas de tres en 
tres. Escribe todas las combinaciones.
 Ejercicio 28
 9. En la televisión existen siete canales disponibles. ¿De cuántas formas se pueden seleccionar tres de ellos?
 10.En una tienda hay cinco tipos diferentes de dulces. ¿De 
cuántas formas se pueden elegir cuatro de ellos? 
 11. Juan cuenta con cuatro camisas y seis pantalones de dife-
rentes colores. ¿De cuántas formas se puede vestir?
 12. Una nevería tiene ocho sabores de helados. ¿Cuántos he-
lados de dos bolas se pueden vender?
 ) Si se repiten los sabores.
 ) Si no se repiten los sabores.
 13. En el problema anterior, si fueran tres bolas de helado, 
¿cuántas formas diferentes de helado se pueden vender? 
Considera que existe un orden en las bolas del helado.
Determina el número de combinaciones que se pueden realizar con la palabra RADIO, tomadas de tres en tres.
Solución
La palabra RADIO se compone de cinco letras, que es el total de elementos, o sea , y de ellos se desean seleccionar 
subconjuntos de tres elementos, o sea .
 5 3
5
3 5 3
=
−
!
!( )!
 =
× × ×5 4× 3 2×× 1
2( )×3 2× 1 ! 
=
× × ×
×
5 4× 3 2×× 1
2 1( )×3 2× 1
 5 2 10
RAD, RAI, RAO, RDI, RDO, ADI, ADO, DIO, RIO, AIO
 Ejemplo
41
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
Resuelve los siguientes problemas.
 1. ¿Cuántos equipos de futbol (11 jugadores) se formarán en un salón de clases de 50 alumnos?
 2. ¿Cuántos equipos de voleibol (seis jugadores) se formarán en un grupo de 50 alumnos?
 Ejercicio 29
 2. Determina el número de combinaciones que se pueden realizar con la palabra EVENTO, tomadas de tres en tres. 
Escribe todas las combinaciones.
 3. Determina el número de combinaciones que se pueden realizar con la palabra PARAGUAS, tomadas de dos en 
dos. Escribe todas las combinaciones.
Determinemos lo siguiente:
Un grupo de cinco amigos desea realizar un torneo de videojuegos, si sólo se cuenta con cuatro controles para jugar. 
¿Cuántos equipos se podrán formar? Un equipo se considera diferente a otro si un amigo es la diferencia.
Solución
El número de amigos es cinco, que es el total de elementos, o sea , y de ellos se desean seleccionar subconjuntos 
de cuatro elementos, o sea . Como el orden no importa, entonces, hablamos de combinaciones donde 5 y 4.
 5 4
5
4 5 4
=
−
!
!( )!
 =
× × ×5 4× 3 2×× 1
( )×4 3× 2 1× ( )1
 5
Si nombramos con A, B, C, D y F a los cinco amigos, las combinaciones que se pueden dar son:
ABCD, ABCF, ABFD, AFCD, FBCD
 Ejemplo
En un salón de clases con 50 alumnos se desea formar equipos de básquetbol de cinco alumnos. ¿Cuántos equipos 
se podrán formar?
Solución
Como el orden no importa, porque todos los alumnos son iguales, entonces hablamos de combinaciones donde 
 50 y 5.
 50 5
50
5 50 5
=
!
!( )!
 =
50
5 45
!
! !4× 5
 =
×
50 49 48 47 46 45× × × × ×× × ×
5 4× 3 2 4× ×× 5
!
!
 10 49 2 47 46 45! 2
 118 760
 Ejemplo
42
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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E
1
 3. Determina el valor de las siguientes combinaciones.
 ) 4 3 ) 16 3 ) 14 7 
 ) 4 1 ) 8 1 ) 16 14 
 ) 8 3 ) 16 16 
 ) 6 4 ) 20 13 
 4. De un grupo de alumnos, se va a seleccionar un grupo de tres para el equipo de atletismo. ¿Cuántos diferentes 
grupos se pueden formar?
 5. En un saco se encuentran seis monedas numeradas, del 1 al 6. ¿De cuántas formas se pueden tomar monton-
citos de tres monedas?
 6. La selección de futbol se forma por 28 jugadores. ¿De cuántas maneras puede integrarse un equipo de 11 ju-
gadores?
 7. La selección de 28 jugadores se forma por tres porteros, nueve defensas, siete medios volantes y nueve delan-
teros. Si se juega una formación 4, 2, 4 (4 defensas, 2 medios, 4 delanteros), ¿de cuántas formas pueden elegir 
a cada posición?
 8. En el problema anterior, si juegan una posición 4, 3, 3, ¿de cuántas formas pueden elegir a cada posición?
 9. Una persona llega a un almacén donde encuentran ocho pantalones diferentes. ¿Cuántas formas diferentes 
pueden elegir cuatro de ellos?
 10. De las camisas, el almacén tiene seis modelos diferentes. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro de ellas?
 11. En una caja de 12 colores tienes que escoger seis. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden elegir?
 12. En un vivero se tienen 20 diferentes tipos de orquídeas. 
¿De cuántas formas diferentes se pueden elegir cuatro? 
 13. Un niño llega a la dulcería donde se tienen 18 dife-
rentes tipos de dulces. ¿De cuántas formas diferentes 
puede elegir 2, 6 y 10 dulces?
 14. Un florista tiene que realizar arreglos florales con ocho 
flores diferentes. ¿De cuántas maneras los podrá hacer, 
si cuenta con 15 diferentes tipos?
 15. El dueño de un restaurante sabe que una persona se 
come cuatro de sus tacos. Si tiene 12 platillos, ¿de 
cuántas formas puede elegir?
 16. Comprueba la siguiente igualdad, sí es o no verdadera: 
 – 1 ( – 1)!
 17. En cierto sorteo se eligen cinco números de un total de 39. Determina la cantidad de números que se juegan:
 ) Si el orden no importa.
 ) Si el orden importa.
 18. En un salón de clases se tienen 23 hombres y 27 mujeres, se desea elegir a un grupo de cuatro hombres y cinco 
mujeres. ¿De cuántas formas se puede elegir al grupo?
43
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
LECTURA SUGERIDA
https://es.wikipedia.org/wiki/Paradojas_de_Zenon
Actividades a realizar
 1. Lee el artículo de la liga anterior y escribe las palabras que no entiendas, busca su significado.
 2. Contesta las preguntas que se realizan.
 ) ¿Cuál es la idea central del artículo?
 ) ¿Cuándo surge la combinatoria?
 ) ¿En dónde y cuándo aparece la combinatoria?
 ) Investiga dos trabajos sobresalientes de Wilhelm 
Leibniz.
 ) A qué se debe que la combinatoria sea conside-
rada como una nueva e independiente rama de 
las matemáticas.
 ) ¿A quién se debe el desarrollo de la combina-
toria?
 ) ¿Cuál es la importancia que tiene este artículo 
con otras materias?
 
 19. Una persona tiene tres pares de zapatos de distintos 
colores, seis camisas de colores distintos y cuatro pan-
talones también de distinto color. ¿Cuántos días puede 
vestirse sin repetir la combinación?
 20. Néstor llega a comer a un restaurante, el menú indica 
tres tipos de sopa, cuatro guisados, agua o refresco y dos 
postres. ¿De cuántas formas puede elegir su comida? 
 21. Con tres letras distintas: a, b y c, ¿cuántas palabras dife-
rentes de dos letras se pueden formar con repetición y 
sin repetición?
44
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
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T
E
1
ACTIVIDAD TRANSVERSAL 
Proyecto: Estudio de la población de nuevo ingreso
Una de las aplicaciones de la estadística es el manejo de la información y la relación que existe entre los datos que se obtienen. En 
las siguientes actividades transversales tendrás la oportunidad de poner en juego tus habilidades y los conocimientos adquiridos 
en cada una de las unidades, la información que se va a obtener permite al alumno el manejo de la información en la práctica, por ello 
te sugerimos seguir con atención las siguientes instrucciones.
Deduce y aprende
La Encuesta
Propósito: Aplicará un cuestionario para determinar el tipo de datos, la forma de encuestar, la frecuencia, moda, promedio, rango y 
determinar probabilidades.
 
 1. Se forman equipos de 4 o 5 alumnos.
 2. Aplicación del cuestionario a los alumnos de nuevo ingreso o del menor de los grados escolares de tu escuela con un mínimo de 
15 cuestionarios por alumno del equipo, que se encuentra al final de esta actividad.
 3. Se reúnen los integrantes de cada equipo para determinar la forma de trabajo, considerando para ello, la mejor forma de organizar 
la información, toma en cuenta las preguntas que debes de contestar.
 4. En cada una de las preguntas, indica qué tipo de dato es.
 5. En cada una de las preguntas ordena la información de mayor a menor, en caso de que no se pueda, indica por qué.
 El número de datos es n = 
 El dato mayor es DM = 
 El dato menor es Dm = 
 Realiza la diferencia del dato mayor menos el dato menor, Rango = DM – Dm = 
 6. El número de veces que se repite un dato se llama frecuencia,en cada una de las preguntas realiza una tabla con las siguientes 
columnas, anota el número de veces que se repite cada dato. (Realízalas en tu cuaderno.)
 7. Otro elemento muy conocido es el promedio, cuando tú calculas el promedio de tus calificaciones ¿qué es lo que haces? 
 
 8. De la misma manera podemos obtener el promedio de cada uno de los datos, los sumamos y los dividimos entre el número de 
datos n. ¿Cuál es el promedio de cada uno de los datos de la encuesta? Realízalo en tu cuaderno o usa los medios 
electrónicos.
 
45
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
 9. Otra forma de encontrar el promedio es utilizando la columna C de la tabla A, la cual se obtiene multiplicando el dato (columna A) 
por la frecuencia (columna B) y se coloca en la columna C, suma la columna C y el resultado lo divides entre la suma de la columna 
B con lo que se obtiene el promedio . Compara los resultados de los incisos 7 y 8, ¿cómo son? 
 10. Observa la tabla A, en la columna de la frecuencia. ¿Cuál es el número mayor? ¿Hay coincidencias? ¿A qué valor o 
valores corresponden en la columna A? , a este valor se le llama moda.
 ¿Cómo defines la moda? 
 11. Seleccionemos una de las hojas del cuestionario, para elegirlo, piensa un número y cuenta el número de hojas y toma la que está 
en ese lugar, verifica si coinciden los datos con la media o la moda que determinaste. Recuerda que esto es sólo un pronóstico de 
lo que esperamos que suceda, pero no es suficiente para determinarlo.
 12. Elige un renglón de la columna B de frecuencias y divídelo entre la suma de las frecuencias, exprésalo en forma decimal. ¿Qué 
nombre recibe este valor? Realízalo para cada dato.
 Cuando se tiene una información, lo importante es poder procesarla de la mejor forma, ello nos permite tomar decisiones más 
acertadas, por esta razón muchas compañías forman sus bancos de datos, esta información es procesada a tal grado que se pueda 
determinar con exactitud la decisión que se va a tomar.
 13. Contesta lo que se te pide.
 a) Crees que son suficientes estas medidas para tomar decisiones. 
 b) ¿El promedio o la moda son representativos de la información que se tiene? 
 c) ¿Qué tipos de probabilidad conoces? 
 d) Cuando se calcula la probabilidad, ¿tenemos la certeza de que sucederá ese evento? 
 e) Si un alumno tarda en promedio en llegar a la escuela, ¿implica que todos tardan lo mismo? 
 f) ¿Los alumnos que se toman son una muestra o es la población? 
 
 
46
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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1
Cuestionario que se sugiere:
Examen de ingreso al NMS
Puntaje del examen Promedio de la secundaria Grupo en el que estás inscrito 
 I. Datos personales
 Nombre del alumno 
 Tiempo que tardas en trasladarte a la escuela 
 Edad Sexo M-F Estado civil Núm. de hermanos 
 Estado civil de los padres: Casados Divorciados Unión libre Separados Otra
 II. Datos del padre: Edad 
 Grado máximo de estudios:
 Sin estudios Preparatoria Licenciatura 
 Primaria Carrera trunca Maestría 
 Secundaria Carrera comercial/técnica Doctorado 
 III. Datos de la madre: Edad 
 Grado máximo de estudios:
 Sin estudios Preparatoria Licenciatura 
 Primaria Carrera trunca Maestría 
 Secundaria Carrera comercial/técnica Doctorado 
 IV. Preguntas para el estudiante
 ¿Tienes un lugar específico de estudio? Sí No 
 ¿Existe privacidad en tu espacio de estudio? Sí No 
 ¿Tienes computadora? Sí No ¿Tienes acceso a Internet? Sí No 
 ¿Trabajas? Sí No ¿Con quién vives? 
 ¿Tienes horario de estudio? Sí No ¿Controlas tu tiempo? Sí No 
 ¿Estás en la escuela que deseas? Sí No Procedencia Secundaria: Pública 
Privada 
 ¿Cursaste secundaria?: Diurna Técnica Para trabajadores Foránea 
Problemas de conteo
 1. Toda la sangre está compuesta de los mismos componentes. El tipo de sangre depende de dos factores: el grupo 
sanguíneo con base en los antígenos A, B, AB y O y el factor Rh, que puede ser positivo o negativo. Determina los 
tipos de sangre que se pueden formar.
 2. En un hospital se tiene que clasificar a los pacientes de acuerdo con el tipo de anemia que tienen y su tipo de 
sangre, si los tipos de anemia son: deficiencia de B12, deficiencia de folato, ferropénica, por enfermedad crónica, 
hemolítica aplástica, idiopática y megaloblástica, perniciosa, drepanocítica y talasemia, y los tipos de sangre son: 
A+, A–, B+, B–, AB+, AB–, O+ y O–. Determina los tipos de paciente que se tendrán en el hospital.
47
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
Resuelve los siguientes problemas.
 1. Si no se permiten repeticiones, ¿cuántos números de tres dígitos se pueden formar con los números 4, 5, 6, 7, 
8, 9?
 2. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar en una reunión a siete personas, en una fila de siete sillas?
 3. ¿De cuántas formas diferentes se puede elegir un comité formado por un secretario, una vocal y un tesorero de 
un total de 30 trabajadores?
 4. Juan escribe cinco cartas de amor para su novia que vive en Yucatán, al llegar a la oficina de correos se da 
cuenta que hay cuatro buzones para depositar sus cartas. ¿De cuántas maneras las puede depositar?
 5. En un evento deportivo a seis jugadores se les colocará al azar las letras A, B, C, D, E y F. ¿De cuántas maneras 
se pueden colocar las letras?
 6. Cinco amigos, al salir de la escuela, abordan el coche de uno de ellos. ¿De cuántas maneras se pueden acomo-
dar si el dueño maneja?
 7. Con cuatro lienzos del mismo tamaño y de color distinto cada uno: azul, verde, blanco y rojo, ¿cuántas banderas 
de tres colores, sin repetirse, se pueden formar?
 8. En una urna se tienen 4 bolas blancas, 5 azules y 7 rojas. Si se extraen dos bolas determina las siguientes pro-
babilidades: que la segunda bola sea blanca, con reemplazo y sin reemplazo.
 9. Una persona realiza una rifa con 20 boletos. Un primer premio consta de $20 000 y el segundo de $10 000. 
Determina la probabilidad de sacar el segundo premio.
 10. Se lanza un dado dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que en la segunda vez salga el 3?
 11. Se extraen tres cartas de una baraja inglesa (52 cartas). ¿Qué probabilidad tiene la tercera carta de salir un as si se 
extraen las cartas con reemplazo o sin reemplazo?
 12. Se sacan dos cartas al azar de una baraja inglesa, una a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que en cada evento 
las dos cartas sean ases?
 13. En un saco se tienen cuatro canicas de diferentes colores: verde, blanca, amarilla y roja, se saca una canica, se 
observa su color y se regresa al saco; se repite el mismo procedimiento: se saca una segunda canica y se re-
gresa al saco. ¿Cuál es el espacio muestral de este evento? Si la canica no se regresa al saco, ¿cuál es el espacio 
muestral?
 14. Tiran un dado rojo, uno rosa y uno azul, y se realiza la diferencia del dado rojo menos el azul más el dado rosa. 
¿Cuál es el espacio muestral?
EVALUACIÓN SUMATIVA
CIERRE
48
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
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1
 15. En un grupo de 50 alumnos que estudian idiomas se sabe que 35 estudian inglés y 42 francés. Si se elige 
un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sólo estudie inglés? ¿Cuál es la probabilidad de que estudie 
ambos? ¿Cuál es la probabilidad de que estudie inglés o francés?
 16. Se sabe que 10% de los teléfonos celulares fabricados por una máquina tienen algún defecto. Si se seleccio-
nan al azar 10 teléfonos celulares fabricados por esta máquina, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno esté 
defectuoso? ¿Cuántos se encontrarán defectuosos?
 17. Si se lanza una sola vez cinco dados, ¿cuál es la probabilidad de que salga al menos un 3? ¿Cuál es la probabi-
lidad de que salgan al menos dos 3?
 18. Si una pareja tiene 6 hijos y tiene la misma probabilidad de tener niña o niño.Halla la probabilidad de que:
 ) Sean 3 niñas y 3 niños.
 ) Menos niñas que niños.
 ) Más niñas que niños.
 ) Al menos una niña.
 19. Tenemos tres urnas: con tres bolas rojas y cinco negras, con dos bolas rojas y una negra, y con dos bolas 
rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la proba-
bilidad de haber sido extraída de la urna ?
49
 EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE 
1. AUTOEVALUACIÓN
Aspecto a evaluar Excelente Bueno Regular Satisfactorio
Realicé los ejercicios 
correctamente
Más de 90%
Valor 15 puntos
Entre 80 y 89%
Valor 11 puntos
Entre 70 y 79%
Valor 7 puntos
Menos de 70%
Valor 3 puntos
Trabajé en equipo, 
resolví las actividades 
Deduce y aprende
Más de 90%
Valor 15 puntos
Entre 80 y 89%
Valor 11 puntos
Entre 70 y 79%
Valor 7 puntos
Menos de 70%
Valor 3 puntos
Actividad integradora, 
ver puntaje Valor 10 puntos Valor 7 puntos Valor 4 puntos Valor 2 puntos
Lectura de la unidad
Contesté correctamente 
más de 90% de las 
preguntas
Valor 5 puntos
Contesté correctamente 
entre 80 y 89% de las 
preguntas
Valor 4 puntos
Contesté correctamente 
entre 70 y 79% de las 
preguntas
Valor 3 puntos
Contesté correctamente 
menos de 70% de las 
preguntas
Valor 2 puntos
Trabajo extra clase
Realicé todas mis 
tareas
Valor 5 puntos
Realicé 80% de mis 
tareas
Valor 4 puntos
Realicé 60% de mis 
tareas
Valor 3 puntos
Realicé 50% de mis 
tareas
Valor 2 puntos
Suma de puntos por 
columna
Total de las columnas De 45 a 50 puntos De 40 a 44 puntos De 35 a 39 puntos Menos de 35 puntos
2. AUTOEVALUACIÓN DISCIPLINAR
Resuelve los problemas de recuperación de información, y contesta el dominio que tienes de los siguientes conceptos.
Concepto Lo domino No lo domino
Tipo de datos
Tipo de recolección de datos
Población y muestra
Espacio muestral
Enfoques de probabilidad
Las medidas de tendencia central
Factorial de un número
Operaciones con números factoriales
Diagrama de árbol
Principio de suma
Principio de multiplicación
Permutaciones
Combinaciones
P
A
R
T
E
2
Eje
Del manejo de 
la informacion 
al pensamiento 
estocástico
Aprendizajes esperados
 Reconocen la diversidad de situaciones que precisan de la 
incertidumbre en el tratamiento del riesgo.
 Modelan con estadística y probabilidad el estudio de la in-
formación.
 Organizan la información recolectada de la situación estu-
diada.
 Construyen fórmulas de probabilidad.
Productos esperados
 Construir tablas de frecuencia.
 Calcular la probabilidad de un evento dado.
APERTURA
Evaluación diagnóstica
Instrucciones: Anota en el paréntesis la respuesta correcta:
 1. Es el número de veces que se repite un dato: ( )
 ) Intervalo ) Población
 ) Frecuencia ) Muestra
 2. La estadística se divide en descriptiva e: ( )
 ) Población ) Inferencial
 ) Muestra ) Frecuencia
Segunda parte
Componentes
 Riesgo, inferencia y aleatoriedad: Elementos de la Es-
tadística y la Probabilidad.
Contenido central
 Concepto de riesgo en situaciones contextuales. Contex-
tualización de los elementos de probabilidad condicional e 
interpretación intuitiva del teorema de Bayes (probabilidad 
subjetiva).
Contenidos específicos
 2.1 ¿Qué es el riesgo?, ¿qué papel juega la probabilidad y esta-
dística en el estudio del riesgo?
 2.2 Usos de la estadística y probabilidad en situaciones dadas.
 2.3 Análisis de la información.
 2.4 Nociones de incertidumbre, azar y aleatoriedad.
 2.5 Tipos de eventos en el estudio de la probabilidad.
52
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
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E
2
 3. Es una parte de la población. ( )
 ) Moda ) Mediana
 ) Promedio ) Muestra
 4. Los tipos de datos son cuantitativos y: ( )
 ) Cualitativos ) Numéricos
 ) Alpha ) Muestra
 5. De los tipos de recolección de datos, ¿cuál crees que es la más económica? ( )
 ) Por teléfono ) De puerta en puerta
 ) Entrevista personal ) Utilizando el correo
 6. Son medidas que se obtienen de la población: ( )
 ) Muestra ) Parámetros
 ) Estadístico ) Población
 7. Las frecuencias son simples y: ( )
 ) Clase ) Marca de clase
 ) Intervalo ) Relativas
 8. Representa en la tabla de distribución de frecuencias el punto medio del intervalo: ( )
 ) La clase ) La marca de clase
 ) El límite inferior ) El límite superior
 9. Los tipos de gráficas que utilizan la marca de clase se llaman: ( )
 ) De barras ) Histogramas
 ) Pie ) Polígono de frecuencias
 10. Una gráfica circular recibe el nombre de: ( )
 ) De barras ) Histogramas
 ) Pie ) Polígono de frecuencias
53
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE 
Tema integrador
Secuencia didáctica
Deduce y aprende
Aprendiendo a contar
Propósito: Desarrolla sus habilidades de contar considerando que el orden no importa.
Material: Cinco canicas de diferentes colores.
Contesta las siguientes preguntas:
 • ¿Cuál es el valor de 5!?
 • ¿Cuál es el valor de 3!?
 • ¿Cuál es el valor de (5 – 3)!?
 • ¿Cómo se expresa el producto 5 4 3, utilizando la notación de factoriales?
 • ¿Cómo se expresa el producto 6 5 4, utilizando la notación de factoriales?
 • Obtén el valor de las siguientes permutaciones:
 
5
P
5
 
 
5
P
4
 
 
5
P
3
 
Desarrollo de la actividad 
 1. Formen equipos de cinco alumnos.
 2. Continúen con la formación de su portafolio de evidencias.
 3. Coloca cuatro canicas de distintos colores en el saco. ¿De cuántas formas se 
puede sacar la primera canica? 
 4. Construye un árbol que represente sacar tres canicas del inciso anterior y escribe 
todas las tercias que se forman.
 5. Determina el valor de 
4
P
3
 
 6. Compara los resultados obtenidos en 4 y 5.
 7. En las tercias formadas revisa cuáles son iguales, si el orden no importa, por 
ejemplo si las canicas son de color azul, negro y rojo, consideramos que son 
iguales las tercias, por ejemplo:
 negro, azul y rojo 
 negro, rojo y azul 
 rojo negro y azul 
 
 
 
54
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
2
 8. Escribe las tercias que no son iguales:
 
 9. Consideremos una de las tercias, por ejemplo, negro, azul y rojo. ¿Cuántas veces se repite en las tercias formadas en el punto cuatro? 
 
 Si contestaste seis, contaste correctamente, esto se debe a que el número de permutaciones de las tres canicas es 3!, o sea que 6 
veces se está contando cada tercia, por ello el número de tercias formadas la dividimos entre 3!, lo que representamos:
 
4 3
3
4
3 2
4 3 2
1
3 2
4 3 2
3 2
43
!
!
( )4 3 !
= =
×3
=
×3
=
 En general, una combinación se puede escribir como:
 
( )(( )( )...( ( ))
!
)(()(( )...( () (
 En el ejemplo anterior, los valores de n 4 y r 3 los sustituimos en la fórmula para comprobar cómo trabaja esta fórmula.
 
4 3 1
3 2
4 3 2
3 2
4
( )4 1 ( (4 ))1 4
=
×3
=
 Esta fórmula nos permite el cálculo de las combinaciones de n elementos tomados de r en r.
 Multipliquemos la fórmula anterior por el cociente de 
(( )
(( )
!
!
 
( )( )(( )...( ( ))
!
( )!
( )!
×
)()( )...( () (
 Realizando operaciones en el numerador
 
( )( )( )...( )( )
!( )!
)(
−
)()( 1)...() ( +
 El numerador es el factorial de n, lo que escribimos como
 = −
!
!( )!
 10. Dado el conjunto de canicas de colores {azul, verde, negro y blanco} obtén todos los subconjuntos de tres canicas que se puedan dar.
Cierre de la actividad
Contesta las siguientes preguntas:
 1. En una urna se colocan tres canicas azules, dos blancas y una roja. 
¿De cuántas maneras distintas se pueden extraer dos canicas?
 2. En el mercado existen 7 compañías telefónicas, las cuales se identi-
fican por los primeros dos dígitos; si un número telefónico consta de 
ocho dígitos, ¿cuántos números tiene cada compañía telefónica?
 3. Si en una ciudad un número telefónico consta de 6 dígitos,¿cuántos 
números telefónicos se pueden realizar?, toma en cuenta que no em-
pieza con cero.
55
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE 
 4. En el problema anterior, si se utilizan las letras marcadas en cada tecla, ¿cuántos números se podrán realizar?
 5. Demuestra las siguientes propiedades.
 1. ! 2. 1 
 
 6. De un grupo de sexto semestre de bachillerato se han escogido a seis alumnos con promedio de nueve, de ellos se formará un equi-
po integrado por cuatro alumnos, que representen al grupo en un encuentro académico. ¿De cuántas maneras se puede formar el 
equipo?
 
 7. ¿De cuántas maneras se puede elegir una comisión de cinco alumnos que representen al grupo durante todo el año? El grupo está 
integrado por 40 alumnos.
Apertura Desarrollo Cierre
• Formen equipos de cinco 
alumnos.
• Formen su portafolio de evidencias. • Escriban en el cuaderno el análisis que 
hicieron sobre la situación didáctica.
• Lean la secuencia didáctica 
que se plantea.
• Reunidos los alumnos del equipo discutan 
cómo realizarán las actividades.
• Realiza un mapa mental de la unidad.
• Analicen los problemas. • Resuelve los problemas que se plantean en 
el desarrollo
• Contesta las preguntas del desarrollo.
• Resuelve los ejercicios del cierre de la 
actividad.
56
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
2
Rúbrica para evaluar la secuencia didáctica del tema integrador
Aspecto a 
evaluar
Excelente 
(4)
Bueno 
(3)
Satisfactorio 
(2)
Deficiente 
(1)
Análisis de 
la situación 
didáctica
Realiza una investigación 
completa de la situación 
y realiza el mapa mental.
Realiza una investigación 
clara y convincente 
y realiza el mapa mental.
La investigación no es 
clara y sólo se presentan 
recortes de páginas web 
y no realiza el mapa 
mental.
La investigación es 
deficiente y no aporta 
conocimientos claros y no 
realiza el mapa mental.
Desarrollo 
del tema 
integrador
Contesta más de 90% 
de todas las preguntas 
y realizó todas las 
actividades.
Contesta entre 70 y 89% 
de todas las preguntas 
y realizó todas las 
actividades.
Contesta entre 60 y 69% 
de todas las preguntas 
y realizó todas las 
actividades.
Contesta menos de 60% 
de todas las preguntas 
y realizó todas las 
actividades.
Presentación 
de resultados
Contesta más de 90% 
de todas las preguntas 
y realizó todas las 
actividades.
Contesta entre 70 y 89% 
de todas las preguntas 
y realizó todas las 
actividades.
Contesta entre 60 y 69% 
de todas las preguntas 
y realizó todas las 
actividades.
Contesta menos de 60% 
de todas las preguntas 
y realizó todas las 
actividades.
Propósito
Que el estudiante analice fenómenos sociales o naturales, utilizando las herramientas básicas de la estadística descriptiva y de la teoría 
de la probabilidad para muestrear, procesar y comunicar información social y científica, para la toma de decisiones.
¿Qué aprenderás?
 • En esta unidad manejarás las técnicas de contar más conocidas, las permutaciones y las combinaciones, las cuales aplicarás a la 
resolución de problemas.
¿Para qué te servirá?
Estos cálculos constituyen una herramienta muy importante en las técnicas de conteo y te permitirá contar el número de eventos que 
tendrá un periodo, para aplicar a la solución de problemas.
57
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE 
DESARROLLO
2.1 ¿Qué es el riesgo?, ¿qué papel juega la probabilidad 
y estadística en el estudio del riesgo? Usos de la 
estadística y probabilidad en situaciones dadas
La palabra riesgo proviene del árabe , indica que alguien está a punto de sufrir un daño. Etimológicamente, “risco” 
significa un peñasco alto.
Una amenaza la podemos definir como una acción que anticipa la intención de dañar a alguien en caso de que 
el sujeto no cumpla con ciertas condiciones. Un riesgo se puede definir como la probabilidad de que una amenaza se 
convierta en un desastre y, por último, decimos que un desastre es el que produce un daño o destrucción.
Así entonces, podemos decir que un riesgo es una acción que anticipa la intención de dañar a alguien produciendo 
un daño. Debemos señalar que riesgo y peligro no son lo mismo, el riesgo es el resultado de salir dañado y el peligro 
se refiere a la probabilidad del daño.
Existen un de riesgos, por ejemplo, cuando sales de tu casa a la escuela estás expuesto a una serie de 
riesgos: el que te tropieces y caigas, el que un auto te atropelle, el caerte del camión, contraer una enfermedad, el que 
un auto choque etcétera.
Así, la estadística nos permite llevar un control del número de veces que ocurre un riesgo, por ejemplo, el que un 
automóvil choque, y así poder determinar la probabilidad de que ocurra un siniestro, lo que permitirá a las compañías 
aseguradoras determinar el valor que tendrá un seguro de automóviles. O por ejemplo el número de personas de cierta 
edad que morirán en un accidente, obviamente no sabremos qué personas van a sufrir un accidente pero sí la cantidad. 
Otro caso que podemos citar es lo que escuchamos a diario, el número de autos que se roban en la ciudad, con ayuda 
de la estadística determinamos cuántos autos se roban, y con la probabilidad se establece qué posibilidad tiene una 
persona de que le roben su auto.
Discute con tus compañeros: a) las zonas donde se roban más autos, es decir, las zonas de mayor riesgo, b) cuáles 
son los autos de mayor riesgo de robo.
2.2 Usos de la estadística y probabilidad en situaciones dadas
La estadística y la probabilidad son materias relativamente nuevas, la primera trabaja sobre una gran cantidad de datos, 
los cuales recolecta, describe e interpreta; la segunda establece la posibilidad de que un hecho suceda. A continuación 
se realiza una actividad donde pondremos en juego estos dos conceptos.
Deduce y aprende
El peso
Propósito: Desarrollará sus habilidades para organizar una serie de datos.
Conocimientos previos: Conocimientos básicos de aritmética.
Material: Impreso
Desarrollo de la actividad
 1. Formen equipos de tres alumnos.
58
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
2
 2. Todos los alumnos del salón escriban su peso (o el peso que quisieran tener) en el pizarrón. Anótenlos en el siguiente cuadro.
 3. En la siguiente tabla ordenen los datos en forma creciente o decreciente, como lo deseen.
Tabla A ordenada
 4. El número de datos es 
 5. El dato mayor es 
 6. El dato menor es 
 7. Realiza la diferencia del dato mayor menos el dato menor, esta diferencia recibe el nombre de rango 
 8. Al número de veces que se repite un dato, se le llama frecuencia: en la siguiente tabla anota el número de veces que se repiten los pesos.
Tabla B
Columna A
Peso
Columna B
Frecuencia
Columna C
Multiplica el peso 
por la frecuencia
Columna D
Frecuencia relativa
Suma
59
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE 
 9. Otro elemento muy conocido es el promedio. Cuando tú calculas el promedio de tus calificaciones ¿qué es lo que haces? 
 
 10. De la misma manera podemos obtener el promedio de los pesos: sumamos todos los pesos y dividimos entre el número de datos. 
¿Cuál es el promedio? 
 11. Otra forma de encontrar el promedio es utilizando la columna C de la tabla B, la cual se obtiene multiplicando el peso (columna A) por 
la frecuencia (columna B) y se coloca en la columna C, suma la columna C y el resultado lo divides entre la suma de la columna B, con 
lo que se obtiene el promedio . Compara los resultados de los incisos 10 y 11, ¿cómo son? 
 12. Observa la tabla B; en la columna de la frecuencia, ¿cuál es el número mayor? ¿A qué valor de la columna A corres-
ponde? A este valor se le llama moda.
 13. Seleccionemos a uno de los alumnos del salón de clases ¿Qué peso crees que tendrá? . Para elegir al alumno, piensa un 
número entre uno y diez, cuenta los lugares iniciando por la fila que tú desees y pregúntale su edad. ¿Qué medidase puso en juego, 
la moda o el promedio? Recuerda que esto es sólo un pronóstico (probabilidad) de lo que esperamos que suceda, 
pero no es suficiente para determinarlo.
 14. Cuando se tiene una información, lo importante es poder procesarla de la mejor forma, ello nos permite tomar decisiones más acer-
tadas. Por esta razón muchas compañías forman sus bancos de datos, esta información es procesada a tal grado que se pueda deter-
minar con una gran exactitud la decisión que se va a tomar.
 15. Ahora, entre los integrantes del equipo, definan con sus propias palabras 
los siguientes términos:
 Tabla: 
 Frecuencia: 
 Rango: ___________________
 Promedio: 
 Moda: 
 16. Obtengan la columna D dividiendo cada valor de la columna B, entre 
la suma de la columna B, este valor que se obtiene es la probabilidad 
frecuencial, la cual se puede representar como:
P (A ) 
Casos favorables
Total de casos
 la cual se representa como un número decimal entre 0 y 1.
Actividad socioemocional
Tu maestro:
 1. ¿Cómo lo consideras?
 
 2. ¿Crees que él propicia tu desarrollo?
 
 3. ¿Resuelve tus dudas?
 
 4. ¿Sabes cómo te calificará?
 
 5. ¿Tus calificaciones son acordes a tu dedicación?
 
 
60
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
2
2.3 Análisis de la información
Distribución de frecuencias
La tabla de distribución de frecuencias permite ordenar los datos en una forma sistemática. Consiste en agrupar los 
datos en clases, cada clase es un intervalo donde los extremos se llaman límites del intervalo. Los datos pueden pre-
sentarse en forma individual o formando grupos, la segunda forma se utiliza cuando el volumen de los datos es muy 
grande. A continuación, se muestran las columnas que forman una tabla de distribución de frecuencias.
Tabla 2.1 Distribución de frecuencias
1 
Clase
2 
Intervalo de clase
3 
Límites reales 4 
Marca 
de clase 
(mi)
Frecuencia 
absoluta
Frecuencia 
acumulada
Frecuencia 
complementaria
Límite 
inferior
Límite 
superior
Inferior Superior
5 
Simple 
(fi )
6 
Relativa 
(Fi)
7 
Simple 
(fa)
8 
Relativa 
(Fa)
9 
Simple 
(fc)
10 
Relativa 
(Fr)
Sumas
Descripción del llenado de la tabla
Ahora, describiremos el llenado de cada una de las columnas y al mismo tiempo realizaremos ejercicios que primero 
te permitan comprender qué es lo que intentamos realizar. Las columnas se han marcado con números y el tipo de 
notación que se utiliza para representarlas.
Realicemos la tabla de distribución que representa los ingresos en miles de pesos de 56 personas de una cierta 
compañía. Primero ordenamos los datos en forma decreciente o creciente, en nuestro caso optamos por la segunda.
28 23 19 19 18 23 20 20
27 21 23 17 15 16 19 19
17 31 18 17 25 13 20 17
24 26 22 26 11 19 15 23
24 20 24 21 22 21 19 25
17 23 20 18 27 24 20 29
22 21 12 21 26 16 16 17
 
11 13 15 15 16 16 16 17
17 17 17 17 17 18 18 18
19 19 19 19 19 19 20 20
20 20 20 20 21 21 21 21
21 21 22 22 22 23 23 23
23 23 24 24 24 24 25 25
26 26 26 27 27 28 29 31
 Ejemplo
61
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE 
 1. Se llama clase a los intervalos donde se agrupan los datos que pueden ser de tipo cuantitativo o cualitativo.
 Tomemos cinco clases para nuestro ejemplo, en forma cuantitativa las representamos de la siguiente manera:
Tabla 2.1 Distribución de frecuencias
1 
Clase
2 
Intervalo de clase
3 
Límites reales 4 
Marca 
de clase 
(mi)
Frecuencia 
absoluta
Frecuencia 
acumulada
Frecuencia 
complementaria
Límite 
inferior
Límite 
superior
Inferior Superior
5 
Simple 
(fi )
6 
Relativa 
(Fi)
7 
Simple 
(fa)
8 
Relativa 
(Fa)
9 
Simple 
(fc)
10 
Relativa 
(Fr)
1
2
3
4
5
Sumas
En forma cualitativa se pueden representar de la siguiente forma:
Tabla 2.1 Distribución de frecuencias
1 
Clase
2 
Intervalo de clase
3 
Límites reales 4 
Marca 
de clase 
(mi)
Frecuencia 
absoluta
Frecuencia 
acumulada
Frecuencia 
complementaria
Límite 
inferior
Límite 
superior
Inferior Superior
5 
Simple 
(fi )
6 
Relativa 
(Fi)
7 
Simple 
(fa)
8 
Relativa 
(Fa)
9 
Simple 
(fc)
10 
Relativa 
(Fr)
Muy alto
Alto
Mediano
Bajo
Muy bajo
Sumas
 En nuestro ejemplo, el rango se obtiene a partir de los siguientes valores.
 El valor más grande es: 31
 El valor más pequeño es: 11
 La diferencia es 20.
 Por tanto, el rango es igual a 20.
 2. Los intervalos de clase o intervalo exacto son aquellos donde pueden agruparse los datos de una variable 
estadística. Es conveniente que cuando se seleccione el número de intervalos o de clases NC, éste no sea muy 
pequeño o muy grande, esto depende de la experiencia del analista que realice la tabla. En ocasiones, se toma el 
criterio de la raíz cuadrada del número de datos, en otras la raíz cúbica o la regla de Storges que está dada por la 
ecuación:
NC = 1 + 3.3 log n
62
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
2
 Donde:
 Número de datos u observaciones.
 Para obtener la amplitud del intervalo se divide el rango entre el número de clases que se seleccionaron, si éste 
es fraccionario se redondea a la unidad de variación siguiente:
Amplitud del intervalo
Rango
NC
= = =
20
5
4
Encuentra el número de clase utilizando la regla de Storges, redondea el entero mayor y halla el número de intervalos 
o de clases NC.
NC 
 Ejercicio 1
Se llama unidad de variación a la medida que se está utilizando. Por ejemplo, cuando hablamos de peso nos 
referimos a kilogramos como unidad de variación; si hablamos de estatura, la unidad de variación estará dada en cen-
tímetros, aunque posiblemente podríamos tomar como unidad de variación los milímetros, poco acostumbrado; en 
cambio, no sería correcto tomar kilómetros. En nuestro ejemplo, la unidad de variación es miles de pesos.
El intervalo de clase se forma por el límite inferior y el límite superior. El límite inferior de la primera clase es 
el valor del menor de los datos, en el ejemplo es 11; los límites inferiores siguientes se obtienen sumando el tamaño del 
intervalo 4 al valor de la clase anterior: 11 4.
Los límites superiores los obtenemos restando una unidad de variación al límite inferior de la siguiente clase: 
11 + 4 – 1.
Tabla 2.1 Distribución de frecuencias
1 
Clase
2 
Intervalo de clase
3 
Límites reales 4 
Marca 
de clase 
(mi)
Frecuencia 
absoluta
Frecuencia 
acumulada
Frecuencia 
complementaria
Límite 
inferior
Límite 
superior
Inferior Superior
5 
Simple 
(fi )
6 
Relativa 
(Fi)
7 
Simple 
(fa)
8 
Relativa 
(Fa)
9 
Simple 
(fc)
10 
Relativa 
(Fr)
1 11 11 4 – 1
2 11 4 18
3 15 4 22
4 19 4 26
5 23 4 30
Sumas
Observación: el valor 31 no se encuentra en la tabla, así que se debe realizar el siguiente ajuste: el último intervalo 
de clases se termina en 31, con lo que todos los datos están incluidos, y se debe cambiar 30 por 31.
Las consideraciones que debemos tomar en cuenta cuando determinamos los límites de cada clase son:
 ) Todos los datos deben estar incluidos.
 ) Al ubicar los datos que no se tengan ambigüedades, por ejemplo, que un dato tenga dos clases distintas.
63
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE 
 3. Los límites reales o exactos se obtienen restando media unidad de variación al límite inferior, y al límite superior se 
le suma; como la unidad de variación es 1 000, media unidad son 500, lo que representamos como 0.5 en la tabla.
Tabla 2.1 Distribución de frecuencias
1 
Clase
2 
Intervalo de clase
3 
Límites reales 4 
Marca 
de clase 
(mi)
Frecuencia 
absoluta
Frecuencia 
acumulada
Frecuencia 
complementaria
Límite 
inferior
Límite 
superior
Inferior Superior
5 
Simple 
(fi )
6 
Relativa 
(Fi)
7 
Simple 
(fa)
8 
Relativa 
(Fa)
9 
Simple 
(fc)
10 
Relativa 
(Fr)
1 11 14 10.5 14.5
2 15 18 14.5 18.5
3 19 22 18.5 22.5
4 23 26 22.5 26.5
5 27 30 26.5 31.5
Sumas
 Observación: el límite superior real coincide con el límite inferiorde la siguiente clase.
En el ejercicio anterior calculaste el número de clase (NC), ahora determina los límites de cada clase en la siguiente 
tabla, la cual se llenará conforme avancemos en los conocimientos necesarios.
Tabla 2.1 Distribución de frecuencias
1 
Clase
2 
Intervalo de clase
3 
Límites reales 4 
Marca 
de clase 
(mi)
Frecuencia 
absoluta
Frecuencia 
acumulada
Frecuencia 
complementaria
Límite 
inferior
Límite 
superior
Inferior Superior
5 
Simple 
(fi )
6 
Relativa 
(Fi)
7 
Simple 
(fa)
8 
Relativa 
(Fa)
9 
Simple 
(fc)
10 
Relativa 
(Fr)
A
B
C
D
E
F
G
H
Sumas
Esta tabla la utilizaremos para resolver los siguientes ejercicios, refiriéndonos a ella como la tabla de ejercicio.
 Ejercicio 2
64
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
2
En el ejercicio anterior determinaste los intervalos de clase, ahora halla los límites reales o exactos en la tabla de 
ejercicio.
 Ejercicio 3
 4. Marca de clase se llama al punto medio entre los extremos de cada intervalo, el cual se obtiene sumando los 
extremos del intervalo de clase (columna 2) o intervalos reales (columna 3), y se divide entre 2.
 Por ejemplo, para la primera clase se tiene:
Límite inferior más el límite superior igual a:
 Límites: 11 14 25
 Límites reales: 10.5 14.5 25
 Dividimos entre 2 y se obtiene 12.5, que es la marca de clase. Una forma sencilla de obtener las marcas de clase 
siguientes es sumar a la primera el tamaño del intervalo.
Tabla 2.1 Distribución de frecuencias
1 
Clase
2 
Intervalo de clase
3 
Límites reales 4 
Marca 
de clase 
(mi)
Frecuencia 
absoluta
Frecuencia 
acumulada
Frecuencia 
complementaria
Límite 
inferior
Límite 
superior
Inferior Superior
5 
Simple 
(fi )
6 
Relativa 
(Fi)
7 
Simple 
(fa)
8 
Relativa 
(Fa)
9 
Simple 
(fc)
10 
Relativa 
(Fr)
1 11 14 10.5 14.5 12.5
2 15 18 14.5 18.5 16.5
3 19 22 18.5 22.5 20.5
4 23 26 22.5 26.5 24.5
5 27 30 26.5 31.5 29.0
Sumas
 Siempre que se agrupe un conjunto de datos por intervalos se produce una pérdida de información, ya que cuenta 
la pertenencia de cada dato en el intervalo y no su valor exacto.
Determina la marca de clase en la tabla de ejercicio.
 Ejercicio 4
 5. Se llama frecuencia absoluta simple (fi) al número de elementos de 
la clase.
 Para su cálculo utilizamos la tabla con los 56 datos ordenados. 
11 13 15 15 16 16 16 17
17 17 17 17 17 18 18 18
19 19 19 19 19 19 20 20
20 20 20 20 21 21 21 21
21 21 22 22 22 23 23 23
23 23 24 24 24 24 25 25
26 26 26 27 27 28 29 31
65
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE 
 En el intervalo de clase 11 – 14 tenemos dos datos: el 11 y el 13, anotamos en la columna 5 de la frecuencia 
absoluta simple ( ) el número 2.
 En el intervalo 19 – 22 la frecuencia absoluta simple ( ) es 21.
Tabla 2.1 Distribución de frecuencias
1 
Clase
2 
Intervalo de clase
3 
Límites reales 4 
Marca 
de clase 
(mi)
Frecuencia 
absoluta
Frecuencia 
acumulada
Frecuencia 
complementaria
Límite 
inferior
Límite 
superior
Inferior Superior
5 
Simple 
(fi )
6 
Relativa 
(Fi)
7 
Simple 
(fa)
8 
Relativa 
(Fa)
9 
Simple 
(fc)
10 
Relativa 
(Fr)
1 11 14 10.5 14.5 12.5 2
2 15 18 14.5 18.5 16.5 14
3 19 22 18.5 22.5 20.5 21
4 23 26 22.5 26.5 24.5 14
5 27 30 26.5 31.5 29.0 5
Sumas 56
Determina la frecuencia simple en la tabla de ejercicio.
 Ejercicio 5
 6. Se llama frecuencia relativa (Fi ) al cociente de la frecuencia simple y la suma de las frecuencias simples o núme-
ro total de datos, se puede expresar como un porcentaje multiplicado por 100 o en forma decimal.
 Observación: La notación para las frecuencias relativas utiliza una mayúscula.
Determina la frecuencia absoluta relativa de la clase número uno.
Solución
La frecuencia simple es 2 y la suma de las frecuencias es 56, por lo que el cociente es:
2
56
0035= .
Lo que representamos en porcentaje como 3.5%, el que se obtiene multiplicando el
100 por 0.035 3.5%
 Ejemplo
66
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
2
 7. La frecuencia acumulada simple (fa) es la suma de todas las frecuencias simples de las clases anteriores y la 
correspondiente a la clase que se está trabajando.
 Veamos la columna 7, en la primera clase se tienen sólo dos personas, la frecuencia acumulada es igual a 2; en la 
segunda clase tenemos 14 y las dos de la clase anterior suman 16, que será la frecuencia acumulada en la clase 
2; en la tercera clase se suman las 21 que se tienen y las 16 anteriores, por lo que la frecuencia acumulada es 37, 
así se continúa hasta el final.
 Observación: La frecuencia acumulada de la última clase es igual a la suma de todas las frecuencias, que es el 
número total de datos.
Tabla 2.1 Distribución de frecuencias
1 
Clase
2 
Intervalo de clase
3 
Límites reales 4 
Marca 
de clase 
(mi)
Frecuencia 
absoluta
Frecuencia 
acumulada
Frecuencia 
complementaria
Límite 
inferior
Límite 
superior
Inferior Superior
5 
Simple 
(fi )
6 
Relativa 
(Fi)
7 
Simple 
(fa)
8 
Relativa 
(Fa)
9 
Simple 
(fc)
10 
Relativa 
(Fr)
1 11 14 10.5 14.5 12.5 2 0.035 2
2 15 18 14.5 18.5 16.5 14 0.25 16
3 19 22 18.5 22.5 20.5 21 0.375 37
4 23 26 22.5 26.5 24.5 14 0.25 51
5 27 30 26.5 31.5 29.0 5 0.09 56
Sumas 56 1
2 0.035 20 035
64 0 25 164 0.25 16
70.375 37
Calcula en la tabla de ejercicios la frecuencia relativa y exprésala en forma de porcentaje.
 Ejercicio 6
Tabla 2.1 Distribución de frecuencias
1 
Clase
2 
Intervalo de clase
3 
Límites reales 4 
Marca 
de clase 
(mi)
Frecuencia 
absoluta
Frecuencia 
acumulada
Frecuencia 
complementaria
Límite 
inferior
Límite 
superior
Inferior Superior
5 
Simple 
(fi )
6 
Relativa 
(Fi)
7 
Simple 
(fa)
8 
Relativa 
(Fa)
9 
Simple 
(fc)
10 
Relativa 
(Fr)
1 11 14 10.5 14.5 12.5 2 0.035
2 15 18 14.5 18.5 16.5 14 0.25
3 19 22 18.5 22.5 20.5 21 0.375
4 23 26 22.5 26.5 24.5 14 0.25
5 27 30 26.5 31.5 29.0 5 0.09
Sumas 56 1
Calcula la frecuencia acumulada en la tabla de ejercicio.
 Ejercicio 7
67
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE 
 8. La frecuencia acumulada relativa (Fa) es el cociente de la frecuencia acumulada simple y la suma de las fre-
cuencias simples, se puede expresar como un porcentaje multiplicando por 100. En los dos casos, la suma de 
las frecuencias absolutas debe ser igual a la unidad, si está expresada en porcentajes la suma debe ser 100%. 
Factores de redondeo hacen que se pierdan decimales y posiblemente la suma no sea de 100%, pero sí un 
valor muy cercano.
 Para la primera clase: 
2
56
0035 35= =. . %
 Segunda clase: 
16
56
029 29= =. %
Tabla 2.1 Distribución de frecuencias
1 
Clase
2 
Intervalo de clase
3 
Límites reales 4 
Marca 
de clase 
(mi)
Frecuencia 
absoluta
Frecuencia 
acumulada
Frecuencia 
complementaria
Límite 
inferior
Límite 
superior
Inferior Superior
5 
Simple 
(fi )
6 
Relativa 
(Fi)
7 
Simple 
(fa)
8 
Relativa 
(Fa)
9 
Simple 
(fc)
10 
Relativa 
(Fr)
1 11 14 10.5 14.5 12.5 2 0.035 2 0.035
2 15 18 14.5 18.5 16.5 14 0.25 16 0.29
3 19 22 18.5 22.5 20.5 21 0.375 37 0.66
4 23 26 22.5 26.5 24.5 14 0.25 51 0.91
5 27 30 26.5 31.5 29.0 5 0.09 56 1
Sumas 56 1
Calcula la frecuencia acumulada relativa en la tabla de ejercicio.
 Ejercicio 8
 9. La frecuencia complementaria simple (fc ) para la primera clase se obtiene restando al total de las frecuencias 
simples y la frecuencia simple de la primera clase (columna 5), las subsecuentes se obtienen restando la frecuen-
cia simple y de la clase la frecuencia complementaria de la clase anterior, en la última clase su valor es cero.
Tabla 2.1 Distribución de frecuencias
1 
Clase
2 
Intervalo de clase
3 
Límites reales 4 
Marca 
de clase 
(mi)
Frecuencia 
absoluta
Frecuencia 
acumulada
Frecuencia 
complementaria
Límite 
inferior
Límite 
superior
Inferior Superior
5 
Simple 
(fi )
6 
Relativa 
(Fi)
7 
Simple 
(fa)
8 
Relativa 
(Fa)9 
Simple 
(fc)
10 
Relativa 
(Fr)
1 11 14 10.5 14.5 12.5 2 0.035 2 0.035 54 0.96
2 15 18 14.5 18.5 16.5 14 0.25 16 0.29 40 0.71
3 19 22 18.5 22.5 20.5 21 0.375 37 0.66 19 0.34
4 23 26 22.5 26.5 24.5 14 0.25 51 0.91 5 0.09
5 27 30 26.5 31.5 29.0 5 0.09 56 1 0 0
Sumas 56 1
68
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
2
 Calculamos el primer valor: el total es 56 y le restamos 2 al valor fi de la columna 5, así obtenemos 54, este 
resultado lo anotamos en la columna 9 y le restamos 14 de la columna 5 para obtener 40, resultado que se 
anota en la columna 9 y así se continúa.
Calcula la frecuencia complementaria simple en la tabla de ejercicio.
 Ejercicio 9
Calcula la frecuencia complementaria relativa en porcentaje en la tabla de ejercicio.
 Ejercicio 10
 10. La frecuencia complementaria relativa (Fr) se obtiene dividiendo la frecuencia complementaria simple ( ) entre 
el total de la frecuencia simple (6); por ejemplo, en la primera clase se divide 
54
56
096= . y en la segunda clase 
se obtiene 
40
56
.
Tabla 2.1 Distribución de frecuencias
1 
Clase
2 
Intervalo de clase
3 
Límites reales 4 
Marca 
de clase 
(mi)
Frecuencia 
absoluta
Frecuencia 
acumulada
Frecuencia 
complementaria
Límite 
inferior
Límite 
superior
Inferior Superior
5 
Simple 
(fi )
6 
Relativa 
(Fi)
7 
Simple 
(fa)
8 
Relativa 
(Fa)
9 
Simple 
(fc)
10 
Relativa 
(Fr)
1 11 14 10.5 14.5 12.5 2 0.035 2 0.035 54 0.96
2 15 18 14.5 18.5 16.5 14 0.25 16 0.29 40 0.71
3 19 22 18.5 22.5 20.5 21 0.375 37 0.66 19 0.34
4 23 26 22.5 26.5 24.5 14 0.25 51 0.91 5 0.09
5 27 30 26.5 31.5 29.0 5 0.09 56 1 0 0
Sumas 56 1
El trabajo que hemos realizado recibe el nombre de tabla de distribución, 
debemos tener en cuenta que utilizamos minúscula para las frecuencias 
simples y mayúscula para las frecuencias relativas, las que expresare-
mos en forma decimal o en forma de porcentajes.
Apertura de la actividad
Deduce y aprende
La entrevista
Propósito: Desarrolla sus habilidades para organizar una serie de datos en forma 
agrupada.
Conocimientos previos: Básicos de aritmética.
Material: Libro
69
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE 
Desarrollo de la actividad
 1. Se forman equipos de tres alumnos.
 2. Todos los alumnos del equipo entrevistan a 50 personas y les piden su estatura, se concentra la información recabada entre alumnos. 
El total de personas con las que trabajarán son 150.
 3. Ordenan la información de datos que obtuvieron. Nombra la tabla con el tipo de datos que te tocaron.
 Tabla de 
 Cada alumno realiza lo siguiente con sus respectivos datos.
 Escribe tus datos en forma decreciente.
 4. El número de datos es 
 5. El dato mayor (D ) es 
 6. El dato menor (d ) es 
 7. Realiza la diferencia del dato mayor menos el dato menor, esta diferencia recibe el nombre de rango: R = 
 8. Escribe una fórmula para este cálculo: R = 
 9. Cada alumno determina el número de clases a utilizar.
 10. Cada alumno determina la amplitud del intervalo dividiendo el rango (R ) entre el número de clases (NC), recuerda que este resultado 
se redondea a la unidad de variación más próxima.
 Expresa una fórmula para obtener la amplitud del intervalo: A
i 
= 
 Realiza la tabla con los datos que se obtuvieron.
 11. En la columna del intervalo de clase o límite de clase (2) anotamos en la columna del límite inferior de la clase 1 el valor que se tiene 
del dato menor (d ), a este valor cada alumno le suma el valor de la amplitud del intervalo que obtuvo en el punto 10.
 12. La unidad de variación es 
 En la columna del intervalo de clase (2) anotamos en la columna del límite superior de la clase 1 el valor del límite inferior de la clase 
siguiente disminuida en una unidad de variación, o sea, réstale una unidad de variación al límite inferior de la clase 2.
 13. A continuación, obtenemos los siguientes límites superiores, puedes utilizar las siguientes formas; la primera, resta una unidad de 
variación al límite inferior de la clase siguiente, otra es sumar al límite superior que se obtuvo la amplitud del intervalo, se obtuvo en 
el punto 10.
 14. Para obtener los límites reales inferiores restamos media unidad de variación a los límites inferiores de clase (2).
 15. Para obtener los límites reales superiores sumamos media unidad de variación a los límites superiores de clase (2).
 16. Para obtener la marca de clase 4 se suman el límite inferior real y el límite superior real y se divide entre 2.
 17. Con tu lista de datos ordenada obtenemos la frecuencia de cada una de las clases, para ello basta contar cuántos datos caen en cada 
una de las clases. Anota el resultado en la columna de frecuencia simple, columna 5, al final suma todos los valores de la columna, 
debe ser igual al número de datos.
 18. Divide cada valor de la columna de frecuencia simple 5 entre el número de datos, el resultado es un número decimal, anótalo en la 
columna de la frecuencia relativa (6), o lo puedes expresar en forma de porcentaje.
 19. En la columna 7 anota la frecuencia acumulada simple, en la primera clase se anota el valor de la frecuencia absoluta simple (5), en 
la segunda clase se suma la frecuencia acumulada de la clase anterior más la frecuencia simple de la clase y así se continúa.
 20. Para obtener la frecuencia acumulada relativa (8), dividimos cada valor de la columna de frecuencia acumulada simple entre el nú-
mero de datos y anotamos el resultado en forma decimal o porcentaje.
 21. En la columna (9) resta al número total de datos el valor de la frecuencia absoluta simple (5), el siguiente valor lo obtienes restando 
al valor anterior el valor de la frecuencia absoluta (5) y así se continúa.
70
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
2
Realiza la tabla de distribución con los siguientes datos, utiliza seis intervalos.
Datos ordenados
18 19 19 23 24 22 18 22 20 14
20 22 17 23 20 24 22 17 22 18
20 21 25 13 17 14 12 25 23 15
19 23 25 19 24 16 14 19 22 18
19 14 22 18 22 25 23 22 21 22
 Ejercicio 11
En la siguiente tabla se muestra el valor de la producción bruta de la industria manufacturera, según tipos de industria 
del 2002-2004 en millones de pesos, tomada de los centros de consulta, a través de los cuales el Instituto Nacional de 
Estadística, Geografía e Informática, inegi, ofrece gratuitamente el servicio de información.
Tabla 2.2 Valor de la producción bruta de la industria manufacturera
Industrias
2002 2003 2004
Valor
Lugar de 
importancia
Valor
Lugar de 
importancia
Valor
Lugar de 
importancia
Productos alimenticios, 
bebidas y tabacos
415 523 335   447 642 250 490 746 939
Textiles, prendas de vestir 
e industrias del cuero
60 764 303   60 768 180 65 972 259
Industria de la madera 
y producción de madera
8 988 576   8 966 612 10 140 360
Papel, producción de 
imprenta y editorial
73 303 542   76 255 904 83 004 477
Sustancias químicas derivadas, 
petróleo y producción de caucho
279 351 603   301 695 554 336 075 522
Producción de minerales 
no metálicos y derivados 
del petróleo
79 222 034   84 557 719 89 552 180
Industrias metálicas básicas 112 714 264   137 739 491 212 570 181
Productos metálicos, 
maquinaria y equipo
549 917 888   541 826 535 592 442 657
Otras industrias manufactureras 3 666 053   3 930 888 4 966 360
TOTAL        
Fuente: Banco de Información Económica (bie). Sector Manufacturero. Encuesta Industrial Mensual.
 Ejercicio 12
71
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE 
Realiza la tabla de distribución para los siguientes datos si éstos representan las ventas en millones de pesos de 
ciertas compañías en el ramo textil.
35 42 35 36 33 23 24 33 28 21 21 21 37 29 13 11 6 32 23 14
18 17 24 19 28 21 31 13 12 38 14 23 45 19 33 34 28 25 26 7
29 11 22 9 43 36 10 4 43 30 43 29 24 29 19 18 9 36 35 10
Tabla 2.3 Distribución de frecuencias
1 
Clase
2 
Intervalo de clase
3 
Límites reales 4 
Marca 
de clase 
(mi)Frecuencia 
absoluta
Frecuencia 
acumulada
Frecuencia 
complementaria
Límite 
inferior
Límite 
superior
Inferior Superior
5 
Simple 
(fi )
6 
Relativa 
(Fi )
7 
Simple 
(fa)
8 
Relativa 
(Fa)
9 
Simple 
(fc)
10 
Relativa 
(Fr )
I
II
III
IV
V
VI
VII
Sumas
 Ejercicio 13
Indica qué industrias crecieron en el periodo 2002-2004, indicando el crecimiento en millones de pesos y el por-
centaje respecto al total.
 ) ¿Cuál es la industria de mayor crecimiento? 
 ) Determina la frecuencia absoluta relativa. 
 
72
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
2
2.4 Nociones de incertidumbre, azar y aleatoriedad
Incertidumbre, azar y aleatoriedad, tres palabras que se relacionan, pero tienen significados diferentes:
La incertidumbre se refiere a la duda o grado de desconocimiento acerca de una condición futura en la cual no se 
pueden predecir los hechos; o bien, no podemos calcular su probabilidad de que ocurra determinada situación.
La ctep define el riesgo como “la probabilidad de que pase algo malo.”
Realiza la tabla de distribución para los siguientes datos.
Estaturas de niños menores de 7 años en metros
0.06 0.90 0.08 0.65 0.07 0.17 0.28 0.72
0.78 0.51 0.61 0.86 0.60 0.76 0.53 0.16
0.88 0.68 0.96 0.77 0.41 0.74 0.08 0.67
0.46 0.37 0.47 0.86 0.45 0.06 0.82 0.81
0.55 0.96 0.60 0.59 0.52 0.21 0.41 0.45
0.87 0.99 0.07 0.17 0.45 0.59 0.52 0.61
0.53 0.46 0.45 0.28 0.38 0.35 0.62 0.17
0.16 0.57 0.20 0.82 0.65 0.72 0.99 0.20
 Ejercicio 14
Realiza la tabla anterior utilizando Excel.
 Ejercicio 15
Investiga ¿qué tipos de incertidumbre existen?
El azar es un concepto que se relaciona con la suerte, la fortuna o con la casualidad; por lo general, lo asociamos a 
la idea de ganar o perder en un juego. En el juego de la lotería está implícito el azar, ganar o perder, y así en todos los 
juegos. Los juegos de azar son considerados como el nacimiento del estudio de la probabilidad y la estadística.
 Ejercicio 16
Menciona cinco juegos e indica cómo se establece el azar en ellos.
Aleatorio es un concepto relacionado con la suerte, esto es, un suceso aleatorio es aquel que puede o no suce-
der. Un ejemplo es la lotería nacional, donde las bolitas se fabrican de tal manera que todas tengan el mismo peso, 
esto permite que la elección de una de ellas tenga la misma probabilidad de salir. Un número aleatorio es aquel 
obtenido al azar, es decir, que todo número tenga la misma probabilidad de ser elegido y que la elección de uno 
no dependa de la elección del otro. Hoy en día existen tablas de números aleatorios, y generadores electrónicos de 
números aleatorios. Un experimento aleatorio es aquel que si se reproduce con las mismas condiciones iniciales no 
 Ejercicio 17
73
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE 
2.5 Tipos de eventos en el estudio de la probabilidad
Eventos mutuamente excluyentes
Se dice que dos eventos y son mutuamente excluyentes o disjuntos si no tienen resultados en común, esto es, in-
tersección es igual al vacío o al evento imposible. Así, y son dos eventos que no pueden ocurrir simultáneamente.
Se dice que dos eventos no son mutuamente excluyentes entre sí, cuando la realización de uno de ellos no impide 
la realización del otro, o sea, que se pueden dar los dos eventos al mismo tiempo.
Investiga cómo se genera un número aleatorio, en una calculadora, usando Excel, y en tablas de números aleatorios.
Genera cinco números aleatorios.
 Ejercicio 18
garantiza que se obtengan los mismos resultados, un ejemplo que ya mencionamos es el de la lotería nacional, las 
condiciones iniciales son las mismas pero el resultado es diferente. Ejemplos clásicos de eventos aleatorios son el 
lanzamiento de un dado, una moneda, etcétera.
 1. Consideremos el experimento de lanzar dos dados y definamos los eventos:
 la suma de las caras de los dados es 6.
 la suma de las caras de los dados es 9.
 Estos eventos son mutuamente excluyentes, ya que si ocurre no puede ocurrir en la misma tirada, y no se 
puede tener al mismo tiempo la suma de 6 y 9.
 2. Consideremos el clima de cierta región del planeta y definamos los eventos, un día caluroso y un día frío, 
indiquemos si los eventos son mutuamente excluyentes o no.
 Solución
 Los eventos y son mutuamente excluyentes, ya que no podemos tener un día caluroso y un día frío al mismo 
momento.
 3. En un grupo de 40 alumnos, 27 estudian inglés y 32, francés. Determinemos si los eventos: estudiar inglés o 
estudiar francés, son eventos mutuamente excluyentes o no.
 Solución
 Si sumamos los alumnos que estudian inglés o francés obtenemos 27 32 59, lo que implica que existan 
alumnos que estudian las dos materias: 59 – 40 19; por ello, los eventos no son excluyentes.
 Ejemplos
Escribe cinco ejemplos de eventos mutuamente excluyentes dos a dos. Coméntalos con tus compañeros.
 Ejercicio 19
74
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
2
 1. Consideremos el clima en una región del planeta, definimos los eventos: que esté lloviendo y que salga el Sol.
 Solución
 Se dice que los dos eventos no son excluyentes, ya que puede estar lloviendo y salir el Sol.
 2. Consideremos el clima en cierta región del planeta y definamos los eventos: que esté lloviendo, que salga 
el Sol y ir manejando. Determinemos dos a dos si los eventos son mutuamente excluyentes o no.
 Solución
 Los eventos y se analizaron en el ejemplo anterior. Los eventos y no son mutuamente excluyentes 
porque puede ser que esté lloviendo e ir manejando. El evento y son mutuamente no excluyentes, ya que 
puede salir el Sol e ir manejando.
 3. En el grupo 3A hay 50 alumnos. Si 40 son regulares (no deben ninguna materia): 30 son mujeres y 10 hombres, 
y 10 son irregulares (porque deben al menos una materia): 7 son hombres y 3 mujeres. Si elegimos un alumno 
aleatoriamente determinemos si los eventos siguientes son mutuamente excluyentes.
 ) Es un alumno regular. ) El alumno es una mujer.
 ) Es un alumno irregular. ) El alumno es un hombre.
 Solución
 Los eventos y son mutuamente excluyentes, ya que un alumno no puede ser al mismo tiempo regular e 
irregular, los eventos y son mutuamente excluyentes, ya que un alumno no puede tener los dos sexos.
 Ahora, utilicemos lo que hemos aprendido de probabilidad y de eventos mutuamente excluyentes, en el siguien-
te problema damos esa relación.
 4. Utilicemos el ejemplo anterior y determinemos las probabilidades para los siguientes eventos. Si se elige a un 
alumno al azar:
 1. Que sea hombre. 4. Que sea alumno irregular.
 2. Que sea mujer. 5. Que sea alumno regular y mujer.
 3. Que sea alumno regular. 6. Que sea alumno irregular y hombre.
 Solución
 Concentremos la información en la siguiente tabla.
Tabla 2.4 Alumnos regulares (que no deben ninguna materia) e irregulares (que deben al menos 
una materia)
Hombres Mujeres Total
Regulares 10 30 40
Irregulares 7 3 10
Total 17 33 50
 Ejemplos
75
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE 
 Determinemos las probabilidades de:
 1. Que sea hombre.
 El total de hombres en el salón son 17 de 50 alumnos, por lo que la probabilidad es de:
( ) =
17
50
 2. Que sea mujer.
 El total de mujeres en el salón son 33 de 50 alumnos, por lo que la probabilidad es de:
( ) =
33
50
 3. Que sea alumno regular.
 El total de alumnos regulares en el salón son 40 de 50 alumnos, por lo que la probabilidad es de:
( ) =
40
50
 4. Que sea alumno irregular.
 El total de alumnos irregulares en el salón son 10 de 50 alumnos, por lo que la probabilidad es de
( ) =
10
50
 5. Que sea regular y sea mujer.
 El total de alumnos regulares y que son mujeres son 30 de 50 alumnos, por lo que la probabilidad es de:
 ( ) = =
30
50
3
5
 6. Que sea irregular y sea hombre.
 El total de alumnos irregulares que son hombres son 7 de 50 alumnos, por lo que la probabilidades de:
 ( ) =
7
50
Determina las siguientes probabilidades utilizando el ejemplo anterior.
 1. Que sea irregular y sea mujer.
 2. Que sea regular y sea hombre.
 Ejercicio 20
76
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
2
Problemas de baraja
Una baraja de póker, inglesa, consta de 52 cartas divididas en cuatro palos: corazones, tréboles, diamantes y picas (cora-
zones negros), cada palo consta de números y figuras, los números del 2 al 10 y las figuras: J, Q y K, que corresponden 
a las palabras inglesas Jockey (jinete o caballero), Queen (reina) y King (rey); en cuanto a la A de as, corresponde a la 
palabra inglesa As.
 
 King de picas Queen de corazones Jockey de diamantes As de tréboles
De una baraja inglesa selecciona una carta, ¿cuál es la probabilidad de que ésta sea:
 1. un as de corazones negros?
 2. una figura?
Solución
 1. Definimos el evento y obtenemos un as de corazones negro.
 Como las cartas son 52 en total y sólo hay un as de corazones negro, aplicamos la definición de probabilidad 
clásica.
( ) =
1
52
 2. Definimos el evento , obtener una figura:
 El total de cartas son 52 y el número de figuras son tres de cada palo y cuatro palos, entonces, son 12 casos 
favorables, por tanto, la probabilidad pedida es:
( ) =
12
52
 Ejemplos
 1. Resuelve los siguientes problemas.
 De una baraja inglesa se selecciona una carta. ¿Cuál es la probabilidad de que ésta sea:
 ) un as de diamantes?
 ) un número?
 Ejercicio 21
77
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE 
 2. Selecciona al azar una carta de una baraja de 52 cartas y determina las siguientes probabilidades:
 ) Obtén un diamante.
 ) Obtén una figura.
 ) Obtén un diamante o una figura.
 3. Determina la probabilidad de obtener una tercia en un juego de póker.
 4. Determina la probabilidad de obtener dos pares (distintos) en un juego de póker.
 5. Selecciona al azar un naipe de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de que ésta sea
 ) un as?
 ) un corazón rojo?
 ) K de diamantes?
 ) una reina?
 6. En una escuela se tiene el siguiente número de alumnos, 1er año, 30 alumnos; 2º año, 25, y 3er año, 24. Se elige 
un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que éste sea:
 ) alumno de primer año?
 ) alumno de segundo año?
 ) alumno de tercer año?
 7. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que las caras de los dados sumen dos?
 8. Se lanzan tres dados, ¿cuál es la tercia que tiene mayor probabilidad de salir?
 9. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las caras sea menor que seis?
 10. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de sus caras sea mayor que seis?
 11. Se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que tres?
 12. Se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que cuatro?
 13. Se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número menor que tres?
 14. Una persona desea apostar a la ruleta, juego de azar que 
consiste en una rueda con 38 ranuras equiprobables, nu-
meradas del 0 al 37. La persona gana seleccionando su 
número, en el caso contrario pierde. 
 ) ¿Cuál es la probabilidad de que gane?
 ) ¿Cuál es la probabilidad de que pierda?
 15. Se lanzan dos monedas, ¿cuál es la probabilidad de que:
 ) las dos monedas caigan sol?
 ) una caiga águila y la otra sol?
78
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
2
Eventos independientes
Estadísticamente, dos eventos cualesquiera y son independientes si y sólo si:
( ) ( ) ( )
En términos de la probabilidad condicional, si y son independientes, entonces:
|
( )
( )
( ) ( )
( )
( )( ) = == , si ( ) > 0
Es decir, si conocemos que ocurrió , esto no cambia la ocurrencia de .
En caso contrario, si los eventos no son independientes se dice que los eventos son dependientes.
 16. De una baraja inglesa se selecciona una carta, ¿cuál es la probabilidad de que
 ) sea una figura?
 ) no sea una figura?
 ) no sea una carta de diamantes?
Consideremos el lanzamiento de tres monedas, entonces, el espacio muestral es {AAA, AAS, ASS, ASA, SAA, SAS, 
SSA, SSS}.
Reflexionemos en los eventos:
 el primer lanzamiento cayó águila.
 el segundo lanzamiento cayó águila.
, los dos primeros lanzamientos son águilas.
 ¿Son y independientes? ¿Son y independientes? ¿ y son independientes? 
Solución
Calculemos la probabilidad de los eventos , y , considerando el espacio muestral:
 ( ) = =
4
8
1
2
 ( ) = =
4
8
1
2
 ( ) = =
2
8
1
4
Determinemos la probabilidad de la intersección:
 ( ) =) =
2
8
1
4
 ( ) =) =
2
8
1
4
 ( ) =) =
2
8
1
4
Entonces:
 
1
4
1
2
1
2
1
4
( ) ( )( )= =)(( =(( ) = ))) Por tanto, y son independientes.
 Ejemplo
79
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE 
Probabilidad condicional
Cuando se conoce cierta información de que ha ocurrido un evento, ésta se puede utilizar para calcular la probabilidad 
de otro, a esto le llamamos probabilidad condicional.
 
1
4
1
2
1
4
1
8
= = ==( )∩ ( ) ( ) Por tanto, y no son independientes.
 
1
4
1
2
1
4
1
8
= = ==( )∩ ( ) ( ) Por tanto, y no son independientes.
Se lanzan tres monedas y su espacio muestral es {AAA, AAS, ASS, ASA, SAA, SAS, SSA, SSS}.
Consideremos los eventos:
 1. A, en el primer lanzamiento cayó sol.
 2. B, el segundo lanzamiento cayó sol.
 3. C, los dos primeros lanzamientos fueron soles.
¿Son y independientes?, ¿son A y C independientes? y ¿B y C son independientes?
 Ejercicio 22
Si se lanza un dado y una moneda determinemos:
 ) El espacio muestral. ) La probabilidad de obtener un cinco y un sol.
Solución
Los eventos de lanzar una moneda y el dado son eventos independientes, porque, el evento no afecta el evento .
 1. La moneda tiene dos posibilidades: águila (A) o sol (S), y el dado: 1, 2, 3, 4, 5 y 6; por ello, el espacio muestral 
es A1, A2, A3, A4, A5, A6, S1, S2, S3, S4, S5 y S6.
 2. Tenemos que: ( ) =
1
2
 y ( )
1
6
= entonces, ( ) (5 )
1
2
1
6
1
12
( = ⎛⎝
⎛⎛⎛⎛
⎝⎝
⎛⎛⎛⎛ ⎞
⎠
⎞⎞⎞
⎠⎠
⎞⎞⎞⎞ =
 ( )
1
12
y l = porque sólo se tiene un caso favorable de doce.
 Entonces:
 (5 y sol) (S) (5) esto nos indica que los eventos son independientes.
 Ejemplo
Si se lanza un dado y una moneda, determina la probabilidad de obtener un número impar y un sol.
 Ejercicio 23
80
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
2
La probabilidad condicional de que ocurra el evento , dado que ocurrió el evento , se escribe como ( | ) es:
|
( )
( )
( ) ∩= , si la ( ) > 0.
Sean , y tres eventos, tales que ( ) 0.2, ( ) 0.5 y ( ) 0.1. Calculemos:
 1. ( | ) 2. ( | ) 3. ( | c) 4. ( | c)
Solución
 1. ( | ) |
( )
( )
( ) = == 01.
05.
02.
 2. ( | ) |
( )
( )
( ) = == 01.
02.
05.
 3. ( | c)
 Utilicemos el diagrama de Venn. 
BA
 Del diagrama de Venn se tiene: c – 
 Lo que podemos escribir como: – ( )
 Determinemos la probabilidad de la intersección:
( c) ( – ) ( ) – ( ) 0.2 – 0.1 0.1
 La probabilidad del complemento es:
( c) 1 – ( ) 1 – 0.5 0.5
 Sustituimos en la fórmula de probabilidad condicional.
( | )
( )
( )
c
c
c
= = =
01.
05.
02.
 4. ( | c)
 Solución
c – ( ) 
BA
 Ejemplo
81
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE 
 ( c ) ( ) ( ) – ( ) 0.5 – 0.1 0.4
 ( c) 1 – ( ) 1 – 0.2 0.8
 ( | )
( )
( )
c
c
c
= = =
04.
08.
05.
Sean , y tres eventos, tales que: ( ) 0.3, ( ) 0.6 y ( ) 0.18. Calcula:
 1. ( | ) 3. ( | c)
 2. ( | ) 4. ( | c)
 Ejercicio 24
En una encuesta realizada acerca de qué periódico lee la gente se obtuvieron los siguientes datos: 30% de la gente 
lee , 20% y 4% lee ambos. Si se selecciona un lector que lee , ¿cuál es la proba-
bilidad de que lea ? 
Solución
Definimos los siguientes eventos:
 1. , que sea lector del periódico .
 2. , que sea lector del periódico .
 3. , son loslectores que leen y .
Las probabilidades correspondientes para cada evento son:
( ) 0.2 ( ) 0.3 ( ) 0.04
Por tanto, la probabilidad buscada es:
|
( )
( )
( ) = == 00. 4
02.
02.
 Ejemplo
Determina lo siguiente:
¿Cuál es la probabilidad de seleccionar a un lector que lee y también lea el periódico ? ¿Son 
iguales la ( | ) y ( | )?
 Ejercicio 25
En una escuela 50% de los alumnos tienen el cabello castaño, 35% los ojos de color verde y 15% el cabello castaño 
y los ojos de color verde. Si se elige un alumno al azar y éste:
 Ejemplo
82
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
2
 1. Tiene cabello castaño. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga 
ojos color verde?
 2. Tiene ojos verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga 
pelo color castaño?
Solución
Definimos los eventos:
 1. , tiene el cabello color castaño
 2. , tiene ojos color verde
 ) |
( )
( )
( ) = == 01. 5
03. 5
3
5
 ) |
( )
( )
( ) = == 01. 5
05.
3
10
En una escuela se sabe que 60% de los alumnos tiene cabello castaño, 30% ojos color verde y 10% cabello 
castaño y los ojos de color verde. Si se elige un alumno al azar y éste:
 1. Tiene cabello castaño. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga ojos color verde?
 2. Tiene ojos verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga pelo color castaño?
 Ejercicio 26
Teorema de Bayes 
Una forma más general de calcular la probabilidad condicional 
es el teorema de Bayes, el cual utilizamos cuando deseamos 
calcular la probabilidad de que ocurra un evento dado que 
 ocurrió. 
( | )
( | ) ( )
( ) ( | ) ( ) ( |
=
+1 1 2 22 ) ... ( ) ( | )+ +
A1 A3
A2 A4 An
B
δ
Una máquina produce 60% de tornillos de la producción total de una fábrica, la máquina produce el 40% 
restante. Se sabe que la máquina produce 2% de tornillos defectuosos y la máquina produce 3% de tornillos 
defectuosos. Determinemos las siguientes probabilidades.
 Ejemplo
83
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE 
 1. Se elige un tornillo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea 
defectuoso?
 2. Si se eligió un tornillo al azar y salió defectuoso, ¿cuál es la 
probabilidad de que haya sido producido por la máquina ?
 3. Si se eligió un tornillo al azar y éste salió defectuoso, ¿cuál es la 
probabilidad de que haya sido producido por la máquina ?
 4. Si el tornillo seleccionado no es defectuoso, ¿cuál es la proba-
bilidad de que haya sido fabricado por la máquina ?
 5. Si el tornillo seleccionado no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina ?
Solución
Definimos los siguientes eventos:
 1. el tornillo es defectuoso.
 2. el tornillo no es defectuoso.
 Utilicemos un diagrama de árbol.
 (2%)
(60%)
 (98%)
 (3%)
 (40%)
 (97%)
 1. La probabilidad de que un artículo sea defectuoso es:
 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )
 0.6 (0.02) 0.4 (0.03)
 0.024
 2. Si se eligió un tornillo al azar y éste salió defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la 
máquina ? Utilizamos el teorema de Bayes para dos elementos:
( | )
( ) ( | )
( ) ( | ) ( ) ( | )
=
 El numerador es la rama de defectuoso de la máquina y el denominador se forma por la probabilidad de que 
sea defectuoso.
|( ) = =0.6 (0.02)
0.6 (0.02) 0.4+ (0.03)
0..
.
012
0024
05.=
84
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
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R
T
E
2
 3. Es el mismo caso anterior, pero ahora se considera a la máquina :
 ( | )
( | ) ( )
( ) ( | ) ( ) ( | )
=
 = =
0.4 (0.03)
0.6 (0.02) 0.4+ (0.03)
0012
0
.
.02400
05=
 4. Para resolver este inciso toma en cuenta que la selección del tornillo es que éste no es defectuoso, por ello las 
probabilidades que utilizaremos son las ramas de no defectuoso y en la fórmula de Bayes el denominador será 
la probabilidad de no defectuoso.
 (2%)
(60%)
 (98%)
 (3%)
 (40%)
 (97%)
 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )
 (0.60) (0.98) (0.40)(0.97) 0.868
 Si el tornillo seleccionado no es defectuoso, la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina está 
dada por:
 ( | )
( | ) ( )
( ) ( | ) ( ) ( | )
=
 = =
0.6 (0.98)
0.6 (0.98) 0.4+ (0.97)
0588
0
.
.86888
00677= .
 5. Si el tornillo seleccionado no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina 
? Para contestar esta pregunta sólo se cambia el numerador y en él se coloca la probabilidad de no defectuoso, 
dado que lo produjo la máquina .
 ( | )
( | ) ( )
( ) ( | ) ( ) ( | )
=
 = =
(0.97)(0.4)
0.6 (0.98) 0.4+ (0.97)
0397.
Se tienen dos máquinas, y , que ensamblan una tarjeta madre para computadora, una de ellas produce 70% y 
otra 30% de la producción de la fábrica. Se sabe que la máquina tiene 2% de tarjetas defectuosas y la máquina 
 tiene 1%. Determina las siguientes probabilidades.
 Ejercicio 27
85
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE 
 1. Si se elige una máquina al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ésta produzca una tarjeta defectuosa?
 2. Si se eligió una tarjeta al azar y ésta salió defectuosa, 
¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la 
máquina ?
 3. Si se eligió una tarjeta al azar y ésta salió defectuosa, 
¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la 
máquina ?
 4. Si la tarjeta seleccionada no es defectuosa, ¿cuál es la 
probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina ?
 5. Si la tarjeta seleccionada no es defectuosa, ¿cuál es la 
probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina ?
Tres máquinas: , y , producen 40%, 25% y 35% de la producción total de una empresa, respectivamente. Se ha 
detectado que 6%, 2% y 4% de teléfonos celulares manufacturado por estas máquinas son defectuosos.
 1. Si se elige una máquina al azar, ¿cuál es la probabilidad de que produzca un teléfono celular defectuoso?
 2. Si se eligió un teléfono celular al azar y éste salió defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido 
por la máquina ?
 3. Si se eligió un teléfono celular al azar y éste salió defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida 
por la máquina ?
 4. Si se eligió un teléfono celular al azar y éste salió defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido 
por la máquina ?
 5. Si un teléfono celular seleccionado no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la 
máquina ?
 6. Si el teléfono celular seleccionado no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la 
máquina ?
 7. Si el teléfono celular seleccionado no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la 
máquina ?
Solución
Realicemos el diagrama de árbol correspondiente.
 (6%)
(40%)
 (94%)
 (2%)
(25%)
 (98%)
 (4%)
 (35%)
 (96%)
 Ejemplo
86
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
2
Definimos los siguientes eventos.
 1. , el teléfono celular es defectuoso.
 2. , el teléfono celular no es defectuoso.
 3. que el teléfono celular provenga de la máquina .
 4. , que el teléfono celular provenga de la máquina .
 5. , que el celular provenga de la máquina .
Utilicemos el teorema de Bayes:
 1. La probabilidad de que ésta produzca un teléfono celular defectuoso es la rama que se marca en color azul.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 0.4(0.06) 0.25(0.02) 0.35(0.04) 0.043
 2. ( | )
( | ) ( )
( ) ( | ) ( ) () ( | )| ) ( )
=
+( ( ) ( | )
 Sustituyendo los valores:
 ( | )
. ( . )
. ( . ) . ( . ) . (
=
. (
0. 0(
0. 0( 0) + 0.. 0) +) 0.. )
.
04
0558=
 3. Solución análoga al punto 1.
 ( | )
( | ) ( )
( ) ( | ) ( ) () ( | )| ) ( )
=
+( ( ) ( | )
 ( | )
. ( . )
. ( . ) . ( . ) . (
=
. (
0. 0(
0. 0( 0) + 0.. 0) +) 000
0116
. )08
.=
 4. Ahora, trata de hacerlo:
 ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )
 (0.40)(0.94) (0.25)(0.98) (0.35)(0.96) 0.957
 ( | )
( | ) ( )
( ) ( | ) ( ) () ( | )| )
=
+) ( ) ( | )
 ( | )
( . )( . )
( . )( . ) ( . )( .
=
+
4 0. )( .
4. 0 0)( 2. 5 0)( 98) ()) . )( . ).=
0. )( 96
0392
 ( | )
( | ) ( )
( ) ( | ) ( ) () ( | )| )
=
+) ( ) ( | )
 ( | )
( . )( . )
( . )( . ) ( . )( .
=
+
2. 5 0)(
4. 0 0)( 2. 5 0)( 23 033 31
0190
) ( . )35 ( .0 )
.=
87
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE 
 5. Ahora trata de hacerlo a continuación:
 ( ) 
Existen tres líneas de ensamble para automóviles , y , las que tienen una producción de 25%, 50% y 25%. Se 
sabe que 2%, 2.5% y 3% son los porcentajes de artículos defectuosos de cada una de ellas. Determina: 
 1. Si se elige una línea al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 
ésta produzca un automóvil defectuoso?
 2. Si se elige un automóvil al azar y éste sale defectuoso, 
¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la 
línea ?
 3. Si se elige un automóvil al azar y éste sale defectuoso, ¿cuál es 
la probabilidad de que haya sido producido por la línea ?
 4. Si se eligió un automóvil al azar y salió defectuoso, ¿cuál es 
la probabilidad de que haya sido producido por la línea ?
 5. Si un automóvil seleccionado no es defectuoso, ¿cuál es la 
probabilidad de que haya sido fabricado por la línea ?
 6. Si el automóvil seleccionado no es defectuoso, ¿cuál es la 
probabilidad de que haya sido fabricado por la línea ?
 7. Si el automóvil seleccionado no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la línea ?
 Ejercicio 28
Una ciudad recibe visitantes en sus museos de historia natural, historia de la ciudad y ciencia y tecnología, en una 
proporción de 18%, 32% y 50%, respectivamente, de los cuales se ha tenido información de que se ha dado un mal 
servicio en 3%, 1% y 4% de cada uno de los museos.
 1. Si se selecciona a un visitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se le haya dado un buen servicio?
 2. Si se selecciona a un visitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no se le haya dado un buen servicio?
 3. Si se selecciona a un visitante al azar y se encuentra que él no se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la proba-
bilidad de que haya visitado el museo de historia natural?
 4. Si el visitante seleccionado se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que haya visitado el museo 
de ciencia y tecnología?
 Ejemplo
88
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
2
Solución
Si usamos un diagrama de árbol, obtenemos lo siguiente:
 (3%)
(18%)
 (97%)
 (1%)
(32%)
 (99%)
 (4%)
 (50%)
 (96%)
Definimos los eventos:
 {visitante que se le dio un mal servicio}
 {visitante que se le dio un buen servicio}
 {visitante que visitó el museo de historia natural}
 {visitante que visitó el museo de historia de la ciudad}
 {visitante que visitó el museo de ciencia y tecnología}
 1. Si se selecciona a un visitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se le haya dado un buen servicio?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 0.18 (0.97) 0.32 (0.99) 0.50 (0.96) 0.971
 2. Si se selecciona a un visitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se le haya dado un mal servicio?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 0.18 (0.03) 0.32 (0.01) 0.50 (0.04) 0.028
 La suma de las probabilidades de un buen servicio y de un mal servicio suma 
 3. Si se selecciona a un visitante al azar y se encuentra que a él se le dio un buen servicio, ¿cuál es la probabilidad 
de que haya visitado el museo de historia natural?
 ( | )
( | ) ( )
( ) ( | ) ( ) () ( | )| ) ( )
=
+( ( ) ( | )
 ( | )
( . )( . )
=
9. 7 0)(
0.18 (0.97) 0.32+ (0.99)) 0.50 (0.96)+
= 0179.
89
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE 
 4. Si el visitante seleccionado se quejó del servicio prestado. ¿Cuál es la probabilidad de que haya visitado el museo 
de ciencia y tecnología?
 ( | )
( | ) ( )
( ) ( | ) ( ) () ( | )| ) ( )
=
+( ( ) ( | )
 ( | )
. ( . )
=
+
0. 0(
0.18 (0.03) 0.32+ (0.01) 0.50 (0.04)
= 0699.
Responde lo siguiente:
En tres hoteles de la ciudad hospedan al mes a 3 000 personas en el primero de ellos, 4 500 personas en el segun-
do y el tercero 3 900 personas. Por medio de una encuesta se sabe que 120, 75 y 135 personas, respectivamente, 
se quejaron por alguna causa, esto hace que el servicio no sea considerado como excelente en estos hoteles.
 1. Si se selecciona a un cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se le haya dado un buen servicio?
 2. Si se selecciona a un cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se le haya dado un mal servicio?
 3. Si se selecciona a un visitante al azar y se encuentra que él no se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la proba-
bilidad de que haya sido cliente del:
 ) primer hotel? ) segundo hotel? ) tercer hotel?
 4. Si el visitante seleccionado se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido cliente del:
 ) primer hotel? ) segundo hotel? ) tercer hotel?
 Ejercicio 29
 1. Resuelvan los siguientes problemas.
 En una fábrica de chips se tienen dos máquinas con la siguiente producción semanal.
Tabla 2.5
Buenos Defectuosos Total
Máquina A 4 392 034 29 348
Máquina B 6 893 842 39 204
Total
 a) Realicen lo siguiente:
 ) Un árbol de probabilidad.
 ) Determinen la probabilidad de que un artículo sea defectuoso.
 ) Determinen la probabilidad de que un artículo no sea defectuoso.
 Ejercicio 30
90
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
2
 b) Determinen la probabilidad de que un artículo defectuoso sea producido por:
 ) La máquina .
 ) La máquina .
 c) Determinen la probabilidad de que un artículo bueno sea producido por: 
 ) La máquina .
 ) La máquina .
 2. En una compañía de seguros se tiene que 20% del personal son economistas, 30% administradores, 25% aboga-
dos y 25% ingenieros. Los puestos de dirección de la empresa se forman por 20% de abogados, 35% de econo-
mistas, 25% de administradores y 60% de ingenieros. ¿Cuál es la probabilidad de que un directivo sea ingeniero?
 3. En el aeropuerto internacional de cierta ciudad se 
tienen las siguientes probabilidades para el clima: pro-
babilidad de lluvia 35%, probabilidad de neblina 45% y 
20% nieve. Para que un vuelo se cancele se tienen las 
siguientes probabilidades: por lluvia 40%, por neblina 
60% y por nieve 85%. Si un vuelo se cancela, ¿cuál 
es la probabilidad de que sea por: ) lluvia, ) neblina, 
) nieve.
 4. Tres máquinas producen 9 000, 10 000 y 11 000 im-
presiones por día, la primera, tiene 3%, la 2% y la 
tiene 1% de impresiones defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de pliegos defectuosos? ¿Cuál es la probabilidad 
de que si un pliego se elige al azar y es defectuoso éste sea impreso por la máquina , y ?
 5. Se tienen tres sacos, uno de ellos contiene dos monedas de oro, el segundo dos monedas de plata y el tercero 
una moneda de oro y otra de plata, si se saca una moneda de plata, ¿cuál es la probabilidad de que provenga 
del segundo saco? ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del tercer saco?
 6. Se tienen tres máquinas para controlar la emisión de los contaminantes de los automóviles que se fabrican, la 
primera revisa 30% de los automóviles, la segunda 45% y la tercera el resto. Se sabe que la eficiencia de cada 
una de ellas es de 95%, 90% y 98%, respectivamente. Determinen: 
 ) La probabilidad de que un automóvil no pase la verificación.
 ) Si un automóvil falla, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de cada una de las máquinas?
 7. Se tienen dos cajas idénticas, la primera contiene tres bolas rojas y dos 
blancas; la segunda tiene dos bolas rojas y tres blancas; se selecciona una 
caja al azar y se extrae una bola si ésta es roja. Determina la probabilidad 
de que provenga:
 ) De la primera caja.
 ) De la segunda caja.
 8. En un encuentro de box entre dos competidores, llamémosles y , será 
vencedor el que gane dos asaltos seguidos o tres alternos. Escriban el 
espacio muestral de los posibles resultados.
 9. Consideren que un experimento consiste en lanzar un dado dos veces y 
los eventos: {en un lanzamientose obtiene 5} y {la suma de puntos 
91
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE 
Selección al azar con reemplazo y sin reemplazo
Selección al azar es tomar una muestra de un cierto conjunto, tomar una carta de una baraja de naipes, tomar una 
canica de un saco, etc. Será con reemplazo cuando esa muestra se regresa, y es sin reemplazo cuando la muestra no 
se regresa. Estas muestras afectan la probabilidad de un evento.
obtenida en ambos lanzamientos es mayor que 9}. Escriban el espacio muestral de los posibles resultados para 
los eventos y .
 10. Si el resultado de un experimento es el sexo de un descendiente, determinen el espacio muestral de los po-
sibles resultados.
 11. Si el resultado de un experimento consiste en el orden de llegada a la meta en una carrera de 100 m planos 
en la que participan ocho competidores identificados con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Escriban el espacio 
muestral de los posibles resultados.
 12. Una caja contiene tres canicas: una azul, una dorada y una blanca. Consideren el experimento de extraer una 
canica de la caja, con reemplazo, y extraigan una segunda canica. Escriban el espacio muestral de los posibles 
resultados.
 13. Repitan el problema anterior, pero sin reemplazar la primera canica.
 14. En una prueba de degustación se pide clasificar cuatro distintas marcas de yogur: , , y . Escriban el espacio 
muestral de los posibles resultados.
 15. En una conocida tienda de comida rápida se realizó una encuesta para conocer el tipo de combo que pide la 
clientela: Combo A, Combo B, Combo C y Combo D. Escriban el espacio muestral de los posibles resultados.
 16. Si es el evento de un número impar cuando se lanza un dado.
 ) Describe con palabras el evento c.
 ) Describe con palabras el evento ( c)c.
Una persona saca dos canicas de un saco. Determina la probabilidad de que la segunda canica sea roja si se sabe 
que el saco contiene dos canicas rojas y tres azules, a) sin reemplazo; b) con reemplazo.
Solución
El número de canicas es 5, de las cuales 2 son rojas y 3 son azules.
Definimos ( ) como la probabilidad de sacar una canica roja.
 ( ) como la probabilidad de sacar una canica azul.
 ) Sin reemplazo ) Con reemplazo.
 Se saca la primera canica
 = 5 = 2 = 3 ( ) = 
2
5
 = 5 = 2 = 3 ( ) = 
2
5
 Ejemplo
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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
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2
LECTURA SUGERIDA
http://www.hablandodeciencia.com/articulos/2013/04/05/thomas-bayes-un-reverendo-un-teorema-y-multiples-aplicaciones/
Actividades a realizar
 1. Lee el artículo de la lectura sugerida y escribe las palabras que no entiendas, busca su significado.
 2. Contesta las preguntas que se realizan.
 ) ¿Cuál es la idea central del artículo?
 ) ¿Qué es un Teorema?
 ) ¿Cuáles son sus aportaciones a la teoría de probabilidad?
 ) ¿Por qué consideras que él escribe sobre probabilidad?
 ) ¿Cómo se consideraron las aportaciones de Bayes, en un principio? ¿Por qué?
 ) ¿Por qué Laplace puede darle la importancia que merece el teorema?
 ) ¿Qué aplicaciones tiene el teorema?
 ) ¿Tú crees que Bayes se imaginó en algún momento el impacto del trabajo que realizó?
 ) ¿Por qué consideras que el trabajo de Bayes tiene relevancia?
 
 1. En una urna se tienen 4 bolas blancas, 5 azules y 7 rojas. Si se extraen dos bolas determina las siguientes pro-
babilidades que la segunda bola sea blanca, con reemplazo y sin reemplazo.
 2. Una persona realiza una rifa con 20 boletos. Un primer premio consta de $20 000 y un segundo premio de 
$10 000. Determina la probabilidad de sacar el segundo premio.
 3. Se lanza un dado dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que en la segunda vez salga el 3?
 4. Se extraen tres cartas de una baraja inglesa (52 cartas). ¿Qué probabilidad tiene la tercera carta de salir un as si 
se extraen las cartas con reemplazo o sin reemplazo?
 5. Se sacan dos cartas al azar de una baraja inglesa, una a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que en cada evento 
las dos cartas sean ases?
 Ejercicio 31
 Se saca la segunda canica, suponemos que salió roja la primera canica.
 = 4 = 1 = 3 ( ) = 
1
4
 = 5 = 2 = 3 ( ) = 
2
5
 Se saca la segunda canica, suponemos que salió azul la primera canica.
 = 4 = 2 = 2 ( ) = 
2
4
 = 5 = 2 = 2 ( ) = 
2
5
 Observa que las condiciones de sacar una canica con reemplazo son siempre las mismas, en cambio sin reem-
plazo sí cambian las condiciones.
93
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE 
ACTIVIDAD TRANSVERSAL 
Proyecto: Estudio de la población de nuevo ingreso
 
Deduce y aprende
La Encuesta
Tablas de distribución
Propósito: Utilizando la información de la unidad transversal de la unidad I, para realizar la tabla de distribución para cada dato del 
cuestionario.
 
 1. Se forman equipos de 4 o 5 alumnos, de preferencia los mismos que trabajaron en la unidad 1.
 2. De cada uno de los datos del cuestionario que aplicaste, realiza la tabla de distribución.
Tabla de distribución de frecuencias
1
Clase
2
Intervalo de clase
Límites 
3
Límites reales 4
Marca 
de clase
(mi)
Frecuencia
absoluta
Frecuencia 
acumulada
Frecuencia 
complementaria
Inferior Superior Inferior Superior
5
Simple
(fi)
6
Relativa
(Fi)
7
Simple
(Fa)
8
Relativa
(Fa)
9
Simple
(fc)
10
Relativa
(Fr)
Sumas
 Para determinar el número de clases de la tabla de distribución, usa la regla de Storges que está dada por la ecuación:
NC = 1 + 3.3 log n
 Debes tener en cuenta que las clases pueden ser cuantitativas o cualitativas.
 
 3. ¿Consideras que con la elaboración de la tabla de frecuencias es suficiente para el estudio de la población o muestra?
 4. ¿Qué información brinda la tabla de frecuencias?
 5. ¿Qué importancia tiene la tabla de frecuencias?
 6. ¿Qué información se puede perder en la tabla de frecuencias?
 
94
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
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2
 1. Realicen una encuesta y determinen la probabilidad de que un padre 
o una madre tenga estudios universitarios. Si los hombres representan 
48% de la población, calcula la probabilidad de que sea hombre una 
persona que se sabe que tiene estudios universitarios.
 2. Tres personas toman pedidos en la librería. La persona toma 40% de 
los pedidos, la persona 35% y el restante. Además se sabe que la 
persona comete cinco errores por cada 100 pedidos; la 4% de las 
veces y 6%. Si una persona recibe un libro equivocado, ¿cuál es la 
probabilidad de que la persona tome el pedido?
 3. La probabilidad de que un jugador de la selección nacional anote un 
penalti es de 
1
9
 y sus tiros se consideran independientes. Suponiendo 
que se pueden hacer cinco tiros penales en un partido:
 ) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte todos?
 ) ¿Cuál es la probabilidad de que falle en todos?
) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte cuando menos la mitad de 
los tiros?
Apertura
Deduce y aprende
Suma las caras de los dados 
Propósito: Desarrolla habilidades para la realización de tablas de frecuencias y sus dife-
rentes representaciones gráficas a partir de una situación concreta.
Conocimientos previos:
 • ¿Qué entiendes por tabla de distribución?
 • ¿Cuáles son los distintos tipos de gráficas para representar datos?
Materiales:
 • Tres dados
 • Cuaderno de notas
Desarrollo
 1. Formen equipos de dos alumnos.
 2. Tiren los tres dados y anoten sus resultados, para ello sumen los puntos de cada cara superior.
 3. Repitan el experimento 100 veces y registren en el cuaderno sus resultados.
Cierre
 4. Realicen con estos datos la tabla de distribución.
 5. ¿Cuáles son los posibles resultados del evento? 
 6. ¿Todos los resultados tienen la misma frecuencia? 
 7. ¿Cuál de los resultados es el de mayor frecuencia? 
 8. Si tuvieras que apostar, ¿a cuál resultado apostarías? 
EVALUACIÓN SUMATIVA 
CIERRE
95
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE 
1. AUTOEVALUACIÓN
Aspecto a evaluar ExcelenteBueno Regular Satisfactorio
Realicé los ejercicios 
correctamente
Más de 90%
Valor 15 puntos
Entre 80 y 89%
Valor 11 puntos
Entre 70 y 79%
Valor 7 puntos
Menos de 70%
Valor 3 puntos
Trabajé en equipo, 
resolví las actividades 
Deduce y aprende
Más de 90%
Valor 15 puntos
Entre 80 y 89%
Valor 11 puntos
Entre 70 y 79%
Valor 7 puntos
Menos de 70%
Valor 3 puntos
Actividad integradora, 
ver puntaje Valor 10 puntos Valor 7 puntos Valor 4 puntos Valor 2 puntos
Lectura de la unidad
Contesté correctamente 
más de 90% de las 
preguntas.
Valor 5 puntos
Contesté correctamente 
entre 80 y 89% de las 
preguntas
Valor 4 puntos
Contesté correctamente 
entre 70 y 79% de las 
preguntas
Valor 3 puntos
Contesté correctamente 
menos de 70% de las 
preguntas
Valor 2 puntos
Trabajo extra clase
Realicé todas mis 
tareas
Valor 5 puntos
Realicé 80% de mis 
tareas
Valor 4 puntos
Realicé 60% de mis 
tareas
Valor 3 puntos
Realicé 50% de mis 
tareas
Valor 2 puntos
Suma de puntos por 
columna
Total de las columnas De 45 a 50 puntos. De 40 a 44 puntos. De 35 a 39 puntos. Menos de 35 puntos.
2. AUTOEVALUACIÓN DISCIPLINAR
Resuelve los problemas de recuperación de información y contesta el dominio que tienes de los siguientes conceptos.
Concepto Lo domino No lo domino
¿Qué es el riesgo?
Uso de la estadística y probabilidad
Tablas de distribución
Eventos mutuamente excluyentes
Eventos independientes
Probabilidad condicional
Teorema de Bayes
Eje
Del manejo de 
la informacion 
al pensamiento 
estocástico
3PAR
T
E
Componentes
 Riesgo, inferencia y aleatoriedad: Elementos de la Es-
tadística y la Probabilidad.
Contenido central
 Manejo de la información en situaciones de la vida coti-
diana.
Contenidos específicos
 3.1 Estudio de la información. ¿Qué papel juegan las medidas 
de tendencia central?, ¿cómo representar la información en 
un gráfico estadístico?, ¿cómo estudiar un gráfico estadís-
tico?, ¿qué papel juega la probabilidad en el manejo de la 
información?
 3.2 Cálculo de las medidas de tendencia central y su represen-
tatividad en términos de la variabilidad y contexto situacio-
nal.
 3.3 Construcción de gráficos estadísticos en la representación 
de la información.
 3.4 Análisis de tipos de gráficos estadísticos.
Tercera parte
Aprendizajes esperados
 Recolecta y ordena la información de alguna situación.
 Interpreta y analiza la información.
 Representan la información.
 Toma decisiones a partir del análisis de la información.
Productos esperados
 Construir distintos tipos de gráficos y emitir opiniones deri-
vadas de ellos.
APERTURA
Evaluación diagnóstica
Instrucciones: Resuelve cada uno de los siguientes problemas, elige la opción correcta y anótala en el paréntesis. 
 1. Una placa de automóvil se forma por tres números y tres letras. ¿Cuántas placas se pueden obtener? ( )
 ) 1 581 840 ) 15 818 ) 158 184 ) 15 818 400
98
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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E
3
 2. Un restaurante ofrece seis distintos tipos de sopa, ocho tipos diferentes de guisado y tres tipos de postre. 
¿Cuántos tipos diferentes de menú podemos tener? ( )
 ) 3 ) 144 ) 100 ) 18
 3. En un salón de clases con 20 alumnos, se desean formar equipos de dos alumnos. ¿Cuántos equipos 
se podrán formar? ( )
 ) 2 20 
 ) 40 
 ) 20 
 ) 190
 4. En la bolsa de tu pantalón hay cinco monedas de varias cantidades (cincuenta centavos, un peso, dos 
pesos, cinco pesos y diez pesos). Si se extraen dos monedas halla el número de formas distintas que 
pueden salir las monedas. ( )
 ) 5 4 
 ) 5 5 
 ) 4 
 ) 60
 5. Al realizar la operación 16 16, el resultado es: ( )
 ) 4 ) 16 ) 1 ) 64
 6. No son representaciones gráficas: ( )
 ) Los diagramas de Venn ) Conjuntos
 ) Diagrama de árbol ) Diagramas de probabilidad
99
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE 
Tema integrador
Secuencia didáctica
Apertura de la actividad
Deduce y aprende
Chicos y grandes
Propósito: El alumno desarrollará sus habilidades para determinar la honestidad del juego de Chicos y grandes con ayuda del cálculo de 
probabilidades.
Conocimientos previos:
 • Tabla de distribución
 • Gráficos
 • Cálculo de probabilidad clásica
Material: 
 • Un tablero de chicos y grandes
 • 50 fichas para apostar
 • 2 dados
Desarrollo de la actividad
Se forman equipos de 5 alumnos, uno de ellos es la banca, los demás se enumeran con las letras A, B, C y D.
Chicos y grandes es un juego de azar que se divide en dos formas de apuestas:
La primera de ellas es apostar a Chicos o Grandes, colocando sus apuestas en el tablero. En el lugar que dice Chicos o dice Grandes, se 
tiran los dados; si la suma de éstos es menor que 7, entonces ganan una ficha los que apostaron a Chicos y pierden los que apostaron a 
Grandes. Si la suma de los dados es mayor que 7, pierden los que apostaron a Chicos y ganan los que apostaron a Grandes, todos pierden 
si la suma de los dados es 7.
La segunda forma para jugar consiste en colocar su apuesta en cada uno de los números del 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 o 12 que se encuentran 
en el tablero, ganan si los dados suman el número al que se apostó, pierden si la suma de los dados es 7.
Al jugar, se pueden combinar las dos formas de apuesta, siguiendo las reglas anteriores, por ejemplo una persona apuesta a Chicos y al 
número 12, si los dados caen 8, él pierde en chicos pero no en el ocho, en el cual sigue jugando.
Las apuestas se realizarán de la siguiente manera
 A Apuesta a Chicos
 B Apuesta a Grandes
 C Apuesta al número 2
 D Apuesta al número 6
Todos los alumnos toman 10 fichas, las apuestas siempre serán de una ficha.
Se inicia el juego, todos realizan su apuesta (la banca no), el alumno A tira los dados, y suma las caras.
100
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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3
La banca paga a los ganadores y recoge las fichas de los que perdieron.
Así continúan jugando, se termina el juego cuando un alumno tenga todas las fichas.
Vamos a jugar
7
23
4
5 6 8 9
10
1112
CHICOS GRANDES
Repitan el juego, cada jugador apostará libremente a lo que considere lo lleve a ganar, se pueden formar alianzas.
Cierre de la actividad
 1. Determina cuál es el espacio muestral.
 a) ¿Cuál es la probabilidad de ganar del alumno A?
 b) ¿Cuál es la probabilidad de ganar del alumno B?
 2. Si una persona apuesta en la misma jugada a Chicos y Grandes, ¿cuál es la probabilidad de ganar?
 3. ¿Cuál es la probabilidad de perder del alumno A?
 4. ¿Cuál es la probabilidad de perder del alumno B?
 5. ¿Cuál es la probabilidad de ganar del alumno C?
 6. ¿Cuál es la probabilidad de ganar del alumno D?
 7. Si una persona apuesta a Chicos y al número seis, ¿cuál es la probabilidad de ganar?
 8. Si una persona apuesta a Grandes y al número ocho, ¿cuál es la probabilidad de ganar?
 9. Si una persona apuesta a Chicos y Grandes, ¿cuál es la probabilidad de perder?
 10. ¿Cuál es la probabilidad de ganar si se apuesta a un número?
 11. ¿Cuál es la probabilidad de perder si se apuesta a un número?
 12. De las opciones de juego a) Chicos o Grandes o b) Apostar a un número, ¿cuál consideras mejor? ¿Por qué?
 13. ¿A qué número te conviene apostar?
 14. ¿Consideras que éste es un juego honesto?
101
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE 
Apertura Desarrollo Cierre
• Formen equipos de cinco 
alumnos.
• Formen su portafolio de evidencias. • Escriban en el cuaderno el análisis que 
hicieron sobre la situación didáctica.
• Lean la secuencia didáctica 
que se plantea.
• Reunidos los alumnos del equipo discutan 
cómo realizarán las actividades.
• Realiza un mapa mental de la unidad.
• Analicen los problemas. • Resuelve los problemas que se plantean en 
el desarrollo.
• Contesta las preguntas del desarrollo.
• Resuelve los ejercicios del cierre de la 
actividad.
Rúbrica para evaluar la secuencia didáctica del tema integrador
Aspecto aevaluar
Excelente 
(4)
Bueno 
(3)
Satisfactorio 
(2)
Deficiente 
(1)
Análisis de 
la situación 
didáctica
Realiza una investigación 
completa de la situación 
y traza el mapa mental.
Realiza una investigación 
clara y convincente 
y traza el mapa mental.
La investigación no es 
clara y sólo se presentan 
recortes de páginas web 
y no realiza el mapa 
mental.
La investigación es 
deficiente y no aporta 
conocimientos claros y no 
realiza el mapa mental.
Desarrollo 
del tema 
integrador
Contesta más de 90% de 
las preguntas y realizó 
todas las actividades.
Contesta entre 70 y 89% 
de las preguntas y realizó 
todas las actividades.
Contesta entre 60 y 69% 
de las preguntas y realizó 
todas las actividades.
Contesta menos de 60% 
de las preguntas y realizó 
todas las actividades.
Presentación 
de resultados
Contesta más de 90% de 
las preguntas y realizó 
todas las actividades.
Contesta entre 70 y 89% 
de las preguntas y realizó 
todas las actividades.
Contesta entre 60 y 69% 
de las preguntas y realizó 
todas las actividades.
Contesta menos de 60% 
de las preguntas y realizó 
todas las actividades.
Propósito
Que el estudiante analice fenómenos sociales o naturales, utilizando las herramientas básicas de la estadística descriptiva y de la teoría 
de la probabilidad para muestrear, procesar y comunicar información social y científica, para la toma de decisiones.
¿Qué aprenderás?
 • En esta unidad manejarás las técnicas de la probabilidad condicional y el teorema de Bayes, técnicas que aplicarás a la resolución 
de problemas.
¿Para qué te servirá?
Estos cálculos son una herramienta muy importante para solucionar problemas de probabilidad condicional.
102
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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3
DESARROLLO
3.1 Estudio de la información. ¿Qué papel juegan las medidas 
de tendencia central?, ¿cómo representar la información 
en un gráfico estadístico?, ¿cómo estudiar un gráfico estadístico?, 
¿qué papel juega la probabilidad en el manejo de la información?
Las gráficas son representaciones pictóricas que permiten realizar un análisis rápido y en forma visual de lo que suce- 
de en algún conjunto de datos. Los gráficos pueden ser de diferentes formas, los más comunes en la estadística son los de 
barras, histogramas, de pastel o pie o circulares y polígonos de frecuencias.
Los gráficos deben reunir ciertas características de identificación, como son:
 1. El título, que indica el tema de la gráfica.
 2. La fecha de realización.
 3. Las leyendas en los ejes.
 4. La unidad de medición que se utiliza.
 5. Indicar la escala en caso de usar alguna.
Diagrama de barras
También llamado gráfico, asocia a cada valor de la variable con una barra, generalmente vertical, pero también puede 
ser horizontal, proporcional a la frecuencia (o a la cantidad) con que se presenta.
Las ventas mensuales de una compañía pueden re-
presentarse en una gráfica de barras, para ello se tra-
zan dos ejes perpendiculares en forma de L. En el eje 
horizontal se anotan los intervalos de clase (mes) y en 
el vertical, la frecuencia (ventas); en la intersección del 
mes con las ventas se traza una barra que tiene por 
ancho el tamaño del intervalo.
Mes Ventas Mes Ventas Mes Ventas
1 8 5 9 9 8
2 3 6 10 10 9
3 1 7 4 11 14
4 7 8 7 12 16
01 20 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12
Ventas anuales
Mes
Ve
nt
as
 en
 m
ill
on
es
 d
e p
es
os
20
15
10
5
0
 Ejemplo
103
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE 
Contesta las siguientes preguntas a partir de la información de la gráfica.
 1. ¿Cuál es el mes de menos ventas? 
 2. ¿Cuál es el mes de más ventas? 
Entre cada una de las barras hay un espacio, debido a que se utilizan los intervalos de clase. La altura está dada por 
la frecuencia.
Elaboración de una gráfica de barras con la siguiente tabla de distribución.
Tabla 3.1 Distribución de frecuencias
1 
Clase
2 
Intervalo de clase
3 
Límites reales 4 
Marca 
de clase 
(mi)
Frecuencia 
absoluta
Frecuencia 
acumulada
Frecuencia 
complementaria
Límite 
inferior
Límite 
superior
Inferior Superior
5 
Simple 
(fi )
6 
Relativa 
(Fi)
7 
Simple 
(fa)
8 
Relativa 
(Fa)
9 
Simple 
(fc)
10 
Relativa 
(Fr)
A 12 15 11.5 15.5 13.5 15 0.083 5 0.083 55 0.917
B 16 19 15.5 19.5 17.5 21 0.35 26 0.433 34 0.567
C 20 23 19.5 23.5 21.5 21 0.35 47 0.783 13 0.217
D 24 27 23.5 27.5 25.5 11 0.183 58 0.967 2 0.033
E 28 31 27.5 31.5 29.5 2 0.0333 60 1.000 0 0
Sumas 59 1
Primero trazamos dos ejes perpendiculares, en uno de ellos se marcan los intervalos de clase, en este caso se eligie-
ron los nombres de las clases, en el otro eje se colocan las frecuencias absolutas simples (columnas) y, por último, 
se forman las barras.
A B C D E
Edades de socios del deportivo Azul
Clase
Ed
ad
25
15
20
10
5
0
 Ejemplo
104
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
3
0 5 10 15 20 25
Edades de socios del deportivo Azul
Edad
C
la
se
E
C
D
B
A
 1. En tu cuaderno, elabora lo que se pide, utilizando la información de la siguiente tabla.
 ) Una gráfica de barras para el número de nacimientos registrados por año.
 ) Realiza una gráfica de la condición de la actividad económica de la madre (2000 a 2006), observa que son 
dos tablas en una sola gráfica.
Tabla 3.2 Distribución porcentual de los nacimientos registrados, según la condición de activi-
dad económica de la madre (2000 a 2006)
Año Nacimientos registrados Económicamente activa No económicamente activa
2000 2 798 339 17.3 82.7
2001 2 767 610 18.2 81.8
2002 2 699 084 18.4 81.6
2003 2 655 894 17.7 82.3
2004 2 625 056 19.3 80.7
2005 2 567 906 20.8 79.2
2006 2 505 939 23.3 76.7
Fuente: INEGI, Estadística de natalidad.
 
 2. En tu cuaderno, realiza la gráfica de barras para la siguiente 
información.
 Defunciones por sida, según nivel de escolaridad del fa- 
llecido.
 Según la escolaridad de los fallecidos por causa del sida: de 
cada 100, 20 tenían la primaria completa; 20 la secundaria 
o equivalente; 17 la primaria incompleta; 13 la preparatoria o 
 Ejercicio 1
105
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE 
Histogramas
Se realizan de la misma forma que las gráficas de barras, la única diferencia es que en ellas se utilizan los límites reales, 
por ello las barras quedan pegadas, éstas se pueden realizar en forma vertical u horizontal.
equivalente, 11 eran profesionistas; 7 la secundaria incompleta; 6 no tenían instrucción y 6 no especificaron su 
escolaridad.
 Fuente: inegi. Internet. Consulta interactiva de datos, Base de datos de las estadísticas de mortalidad, 2006.
 Con esta información, el inegi brinda indicadores para contribuir al conocimiento del SIDA en México.
Elabora un histograma con la información de la siguiente tabla.
Tabla 3.1 Distribución de frecuencias
1 
Clase
2 
Intervalo de clase
3 
Límites reales 4 
Marca 
de clase 
(mi)
Frecuencia 
absoluta
Frecuencia 
acumulada
Frecuencia 
complementaria
Límite 
inferior
Límite 
superior
Inferior Superior
5 
Simple 
(fi )
6 
Relativa 
(Fi)
7 
Simple 
(fa)
8 
Relativa 
(Fa)
9 
Simple 
(fc)
10 
Relativa 
(Fr)
A 12 15 11.5 15.5 13.5 15 0.083 5 0.083 55 0.917
B 16 19 15.5 19.5 17.5 21 0.35 26 0.433 34 0.567
C 20 23 19.5 23.5 21.5 21 0.35 47 0.783 13 0.217
D 24 27 23.5 27.5 25.5 11 0.183 58 0.967 2 0.033
E 28 31 27.5 31.5 29.5 2 0.0333 60 1.000 0 0
Sumas 59 1
Solución
Trazamos dos ejes perpendiculares en forma de L, 
en el horizontal colocamos los límites reales y en el 
vertical, la frecuencia absoluta simple.
Título de la gráfica
20
16
12
8
4
0 31.527.523.519.515.511.5
 Ejemplo
106
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
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T
E
3
Polígono de frecuencias
Para obtener el polígono de frecuencias se trazan dos ejes perpendiculares, en uno de ellos se indican las marcas de 
clase y en el otro, la frecuencia absoluta simple. Se localizan los puntos que se forman por la intersecciónde la marca 
de clase y la frecuencia; luego, se unen por medio de un segmento de recta. El polígono de frecuencias es la línea que 
une los puntos que se forman por la marca de clases e intersección con las frecuencias de cada valor.
Gráfica de pastel
Las gráficas de pastel o circulares se elaboran trazando un círculo, que puede dividirse en secciones correspondientes 
al número de intervalos que se utilizaron en las clases, para obtener el ángulo central de cada sección se multiplica la 
frecuencia absoluta relativa por 360°.
En tu cuaderno, elabora una gráfica de histograma para el número de nacimientos registrados por año. Utiliza la tabla 
3.2.
 Ejercicio 2
Trazamos el polígono de frecuencias, utilizando la información de la tabla 3.1.
25
20
15
10
5
0
403020100
Título del eje
Serie 1
Tí
tu
lo
 d
el
 ej
e
Polígono de frecuencias
 Ejemplo
Elabora una gráfica de pastel con los datos siguientes 
del deportivo Azul.
Tabla 3.3 Edades de los socios del deportivo Azul.
Clase Frecuencia absoluta relativa
1 8%
2 36%
3 35%
4 18%
5 3%
 Ejemplo
107
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE 
Ojivas menor que y mayor que
En este tipo de gráfica se utiliza una línea poligonal y la marca de clase. Para la ojiva menor que se utiliza la frecuencia 
acumulada; para la ojiva mayor que se usa la frecuencia complementaria.
Solución
Multiplica la frecuencia absoluta relativa por 360° para obtener el án-
gulo central correspondiente a cada una de las clases. Recuerda que el 
porcentaje se debe expresar en forma decimal. Ejemplo: 8% = 0.08.
 8% 360 28.8 35% 360 126
 3% 360 10.8 36% × 360 129.6
 18% 360 64.8
Con ello, se divide el círculo en secciones, cada una de ellas representa 
la frecuencia absoluta. 
Edades de los socios del deportivo Azul
3
35%
2
36%
1
8%
5
3%
4
18%
Realicemos las gráficas de las ojivas mayor que y menor que, para ello utilicemos la tabla 3.1.
Solución
Observaciones:
En la primera gráfica, en el eje hori-
zontal se colocan las marcas de cla-
se, la altura del punto está dado por 
la frecuencia acumulada simple, una 
vez localizados los puntos se unen 
por una línea continua, esta poligonal 
recibe el nombre de gráfica de la fre-
cuencia acumulada o menor que.
 La segunda gráfica de la frecuencia complementaria se realiza de la misma forma: se localizan puntos utilizando 
la marca de clase en el eje horizontal y en el eje vertical, la frecuencia complementaria simple. Los puntos que se 
obtienen de la intersección de las rectas paralelas a los ejes se unen para formar la poligonal.
70
60
50
40
30
20
10
0
EDCBA
Clase
Fr
ec
ue
nc
ia
Edades de los socios del deportivo Azul
0
60
2
58
47
13
5
26
34
55
 Ejemplo
Realiza el polígono de frecuencias para determinar gráficamente 
el valor de la mayor producción bruta de la industria manufactu-
rera, según tipos de la industria del 2002-2004, en millones de 
pesos, tomada de los Centros de consulta, a través de los cuales 
el Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática ofrece 
gratuitamente el servicio público de información en materia esta-
dística y geográfica. 
 Ejercicio 3
108
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
3
Tabla 3.4 Producción bruta de la industria manufacturera
Industrias
2002 2003 2004
Valor
Lugar de 
importancia
Valor
Lugar de 
importancia
Valor
Lugar de 
importancia
Productos alimenticios, 
bebidas y tabacos
415 523 335 447 642 250 490 746 939
Textiles, prendas de vestir 
e industrias del cuero
60 764 303 60 768 180 65 972 259
Industria de la madera 
y producción de madera
8 988 576 8 966 612 10 140 360
Producción de papel, uso 
en imprenta y editorial
73 303 542 76 255 904 83 004 477
Sustancias químicas 
derivadas del petróleo 
y producción de caucho
279 351 603 301 695 554 336 075 522
Producción de minerales 
no metálicos y derivados 
del petróleo
79 222 034 84 557 719 89 552 180
Industrias metálicas básicas 112 714 264 137 739 491 212 570 181
Productos metálicos, 
maquinaria y equipo
549 917 888 541 826 535 592 442 657
Otras industrias 
manufactureras
3 666 053 3 930 888 4 966 360
TOTAL
Fuente: Banco de Información Económica (BIE). Sector manufacturero. Encuesta industrial mensual.
Apertura de la actividad
Deduce y aprende
La familia
Propósito: Desarrolla las habilidades para organizar la información.
Materiales:
 • Papelitos de 4 5 cm • Bolígrafo
Desarrollo de la actividad
 1. Anoten en un papelito el número de personas que habitan en su vivienda y colóquenlo sobre el escritorio.
 2. El profesor dictará a los alumnos las cantidades anotadas en los papelitos para que las escriban a continuación y uno de los alumnos 
las escribirá en el pizarrón. No tires los papelitos.
 .
 .
 .
 3. El profesor guardará los papelitos por cualquier aclaración o duda hasta finalizar la actividad.
109
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE 
Cierre de la actividad
 4. Ordenen los datos de mayor a menor.
 .
 .
 .
 5. ¿Cuántos datos son en total? = n.
 6. ¿Cuál es el dato mayor? = límite superior
 7. ¿Cuál es el dato menor? = límite inferior
 8. Obtén la diferencia entre el mayor y el menor, es decir, el rango: R = 
 9. Si sumamos todos los datos y los dividimos entre n, obtenemos el que es igual a 
 10. ¿Cuál es el elemento que más se repite? ¿Cómo se le llama? 
 11. De todos los elementos ordenados, encuentra el elemento que está a la misma distancia del límite mayor y del límite menor, 
es . ¿Cómo se llama? 
 12. En la siguiente tabla anota el número de habitantes en una vivienda, en la primera columna y en la segunda, el número de veces 
que se repite esa cantidad. ¿Qué nombre recibe? 
 
Tabla 3.5 Habitantes por vivienda
Número de habitantes en una vivienda Frecuencia
Gráficas con Excel 
Una forma muy sencilla de realizar gráficas es utilizando Excel, sólo debemos seleccionar los datos que deseamos gra-
ficar de la hoja Elige insertar; después, seleccionamos hacer gráfica.
2
36%
5
3%
Edades de los socios del deportivo Azul
3
35%
1
8%4
18%
110
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
3
Para realizar un gráfico en Excel 2007 vista utilizamos la pestaña Insertar (1) del menú Gráficos (2), seleccionamos 
el tipo de gráfico que se desea realizar (3), dentro de este menú encontraremos una cantidad de formas gráficas que 
les permitirán expresar los datos de la forma que consideren más pertinente. 
Actividad socioemocional
En el trabajo en equipo:
 1. ¿Cómo consideras el trabajo en equipo?
 
 2. ¿Cómo te gusta trabajar?
 
 3. ¿Eres un alumno disperso?
 
 4. ¿Aprendes de tus exámenes?
 
 5. Describe la emoción que sientes cuando te entregan tus exámenes.
 
 
3.2 Cálculo de las medidas de tendencia central y su representatividad 
en términos de la variabilidad y contexto situacional
Es común que escuches la palabra promedio, por ejemplo, cuando te preguntan: ¿cuál es tu promedio de calificaciones? 
La forma de obtenerlo es realizando la suma de todos los datos y dividiéndolo entre el total.
Es conveniente tener en cuenta el tipo de datos que se está trabajando, si son de la población o de una muestra, 
agrupados o no. Para la realización de nuestros cálculos la forma de proceder es diferente, también debes de tener 
en cuenta que cuando hablamos de la población, estas medidas reciben el nombre de parámetros, cuando los datos 
corresponden a una muestra reciben el nombre de estadístico. En símbolos utilizamos barra ( ) para la media pobla-
cional, que es un parámetro y μ (mu) para la mediamuestral, lo que representa un estadístico o una estadística, para 
nuestros estudios nos referiremos a muestras.
μ =
∑
Donde:
 a cada valor de la muestra.
 la suma de los valores .
 número de datos con los que se trabajan.
En el caso de que sea una población, la forma de cálculo es la misma, sólo que cambiamos el símbolo que la 
representa.
1 2 3321
111
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE 
Determinemos el promedio de las calificaciones de Luis, si éstas son 5, 6, 10, 4, 9, 7 y 8. 
=
∑
=
+ +
= =
5 6+ 10 4 9 7 8+ + ++ +
7
49
7
7
Por tanto, su promedio es 7, pero esto no significa que todas las materias tengan calificación de 7.
 Ejemplo
Obtén el promedio de las edades de cinco de tus compañeros y la mía, que es 50 años. ¿Consideras que el prome-
dio sea representativo de la edad de ustedes y la mía? 
¿Qué piensas del promedio? 
Esto puede resultar engañoso en algunos casos, veamos los siguientes ejemplos.
 Ejercicio 4
Consideremos los siguientes grupos de datos que son unas muestras obtenidas de cierta población y obtén el pro-
medio de cada uno de ellos.
 Datos Promedio o media
 50, 49, 51, 48, 52, 50, 50 
 100, 0, 10, 90, 95, 5, 50 
 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50 
 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 
Solución
En todos los casos, el número de datos son 7 y las sumas son:
 50 49 51 48 52 50 50 350
 100 0 10 90 95 5 50 350
 50 50 50 50 50 50 50 350
 20 30 40 50 60 70 80 350
El promedio es μ 50 en todos los casos. Analicemos qué sucede en el primer caso, la media representa el conjunto 
de datos, y en el segundo y tercero esto no sucede; por ello, es conveniente tener en cuenta otras medidas que nos 
permitan conocer la dispersión de los datos. Supón que fueran los sueldos de los empleados de alguna compañía. 
¿En cuál de ellas te gustaría trabajar?
 Ejemplo
En una empresa se realiza una encuesta a 4 trabajadores. Si el administrador de la compañía recibe un sueldo de 
$300 000 y 3 obreros reciben un sueldo de $1 500 cada uno, ¿cuánto ganan en promedio?
 Ejercicio 5
112
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
3
Media o promedio de datos agrupados
Cuando hablamos de datos agrupados, la forma de calcular el promedio es diferente, sumamos el producto de cada 
marca de clase y lo multiplicamos por la frecuencia simple; luego, el resultado se divide entre la suma de las frecuencias.
μ =
∑
∑
Donde:
 Frecuencia de la clase .
 Marca de la clase .
 ∑ Indica la suma de los valores.
Mediana
Es una medida de tendencia central que se sitúa a la mitad de los datos ordenados, o sea, deja 50% de datos menores 
y 50% de datos mayores.
Datos no agrupados
Para situar la posición de la mediana (Me) tenemos dos casos, cuando el número de datos es impar o el número de 
datos es par.
Caso impar
Si el número de datos es un número impar, entonces a éste se le suma uno y se divide entre dos el valor que se obtiene, 
nos indica en la lista ordenada de los datos la posición del valor que representa a la mediana.
En una compañía se tienen los siguientes sueldos para el personal del departamento de administración:
Tabla 3.6 Sueldos del departamento de 
administración.
Jefe del departamento $35 000
Secretaria A $ 9 000
Secretaria B $ 7 000
Secretaria C $ 5 000
Archivista $ 4 000
Capturista $ 6 500
Determina el promedio de los sueldos.
 Ejercicio 6 
113
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE 
Caso par
Si el número de datos es un número par, la posición de la mediana se obtiene dividiendo el número de datos entre 2. 
Este valor se sitúa en un primer dato en la lista ordenada, que se promedia con el siguiente; el resultado obtenido es 
el valor de la mediana.
Localicemos la mediana de la siguiente lista de datos.
2, 4, 5, 6, 8, 9, 11
Solución
El número de datos es 7, si aplicamos la regla sumamos 1 y dividimos entre 2.
= = =
7 1+
2
8
2
4
El valor que se encuentra en la cuarta posición es el número 6 y es la mediana.
2, 4, 5, 6, 8, 9, 11
Este valor deja de cada lado 50% de los valores, en este caso son tres valores de cada lado.
 Ejemplo
Encuentra la posición y el valor de la mediana en los siguientes datos.
13, 45, 34, 24, 23, 65, 78, 54, 57, 21, 45, 12, 72
 Ejercicio 7
De la siguiente lista de datos localiza la mediana.
2, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 15
Solución
El número de datos es 8, si aplicamos la regla y dividimos entre 2. El valor de la mediana es el promedio de los va-
lores que se encuentran en la posición 4 y 5.
2, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 15
= =
6 8+
2
7
Este valor deja de cada lado 50% de los valores, en este caso son cuatro valores de cada lado.
 Ejemplo
Encuentra la posición y el valor de la mediana en los siguientes datos.
13, 45, 34, 24, 23, 65, 78 ,54, 57, 21, 45, 12, 72, 80
 Ejercicio 8
114
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
3
De los siguientes datos obtén la mediana.
 Caso impar Caso par
 50, 49, 51, 48, 52, 50 y 50 100, 60, 10, 90, 95, 5, 50 y 40
Solución
Primero ordenamos los datos:
 48, 49, 50, 50, 50, 51, 52 5, 10, 40, 50, 60, 90, 95, 100
 Número de datos: 7 Número de datos: 8
Sumamos 1
Dividimos: 
8
2
4= Dividimos: 
8
2
4=
Por lo que el valor de la mediana es:
 El valor que se encuentra en el lugar 4: El lugar de la mediana está entre 50 y 60, luego 
 
48, 49, 50, 50, 50, 51, 52 se promedian estos valores.
 
( )
2
55=
 Por tanto, el valor de la mediana es 55.
 Ejemplo
De las siguientes listas de datos determina el lugar de la mediana:
) 66 70 13 95 65 80 63 39 56 91 53 75 7 8 31
) 57 65 55 18 21 69 23 81 25 34 21 96 91 42
) 17 32 85 81 34 93 61 78 67 71 52 95 40 83 21 89
) 81 73 66 0 23 26 56 35 83 46 55 12 84 68 85
 Ejercicio 9
Mediana para datos agrupados
El lugar de la mediana para datos agrupados debe cumplir con la condición de dejar la misma cantidad de datos de 
un lado y del otro. Utilizaremos algo que se llama interpolación lineal, lo que quiere decir, encontrar un valor que se 
encuentra entre dos extremos a una cierta razón.
115
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE 
En una fracción (número racional), indica el número de partes en el cual se divide la unidad (es distinto de 
cero) y es el número de partes que se toma. Cuando se multiplica esta fracción por una cantidad, el resultado corres-
ponde a tomar de ese valor la cantidad que indica la razón.
Si deseo tomar la mitad de un intervalo de 5 unidades sólo tengo que multiplicar por 
1
2
. Si deseo tomar 
3
7
 partes 
tendré que multiplicar por 
3
7
.
Pensemos que en la recta numérica se tiene un intervalo de 5 unidades, cuyo límite inferior es 3 y como superior es 
8. En dicho intervalo se desea encontrar un punto que se encuentre a 
3
7
 del 3, esto quiere decir que el segmento 
se divide en 7 partes y se toman 3, a este valor se le tiene que sumar el valor del límite inferior.
3 4 5 6 7 8
La solución es multiplicar el tamaño del intervalo (cinco) por 
3
7
 y sumarlo al límite inferior 3, en símbolos:
3
3
7
3
15
7
36
7
+ + =( )5( )55
Localicemos ese valor, para ello utilizamos equivalencias: 
36
7
5
1
7
= +5 , de manera que la unidad que está entre 5 
y 6 se divide entre siete partes iguales y se toma una, éste es el punto que andamos buscando.
3 4 5 6 7 8
 15 + − 7
 Ejemplo
Utiliza el mismo intervalo de 3 a 8 y realiza lo siguiente:
 1. Interpolar un valor en este intervalo que se encuentre a cinco séptimos de 3, localízalo en la recta numérica.
 2. Interpolar un valor que se encuentre a la mitad del intervalo, localízalo en la recta numérica.
 3. Interpolar un valor que se encuentre a un cuarto de 3, localízalo en la recta numérica.
 Ejercicio 10
Interpolación lineal se refiere a encontrar un valor entre los polos unidos por una línea recta.
Utilicemos estos conocimientos para encontrar la mediana en datosagrupados, recordemos que la mediana debe 
situarse a la mitad de los datos.
116
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
3
En la siguiente tabla se encuentra el valor de la mediana.
Tabla 3.7 Ingresos de una compañía.
1 
Clase
2 
Intervalo de clase o límites 4 
Marca 
de clase 
(mi)
Frecuencia absoluta Frecuencia acumulada
Inferior Superior
5 
Simple 
(fi )
6 
Relativa 
(Fi)
7 
Simple 
(fa)
8 
Relativa 
(Fa)
A 1 000 3 000 15 15
B 4 000 6 000 11 26
C 7 000 9 000 22 48
D 10 000 12 000 8 56
E 13 000 15 000 4 60
Sumas 60
Solución
Sin importar si el número de datos es impar o par realizamos lo siguiente:
Como el número de valores es 60.
Lo dividimos entre 2: 
60
2
30= .
El valor de 30 se encuentra contenido en la clase , la clase sólo cuenta con 26 datos y se requieren 4 para tener 
los 30, a fin de localizar la mediana en ese intervalo, utilicemos la interpolación lineal; para ello, primero determina-
mos el límite inferior. El límite inferior de la clase es 7 000, a continuación, determinamos el tamaño del intervalo.
Tamaño del intervalo límite superior – límite inferior
 9 000 – 7 000
 2 000
El tamaño del intervalo es 2 000, como la frecuencia absoluta simple del intervalo es 22, entonces se divide en 
22 partes y a la frecuencia acumulada de la clase anterior B que es igual a 26, le debemos sumar cuatro partes de 
las 22 para sumar los 30 datos de la mediana. Entonces, a 7 000 le sumamos las cuatro partes faltantes de las 22 
del intervalo y el resultado obtenido lo multiplicamos por el tamaño del intervalo 2 000.
Gráficamente:
7 000
26 22 valores
Tamaño 2 000
48
9 000
(2.000)4
22
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 Ejemplo
117
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE 
Moda
Es una medida de tendencia central, la cual nos indica el valor o los valores que más se repiten, o sea, el de mayor 
frecuencia. Una serie de datos pueden tener varias modas, el símbolo que se utiliza para representar la moda es ˆ .
En símbolos se tiene:
7000
4
22
2000
81000
11
7363.63+ ⎛⎝
⎛⎛⎛⎛
⎝⎝
⎛⎛⎛⎛ ⎞
⎠
⎞⎞⎞⎞
⎠⎠
⎞⎞⎞⎞ = ≈
El valor de la posición de la mediana es 81000
11
7363.63≈ , el último valor es una aproximación a dos decimales.
Utiliza la siguiente tabla para encontrar el valor de la mediana.
Tabla 3.7 Ingresos de una compañía
1 
Clase
2 
Intervalo de clase o límites 4 
Marca 
de clase 
(mi)
Frecuencia absoluta Frecuencia acumulada
Inferior Superior
5 
Simple 
(fi )
6 
Relativa 
(Fi)
7 
Simple 
(fa)
8 
Relativa 
(Fa)
A 10 30 15 15
B 40 60 11 26
C 70 90 12 38
D 100 120 8 46
E 130 150 4 50
Sumas 50
 Ejercicio 11
En las siguientes series de datos encuentra la moda.
 50, 49, 51, 48, 52, 50, 50 Moda ˆ 50
 100, 0, 10, 90, 95, 5, 50 Moda no tiene.
 3, 50, 25, 50, 25, 25, 50, 50, 4, 25 Moda ˆ 50 y 25.
En los ejemplos anteriores podemos observar que el valor de la moda es 50 por ser el valor que más se repite. En 
el segundo ejemplo, la moda no existe porque ninguno de los datos se repite y, por último, en el tercer ejemplo se 
tienen dos modas: 50 y 25, ya que estos valores se repiten cuatro veces, por lo que se tienen dos modas o multi-
modal por tener varias modas.
 Ejemplo
118
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
3
Moda en datos agrupados
Cuando se trata de datos agrupados, lo primero que hacemos es localizar la clase modal de mayor frecuencia, de ella 
tomamos el límite inferior exacto que nombramos como , el segundo paso es determinar el tamaño del intervalo , y 
en el tercer paso se obtienen las siguientes diferencias:
 Frecuencia modal Frecuencia absoluta simple
 1 menos la as anterior a la frecuencia modal.
 2 menos la as siguiente a la frecuencia modal.
Y se calcula la moda con la siguiente fórmula:
= +
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
ˆ 1
1 2
En las siguientes series de datos encuentra la moda.
 ) 66 70 13 95 65 80 63 39 56 91 53 75 7 8 31
 ) 57 65 55 18 21 69 23 81 25 34 21 96 91 42
 ) 17 32 85 81 32 93 61 78 67 71 32 95 40 83 32 89
 ) 81 30 66 30 23 26 56 30 30 46 55 12 84 68 85
 Ejercicio 12
Utiliza la siguiente tabla de datos para encontrar la moda.
Tabla 3.4 Ingresos de una compañía
1 
Clase
2 
Intervalo de clase o límites 4 
Marca 
de clase 
(mi)
Frecuencia absoluta Frecuencia acumulada
Inferior Superior
5 
Simple 
(fi )
6 
Relativa 
(Fi)
7 
Simple 
(fa)
8 
Relativa 
(Fa)
A 1 000 3 000 15 15
B 4 000 6 000 11 26
C 7 000 9 000 22 48
D 10 000 12 000 8 56
E 13 000 15 000 4 60
Sumas 60
 Ejemplo
119
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE 
Solución
Primer paso
La clase modal de mayor frecuencia: Es la clase C con 22:
= =
+
=Límite inferior exacto de la clase modal
6 000 7 000
2
6 500
Segundo paso
Tamaño del intervalo: 9 000 – 7 000 2 000
Tercer paso
Obtener las diferencias siguientes:
2 siguiente a la frecuencia modal menos la frecuencia modal 22 – 8 14
 1 Frecuencia modal menos la anterior a la modal 22 – 11 11
Utilizamos la fórmula para el cálculo de la moda:
+
⎛
⎝⎜
⎛⎛
⎝⎝
⎞
⎠⎟
⎞⎞
⎠⎠
ˆ 1
1 2
=ˆ
+1 +
Sustituimos los valores de cada paso:
= + ⎛⎝
⎛⎛⎛⎛
⎝⎝
⎛⎛⎛⎛ ⎞
⎠
⎞⎞⎞⎞
⎠⎠
⎞⎞⎞⎞ˆ 6 500
11
11 14+
2 000
ˆ 7 380
 1. Utiliza la tabla siguiente de datos para encontrar la moda.
Tabla 3.8 Salarios del personal administrativo de la compañía “El cisne”
1 
Clase
2 
Intervalo de clase o límites 4 
Marca de clase 
(mi)
Frecuencia absoluta
Inferior Superior
5 
Simple 
(fi)
6 
Relativa 
(Fi)
A 1 000 3 000 15
B 4 000 6 000 11
C 7 000 9 000 16
D 10 000 12 000 28
E 13 000 15 000 14
Sumas 60
 Ejercicio 13
120
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
3
Solución
Primer paso
La clase modal de mayor frecuencia es la clase: 
 Límite inferior exacto de la clase modal 
Segundo paso
 Tamaño del intervalo: 
Tercer paso
Obtener las diferencias siguientes 1, 2.
 2 menos la siguiente a la frecuencia modal 
 1 menos la anterior a la frecuencia modal 
El cálculo de la moda se hace utilizando:
+
⎛
⎝⎜
⎛⎛
⎝⎝
⎞
⎠⎟
⎞⎞
⎠⎠
ˆ 1
1 2
=ˆ
+1 +
Sustituimos los valores de cada paso:
( ) ( )= +( ) ⎛
⎝⎜
⎛⎛
⎝⎝
⎞
⎠⎟
⎞⎞
⎠⎠
ˆ
 2. Utilizando la siguiente tabla de la temperatura media a nivel nacional, determina las medidas de tendencia 
central, media o promedio, mediana, moda, cuartiles y el rango intercuartílico, para el mes de marzo.
Tabla 3.9
Temperatura media a nivel nacional
Entidad Enero Febrero Marzo Entidad Enero Febrero Marzo
Aguascalientes 12.1 15.0 17.0 Morelos 18.2 20.7 22.5
Baja California 13.8 18.8 17.7 Nayarit 20.4 23.9 23.5
Baja California Sur 17.7 21.1 21.1 Nuevo León 14.1 17.5 21.6
Campeche 23.9 23.9 28.4 Oaxaca 21.9 21.9 25.2
Ciudad de México 14.1 15.8 17.4 Puebla 14.7 15.6 18.6
Coahuila 12.4 16.4 20.4 Querétaro 14.8 16.2 18.7
Colima 24.8 26.1 25.0 Quintana Roo 24.3 23.6 26.9
Chiapas 22.9 23.0 26.5 San Luis Potosí 16.2 17.9 22.7
Chihuahua 9.5 13.8 16.9 Sinaloa 19.1 22.4 22.8
Durango 10.5 14.6 16.7 Sonora 13.9 19.0 19.6
Guanajuato 14.2 15.6 18.1 Tabasco 23.3 23.4 27.4
Guerrero 24.0 25.2 25.1 Tamaulipas 16.8 19.4 23.6
Hidalgo 13.8 14.9 18.5 Tlaxcala 12.3 14.3 14.9
Jalisco 17.2 18.8 19.9 Veracruz 18.3 19.1 23.3
Estado de México 11.6 12.5 14.3 Yucatán 23.1 22.8 27.1
Michoacán 17.2 19.0 19.3 Zacatecas 10.6 14.2 15.8
 3. Representa gráficamente los datos del mes de marzo.
121
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE 
3.3 Construcción de gráficos estadísticos 
en la representación de la información
En la construcción de un gráfico debemos tener en cuenta algunas condiciones al realizarlos, primeramente, el tipo de 
información que se tiene debe ser seleccionado para que sea representativa de la información, ya que se puede incurrir 
en el hecho de que el gráfico no muestre lo que se desea. Los tipos de gráficos pueden ser: histograma, diagrama de 
dispersión, de barras, cartesianas, bidimensionales o multidimensionales, polares, pie.
La información debe presentarse en formaclara, y es recomendable realizar por lo menos dos tipos para efectuar 
comparación entre ellos.
En un gráfico, el título debe ser representativo de la información que se proporciona, debe ser claro y no permitir 
ambigüedad; en los ejes deben incluir las etiquetas y la escala que se utiliza.
Un ejemplo es cuando se trata de representar variables cualitativas y se utiliza un gráfico de dispersión, o bien 
cuando representamos variables que no tienen ninguna relación, por decir, en un gráfico que representemos la edad de 
una persona con las ventas del mes, la relación que existe entre éstas es nula, pero la inexperiencia muchas ocasiones 
nos lleva a la realización de este tipo de gráficos.
Otros tipos de errores comunes son la elección de la escala, que puede ocasionar que los gráficos no manifiesten 
el verdadero contenido de la información; de hecho, en algunos casos se llega a omitir el origen.
3.4 Análisis de tipos de gráficos estadísticos
Una de las preguntas que nos hacemos es ¿para qué nos sirve un gráfico? Los gráficos nos permiten un análisis rápido 
de la información, es un aspecto visual en el cual se tiene una idea clara y rápida sin tener que recurrir a análisis más 
profundos de los datos.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Análisis de una planta de frijol
Observación
Al
tu
ra
 d
e l
a p
la
nt
a
68.0
64.0
66.0
62.0
60.0
58.0
En la gráfica podemos observar rápidamente cuál planta es la mayor, o la menor, o si existiera igualdad entre 
algunas de ellas, permitiendo un análisis rápido de la información, lo cual en una tabla de distribución de frecuencias 
sería difícil de lograr. En la siguiente gráfica podemos observar que si se utiliza un gráfico diferente, el análisis de la 
información no es el mismo.
0 5 10 15
Altura de la planta
68.0
66.0
64.0
62.0
60.0
122
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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3
Observa la misma gráfica, pero usando un diagrama de dispersión, el cual no brindará la misma información que 
el anterior, siendo ésta la misma en los dos gráficos, lo que nos puede llevar a conclusiones erróneas al utilizarlo, y las 
decisiones que se tomen también pueden ser erróneas.
En los siguientes gráficos la información es la misma, pero las escalas se han modificado, con lo que se pueden 
crear confusiones al verla. En la primera podemos decir que la tercera observación es muy grande en relación con la 
cuarta observación.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Análisis de una planta de frijol
Observación
Al
tu
ra
 d
e l
a p
la
nt
a
68.0
59.0
60.0
61.0
62.0
63.0
64.0
65.0
66.0
67.0
En este gráfico podemos inferir que todas las observaciones presentan poca variación.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Análisis de una planta de frijol
Observación
Al
tu
ra
 d
e l
a p
la
nt
a
70.0
60.0
50.0
Es por ello que cuando realizamos un gráfico se debe tener mucho cuidado en la elección de la presentación y 
las escalas de los ejes.
LECTURA SUGERIDA
http://geiuma-oax.net/invdoc/importanciaydef.htm
Actividades a realizar
1. Lee el artículo de la lectura sugerida y escribe las palabras que no entiendas, busca su significado.
2. Contesta las preguntas que se realizan.
) ¿Por qué es importante la investigación documental, según el artículo?
) ¿Cuál es la idea central del artículo?
123
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE 
 ) ¿Cuáles son las características de la inves-
tigación documental?
 ) ¿Cuáles son los conceptos básicos?
 ) ¿Qué son las fichas de investigación?
 ) Cuando redactas un artículo, ¿qué debes 
tomar en cuenta?
 ) ¿Qué es una fuente documental?
 ) Indica la unidad documental donde van a 
trabajar.
ACTIVIDAD TRANSVERSAL 
Proyecto: Estudio de la población de nuevo ingreso
 
Deduce y aprende
La Encuesta Gráficos
Propósito: utilizar la información de la unidad transversal de la unidad I para realizar la representación gráfica de la información.
 
 1. Se forman equipos de 4 o 5 alumnos, de preferencia los mismos que trabajaron en la unidad 1.
 2. De cada uno de los datos del cuestionario que aplicaste, y la tabla correspondiente realiza las gráficas que se piden a continua-
ción, selecciona para cada caso la que tu consideres la mejor para la representación de la información.
 a) Tiempo de traslado a la escuela
 b) Número de hermanos
 c) Estado civil de los padres
 d ) Edad de los padres
 e) Grado máximo de estudios de los padres
 f ) ¿Tienes computadora? ¿Tienes acceso a Internet?
 3. De cada una de las gráficas realiza comentarios relativos a ellas.
 4. Determina las medidas de tendencia central de cada uno de los datos agrupados.
 
124
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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3
Deduce y aprende
Multiplica las caras de los dados
Propósito: Desarrolla habilidades para realizar el cálculo de las medidas de tendencia central a partir de una situación concreta.
Conocimientos previos:
 • ¿Qué entiendes por medidas de tendencia central?
 • ¿Cuáles son las medidas de tendencia central?
Materiales:
 • Dos dados
 • Cuaderno de notas 
 1. Formen equipos de dos alumnos.
 2. Tiren los dos dados y anoten sus resultados, para ello multiplica los puntos de cada cara superior.
 3. Repitan el experimento 100 veces y registren en el cuaderno sus resultados.
 4. Realicen con estos datos la tabla de distribución.
 5. Realicen el cálculo de las medidas de tendencia central para datos no agrupados, media, mediana, moda, y los cuartiles 1, 2 y 3.
 6. Realicen el cálculo de las medidas de tendencia central para datos agrupados, media, mediana, moda, y los cuartiles 1, 2 y 3.
 7. Realicen las gráficas, diagrama de barras y el histograma.
 8. ¿Cuáles son los posibles resultados del evento?
 9. ¿Todos los resultados tienen la misma frecuencia?
 10. ¿Cuál de los resultados es el de mayor frecuencia?
 11. Si tuvieras que apostar, ¿a cuál resultado apostarías?
EVALUACIÓN SUMATIVA
CIERRE
125
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE 
1. AUTOEVALUACIÓN
Aspecto a evaluar Excelente Bueno Regular Satisfactorio
Realicé los ejercicios 
correctamente
Más de 90%
Valor 15 puntos
Entre 80 y 89%
Valor 11 puntos
Entre 70 y 79%
Valor 7 puntos
Menos de 70%
Valor 3 puntos
Trabajé en equipo, 
resolví las actividades 
Deduce y aprende
Más de 90%
Valor 15 puntos
Entre 80 y 89%
Valor 11 puntos
Entre 70 y 79%
Valor 7 puntos
Menos de 70%
Valor 3 puntos
Actividad integradora, 
ver puntaje Valor 10 puntos Valor 7 puntos Valor 4 puntos Valor 2 puntos
Lectura de la unidad
Contesté correctamente 
más de 90% de las 
preguntas
Valor 5 puntos
Contesté correctamente 
entre 80 y 89% de las 
preguntas
Valor 4 puntos
Contesté correctamente 
entre 70 y 79% de las 
preguntas
Valor 3 puntos
Contesté correctamente 
menos de 70% de las 
preguntas
Valor 2 puntos
Trabajo extra clase
Realicé todas mis tareas
Valor 5 puntos
Realice 80% de mis 
tareas
Valor 4 puntos
Realicé 60% de mis 
tareas
Valor 3 puntos
Realicé 50% de mis 
tareas
Valor 2 puntos
Suma de puntos por 
columna
Total de las columnas De 45 a 50 puntos De 40 a 44 puntos De 35 a 39 puntos Menos de 35 puntos
2. AUTOEVALUACIÓN DISCIPLINAR
Resuelve los problemas de recuperación de información, y contesta el dominio que tienes de los siguientes conceptos.
Concepto Lo domino No lo domino
Representación gráfica de datos
Tipos de gráficas
Medidas de tendencia central
Eje
Del manejo de 
la informacion 
al pensamiento 
estocástico
4PAR
T
E
Componentes
 Riesgo, inferencia y aleatoriedad: elementos de la Es-
tadística y la Probabilidad.
Contenido central
 Tratamiento de las medidas de tendencia central. Tra- 
tamiento y significado de medidas de dispersión.
Contenidos específicos
 4.1 Medidas de tendencia central. ¿Qué es la moda, la media 
aritmética, la mediana? ¿Qué es un cuartil?, ¿qué es una 
medida de dispersión?, ¿qué es una medida de forma?, 
¿qué es una medida de correlación?
 4.2 Análisis de la información y toma de decisiones. ¿Qué 
información brindan lasmedidas de tendencia central?, 
¿cuándo se puede considerar que todas dan la misma infor-
mación?, ¿en cualquier fenómeno tienen significado?
APERTURA
Evaluación diagnóstica
Instrucciones: Resuelve cada uno de los siguientes problemas, elige la letra que hace verdadera la oración y anótala 
en el paréntesis.
 1. Es el valor que más se repite en una muestra. ( )
 ) Moda ) Mediana ) Promedio ) Muestra
 2. Indica cuál no es una medida de forma: ( )
 ) Moda ) Sesgo ) Coeficiente de variación ) Simetría
 3. De los siguientes datos: 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 12, 15, 20, la media es: ( )
 ) 7 ) 9.7 ) 9 ) 7.9
Cuarta parte
Aprendizajes esperados
 Calculan las medidas de tendencia central, medidas de dis-
persión, medidas de forma y medidas de correlación.
 Interpretan las medidas de tendencia central desde el 
análisis del gráfico estadístico, así como su variabilidad y 
representación de la situación contextual.
 Toman decisiones a partir de las medidas de tendencia cen-
tral y su representación respecto a un conjunto de datos.
Productos esperados
 Argumentar qué es una medida de tendencia central y qué 
es una medida de dispersión.
 Dar ejemplos de dichas medidas.
 Construir cuartiles a partir de datos dados.
128
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
4
 4. De los siguientes datos: 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 12, 15, 20, la desviación media es: ( )
 ) 15 ) 7.6 ) 20.37 ) 23.5
 5. De los siguientes datos: 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 12, 15, 20, la varianza es: ( )
 ) 5 ) 4.84 ) 20.37 ) 2
 6. De los siguientes datos: 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 12, 15, 20, el cuartil 1 es: ( )
 ) 2 ) 20 ) 12 ) 6
 7. De los siguientes datos: 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 12, 15, 20, el cuartil 3 es: ( )
 ) 12 ) 6 ) 20 ) 15
 8. De los siguientes datos: 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 12, 15, 20, el rango intercuartílico es: ( )
 ) 18 ) 6 ) 12 ) 17
 9. Realiza la siguiente operación, α = 3
Media m−− ediana
Desviacióón estándar
 si se sabe que μ 2.7, Me 5 y σ 3.94. ( )
 ) –1.75 ) 1.75 ) 0.58 ) 2.35
 10. Es el valor mayor menos el valor menor, recibe el nombre de: ( )
 ) Moda ) Varianza ) Rango intercuartílico ) Rango
 11. La ecuación de la recta en su forma punto pendiente es: ( )
 ) = 2 1
2 1
−−2
−−2
 ) 
 ) – 1 ( – 1) ) =1
2 1
2 1
1( )1
 12. La fórmula para calcular la pendiente de una recta es: ( )
 ) = 2 1
2 1
 ) 
 ) – 1 ( – 1) ) =1
22 1
22 1
1( )1
 13. Dados los puntos (3, 5) y (5, 3) determina el valor de la pendiente: ( )
 ) 1 ) –1 ) 0 ) 2
 14. La ecuación de la recta que pasa por los puntos (3, 5) y (5, 3) es: ( )
 ) ) – 8 ) – 8 ) – – 8 0
 15. Si una recta tiene pendiente uno, el ángulo de inclinación es: ( )
 ) 60 ) 15 ) 30 ) 45
129
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE 
Tema integrador 
Secuencia didáctica
 1. Un fabricante de ropa debe confeccionar 100 000 playeras para jóvenes entre 16 
y 22 años de edad. Para determinar las preferencias del mercado debe contratar 
una compañía que haga el estudio, para ello desea incluir el análisis de las formas. 
Utiliza los datos de la secuencia didáctica que obtuviste en la unidad 1.
 2. Utiliza la tabla de la temperatura media a nivel nacional, determina las medidas de 
sesgo, la asimetría y el coeficiente de variación para cada uno de los meses. La tabla 
la encontrarás en la secuencia didáctica de la unidad 1.
Apertura Desarrollo Cierre
• Formen equipos de cinco 
alumnos.
• Formen su portafolio de evidencias. • Escriban en el cuaderno el análisis que 
hicieron sobre la situación didáctica.
• Lean la secuencia didáctica 
que se plantea.
• Reunidos los alumnos del equipo discutan 
cómo realizarán los cálculos 
de las medidas de dispersión
• Determinen el valor de:
 Sesgo
 Apuntamiento
• Realicen un mapa mental de la unidad.
• Analicen los dos problemas. • Analicen la importancia de estas medidas 
para el proyecto de fabricación de las 
playeras. Anoten sus conclusiones.
• Analicen la información obtenida 
y determinen para qué sirve, 
en el proyecto.
• Diseñen los instrumentos para agrupar 
la información que se requiere.
• Determinen los instrumentos 
de presentación gráfica.
• Recuerden incluirlo en la presentación 
de la información.
• Determinen el coeficiente de variación.
• ¿Los datos presentan algún tipo de sesgo?
• Determinen la asimetría de los datos.
• Determinen el coeficiente de asimetría.
• Realicen una de las gráficas para el mes 
de enero.
• Resuelvan el problema 2.
130
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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Rúbrica para evaluar la secuencia didáctica 
del tema integrador
Aspecto a 
evaluar
Excelente 
(4)
Bueno 
(3)
Satisfactorio 
(2)
Deficiente 
(1)
Análisis de 
la situación 
didáctica
Realiza una investigación 
completa de la situación.
Realiza una investigación 
clara y convincente.
La investigación no es 
clara y sólo se presentan 
recortes de páginas web.
La investigación es 
deficiente y no aporta 
conocimientos claros.
Desarrollo 
del tema 
integrador
Tiene un orden en 
los contenidos, los 
argumentos que 
presenta están bien 
fundamentados y 
sus conclusiones son 
correctas.
Tiene un orden en 
los contenidos, los 
argumentos que 
presenta están bien 
fundamentados y sus 
conclusiones no son 
correctas.
No hay orden en 
los contenidos, los 
argumentos que 
presenta están bien 
fundamentados y sus 
conclusiones no son 
correctas.
No hay orden en 
los contenidos, los 
argumentos que 
presenta no están bien 
fundamentados 
y sus conclusiones 
no son correctas.
Presentación 
de resultados
Contesta más de 90% 
de todas las preguntas 
y realizó todas las 
actividades.
Contesta entre 70 y 89% 
de las preguntas y realizó 
todas las actividades.
Contesta entre 60 y 69% 
de las preguntas y realizó 
todas las actividades.
Contesta menos de 60% 
de las preguntas y realizó 
todas las actividades.
Propósito
Que el estudiante analice fenómenos sociales o naturales, utilizando las herramientas básicas de la estadística descriptiva y de la teoría 
de la probabilidad para muestrear, procesar y comunicar información social y científica, para la toma de decisiones.
¿Qué aprenderás?
 • En esta unidad manejarás una gran cantidad de información, la cual te permitirá calcular las medidas de forma y las aplicarás a la 
solución de problemas.
¿Para qué te servirá?
Estos cálculos son una herramienta muy importante en el estudio del comportamiento de una muestra o población, esto es, realizar un 
estudio del comportamiento o tendencia de los datos, respecto a la forma de su representación gráfica.
131
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE 
Actividad socioemocional
Fuera del salón de clases:
 1. Menciona cómo te sientes antes de entrar a la clase de matemáticas.
 
 
 
 2. Describe lo que sucede cuando estás leyendo.
 
 
 
 3. ¿Cómo puedes mejorar tu atención?
 
 
 
 4. Cita 15 factores que distraen tu atención.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Realiza la siguiente prueba con tus compañeros: determina quién puede leer más líneas de texto sin distraerse.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
132
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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4
DESARROLLO
4.1 Medidas de tendencia central. ¿Qué es la moda, la media aritmética, 
la mediana? ¿Qué es un cuartil?, ¿qué es una medida de dispersión?, 
¿qué es una medida de forma?, ¿qué es una medida de correlación?
Representación gráfica de las medidas de tendencia central
Utilicemos el ejemplo siguiente para representar gráficamente las medidas de tendencia central.
Realiza la gráfica de las edades de niños que asis-
tieron a consulta el día 4 de agosto: 5, 8, 1, 5, 4, 2, 
7, 1, 4, 8, 4, 8, 7, 7, 8. Calcula y localiza la media o 
promedio, la mediana y la moda.
Solución
Primero ordenamos los datos: 1, 1, 2, 4, 4, 4, 5,5, 
7, 7, 7, 8, 8, 8, 8.
Tabla 4.1 De frecuencias
xi fi fa xi fi
A 1 2 2 2
B 2 1 3 2
C 4 3 6 12
D 5 2 8 10
E 7 3 11 21
F 8 4 15 32
15 79
Cálculo de la media o promedio, utilizamos la fórmu-
la correspondiente.
∑
μ = = =
79
15
5.27
 Ejemplo
Cálculo de la mediana 
El número de datos son 15, es un número impar de datos, aplicamos la 
regla y le sumamos uno, con lo que se obtiene 16, los dividimos entre 2 y 
obtenemos 8, nos indica que el lugar de la mediana está en la posición 8, lo 
que buscamos en los datos ordenados.
1, 1, 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8.
Lugar de la mediana
Entonces, el valor de la mediana es 5.
El valor de la moda es el que más se repite, entonces, la moda es 8.
133
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE 
 1. Realiza la gráfica de las edades de niñas que asistieron a consulta el día 4 de agosto: 6, 3, 1, 5, 6, 5, 1, 3, 6, 5, 
5, 1, 4. Calcula y localiza la media o promedio, la mediana y la moda.
 2. Una compañía realiza un estudio sobre la duración 
de uno de sus productos obteniendo los siguientes 
resultados. 
 Realiza la tabla de distribución, las gráficas de histo-
grama, polígono de frecuencias, pie y ojivas. Calcula 
las medidas de tendencia central.
 3. Contesta lo que se te pide en los siguientes problemas.
) A 20 trabajadores de una empresa elegidos 
aleatoriamente se les solicitó que dijeran el nú-
mero de horas que durmieron la noche anterior, 
con lo que se obtuvieron los siguientes datos: 
9 11 10 8 10 4 7 5 8 9
6 8 11 8 8 6 8 7 6 9
 Encuentra la media, la mediana y la moda.
Tabla 4.2 Duración de focos de alto 
rendimiento
Duración en meses Número de productos
10-14 15
15-19 18
20-24 25
25-29 23
30-34 24
35-39 12
 Ejercicio 1
2 2
4 4 4 4
8 8 8 8 8
10
6
0
1
5 5
7
1
7 7
Edades de los niños que asistieron a
consulta médica el día 4 de agosto
FR
EC
U
EN
CI
A
Edad
Media
Mediana
Moda
134
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
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4
 ) En una autopista se midieron las velocidades de 50 automóviles en km/h, los resultados se citan a conti-
nuación.
111 93 130 118 118 109 106 126 149 94 85
122 120 123 88 142 114 92 92 106 114 88
119 86 94 137 146 134 98 113 89 126 148
102 149 94 99 135 139 111 122 122 104 86
143 145 129 97 145 123 132 139 121 139 104
 Clasifica los datos en una tabla de distribución de frecuencias y determina la media, la mediana y la moda.
 ) A 20 de tus compañeros elegidos aleatoriamente se les 
preguntó el número de horas que durmieron la noche 
anterior, se concentraron los datos a continuación.
9 11 10 8 10 4 7 5 8 9
6 8 11 8 8 6 8 7 6 9
 Determina la media, la mediana y la moda.
Media geométrica
Para obtener la media geométrica de un conjunto de datos se procede de la siguiente manera: se realiza el producto de 
todos los datos y se obtiene la raíz enésima del número de factores del producto.
Obtén la media geométrica de 2, 3 y 6.
Solución
× =Media geométrica 2= 3 6× 3.3013
 Ejemplo
 1. Obtén la media geométrica de 2 y 8.
 La media geométrica se utiliza para obtener el promedio de porcentajes, tasas de interés y en aquellas situacio-
nes donde los datos son acumulativos.
 Ejercicio 2
135
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE 
Cuantiles
Son medidas que nos permiten dividir el conjunto de datos en 4, 10 o 100 partes, y esto depende del número de datos 
que se tengan, ya que si la cantidad de los datos son menores que 100 se entiende que no tendría relevancia dividir- 
los en 100 partes.
Cuartiles
Los cuartiles van a dividir en cuatro partes iguales al conjunto ordenado de datos que se tengan, de tal manera que el 
primer cuartil deja 25% de los datos de un lado y del otro 75%, el segundo cuartil coincide con la mediana, y el tercer 
cuartil deja primero 75% de un lado y 25% del otro. Entonces, para encontrar los cuartiles se requiere dividir el conjunto 
de datos en cuatro partes iguales: 
1
4
, 
1
2
 y 
3
4
. El cuartil con valor de 
1
2
 corresponde a la mediana. 
Por lo general, los cuartiles se nombran con la letra Q, así para el primer cuartil Q1 dividimos entre 4 el conjunto de datos pa- 
ra tomar la cuarta parte del conjunto de datos ordenados, o sea, que de la población o muestra deja del lado izquierdo 
25% y del derecho 75%, para ello realizamos lo siguiente:
1
1
4
1
4
1 025 1=
+
= + = +( ) . ( )
Donde:
 número de datos
El cuartil 2 es igual al de la mediana:
2
1 1
2
1
2
1 05 1=
+
= + = +
( )
( ) . ( )
El cuartil 3 es:
3
3 1
4
3
4
1 075 1=
+
= + = +
( )
( ) . ( )
Cuando el valor del cuartil es exacto, se toma el valor de la posición que indica; si el valor no es exacto, seguimos 
los siguientes criterios: si éste es 0.5 promediamos entre los valores en que se colocó el cuartil, si es diferente de 0.5, 
entonces redondeamos al entero más cercano.
 2. Obtén la media geométrica del crecimiento anual de la población, con los siguientes datos:
 Tasa media de crecimiento anual de la población, 2008: 0.82.
 Tasa media de crecimiento anual de la población, 2000: 1.33.
 Tasa media de crecimiento anual de la población, 1990: 1.92.
 3. Obtén la media geométrica de:
 Grado promedio de escolaridad de la población de 15 años y más, 2005: 8.1.
 Grado promedio de escolaridad de la población de 15 años y más, 2000: 7.5.
 4. Obtén la media geométrica de:
 Población analfabeta, 2005: 8.4.
 Población analfabeta, 2000: 9.5.
136
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
4
En un grupo de 30 alumnos se obtuvieron las siguientes calificaciones: 9, 3, 10, 8, 8, 8, 7, 4, 8, 9, 5, 7, 8, 10, 9, 7, 7, 
5, 7, 9, 8, 9, 4, 7, 6, 9, 5, 6, 9, 7. Obtener el primero, segundo y tercer cuartiles.
Solución
Lo primero que se hace es ordenar los datos: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 
10, 10.
Tenemos que para los cuartiles 30:
1
30 1
4
1
4
775=
+
= ( )30 1+30 .
En el cuartil redondeamos a 8, y en la posición ocho encontramos el valor 6:
3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10.
El cuartil 2 es igual al de la mediana:
2
30 1
2
1
2
155=
+
= ( )30 1+30
En el cuartil 2 tomamos el promedio de los valores que se encuentran en la posición 15 y 16, que corresponden al 
promedio de 7 y 8, o sea, que el cuartil 2 es 7.5:
3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10.
 Posición 15.5 Promediamos los valores 
( )
2
75.=
El cuartil 3 es:
3
3
4
3
4
2325= =
( )30 1
( )30 1+30
El cuartil 3 corresponde a la posición 23, ya que redondeamos el entero más cercano y en la posición 23 encontra-
mos el valor 9.
3,4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10
En la tabla siguiente se tiene marcado cada uno de los cuartiles.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
3 4 4 5 5 5 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 10 10
Q1 Q2 7.5 Q3
 Ejemplo
137
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE 
En una tienda de celulares, durante 50 días se registran las ventas del 
modelo rx-3454 que se presentan a continuación: 
9, 3, 10, 8, 18, 2, 8, 7, 5, 14, 8, 9, 5, 7, 8, 10, 9, 17, 7, 9, 7, 5, 7, 19, 8, 
9, 4, 7, 6, 9, 5, 6, 9, 7, 11, 15, 17, 3, 9, 12, 7, 4, 13, 2, 7, 16, 4, 6, 18, 9, 
obtener el primero, segundo y tercer cuartiles.
 Ejercicio 3
Determina en el ejemplo anterior el rango intercuartílico.
Solución
Realizamos la diferencia de 3 y 1.
 3 – 1
 9 – 6 3
 Ejemplo
Durante 20 días se realiza la toma de temperaturas que se presentan en un cultivo y se dan a continuación: 9, 3, 8, 
8, 8, 7, 4, 8, 9, 5, 7, 8, 9, 7, 7, 5, 7, 9, 8, 9. Calcula el primero, segundo, tercer cuartiles y rango intercuartílico.
 Ejercicio 4
Resuelve los siguientes problemas.
 ) Investiga los ingresos públicos que por estado se reciben y calcula los cuartiles 1°, 2° y 3°, el rangointercuartílico.
 ) Investiga el número de habitantes que por estado se tienen y calcula los cuartiles 1°, 2° y 3°, el rango inter-
cuartílico.
 ) Determina los ingresos públicos y calcula los cuartiles 1°, 2° y 3°, y el rango intercuartílico.
 Ejercicio 5
Rango intercuartílico
Es una medida de posición que se obtiene con la diferencia de los cuartiles 3 y 1, lo que nos indicará cómo se con-
centra 50% de los datos respecto al centro.
Ya tienes los conocimientos de las medidas de tendencia central, y como habrás notado, no son suficientes para 
la toma de decisiones; por ello es importante aprender qué tan dispersos están los datos.
138
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
4
Medidas de dispersión
Como su nombre lo dice, son medidas que nos permiten determinar la dispersión que existe entre los datos, permitien-
do una mejor interpretación de la información.
Las medidas que estudiaremos son rango, desviación media, varianza y desviación estándar, cuanto más grandes 
son estas medidas nos indicarán que la dispersión de los datos es mayor, resultado que debemos tener en cuenta para 
el análisis de datos.
Rango
Esta medida nos permite tener nuestro primer acercamiento y mide la amplitud entre los datos. Para determinar el 
rango, se realiza la diferencia entre el dato mayor menos el dato menor, es conveniente ordenar los datos para facilitar 
el trabajo.
Determina el rango de los siguientes datos: 50, 49, 51, 48, 52, 50, 50.
Solución
Primero ordenemos los datos: 48, 49, 50, 50, 50, 51, 52.
El dato mayor es 52. El dato menor es 48.
Rango ( ) 52 – 48 4
 Ejemplo
Determina el rango de los siguientes datos:
) 100, 0, 10, 90, 95, 5, 50. ) 3, 50, 25, 50, 25, 25, 50, 50, 4, 25
 Ejercicio 6
Desviación media
Es una medida que compara cada valor i con la media, midiendo qué tan separado se encuentra el dato de la media; 
para ello, se realiza la diferencia de cada elemento menos la media y se toma el valor absoluto, después se suman todas 
y se divide entre el número de datos, lo que se expresa en símbolos.
∑ μ
=
−
Donde:
 Desviación media
 Dato 
 μ Media
 Número de datos
Medimos la distancia de cada valor con respecto a la media y al dividirlas entre n obtenemos el promedio de todas 
estas medidas.
139
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE 
El cálculo de las medidas de dispersión para datos agrupados: desviación media ( ), varianza (σ2) y desviación 
estándar (σ), se efecturá a partir de los datos contenidos en la tabla 4.4.
Desviación media para datos agrupados
La desviación media para datos agrupados se obtiene en forma parecida a la de datos no agrupados, ya que esta medi- 
da persigue comparar los datos con la media. Para el cálculo realizamos la suma del valor absoluto de la diferencia entre 
la marca de clase y la media, multiplicado por la frecuencia de la clase, lo que dividimos entre el número de datos.
∑
∑
μ
=
−
Donde:
 Desviación media
 Marca de clase
 Frecuencia absoluta simple
 μ Media
Determinemos la desviación media de los siguientes da-
tos: 48, 49, 50, 50, 50, 51, 52.
Solución
Primero obtenemos la media:
μ = =
48 49 50 50 50 51 52+ + + + ++ + + +
7
50
Tabla 4.3 Simplificación de cálculos de la 
media
X x – μ
A 48 2
B 49 1
C 50 0
D 50 0
E 50 0
F 51 1
G 52 2
∑ 6
= =
6
7
08571.
 Ejemplo
Encuentra la desviación media de los siguientes grupos de datos.
) 100, 0, 10, 90, 95, 5, 50.
) 3, 50, 25, 50, 25, 25, 50, 50, 4, 25.
 • ¿Cuál tiene la mayor desviación media? 
 • ¿A qué se debe esto? 
 Ejercicio 7
140
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
4
Determinemos la desviación media para los datos que se presentan en la tabla siguiente:
Tabla 4.4 Distribución
1 
Clase
2 
Intervalo de clase 4 
Marca de clase 
(mi)
Frecuencia absoluta
Límite inferior Límite superior
5 
Simple 
(fi )
A 15 19 17 5
B 20 24 22 7
C 25 29 27 13
D 30 34 32 8
E 35 39 37 4
Sumas 37
Solución
Primero calculamos la media μ con la siguiente fórmula:
∑
∑
μ = =
+ ×
=
17 5 2× + 2 7× 27 13 32× + 8 3+ 7 4×
37
26.8648
El llenado de la siguiente tabla nos ayudará a calcular el . Construyamos las columnas siguientes: , – μ y 
 – μ
Tabla 4.5 Simplificación de cálculos de la desviación media
1 
Clase
2 
Intervalo de clase 4 
Marca de clase 
(mi)
Frecuencia 
absoluta
fimi mi – μ mi – μ fiLímite 
inferior
Límite 
superior
5 
Simple 
(fi )
A 15 19 17 5 85 9.86 49.3
B 20 24 22 7 154 4.86 34.02
C 25 29 27 13 351 0.13 1.69
D 30 34 32 8 256 5.13 41.04
E 35 39 37 4 148 10.13 40.52
Sumas 37 994 166.57
Por tanto:
∑
= = =
| 166.57
37
4.5
|μ− |μ |μ
 Ejemplo
141
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE 
Varianza σ 2
Es un promedio de las desviaciones elevadas al cuadrado, para encontrarlas es conveniente calcular primero las desvia-
ciones realizando la diferencia de cada valor menos la media y ésta se eleva al cuadrado, después se suman y se divide 
entre el número de observaciones, en símbolos se tiene:
 Para la población: Para una muestra:
 
∑
σ =
−( )
2
_
2
 
∑ μ
=
−
−
( )
1
2
2
Donde:
 Dato 
 μ es la media
 Número de datos
Determina la desviación media para los datos que se presentan en la tabla siguiente y para determinar el auxí-
liate de una tabla similar a la 4.5 del ejemplo anterior:
Tabla 4.6 De distribución
1 
Clase
2 
Intervalo de clase 4 
Marca de clase 
(mi)
Frecuencia absoluta
Límite inferior Límite superior
5 
Simple 
(fi)
A 15 19 17 15
B 20 24 22 27
C 25 29 27 33
D 30 34 32 18
E 35 39 37 4
Sumas
 Ejercicio 8
Calcula la varianza de los datos: 48, 49, 50, 50, 50, 51, 52.
Solución
Realiza una tabla en tu cuaderno que contenga las columnas , – μ y ( – μ)2. (Ver la tabla 4.3)
Cálculo de la media: suma los valores de , los divides entre el número de datos, usa para ello la suma de la columna 
, el número de datos es 7 = .
 Ejemplo
142
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
4
Varianza para datos agrupados
La varianza con datos agrupados se obtiene realizando la diferencia de la marca de clase menos la media, cada una 
de estas diferencias se eleva al cuadrado y se multiplica por la frecuencia para dividirla entre el número de datos. En 
símbolos se tiene:
∑
σ
μ
=
−( )
2
2
Donde:
 Marca de clase
 μ es la media
 Frecuencia simple
 Número de datos
Dividimos la suma de los cuadrados de las desviaciones entre el total de datos.
σ = =
10
7
1.42852
Encuentra la varianza de los siguientes grupos de datos.
) 100, 0, 10, 90, 95, 5, 50, 25, 45, 80.
 ) 3, 50, 25, 50, 25, 25, 50, 50, 4, 25, 40, 70, 95.
 • ¿Cuál de ellos es el de mayor varianza? 
 • ¿A qué se debe esto? 
 Ejercicio 9
Determina la varianza de los datos proporcionados en la tabla 4.4.
Solución
Primero calculamos la media μ con la siguiente fórmula:
∑
μ = = =
+ ×
=
17 5 2× + 2 7× 27 13 32× + 8 3+ 7 4×
37
26.8648
Utilicemos la información de la tabla y construyamos las columnas siguientes: , ( – μ)2 y ( μ)2 .
 Ejemplo
143
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE 
Tabla 4.7 Simplificación para el cálculo de la varianza
1 
Clase
2 
Intervalo de 
clase o límites
4 
Marca de 
clase 
(mi )
Frecuencia 
absoluta
fimi (Mc – μ)
2 (Mc – μ)
2 fi
Inferior Superior
5 
Simple 
(fi )
A 15 19 17 5 85 97.32 486.57
B 20 24 22 7 154 23.66 165.66
C 25 29 27 13 351 0.02 0.23
D 30 34 32 8 256 26.37 210.96
E 35 39 37 4 148 102.72 410.88
Sumas 37 994 1 274.3
Por tanto, 
∑
σ = = =
( 1274.3
37
34.442
2)μ− 2μ )μ )μ
Durante una semana se realizan mediciones por computadora del 
tiempo que se tardan en atender a un cliente en las cajas de un su-
permercado, con lo que se obtiene la siguiente tabla. Determina la 
varianza con intervalos de tiempo en minutos.
Tabla 4.8 Distribución
1 
Clase
2 
Intervalo de clase o límites 4 
Marca de clase 
(mi)
Frecuencia absoluta
Inferior Superior
5 
Simple(fi )
A 0 2  360
B 3 5 1 365
C 6 8 2 469
D 9 11 1 423
E 12 14  745
Sumas
 Ejercicio 10
144
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
4
Desviación estándar
La varianza presenta un problema en el manejo de los datos, ya que como se observa, está elevada al cuadrado. Por 
ejemplo, cuando deseamos ver la dispersión de las estaturas, éstas se compararán con estaturas cuadradas, por lo que 
se prefiere utilizar para la comparación de datos la desviación estándar que se obtiene con la raíz cuadrada de la varianza 
que tiene las mismas unidades.
Para datos no agrupados es: σ σ= 2
Para datos agrupados es: 
∑
σ
μ
=
−( )2
Si tienes una varianza de 34.44, calcula la desviación estándar.
Solución
Basta con obtener la raíz cuadrada de σ2 34.44.
σ = 34.44 5.868=2
La desviación estándar es 5.868.
 Ejemplo
Resuelve los siguientes problemas. 
 ) Determina el valor de la desviación estándar si σ2 13.75.
 ) Elige un tipo de refresco o líquido envasado del mismo tipo. Como los 
envases son de la misma forma y tamaño, considera solamente la altura; 
para ello, toma la altura del líquido de los 20 refrescos y determina la 
desviación media, varianza y desviación estándar.
 ) Formen equipos de cinco alumnos, elijan un tornillo del mismo tipo y 
tamaño, tomen 150 tornillos y midan la longitud de cada uno de ellos. 
Determinen la desviación media, varianza y desviación estándar. Utili-
cen datos agrupados.
 Ejercicio 11
Uso de la calculadora fx-991ES
Cálculo estadístico STAT 
La calculadora que utilizamos para realizar los cálculos estadísticos es la Casio 
fx-991ES. Para ingresar al modo de cálculo estadístico (STAT) presiona la tecla 
MODE y elige el número 3 del teclado, en adelante se escribirá MODE 3.
Cuando se oprime esta combinación de teclas aparece el siguiente 
menú de la tabla, del cual seleccionamos 1 (1 - VAR).
145
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE 
Tabla 4.9 Cálculos estadísticos
Tecla Ítem de menú Cálculo estadístico Tecla Ítem de menú Cálculo estadístico
1 1 - VAR Una sola variable 5 e^x Regresión exponencial e
2 A + BX Regresión lineal 6 A B^X Regresión exponencial ab
3 _ + CX2 Regresión cuadrática 7 A x^B Regresión de potencia
4 Ln X Regresión logarítmica 8 1/x Regresión inversa
Ingreso de datos
Para ingresar datos selecciona mode 3, 1 (3 corresponde al modo STAT y 1 corresponde a trabajar con una variable), 
con esta instrucción estamos listos para introducir datos, tecleamos el dato y el signo igual.
Introducir los datos 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Tecleamos 1 y el valor que ingresa aparece en el área de fórmula, cuando se oprime igual se registra el dato y el 
cursor se mueve una celda hacia abajo. Así continuamos introduciendo los datos 2, 3, 4, 5 y 6. Para salir del editor 
presionamos AC.
El número de líneas en la pantalla del editor STAT o número de datos de la muestra es de 80 líneas o datos con una 
sola variable. Sólo se obtiene la mitad cuando se usan dos variables.
Se debe tener cuidado cuando uno sale del modo STAT, pues la información se borra.
 Ejemplo
Reemplazamos el valor 4 del editor por el valor 35.
Solución
Presionamos SHIFT 1, 2, con ello regresamos al editor de STAT, nos colocamos en el valor 4 (el que deseamos reem-
plazar), tecleamos 35 y presionamos =. Verificamos con el cursor que el cambio se haya realizado. Presionamos AC.
 Ejemplo
Reemplaza el valor de 35 por el valor 4. Reemplaza el valor de 3 por el valor 45 y el valor 45 por el valor de 5, al 
final presiona AC.
 Ejercicio 12
Reemplazo de datos en una celda
Sobre la pantalla del editor STAT movemos el cursor a la celda que se desea reemplazar. Ingresamos el valor del dato 
nuevo y presionamos el signo =.
Borrando una línea
Sobre la pantalla del editor STAT mueve el cursor a la celda que deseas borrar, presiona DEL.
146
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
4
Insertando líneas
Sobre la pantalla del editor STAT (SHIFT 1, 2) movemos el cursor a la línea que estará abajo del dato que deseamos 
insertar, presionamos SHIFT 1, 3, 1 (el 3 nos indica el menú editar y el 1 insertar), observemos que la elección SHIFT 
1, 3, 2 borra todos los datos.
Borramos el dato 2.
Solución
Presiona SHIFT 1, 2, con ello regresará al editor de STAT. Colócate en el valor 2 (el que deseamos borrar), presiona-
mos DEL. Verificamos con el cursor que se borró este dato y presionamos AC.
 Ejemplo
Borra el dato 4.
Verifica que los datos que se encuentran en la calculadora son 1, 3, 5 y 6.
Presiona SHIFT 1, 2 y utiliza el cursor. Al final presiona AC para salir.
 Ejercicio 13
Insertemos el valor 2 entre 1 y 3.
Solución
Entra a la pantalla del editor STAT (SHIFT 1, 2) movemos el cursor a la línea que estará abajo del dato que insertará, 
o sea, 3; presionamos SHIFT 1, 3, 1, presionemos 2 y el signo =, presionemos AC para salir. Verifiquemos que se 
realizó la inserción, utilicemos SHIFT 1, 2, utilicemos el cursor para verificar.
 Ejemplo
Inserta el valor 4 entre 3 y 5, verifica que los datos que se tienen son 1, 2, 3, 4 y 5.
 Ejercicio 14
Borrando todos los datos
Sobre la pantalla del editor STAT (SHIFT 1, 2), presionemos SHIFT 1, 3, 2, con lo que todos los datos se borrarán. Borre-
mos todos los datos y verifiquemos.
Has aprendido algunas cosas de cómo utilizar la calculadora, a continuación veremos algunas medidas de tenden-
cia central y de variación que se pueden obtener.
Uso del menú STAT 
El menú depende del tipo de operación estadística que se desea realizar. 
Cuando se oprime SHIFT 1, aparece el siguiente menú:
147
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE 
Para entrar al submenú de STAT presiona SHIFT 1 y, luego, el número del menú que deseas utilizar; por ejemplo, 
para seleccionar Type presionaremos SHIFT 1, 1.
 1. Type. Visualizamos la pantalla de selección de tipo de cálculo estadístico.
 Seleccionamos 1 para el trabajo en una sola variable.
 2. Data. Visualizamos la pantalla de selección de tipo de cálculo estadístico, 
como ya se ha visto.
 3. Edit. Visualizamos el menú secundario de edit para editar los contenidos de la pantalla, insertar 1: Ins, borrar el 
contenido 2: Del- A.
 4. Sum. Nos permite entrar a un menú secundario donde aparece:
 1 2 suma de los datos al cuadrado. 2 suma de los datos.
Encuentra la suma de los siguientes datos: 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Solución
) Capturamos los datos, seleccionamos el menú STAT para una sola variable (mode 3, 1).
 ) Presionamos 1 y el signo =, 2 y el signo =, ..., 6 y el signo =.
 ) Presionamos AC.
 ) Presionamos SHIFT 1, 3, y selecciona-
mos 2 , aparece en el display , 
presionamos = para obtener el valor 
(21). Puede realizar la operación que 
desee, sumar, restar, elevar al cuadra-
do, etcétera. 
 Ejemplo
Encuentra la suma de los cuadrados de los siguientes datos: 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
 Ejercicio 15
 5. Var. Visualizamos el menú secundario de los comandos para calcular la media y la desviación estándar (S), etcétera.
Determinamos el valor de la media, desviación estándar y varianza de los datos 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Si los datos son de 
una población (el valor del denominador es ) para los casos de S y S2.
Solución
Capturamos los datos y presionamos AC.
Presionamos SHIFT 1, 5, 2. Aparece en el display. 
 1. 2. 
 3. σ 4. s
 Ejemplo
148
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
4
 ) El valor 1 nos indica el número de datos que se capturaron. Si presiona-
mos 1 aparece:
 Oprimimos el signo = para ver su valor. Checamos que sea correcto.
) Para la media seleccionamos 2, aparece en el display , presionamos 
igual para obtener su valor.
) Para la desviación estándar poblacional, presionamos 3 y signo = para 
obtener su valor.
) Para la varianza poblacional presionamos 3, aparece σ , ahora presio-
namos la tecla para elevar al cuadrado: 2, y el signo = para obtener 
su valor. Observamos que el valor de la desviación estándar se utilizó 
como un operador.
Determina el valor de la media,desviación estándar y varianza de los datos 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Si sabemos que son los 
datos de una muestra, el valor del denominador es ( – 1) para los casos de S y S2.
 Ejercicio 16
Determinemos el rango de la muestra 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Solución
Presionamos SHIFT 1, 6, 2. Aparece en el display maxX, presionamos el signo menos (–) y SHIFT 1, 6, 1. Aparece en 
el display maxX – minX, presionamos el signo = para obtener el valor del rango.
 Ejemplo
 6. Max, Min. Visualizamos el menú secundario de los comandos para calcular el valor máximo (2) y el valor mínimo 
(1) de los datos de la muestra.
149
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE 
Activación del modo de frecuencia
Para activar o desactivar la frecuencia en datos agrupados utilizamos la siguiente secuencia de teclas:
 1. Shift mode. Con lo que aparece el menú de SETUP.
 Ahora se oprime el cursor hacia abajo y aparece un submenú
 del cual se elige 4:STAT, aparece el submenú: frequency? 1: ON 2: OFF
 Se elige la opción deseada, en este caso 1: ON, para activar, y la frecuencia 2: OFF para desactivar. Desactivemos 
la frecuencia y verifiquemos que se ha desactivado.
 Este menú te permite trabajar con datos agrupados, utilizando los menús anteriores.
Apertura de la actividad
Deduce y aprende
Calculadora y datos no agrupados
Propósito: Calcula las medidas de tendencia central, de dispersión, de posición y las gráficas para realizar la comparación de los datos 
presentados, utilizando para ello la tabla de distribución y la calculadora.
Conocimientos previos:
 • ¿Cuáles son las medidas de tendencia central?
 • ¿Cuáles son las medidas de dispersión?
 • ¿Cuáles son las medidas de posición?
Material: Calculadora fx-991ES
Desarrollo de la actividad
 1. Formen equipos de cuatro alumnos.
150
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
4
 2. Utilicen la información de la tabla y determinen lo siguiente:
Tabla 4.10 Primeros ingresos y egresos de licenciatura, según el área de la ciencia, 1995-2004
Año Total de ingresos Total de egresos
1995 276 838 173 693
1996 298 557 191 024
1997 320 758 183 417
1998 352 670 184 258
1999 378 663 200 419
2000 412 464 209 795
2001 430 921 227 095
2002 458 769 249 085
2003 a/ 473 568 269 184
2004 a/ 501 361 290 597
Fuente: Los egresos de 2003 y los ingresos y egresos del 2004 son estimaciones de CONACYT. 
CONACYT. Informe General del Estado de la Ciencia y la Tecnología. 2004. México, D.F. 2004.
Cierre de la actividad
Trabajando los datos sin agrupar
 3. Determina las medidas de tendencia central.
 Ingreso Egreso
 ) Valor de : 
 ) Media: 
 ) Mediana: 
 ) Moda: 
 4. Determina las medidas de dispersión.
 Ingreso Egreso
 Rango: 
 Valor mínimo: 
 Valor máximo: 
 Varianza: 
 Desviación estándar: 
 5. Determina las medidas de posición.
 Ingreso Egreso
) 1: 
) 2: 
) 3: 
 ) Rango intercuartílico: 
 Dispersión: 
151
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE 
 6. Realiza las gráficas para comparar los datos de ingreso y egreso, utiliza las que a tu consideración permitan mostrar mejor la 
información.
4.2 Análisis de la información y toma de decisiones. ¿Qué 
información brindan las medidas de tendencia central?, 
¿cuándo se puede considerar que todas dan la misma 
información?, ¿en cualquier fenómeno tienen significado?
Las medidas de forma nos permiten estudiar la apariencia externa de las frecuencias, utilizando para ello formas ana-
líticas sin recurrir al modo gráfico. Las medidas de forma que estudiaremos son el coeficiente de variación, la asimetría 
y coeficiente de Pearson.
Coeficiente de variación
El coeficiente de variación nos permite determinar la dispersión relativa entre los datos de la muestra o población y se 
realiza por medio del cociente que se forma entre la desviación estándar y la media de los datos.
 Muestra Población
 = 
σ
μ
=
A mayor coeficiente de variación tendremos mayor dispersión de los datos.
Determinemos el coeficiente de variación. Si se sabe que en una com-
pañía de llantas para automóvil se mide la duración en kilómetros de 
dos tipos que fabrica: y , obteniendo los siguientes datos: 
Tabla 4.11 Duración de llantas de automóvil
Llanta Media (en miles de km) Desviación estándar
A 56 2.5
B 59 2.7
 Llanta Llanta 
 = = =
25
56
0446. = =
27
59
0457.
Como podemos observar, existe mayor dispersión de los datos en la llanta .
 Ejemplo
152
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
4
Dados los siguientes sueldos de dos empresas en miles de pesos, determina cuál de las dos tiene mayor dispersión.
Tabla 4.12 Sueldos de empleados de las compañías A y B
Salario/empresa 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A $17 738 $17 972 $8 726 $24 343 $22 725 $12 451 $13 312 $20 898 $7 548
B $18 195 $13 820 $22 134 $12 099 $19 999 $4 526 $14 723 $18 390 $30 448
 Ejercicio 17
Apertura de la actividad
Deduce y aprende
La educación
Propósito: Desarrolla habilidades en el proceso de la información. 
Conocimientos previos:
 • ¿Cuáles son las medidas de tendencia central?
 • ¿Cuáles son las medidas de dispersión?
 • ¿Cómo se obtienen?
Material: Libro
Desarrollo de la actividad
 1. Formen equipos de cinco alumnos.
 2. Consideren la información de la siguiente tabla.
Tabla 4.13 Alumnos egresados del nivel de licenciatura nacional (1982-2001)
Periodo Primer ingreso Matrícula Egresados Periodo Primer ingreso Matrícula Egresados
1982 2 853 10 426  812 1992 15 008 69 193 6 222
1983 3 556 12 901  990 1993 17 938 74 915 8 026
1984 4 362 17 538  978 1994 20 651 85 925 8 775
1985 5 360 21 715 1 367 1995 24 792 100 257 10 559
1986 7 688 29 855 1 683 1996 26 861 109 253 11 980
1987 10 092 36 235 1 814 1997 31 384 121 174 12 498
1988 10 338 42 238 2 490 1998 36 857 133 925 13 801
1989 12 809 52 624 3 375 1999 41 945 153 283 14 121
1990 14 742 63 974 3 698 2000 44 130 157 642 15 806
1991 15 793 68 855 5 031 2001 49 524 177 110 17 965
Fuente: ANUIES.
 3. Realicen en hojas blancas las gráficas de barras, pastel y polígono de frecuencias para los alumnos de primer ingreso, matrícula y 
egresados.
153
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE 
 4. Realicen las ojivas mayor que y menor que para los alumnos de primer ingreso, matrícula y egresados.
 5. Discutan sobre cuál de ellas representan la mejor forma de interpretar la información.
 6. Calculen las medidas de tendencia central para los alumnos de primer ingreso, matrícula y egresados.
 7. Calculen las medidas de dispersión para los alumnos de primer ingreso, matrícula y egresados.
 8. Determinen el coeficiente de variación para los alumnos de primer ingreso, matrícula y egresados.
Sesgo
Asimetría y coeficiente de Pearson
La relación que existe entre las medidas de tendencia central y la simetría de la distribución lo podemos definir de la 
siguiente forma: si un conjunto de datos es simétrico, entonces la moda, la media y la mediana son iguales, cuando el 
conjunto de datos no es simétrico pueden suceder dos cosas:
 1. Que la moda sea mayor que la mediana y ésta sea mayor que la media, lo que llamaremos sesgo positivo o a la 
derecha.
 2. El otro caso es que la moda sea menor que la mediana y ésta menor que la media, lo que llamamos sesgo nega-
tivo o a la izquierda.
 En ambos casos decimos que los datos son asimétricos. 
 En la gráfica de la derecha podemos observar que los datos son 
simétricos y la moda, la mediana y la media son iguales.
 ˆ Me μ
 ˆ Me μ1
Sesgo positivo o asimétrico hacia la derecha. 
En esta figura los datos están cargados hacia la derecha, por lo 
que la moda es menor que la mediana y ésta es menor que la media.
 ˆ Me μ
En la gráfica de la derecha los datos están cargados hacia la de-
recha, por lo que la moda es mayor que la mediana y ésta mayor que 
la media.μ Me ˆ
 
1
1
2
3
4
5
6
0
x̂ = Me = μ
1
1
2
3
4
5
6
0
Mex̂ μ
1
1
2
3
4
5
6
0
Me x̂μ
154
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
4
El coeficiente de asimetría, también conocido como el segundo coeficiente de Pearson, nos ayuda a determinar la 
asimetría de los datos, llamemos al coeficiente de asimetría Pearson como α (alpha).
3
Media mediana
Desviación estandar
3α
μ
σ
=
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Determinemos el coeficiente de asimetría Pearson de los siguientes valores: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2 y 1.
Solución
Para utilizar la fórmula del coeficiente de asimetría es necesario calcular la media, mediana y desviación estándar.
Media ( )
1 2 3 4 5 4 3 2 1
9
2.777μ)) =
+2 + 4 + + +3 2
=
Posición de la mediana ( ) = =
9 1+
2
5
Los elementos ordenados son 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4 y 5, el elemento en la posición 5 es 3 y éste el valor de la mediana.
Desviación estándar ( )
(1 2.777 ) (1 2.777 ) ( 2 2.777 ) ( 2 2.777 ) ( 3 2.777 )
( 3 2.777 ) ( 2.777 ) ( 2.777 ) (5 2.777 )
9
2 2 2 2 2( 2 2 777 ) ( 2 2 777 ) ( 3 2 777 )
2 2 2( 4 2 777 ) ( 4 2 777 ) 2
σ =
− + − + − + −2.777 ) (1 2.777 ) ( 2 2.777 ) ( 2 2.777 )2( 2 2 777 ) ( 2 2 777 ) −
+ −( 3 − + −( 4 2.777 ) ( 42( 4 2 777 ) ( 4 −(5
 σ 3.944
Los valores los sustituimos en nuestra fórmula:
3 3
2.777 3
3.944
0.169α
μ
σ
=
−⎛
⎝
⎛⎛
⎝⎝
⎞
⎠
⎞⎞
⎠⎠
−⎛
⎝
⎛⎛⎛⎛
⎝⎝
⎛⎛⎛⎛ ⎞
⎠
⎞⎞⎞⎞
⎠⎠
⎞⎞⎞⎞ = −
Es un valor negativo, por ello sabemos que la media está a la izquierda de la mediana.
 Desviación estándar = 3.944 Mediana = 3 Media = 2.777
 Ejemplo
 1. Determina el coeficiente de asimetría para los siguientes 
datos de una muestra de salarios de una compañía A: 
48, 49, 50, 50, 50, 51 y 52.
Tabla 4.14 Salarios de la compañía A
x x – μ x – (x-)2
A 48
B 49
C 50
D 50
E 50
F 51
G 52
∑
 Ejercicio 18
155
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE 
Apuntamiento o curtosis
La curtosis determina qué tan puntiaguda es una serie de datos, o sea, qué tan alargada o achatada es una distribución 
de los datos.
Para calcular el coeficiente de curtosis utilicemos la siguiente fórmula:
=
−
−
1
90 102( )
Como observamos, debemos calcular los cuartiles 1 y 3, así como los percentiles 10 y 90. Para ello, se presentan 
tres casos.
 2. Determina el coeficiente de asimetría para los datos 48, 49, 50, 50, 50, 51, 52, 53, 55, 60 y 75 que representan 
las edades de un grupo de personas que realizan ejercicios.
Determinemos el coeficiente de curtosis de los siguientes valores, que son los retardos en minutos de los trabajado-
res de la compañía A: 5, 6, 5, 3, 4, 5, 4, 3, 4, 7, 9, 5, 8, 3, 4, 7, 9, 6, 8, 3, 5, 9, 4, 6, 4, 5, 7, 5, 8 y 9.
Solución
Obtenemos la siguiente tabla.
Tabla 4.15 Retardos del per-
sonal de la compañía A
xi fi Fa
3 4 4
4 6 10
5 7 17
6 3 20
7 3 23
8 3 26
9 4 30
 30 
Título de la gráfica
8
6
4
2
0
6 754321
Obtenemos el cuartil 3.
Recordemos que el cuartil es una medida de posición:
3
3
4
2325= ( )30 1+30
Utilicemos la tabla y en la frecuencia acumulada ( ) podemos ver que el número 23 corresponde a 7 de las , por 
lo que el cuartil 3 = 7.
 Ejemplo
156
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
4
Obtenemos el cuartil 1.
1
1
4
825= ( )30 1+30 .
Utilicemos la tabla y en la frecuencia acumulada ( ) podemos ver que el número 8 corresponde a la posición 4 de 
la , por lo que el cuartil 3 = 3. Calculemos la posición de los percentiles.
Obtenemos el percentil 90.
Recordemos que los percentiles, al igual que los cuartiles, son una medida de posición.
90
90
100
279= ( )30 1+30
Utilicemos la tabla y en la frecuencia acumulada ( ) podemos ver que el número 28 corresponde al 9 de las , por 
lo que el cuartil 90 = 9. Obtenemos el percentil 10.
10
10
100
31= ( )30 1+30 .
Observemos la información de la tabla anterior, en la frecuencia acumulada ( ) podemos ver que el número 3 
corres ponde a la posición 3 de las , por lo que el cuartil 10 = 3.
Para calcular el coeficiente de curtosis utilicemos la fórmula:
= = =1
90 102
7 3−
2
04
( )90 10 ( )−9 4
Este valor se compara con el valor de = 0.263 donde los datos no son aplanados ni alargados; por ello, este valor 
será la constante de curtosis y recibe el nombre de mesocúrtica, en el caso de que el valor obtenido sea menor que 
 < 0.263. Los datos son aplanados y reciben el nombre de platicúrtica, si es mayor 0.263, entonces, los datos 
son alargados, como es el caso de nuestro ejemplo y reciben el nombre de leptocúrtica.
Encuentra el coeficiente de curtosis para los siguientes problemas.
) A 20 trabajadores de una empresa elegidos aleatoriamente se les solicitó que dijeran el número de horas que 
durmieron la noche anterior, con lo que se obtuvieron los siguientes datos. Halla las medidas de forma de los 
siguientes datos.
11 9 9 8 7 11 9 8 9 11 9
11 9 7 11 6 11 6 11 10 8 6
 Ejercicio 19
157
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE 
Hasta el momento, hemos hablado de la forma en que se distribuye un conjunto de datos. A continuación estudiare-
mos la relación entre dos conjuntos de datos. El conjunto de pares ordenados que se forma lo llamamos distribuciones 
bidimensionales, los cuales primero los representaremos gráficamente, lo que nos permitirá tener una idea de cómo se 
encuentran los datos y así poder elegir el modelo más apropiado para describir la relación entre las variables.
Medidas de correlación
Las medidas de correlación nos indican si dos variables están relacionadas y qué tan relacionadas pueden estar. Para 
ello estudiaremos covarianza, coeficiente de correlación, recta de regresión lineal.
 ) En una autopista se midieron las velocida-
des de 50 automóviles, cuyos resultados se 
anotan a continuación.
88 90 107 145 142 91 103 87 130 99 87
132 144 112 89 137 90 139 95 147 119 89
123 89 133 134 122 123 94 145 113 146 110
90 98 88 120 138 91 135 145 110 95 130
100 137 110 137 142 120 143 140 136 150 96
Consideremos los siguientes conjuntos de datos para establecer una relación entre el peso y la estatura de 10 per-
sonas y la manera como se relacionan estas variables.
Estatura 1.33 1.57 1.51 1.29 1.28 1.26 1.44 1.58 1.56 1.54
Peso 35 57 54 48 50 44 59 57 46 55
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00
Estatura
Pe
so
70.00
50.00
60.00
40.00
30.00
20.00
10.00
0.00
 Ejemplo
158
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
4
Es
ta
tu
ra
EstaturaPeso
Pe
so
Gráfica de dispersión Gráfica de dispersión
Peso vs Altura Altura vs Peso
1.60
1.55
1.50
1.45
1.40
1.35
1.30
1.25
40 50 60 1.3
60
55
50
45
40
35
1.4 1.5 1.6
Cuando localizamos los puntos en un plano de coordenadas cartesianas podemos observar en forma gráfica la dis-
persión de los datos, a esta representación le llamamos diagrama de dispersión o nube de puntos.
Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno.
 1. Realiza en forma gráfica la dispersión de los siguientes datos, en tu cuaderno.
) Estatura 1.39 1.12 1.14 1.04 1.01 1.68 1.02 1.5 1.48 1.56
Peso 45 31 39 45 36 33 40 59 53 58
) Estatura 1.39 1.4 1.42 1.35 1.37 1.38 1.42 1.36 1.44 1.35
Peso 45 31 39 45 36 33 40 59 53 58
 2. Toma una muestra de 20 varones. Registra su peso, estatura y medida de la cintura y realiza la gráfica de disper-
sión que se tiene para:
 ) El peso y la estatura.
 ) El peso y la medida de la cintura.
 ) La estatura y la medida de la cintura.
 3. Investiga el precio del dólar y el euro en los últimos 12 meses. Realiza la gráfica de dispersión.
 4. En grupo elijan a cinco hombres y cinco mujeres. Enumérenlos del 1 al 5 y se forman las parejas: (1, 1), (2, 2), 
(3, 3), (4, 4) y (5, 5). Marquen una distancia de 25 m y registren en el cuaderno los tiempos que emplea cada 
pareja en recorrer la distancia. Con la información realicen la gráfica de dispersión correspondiente.
 Ejercicio 20
159
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE 
Covarianza
Es una medida que determina el coeficiente de variación entre dos conjuntosde datos o entre dos variables. Es un dato 
básico para determinar si existe una dependencia entre las variables y además, es el dato necesario para estimar otros 
parámetros básicos, como el coeficiente de correlación lineal o la recta de regresión. Se representa mediante el símbo-
lo Cov(X, Y), Sxy, donde X y Y son dos conjuntos de datos a estudiar. Para calcular la covarianza se utiliza el siguiente 
modelo matemático:
Cov( , )
∑
= −
Donde:
 Producto de los valores de cada conjunto.
 Producto de las medias aritméticas de cada conjunto de datos.
 Número de valores tomados en cuenta.
La covarianza la describimos como el promedio de los productos de los datos menos el producto de las medias.
Determinemos la covarianza del peso y la estatura de 10 personas con los siguientes datos:
Estatura 1.33 1.57 1.51 1.29 1.28 1.26 1.44 1.58 1.56 1.54
Peso 35 57 54 48 50 44 59 57 46 55
Solución
Utilicemos la información de la tabla de la derecha 
para facilitar los cálculos.
Tabla 4.16 Peso y estatura
Valor i xi yi xi yi
1 1.33 35 46.55
2 1.57 57 89.49
3 1.51 54 81.54
4 1.29 48 61.92
5 1.28 50 64
6 1.26 44 55.44
7 1.44 59 84.96
8 1.58 57 90.06
9 1.56 46 71.76
10 1.54 55 84.7
Suma 14.36 505 730.42
Media de x y y = 1.436 = 50.5 = 72.518
En la primera columna de la tabla anterior se tiene 
el valor de cada = 1, 2, 3, …, 10. En la segunda y 
tercera columnas están los valores de la estatura 
y el peso, respectivamente. En la última columna 
está el producto de las columnas de la estatura y 
el peso. En el último renglón se tienen las medi-
das y el producto de éstas.
Por último, se sustituyen estos valores en la fórmu-
la de Cov( ).
 Cov( , )
∑
= −(( ,
 
730.42
10
72.518= −
 0.524
 Ejemplo
160
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
4
Coeficiente de correlación
Cuando hablamos de correlación nos referimos al comportamiento que existe entre dos fenómenos cualesquiera, en 
matemáticas determinamos la forma en que se relacionan dos variables, ya sea que ambas crezcan o decrezcan, toman-
do en cuenta la proporcionalidad que se dé entre ellos. Diremos que los fenómenos están relacionados positivamente 
cuando hablamos de una proporcionalidad directa y cuando ambos crecen o decrecen, y será negativa cuando uno de 
ellos crece y el otro decrece.
Existe una medida que nos permite determinar el grado de correlación que existe entre dos variables o los datos del 
fenómeno, éstos reciben el nombre de coeficiente de correlación. Este coeficiente se mueve en el intervalo [–1, 1], existe 
una correlación fuerte e inversa cuando el valor es igual a –1 y se considerará una correlación fuerte y directa para un valor 
de 1. El valor de cero nos indica la ausencia de correlación. Puedes utilizar el coeficiente de correlación para medir el grado de 
relación lineal entre dos variables. El coeficiente nos permite tener una idea clara de la correlación existente, ya que el movi-
miento que se tenga de un valor en el intervalo [–1, 1] indicará el aumento de éste cuanto más se acerque a los extremos.
Para este coeficiente utilizaremos la letra griega rho (ρ) o , lo cual es indistinto cuando se utilice para calcularla:
Cov( , )
ρ= =
Donde:
 Cov( , ) Covarianza
 Desviación estándar de 
 Desviación estándar de 
Si 1, los puntos en la nube están sobre la recta creciente y si –1 están sobre la recta decreciente, entonces 
se dice que entre las variables hay una dependencia funcional.
Otra forma de calcularlo es utilizando la siguiente fórmula con cada uno de los elementos de la fórmu la anterior.
2 2 2 2
ρ
∑∑∑
∑ ∑ ∑ ∑( ) ( )
=
−
− −
Determina la covarianza del peso y la estatura de 10 personas, cuyos valores se muestran a continuación.
Estatura 1.39 1.12 1.14 1.04 1.01 1.68 1.02 1.5 1.48 1.56
Peso 45 31 39 45 36 33 40 59 53 58
 ) Toma una muestra de 20 hombres de la misma edad y determina la covarianza que se tiene para el peso y la 
estatura, y el peso y la medida de la cintura.
 ) Toma una muestra de 20 mujeres de la misma edad y determina la covarianza del peso y la medida de la cintura.
 Ejercicio 21
Determinemos el coeficiente de correlación que hay entre los siguientes datos.
Estatura 1.33 1.57 1.51 1.29 1.28 1.26 1.44 1.58 1.56 1.54
Peso 35 57 54 48 50 44 59 57 46 55
 Ejemplo
161
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE 
Solución
Utilicemos la fórmula siguiente para determinar la correlación entre las dos variables.
2 2
ρ
∑∑∑
∑ 2 ∑ 2( )∑( )∑ ( )∑
=
∑∑
∑ ∑∑
∑ )) 2 ∑
Para ello, realizaremos diferentes sumas, utilizando la información de la siguiente tabla para facilitar los cálculos.
Tabla 4.17 Peso y estatura.
Valor x y xy x 2 y 2
1 1.33 35 46.55 1.7689 1 225
2 1.57 57 89.49 2.4649 3 249
3 1.51 54 81.54 2.2801 2 916
4 1.29 48 61.92 1.6641 2 304
5 1.28 50 64 1.6384 2 500
6 1.26 44 55.44 1.5876 1 936
7 1.44 59 84.96 2.0736 3 481
8 1.58 57 90.06 2.4964 3 249
9 1.56 46 71.76 2.4336 2 116
10 1.54 55 84.7 2.3716 3 025
Suma 14.36 505 730.42 20.7792 26 001
 al cuadrado 206.20 255 025 53 3513.37 431.77 676 052 001
2 2
ρ
∑∑∑
∑ 2 ∑ 2( )∑( )∑ ( )∑
=
∑∑
∑ ∑∑
∑ )) 2 ∑
10( 730.42) (14.36)(505)
10( 20.77 ) 206.20 10( 26 001) ( 255 025)
0.589ρ =
− 206 20 10( 26 001)
=
 1. Pregunta a 20 personas lo siguiente y registra las respuestas en el cuaderno.
 ) Si el lugar donde vive es rentado o propio.
 ) El número de metros cuadrados de la casa que habitan.
 ) El costo de la renta o el valor de la casa que habita.
 2. Divide en dos grupos: uno, los que tienen casa propia, y otro, los que rentan, ordena su información como con-
sideres más conveniente.
 Ejercicio 22
162
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
4
Error estándar de estimación
El error estándar de estimación nos permite medir la dispersión media entre los valores de las dos variables y , de la 
ecuación de regresión lineal.
Para ello utilizamos la notación y la fórmula: 
( )
2
2∑
=
−
−
Si deseamos estar seguros en aproximadamente 65% de que el valor real de caerá dentro del intervalo, enton-
ces sumamos 1 del error estándar de .
Si deseamos estar seguros en aproximadamente 95.5% de que el valor real de caerá dentro del intervalo, en-
tonces sumamos 2 del error estándar de .
Por último, si deseamos estar seguros en aproximadamente 99.7% de que el valor real de caerá dentro del 
intervalo, entonces sumamos 3 del error estándar de .
 3. Determina el coeficiente de correlación que hay entre el valor de la casa propia y el terreno.
 4. Determina el coeficiente de correlación que hay entre el pago de la renta y los metros cuadrados que se rentan.
Enseguida se presentan las calificaciones que obtuvieron dos alumnos. Determina el error estándar de estimación de 
los datos que se muestran a continuación: toma los valores 5, 7, 6 y 3, mientras que toma los valores 6, 9, 6 y 4.
Solución
Construimos una tabla con las siguientes columnas y realizamos los cálculos que se piden. Toma en cuenta que el 
valor de = 4.
x y y (y – y)2
5 6 6.25 0.0625
7 9 6.25 7.5625
6 6 6.25 0.0625
3 4 6.25 5.0625
Sumas 21 25 12.75
Sustituimos en la fórmula: 
( )
2
12.75
4 2
2.5248
2∑
=
−
= =
 Ejemplo
Determina la nube de puntos, el coeficiente de correlación, la recta de regresión lineal y el error estándar de estima-
ción para los siguientes grupos de datos:
 Ejercicio 23
163
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE 
Recta de regresión
Cuando realizamos el análisis del comportamiento que existe entre dos fenómenos, en la mayoría de los casos se 
requiere determinar un modelo matemático que sea representativo de la muestra o población, éste puede ser de tipo: 
lineal, cuadrático, exponencial, logarítmico, etc. De ellos, se escoge el que mejor se ajuste al comportamiento de los 
datos, por ello la importancia de conocer la gráfica de dispersión. El ajuste dependerá en mucho de la experiencia del 
analista. Uno de los métodos que se utiliza con mayor frecuencia es el de mínimoscuadrados. Para obtener la recta que 
mejor se ajuste utilizamos la ecuación de la recta en su forma punto pendiente, siendo el punto el que corresponde 
a la media de cada conjunto de los datos, y la pendiente es el cociente de la covarianza y la varianza de x, finalmente, 
expresamos la recta utilizando la forma pendiente ordenada al origen.
( )
2
− = −
 1. Estatura (cm) 133 157 151 129 128 126 144
Peso (kg) 35 57 54 48 50 44 59
 2. Calificación 133 157 151 129 128 126
Edad 35 57 54 48 50 44
 3. Cantidad de fibra 20 32 38 45 55 70 78 85 94 104
Resistencia 133 144 155 166 179 190 205 220 235 250
 4. Distancia 215 550 480 920 1 350 670 1 070
Tiempo 1 2 1.5 3 4.5 2.5 5
Determinemos la recta de regresión por mínimos cuadrados que dé el mejor ajuste para los siguientes datos.
Estatura 133 157 151 129 128 126 144 158 156 154 Suma = 1436
Peso 35 57 54 48 50 44 59 57 46 55 Suma = 505
Solución
Cálculo de la media:
Estatura
1436
10
143.6= = =
Peso
505
10
50.5= = =
Punto ( , ) = (143.6, 50.5)
 Ejemplo
164
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
4
En el plano se marca el punto que se forma por las medias de cada conjunto de datos.
El cálculo de la pendiente de la recta de regresión lineal se realiza de la siguiente manera:
( )
2
=− ((
Cálculo de la covarianza: ∑= −
Cálculo de la varianza:
 
( )
2
2∑
=
−
Para ello, utilicemos la información de la siguiente tabla para facilitar el cálculo de estos valores.
Tabla 4.18 Peso y estatura.
Valor x y xy (x – x–)2
1 133 35 4 655 112.36
2 157 57 8 949 179.56
3 151 54 8 154 54.76
4 129 48 6 192 213.16
5 128 50 6 400 243.36
6 126 44 5 544 309.76
7 144 59 8 496 0.16
8 158 57 9 006 207.36
9 156 46 7 176 153.76
10 154 55 8 470 108.16
Suma 1 436 505 73 042 1 582.4
73 042
10
(143.6 )(50.5 ) 52.4
∑
= − = − =
 
( ) 1582.4
10
158.242
2∑
= = =
((
165
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE 
Sustituimos estos valores en la ecuación de la recta para obtener la recta de mejor ajuste:
505
52 4
15824
6( .− 143 )
.
Despejamos :
 = 0.33114 – 47.552 + 50.5
 = 0.33114 + 2.948
Realizamos la gráfica de la recta.
55
50
45
40
35
30
130 135 140 145
(x–, y–)
150 155 160
 1. Determina la recta de mejor ajuste de los datos siguientes y utilizando la recta de regresión lineal del peso y la 
estatura de 10 personas que se muestran a continuación.
Estatura 139 112 114 104 101 168 102 15 148 156
Peso 45 31 39 45 36 33 40 59 53 58
 Ejercicio 24
166
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
4
 2. Una compañía de transportes decide realizar una inspección a su flotilla de transportes, así que toma una mues-
tra de 8 unidades y registra la distancia recorrida en kilómetros y el tiempo de entrega, con lo que obtiene los 
siguientes datos.
Embarque A B C D E F G H
Distancia x 675 358 865 433 1 059 237 578 175
Tiempo y 8.7 4.3 10.9 5.2 14.5 3 7 2.4
 ) Determina la recta de regresión lineal por el método de mínimos cuadrados.
 ) Utiliza la recta de regresión y determina:
 • Si el camión recorre una distancia de 500 km, ¿qué tiempo se espera que tarde? 
 • Si el camión tardó 6.7 horas, ¿qué distancia recorrió? 
Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno:
 1. De los datos finales de algún torneo de futbol toma los datos de 
los juegos ganados y el número de goles anotados y realiza: 
 ) El diagrama de dispersión o nube de datos.
 ) La covarianza de los dos conjuntos de datos.
 ) La correlación que hay entre los datos.
 ) La recta de mejor ajuste para los datos que se tienen.
 2. Localiza 20 departamentos nuevos que están a la venta, de ellos 
averigua el costo y el número de metros cuadrados que tienen 
y realiza lo siguiente: 
 ) El diagrama de dispersión o nube de datos.
 ) La covarianza de los dos conjuntos de datos.
 ) El coeficiente de correlación que hay entre los datos.
 ) La recta de mejor ajuste para los datos que se tienen.
 Ejercicio 25
Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno.
 1. A continuación se presenta el número de aciertos obtenidos por 12 estudiantes del curso pasado de la materia 
Estadística y probabilidad, correspondiente a su primera evaluación y a su calificación final. Se quiere saber si la 
 Ejercicio 26
167
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE 
calificación del primer parcial influye en su calificación final. Encuentra la recta de regresión por mínimos cuadra-
dos para saber cómo interactúan estas calificaciones. 
Tabla 4.19 Relación entre exámenes
Primer 
examen 
parcial 
x
Examen 
final 
y
Primer 
examen 
parcial 
x
Examen 
final 
y
71 83 58 60
49 45 82 60
80 75 64 48
73 60 32 51
93 80 87 73
85 90 80 89
 2. Los siguientes datos corresponden al número de horas que 
los alumnos de primaria se pasan viendo la televisión en una 
semana y la calificación obtenida en la materia de Matemáti-
cas. Ajusta la recta de regresión por mínimos cuadrados. ¿Qué 
puedes concluir de este ejercicio? 
Tabla 4.20 Aprovechamiento
Horas Calificación Horas Calificación
4 9 10 5
6 8 12 2
8 8 14 2
 3. Los siguientes datos corresponden a los gastos de publici-
dad y de utilidades que presentaron cinco compañías de 
ventas de automóviles. Ajusta la recta de regresión por mí-
nimos cuadrados a los datos. 
Tabla 4.21 Gastos de publicidad
Gastos (mill.) Ganancias (mill.)
1.5 3.6
1.0 2.8
2.8 5.4
0.4 1.9
1.3 2.9
2.0 4.3
168
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
4
 4. Los dueños de un centro comercial saben que los clientes acuden a su negocio en función de la distancia (en 
kilómetros) respecto a la ubicación de un núcleo de población . (El número de clientes se mide en cientos). 
Los datos se presentan a continuación.
 
Tabla 4.22 Relación entre distancia de un centro comercial 
y clientes de un núcleo de población
Número de clientes (x) 8 7 6 4 2 1
Distancia (y) 15 19 25 23 34 40
 Calcula el coeficiente de correlación lineal y de la ecuación de la recta de 
regresión por mínimos cuadrados, en tu cuaderno.
 5. A partir de los siguientes datos referentes a horas trabajadas en un taller ( ) 
y a unidades producidas ( ), determina la recta de regresión de sobre y 
el coeficiente de correlación lineal.
Horas (X) 80 79 83 84 78 60 82 85 79 84 80 62
Producción (Y) 300 302 315 330 300 250 300 340 315 330 310 240
 6. Se ha solicitado a un grupo de 50 individuos información sobre el número de horas que dedican diariamente a 
dormir y ver la televisión. La clasificación de las respuestas ha permitido elaborar la siguiente tabla.
Número de horas dormidas (X) 6 7 8 9 10
Número de horas de televisión (Y) 4 3 3 2 1
Frecuencias absolutas (fi) 3 16 20 10 1
 ) Calcula el coeficiente de correlación.
 ) Determina la ecuación de la recta de regresión de sobre .
 ) Si una persona duerme ocho horas y media, ¿cuánto se espera que vea la televisión?
 ) Cinco niños de 2, 3, 5, 7 y 8 años de edad pesan, respectivamente, 14, 20, 32, 42 y 44 kg.
 ) Halla la ecuación de la recta de regresión de la edad sobre el peso.
 ) ¿Cuál sería el peso aproximado de un niño de seis años?
http://scielo.sld.cu/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1729-519X2009000200017
Actividades a realizar
 1. Lee el artículo de la lectura sugerida y escribe las palabras que no entiendas, busca su significado.
LECTURA SUGERIDA
169
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE 
 2. Contesta las preguntas que se realizan.
 ) Indica el tema central del que trata el artículo.
 ) Escribe la palabra clave del artículo.
 ) ¿Cuáles son los objetivos, en la ciencia de la Estadística, que permiten medir la relación entre dos variables 
cuantitativas?
 ) Describe lo que lleva a Galton a enunciar su “principio de la mediocridad”.
 ) En qué consiste el paquete Estadístico para Ciencias Sociales (SPSS).
 ) En qué consiste el coeficiente de correlación de los rangos de Spearman.
 ) Señala en los ejemplos en los que seaplica el coeficiente de correlación de los rangos de Spearman en 
la solución de problemas de salud.
ACTIVIDAD TRANSVERSAL 
Proyecto: Estudio de la población de nuevo ingreso
 
Deduce y aprende
La Encuesta
Representación gráfica de las medidas de tendencia central y dispersión.
Propósito: Utilizando la información de la actividad transversal de la página 44, para realizar la representación gráfica de la informa-
ción de las medidas de tendencia central y de dispersión.
 
 1. Se forman equipos de 4 o 5 alumnos, de preferencia los mismos que trabajaron en las unidades anteriores.
 2. De los datos agrupados en las tablas de frecuencia, calcula las medidas de dispersión.
 3. En las gráficas que realizaste en la unidad transversal III, traza gráficamente las medidas de tendencia central y de dispersión.
 4. Utiliza las medidas de forma, para comparar: los estudios de los padres, la edad.
 5. Argumentar qué es una medida de tendencia central y qué es una medida de dispersión.
 6. Construir cuartiles a partir de los datos dados (tiempo de traslado).
 7. Realiza una presentación de la información que tienes utilizando los medios electrónicos que desees, definan la fecha en la cual 
se expondrán los trabajos de todo lo realizado en las Actividades transversales.
 
 
170
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
P
A
R
T
E
4
Apertura de la actividad
Deduce y aprende
Suma y multiplica las caras de los dados
Propósito: Desarrolla habilidades para la realización del cálculo de las medidas de correlación de la dispersión a partir de una situa-
ción concreta.
Conocimientos previos:
 • ¿Qué entiendes por medidas de correlación?
 • ¿Cuáles son las medidas de correlación?
Materiales:
 • Dos dados
 • Cuaderno de notas
Desarrollo de la actividad
 1. Formen equipos de dos alumnos.
 2. Tiren los dos dados y anoten sus resultados, para ello, uno de ustedes suma y el otro multiplica los puntos de cada cara superior.
Suma
Multiplicación 
 3. Repitan el experimento 25 veces y registren en el cuaderno sus resultados.
Cierre de la actividad
 1. Realicen con estos datos el diagrama de dispersión o nube de puntos.
 2. Calcula la covarianza de los datos.
 3. Calcula el coeficiente de correlación.
 4. ¿Qué tipo de proporcionalidad presenta?
 5. Determina la recta de regresión lineal para los datos que obtienes.
 6. Realiza de nuevo las actividades anteriores 1 a 5, pero con datos agrupados.
 7. ¿Cuáles son los posibles resultados del evento? 
 8. ¿Todos los resultados tienen la misma frecuencia? 
 9. ¿Cuál de los resultados es el de mayor frecuencia? 
 10. Si tuvieras que apostar, ¿a cuál resultado apostarías? 
EVALUACIÓN SUMATIVA
CIERRE
171
 • EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE 
1. AUTOEVALUACIÓN
Aspecto a evaluar Excelente Bueno Regular Satisfactorio
Realicé los ejercicios 
correctamente
Más de 90%
Valor 15 puntos
Entre 80 y 89%
Valor 11 puntos
Entre 70 y 79%
Valor 7 puntos
Menos de 70%
Valor 3 puntos
Trabajé en equipo, 
resolví las actividades 
Deduce y aprende
Más de 90%
Valor 15 puntos
Entre 80 y 89%
Valor 11 puntos
Entre 70 y 79%
Valor 7 puntos
Menos de 70%
Valor 3 puntos
Actividad integradora, 
ver puntaje Valor 10 puntos Valor 7 puntos Valor 4 puntos Valor 2 puntos
Lectura de la unidad
Contesté correctamente 
más de 90% de las 
preguntas
Valor 5 puntos
Contesté correctamente 
entre 80 y 89% de las 
preguntas
Valor 4 puntos
Contesté correctamente 
entre 70 y 79% de las 
preguntas
Valor 3 puntos
Contesté correctamente 
menos de 70% de las 
preguntas
Valor 2 puntos
Trabajo extra clase
Realicé todas mis tareas
Valor 5 puntos
Realicé 80% de mis 
tareas
Valor 4 puntos
Realicé 60% de mis 
tareas
Valor 3 puntos
Realicé 50% de mis 
tareas
Valor 2 puntos
Suma de puntos por 
columna
Total de las columnas De 45 a 50 puntos De 40 a 44 puntos De 35 a 39 puntos Menos de 35 puntos
2. AUTOEVALUACIÓN DISCIPLINAR
Revisa la actividad Deduce y aprende, titulada , y contesta el dominio que 
tienes de los siguientes conceptos.
Concepto Lo domino No lo domino
Distribuciones bidimensionales
Covarianza
Coeficiente de correlación
Recta de regresión
172
Glosario
Covarianza: Es una medida que nos indica el grado de variación de dos variables.
Cuartil: Son valores que dividen a la muestra en cuatro.
Desviación media: Es una medida que compara cada valor con la media.
Diagrama de barras: Recibe el nombre de diagrama de barras el gráfico que asocia a cada valor de la variable una 
barra, generalmente vertical, puede ser horizontal.
Estadística: Es una ciencia que se encarga de recolectar, describir e interpretar una cantidad de datos, los que se 
organizan y procesan para brindar información y tomar decisiones o inferir.
Gráfica: Las gráficas son representaciones pictóricas que nos permiten realizar un análisis rápido y en forma visual 
de lo que sucede en algún conjunto de datos.
Histograma: Se realizan de la misma forma que las gráficas de barras, la única diferencia es que en ellas se utilizan 
los límites reales.
Mediana: Es una medida de tendencia central que se sitúa a la mitad de los datos ordenados.
Moda: Es una medida de tendencia central, la cual nos indica el valor o los valores que más se repiten, o sea el de 
Población: Una población es el conjunto de individuos o elementos de interés.
Probabilidad: Circunstancia de que algo suceda al azar.
Promedio: Realizar la suma de todos los datos y lo dividimos entre el número total de datos.
Rango: Esta medida nos permite tener nuestro primer acercamiento mide la amplitud entre los datos.
Rango intercuartílico: Es una medida de posición que se obtiene con la diferencia de los cuartiles Q3 y Q1.
Tabla de distribución de frecuencias
Varianza: (σ2) Es un promedio de las desviaciones elevadas al cuadrado.
Muestra: Es una parte de la población.
mayor frecuencia.
	Probabilidad y estadística. Para bachilleratos tecnológicos
	Página legal
	Índice
	Introducción
	Competencias
	Propósitos de la asignatura
	Competencias genéricas
	Competencias disciplinares
	Parte 1. EJE Del manejo de la informacion al (...)
	Apertura
	Evaluación diagnóstica
	Desarrollo
	1.1 Nociones y conceptos básicos de (...)
	1.2 Enfoques de probabilidad. ¿Qué significa (...)
	1.3 Técnicas de conteo y agrupación (...)
	Cierre
	Evaluación sumativa
	Autoevaluación
	Autoevaluacion disciplinar
	Parte 2. Eje Del manejo de la informacional (...)
	Apertura
	Evaluación diagnóstica
	Desarrollo
	2.1 ¿Qué es el riesgo?, ¿qué papel juega (...)
	2.2 Usos de la estadística y probabilidad (...)
	2.3 Análisis de la información
	2.4 Nociones de incertidumbre, azar y aleatoriedad
	2.5 Tipos de eventos en el estudio de la probabilidad
	Cierre
	Evaluación sumativa
	Autoevaluación
	Autoevaluación disciplinar
	Parte 3. Eje Del manejo de la informacional (...)
	Apertura
	Evaluación diagnóstica
	Desarrollo
	3.1 Estudio de la información. ¿Qué (...)
	3.2 Cálculo de las medidas de tendencia (...)
	3.3 Construcción de gráficos estadísticos (...)
	3.4 Análisis de tipos de gráficos estadísticos
	Cierre
	Evaluación sumativa
	Autoevaluacion
	Autoevaluacipon disciplinar
	Parte 4. Eje Del manejo del a informacional pensamiento estocástico
	Apertura
	Evaluación diagnóstica
	Desarrollo
	4.1 Medidas de tendencia central (...)
	4.2 Análisis de la información y toma
	Cierre
	Evauación sumativa
	Autoevaluación
	Autoevaluación disciplinar
	Glosario