Aula 06 Probabilidade

Prévia do material em texto

Aula 06
Raciocínio Lógico p/ Soldado - PMDF (com videoaulas) 
Professores: Arthur Lima, Luiz Gonçalves
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱ 
AULA 06: PROBABILIDADE
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria da probabilidade 01 
2. Resolução de exercícios 17
3. Lista de exercícios vistos na aula 82
4. Gabarito 113
Olá!
Nesta aula trabalharemos a teoria da Probabilidade, utilizando os 
conhecimentos de problemas de contagem/análise combinatória que você já 
estudou na aula anterior.
Trata-se de mais um tópico exigido no último edital! 
Tenha uma boa aula, e lembre-se de me procurar sempre que tiver alguma 
dúvida. 
1. TEORIA DA PROBABILIDADE
Imagine que você possui um dado e vai lançá-lo uma vez. Os resultados 
possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Isso é o que chamamos de espaço amostral – o 
conjunto dos resultados possíveis de um determinado experimento aleatório.
Chamamos este experimento de aleatório pois: antes de executá-lo (jogar o dado) 
não podemos prever o resultado que será obtido; podemos repetir este experimento 
indefinidamente; e após executá-lo várias vezes, esperamos ver um certo padrão
(neste caso, esperamos que após vários lançamentos tenhamos um número 
parecido de resultados 1, 2, 3, 4, 5 e 6). 
Digamos que só nos interessam os resultados pares. Isto é, apenas os 
resultados 2, 4 e 6. Esse subconjunto do espaço amostral é chamado de Evento,
sendo composto apenas daqueles resultados que nos são favoráveis.
Conhecendo essas duas definições, podemos definir a probabilidade de obter 
o nosso Evento em um determinado experimento aleatório como:
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲ 
n(Evento)Probabilidade do Evento=
n(Espaço Amostral)
Na fórmula acima, n(Evento) é o número de elementos do subconjunto 
Evento, isto é, o número de resultados favoráveis; e n(Espaço Amostral) é o número 
total de resultados possíveis no experimento aleatório. Por isso, costumamos dizer 
também que: 
número de resultados favoráveisProbabilidade do Evento=
número total de resultados
Em nosso exemplo, n(Evento) = 3 possibilidades, e n(Espaço Amostral) = 6 
possibilidades. Portanto: 
3 1Probabilidade do Evento= 0,50 50%
6 2
  
Uma propriedade importante do espaço amostral é: a probabilidade de 
ocorrência do próprio espaço amostral é 100%. No caso do dado, a probabilidade
de obter um dos 6 números existentes é de 100%, pois isso sempre vai ocorrer. Na 
fórmula, teríamos: 
n(Espaço Amostral)Probabilidade do Espaço Amostral= 1 100%
n(Espaço Amostral)
 
Observe que, sabendo o número total de resultados e o número de
resultados favoráveis, o cálculo da probabilidade é muito simples. Portanto,
normalmente a dificuldade dos exercícios está justamente no cálculo dessas duas
parcelas. Em alguns casos (como no exemplo do dado) é possível simplesmente 
contar os casos possíveis e os casos favoráveis. Entretanto, na maioria das vezes 
será necessário lembrar os conceitos de princípios de contagem / análise
combinatória para resolver a questão. Veja um exemplo a seguir:
1. ESAF – MPOG – 2009) As apostas na Mega-Sena consistem na escolha de 6 a
15 números distintos, de 1 a 60, marcados em volante próprio. No caso da escolha 
de 6 números tem-se a aposta mínima e no caso da escolha de 15 números tem-se 
a aposta máxima. Como ganha na Mega-Sena quem acerta todos os seis números
sorteados, o valor mais próximo da probabilidade de um apostador ganhar na Mega-
sena ao fazer a aposta máxima é o inverso de:
a) 20.000.000.
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ン 
b) 3.300.000.
c) 330.000.
d) 100.000.
e) 10.000.
RESOLUÇÃO:
Sabemos que a probabilidade de acertar na Mega-Sena é a divisão entre o 
número de resultados favoráveis (isto é, os conjuntos de 6 números formados com 
os 15 que preenchemos em nossa cartela) e o número de resultados possíveis (os 
conjuntos de 6 números que podem ser formados com os 60 números disponíveis). 
Quantos conjuntos de 6 números podemos obter a partir de 15 números 
marcados? Veja que a ordem dos números não importa (o resultado 1, 2, 3, 4, 5, 6 é 
igual ao resultado 4, 5, 3, 6, 2, 1). Portanto, estamos diante de um caso de 
combinação de 15 números em grupos de 6, ou simplesmente C(15,6). 
15 14 13 12 11 10(15,6)
6 5 4 3 2 1
C     
    
E quantos conjuntos de 6 números podemos formar com os 60 números 
disponíveis na cartela da Mega-Sena? Ora, combinação de 60, 6 a 6:
60 59 58 57 56 55(60,6)
6 5 4 3 2 1
C     
    
Portanto, a probabilidade de se acertar na Mega-Sena fazendo a aposta 
máxima (15 números) é dada pela divisão: 
 (15,6)
 (60,6)
resultados favoráveis CP
total de resultados C
 
Substituindo nesta expressão os resultados que obtivemos acima, temos:
15 14 13 12 11 10
15 14 13 12 11 106 5 4 3 2 1
60 59 58 57 56 55 60 59 58 57 56 55
6 5 4 3 2 1
P
    
         
         
    
Veja que a questão pediu o inverso de P. Invertendo a expressão acima, e 
simplificando o que for possível, temos:
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴ 
1 60 59 58 57 56 55 4 59 58 57 4 5
15 14 13 12 11 10 1 1 13 12 1 10
1 1 59 58 19 2 1 10002,7
1 1 13 1 1 1
P
P
         
 
         
    
 
    
Portanto, o inverso da probabilidade de acertar é aproximadamente igual a 
10.000. Veja que a probabilidade de acertar é de apenas 0,00001, ou 0,001%,
mesmo fazendo a aposta máxima!
Resposta: E 
1.1 Eventos independentes 
Qual seria a probabilidade de, em dois lançamentos consecutivos do dado,
obtermos um resultado par em cada um deles? Veja que temos dois experimentos
independentes ocorrendo: o primeiro lançamento e o segundo lançamento do dado. 
O resultado do primeiro lançamento em nada influencia o resultado do segundo. 
Quando temos experimentos independentes, a probabilidade de ter um 
resultado favorável em um E um resultado favorável no outro é dada pela 
multiplicação das probabilidades de cada experimento: 
P(2 lançamentos) =P(lançamento 1) P(lançamento 2)
Em nosso exemplo, teríamos: 
P(2 lançamentos) =0,50 0,50 0,25 25%   
Portanto, a chance de obter dois resultados pares em dois lançamentos de 
dado consecutivos é de 25%. 
Generalizando, podemos dizer que a probabilidade de dois eventos
independentes A e B acontecerem é dada pela multiplicação da probabilidade de
cada um deles: 
P (A e B) = P(A) x P(B)
Sendo mais formal, também é possível escrever P(A B)=P(A) P(B)  , onde 
 simboliza a intersecção entre os eventos A e B. 
Analise essa questão:
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵ 
2. ESAF – ATRFB – 2009) Para acessar a sua conta nos caixas eletrônicos de
determinado banco, um correntista deve utilizar sua senha constituída por três 
letras, não necessariamente distintas, em determinada sequência, sendo que as 
letras usadas são as letras do alfabeto, com exceção do W, totalizando 25 letras.
Essas 25 letras são então distribuídas aleatoriamente, três vezes, na tela do
terminal, por cinco teclas, em grupos de cinco letras por tecla, e, assim, para digitar 
sua senha, o correntista deve acionar, a cada vez, a tecla que contém a respectiva 
letra de sua senha. Deseja-se saber qual o valor mais próximo da probabilidade de 
ele apertar aleatoriamente em sequência três das cinco teclas à disposição e acertar 
ao acaso as teclas da senha?
a) 0,001.
b) 0,0001.
c) 0,000125.
d) 0,005.
e) 0,008.
RESOLUÇÃO:
Na primeira tecla apertada ao acasotemos 5 das 25 letras disponíveis. 
Portanto, a chance dessa tecla conter a primeira letra da senha (que pode ser 
qualquer uma das 25) é de 5 em 25, isto é, P = 5/25 = 1/5. 
Da mesma forma, a chance da segunda tecla apertada ao acaso conter a 
segunda letra da senha é de 5 em 25, ou seja, P = 1/5. Analogamente, a chance da 
terceira tecla apertada conter a terceira letra da senha é P = 1/5.
A chance de acertar a primeira E acertar a segunda E acertar a terceira letras 
da senha é dada pela multiplicação dessas probabilidades, pois temos três eventos
independentes entre si: 
1 1 1 1 0,008
5 5 5 125
P      
Resposta: E 
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヶ 
1.1.1 Eventos mutuamente exclusivos 
Existem certos eventos que, se ocorrerem, excluem a possibilidade de
ocorrência de outro. Por exemplo, imagine que A é o evento “obter um resultado par 
no lançamento de um dado”, e B é o evento “obter um resultado ímpar”. Veja que, 
se A ocorrer, ele impossibilita a ocorrência simultânea de B (afinal, não há um 
número que seja par e ímpar ao mesmo tempo). 
Chamamos esses eventos de mutuamente exclusivos, pois A exclui a
possibilidade de ocorrer B, e B exclui a possibilidade de ocorrer A. Quando tempos
eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade de ocorrência simultânea é nula: 
( ) 0P A B 
1.1.2 Probabilidade da união de dois eventos 
Dados dois eventos A e B, chamamos de A B o evento que ocorre quando 
ocorrem A, B ou ambos. 
Se A = probabilidade de obter um número par no lançamento de um dado e B
= probabilidade de obter o número 5, A B ocorre se o resultado do dado for {2, 4,
5, 6}. Portanto, a probabilidade do evento A B é:
4 2( )
6 3
P A B  
Essa probabilidade pode ser calculada também através da seguinte 
expressão: 
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B     
Neste caso, veja que P(A) = 3/6 e P(B) = 1/6. Note ainda que A e B são 
eventos mutuamente exclusivos, pois o número 5 não é par. Portanto, ( ) 0P A B  , 
como vimos logo acima.
Assim,
( ) ( ) ( ) ( )
3 1 4 2( ) 0
6 6 6 3
P A B P A P B P A B
P A B
    
     
Note, portanto, que a probabilidade do evento A OU do evento B ocorrerem é 
simplesmente igual à soma das probabilidades, caso sejam eventos mutuamente
exclusivos. 
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Α 
1.2 Eventos complementares
O lançamento de um dado só pode ter resultados pares ou ímpares.
Portanto, somando a probabilidade de obter resultados pares com a probabilidade 
de obter resultados ímpares, teremos 100%. Se já calculamos a probabilidade de ter 
resultados pares (50%), podemos obter a probabilidade de ter resultados ímpares
segundo a fórmula abaixo: 
Probabilidade(ímpares) = 1 - Probabilidade(pares) 
O subconjunto dos resultados pares é o complemento do subconjunto dos
resultados ímpares, pois unindo esses dois subconjuntos obtemos o espaço 
amostral. Em outras palavras, o que estamos dizendo aqui é que a probabilidade de 
um evento ocorrer é igual a 100% menos a probabilidade do seu complemento 
ocorrer. Portanto, podemos utilizar a expressão abaixo: 
Probabilidade(E) = 1 - Probabilidade(Ec)
Nesta fórmula, E é o Evento procurado e Ec o seu complemento. Vamos 
utilizar essa propriedade para resolver o seguinte problema: qual a probabilidade de,
efetuando duas vezes o lançamento de um dado, obter pelo menos um resultado 
par?
Neste caso, o nosso Evento é: “obter pelo menos um resultado par”. O seu 
complemento é “não obter nenhum resultado par”, ou simplesmente “obter apenas 
resultados ímpares”. A propriedade vista acima nos diz que: 
Probabilidade(pelo menos 1 par) = 1 - Probabilidade(só ímpares) 
Usamos a propriedade pois é bem fácil calcular a probabilidade de ter apenas 
resultados ímpares. Sabemos que, no primeiro lançamento, a chance de ter um 
resultado ímpar é de 50%, e no segundo lançamento, outros 50%. Para que o
resultado seja ímpar no primeiro E no segundo lançamentos, basta multiplicar essas 
duas probabilidades: 50% x 50% = 25%. Portanto:
Probabilidade(pelo menos 1 par) = 1 - Probabilidade(só ímpares) 
Probabilidade(pelo menos 1 par) = 1 - 25%=75% 
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Β 
Vamos trabalhar isso no exemplo abaixo: 
3. ESAF – MPOG – 2009) Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce,
Carlão, Denílson e Eleonora são moradores de um bairro muito antigo que está 
comemorando 100 anos de existência. Dona Matilde, uma antiga moradora, ficou 
encarregada de formar uma comissão que será a responsável pela decoração da
festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, três pessoas entre os amigos
Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora. Sabendo-se que Denílson não pertence 
à comissão formada, então a probabilidade de Carlão pertencer à comissão é, em 
termos percentuais, igual a: 
a) 30 %
b) 80 %
c) 62 %
d) 25 %
e) 75 %
RESOLUÇÃO:
Chamemos os 5 moradores de A, B, C, D e E. Sabendo que D não pertence 
à comissão, podemos calcular o total de comissões de 3 pessoas que podem ser 
criadas utilizando-se um total de 4 indivíduos. Trata-se da combinação de 4, 3 a 3: 
C(4,3) = C(4,1) = 4 
São tão poucas comissões que podemos listá-las rapidamente:
A, B, C 
A, B, E 
A, C, E 
B, C, E 
Veja que, das 4, C participa de 3. Portanto, a probabilidade dele estar na 
comissão é: 
P = 3 / 4 = 0,75 = 75% (letra E)
A probabilidade de C participar também pode ser calculada sem listar as
comissões, lembrando que: 
Probabilidade de C fazer parte = 1 – Probabilidade de C não fazer parte 
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Γ 
Se nem D nem C fizerem parte das comissões, temos 3 pessoas para formar
3 comissões. O total de comissões que podem ser formados é C(3,3) = 1. Assim, a 
probabilidade de C não fazer parte é de 1 em 4 comissões, ou seja:
(3,3) 11 1 75%
(4,3) 4
CP
C
    
Para este cálculo acima, basta lembrar que, caso nem D nem C façam parte,
restam apenas 3 pessoas para serem escolhidas formando grupos de 3, isto é,
C(3,3). 
Resposta: E 
1.3 Cálculo de probabilidades com e sem reposição 
Um problema muito comum em questões de concursos segue o seguinte 
modelo: você possui uma urna com 2 bolas brancas, 3 bolas pretas e 2 bolas azuis. 
Você retira uma bola, vê a sua cor, coloca-a de volta na urna retira outra bola. Qual 
a probabilidade das duas bolas retiradas serem brancas? 
Veja que, após retirar a primeira bola, você a colocou de volta no saco, ou 
seja, você a repôs. Estamos diante de um cálculo de probabilidades com reposição. 
A probabilidade de ter retirado uma bola branca do saco é de 2 em 7, isto é, 27 .
Como você devolveu esta bola ao saco, a probabilidade de retirar outra bola branca 
é novamente de 27 . Temos dois eventos independentes, portanto a probabilidade
combinada será a multiplicação dessas duas: 2 2 47 7 49  .
Agora, e se o exercício dissesse que você não coloca de volta na urna a bola 
que retirou? Estaríamos diante de um cálculo de probabilidades sem reposição.
Neste caso, a probabilidade de retirar uma bola branca inicialmente continua igual: 
2
7 . Já no momento de retirar a segunda bola, teremos apenas 6 bolas dentro da
urna, sendo que destas apenas 1 é branca. Portanto, a probabilidade de retirá-la 
não é mais de 27 , e sim 
1
6 . Assim, a probabilidade de retirar duas bolas brancas
da urna será: 2 1 2 17 6 42 21   .
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヰ
 Outra forma de efetuar esse cálculoúltimo cálculo é observando que o 
número de conjuntos de 2 bolas que podemos formar com 7 bolas é igual a 
combinação de 7, 2 a 2: C(7,2) = 21. E o número de conjuntos de 2 bolas que 
podemos formar apenas com as 2 bolas brancas é igual a C(2,2) = 1. Portanto, a 
probabilidade de tirar exatamente duas bolas brancas, sem reposição, é P = 1/21. 
Para finalizar, vejamos uma variação do problema envolvendo a urna: qual
seria a probabilidade de se retirar uma bola branca ou retirar uma bola preta?
Veja que, das 7 bolas, 2 são brancas e 3 são pretas. A probabilidade de se 
retirar uma bola branca já foi calculada anteriormente, e é igual a 27 .
Analogamente, a probabilidade de se retirar uma bola preta é de 37 . A
probabilidade de ocorrer um evento (bola branca) OU o outro evento (bola preta) é 
dada por: 
( Pr ) ( ) (Pr ) - ( Pr )P Branca eta P Branca P eta P Branca eta    
Sabemos que a probabilidade de uma bola ser branca e preta ao mesmo 
tempo é nula, ou seja, ( Pr ) 0P Branca eta  . Isto é, estamos diante de eventos
mutuamente excludentes.
Portanto, bastaria somar 27+
3
7 =
5
7 .
Dica: repare que quando utilizamos o E (probabilidade dos eventos A e B 
acontecerem) basta multiplicar as probabilidades de cada evento. Já quando 
utilizamos o OU (probabilidade dos eventos A ou B), basta somar as probabilidades 
de cada evento. Isso só vale para probabilidade de eventos independentes (no caso 
do E) ou mutuamente excludentes (no caso do OU) – mas a grande maioria dos 
exercícios de concurso são assim.
Vamos exercitar com o seguinte exemplo:
4. CEPERJ – SEE-RJ – 2009) Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas
pretas, todas de mesmo tamanho e peso. Sacando ao acaso duas bolas da urna, a 
probabilidade de que sejam da mesma cor é de: 
a) 20%
b) 30%
c) 40%
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヱ
d) 50%
e) 60%
RESOLUÇÃO:
Veja a expressão “sacando ao acaso duas bolas”. Ela nos dá a idéia de que 
não há reposição de bolas, isto é, após pegar a primeira bola e verificar a sua cor, 
ela não é devolvida à urna para só então retirar a segunda. Devemos assumir que 
estamos diante de um experimento aleatório sem reposição. 
Se temos 5 bolas na urna, o total de maneiras de combiná-las duas a duas é: 
C(5,2) = 10 
Vamos calcular a probabilidade de pegar 2 bolas brancas, e a seguir a
probabilidade de pegar 2 bolas pretas: 
 2 bolas brancas:
O número de formas de pegar duas bolas brancas, dado que temos apenas 2 
bolas dessa cor disponíveis, é C(2,2) = 1. Portanto, a probabilidade de pegar
2 bolas brancas é: 
(2,2) 1 0,10 10%
(5, 2) 10
   
CP
C
 2 bolas pretas: 
O número de formas de pegar duas bolas pretas, dado que temos apenas 3 
bolas dessa cor disponíveis, é C(3,2) = 3. Portanto, a probabilidade de pegar
2 bolas pretas é: 
(3,2) 3 0,30 30%
(5,2) 10
   
CP
C
A chance de pegar 2 bolas brancas OU 2 bolas pretas é dada por:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 10% 30% 0 40%
P A B P A P B P A B
P A B
    
    
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヲ
Veja que ( )P A B , isto é, a probabilidade de pegar uma bola que seja 
branca e preta ao mesmo tempo, é igual a zero, pois os eventos A e B são 
mutuamente excludentes.
Resposta: C 
1.4 Probabilidade de um evento ocorrer se outro ocorreu 
Neste tópico vamos tratar sobre outro tipo muito comum de questões em 
concursos. Imagine que vamos lançar um dado, e estamos analisando 2 eventos
distintos: 
A  sair um resultado par 
B  sair um resultado inferior a 4
Para o evento A ser atendido, os resultados favoráveis são 2, 4 e 6. Para o
evento B ser atendido, os resultados favoráveis são 1, 2 e 3. Vamos calcular
rapidamente a probabilidade de cada um desses eventos:
3( ) 50%
6
3( ) 50%
6
P A
P B
 
 
A pergunta em sua prova pode ser: no lançamento de um dado, qual é a 
probabilidade de obter um resultado par, dado que foi obtido um resultado inferior a 
4?
Em outras palavras, essa pergunta é: qual a probabilidade do evento A, dado 
que o evento B ocorreu? Matematicamente, podemos escrever P(A/B) (leia 
“probabilidade de A, dado B”). 
Aqui já sabemos de antemão que B ocorreu. Portanto, o resultado do 
lançamento do dado foi 1, 2 ou 3 (três resultados possíveis). Destes resultados,
apenas um deles (o resultado 2) atende o evento A. Portanto, a probabilidade de A 
ocorrer, dado que B ocorreu, é simplesmente: 
1( / ) 33,3%
3
P A B  
E se nos fosse perguntado qual a probabilidade de obter um resultado inferior 
a 4, dado que o resultado do lançamento foi um número par? Isto é, qual a 
probabilidade de B ocorrer, dado que A ocorreu? 
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱン
Veja que, se A ocorreu, o resultado foi 2, 4 ou 6. Destes, apenas o resultado
2 atende o evento B (é inferior a 4). Portanto, 
1( / ) 33,3%
3
P B A  
Coincidentemente, obtivemos o mesmo resultado para P(A/B) e P(B/A). A 
probabilidade de um evento ocorrer, dado que outro ocorreu, é chamada de 
probabilidade condicional. Uma outra forma de calculá-la é através da seguinte 
divisão: 
( )( / )
( )
P A BP A B
P B


A fórmula nos diz que a probabilidade de A ocorrer, dado que B ocorreu, é a 
divisão entre a probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente e a probabilidade 
de B ocorrer. 
Para que A e B ocorram simultaneamente (resultado par e inferior a 4), a 
única possibilidade é o resultado igual a 2. Isto é, apenas 1 dos 6 resultados nos 
atende. Assim, 1( )
6
P A B  .
Para que B ocorra (resultado inferior a 4), já vimos que 3 resultados atendem. 
Portanto, 
3( )
6
P B 
Logo, usando a fórmula acima, temos: 
1( ) 16( / ) 33,3%3( ) 36
P A BP A B
P B

    
Veja essa questão: 
5. CEPERJ – FAETEC – 2010) Certo dia, a professora colocou na gaveta 9 canetas
esferográficas de ponta fina, sendo 4 azuis e 5 pretas. No dia seguinte, ela colocou 
na mesma gaveta 11 canetas esferográficas de ponta grossa, sendo 8 azuis e 3 
pretas. No dia seguinte, a professora retirou da gaveta, ao acaso, uma caneta, e 
percebeu que ela era azul. A probabilidade de que esta caneta fosse de ponta 
grossa é:
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヴ
a) 1/2
b) 1/3
c) 2/3
d) 2/5
e) 3/5
RESOLUÇÃO:
Aqui é possível destacar 2 eventos: A = retirar uma caneta azul; e B = retirar 
uma caneta de ponta grossa. O exercício pede a probabilidade de a caneta retirada 
ter ponta grossa, dado que ela é azul, ou seja, P(B/A): 
( )( / )
( )
P A BP B A
P A


A probabilidade de retirar uma caneta azul é: 
P(A) = 12/20 = 3/5 
A probabilidade de retirar uma caneta azul E de ponta grossa é:
( ) 8 / 20 2 / 5P A B  
Portanto, a probabilidade de retirar uma caneta de ponta grossa, dado que 
ela é azul, é: 
2( ) 25( / ) 3( ) 35
P A BP B A
P A

  
Assim, o gabarito é a letra C.
Uma forma mais direta de se resolver esse tipo de questão, sem o uso de 
fórmulas, é simplesmente pensar que das 12 canetas azuis, apenas 8 tem ponta 
grossa. Portanto, se foi pega uma das 12 canetas azuis, a probabilidade de ela ter
ponta grossa é:
Canetas azuis de ponta grossa 8 2Probabilidade=
Canetas azuis 12 3
 
Resposta: C. 
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヵ
1.4.1 Independência estatística
Vimos acima que, quando dois eventos A e B são independentes, podemos
dizer que: 
P(A B)=P(A) P(B)  
Por outro lado, vimos que: 
( )( / )
( )
P A BP A B
P B


Substituindo a primeira equação nesta segunda, temos:( ) ( ) ( )( / )
( ) ( )
( / ) ( )
P A B P A P BP A B
P B P B
P A B P A
 
 

Esta última equação nos diz que, se A e B são dois eventos independentes, a 
probabilidade de A ocorrer dado que B ocorreu é igual aprópria probabilidade de A
ocorrer. Isto é, o fato de B ter ocorrido em nada altera a probabilidade de A ocorrer
ou não. Da mesma forma, podemos dizer que:
P(B/A) = P(B) 
Exemplificando, sejam os eventos A = obter o número 2 no primeiro
lançamento de um dado; e o evento B = obter o número 6 no segundo lançamento. 
Qual a probabilidade de obter o número 6 no segundo lançamento, dado que foi
obtido o número 2 no primeiro? 
Sabemos que esses dois eventos são independentes, afinal o fato de ter
saído o número 2 no primeiro lançamento em nada altera a probabilidade de sair o 
número 6 no segundo lançamento. Portanto, a probabilidade de B ocorrer, dado que
A ocorreu (P(B/A)), é simplesmente a probabilidade de B ocorrer (isto é, P(B)). 
Como P(B) = 1/6, podemos dizer que: 
P(B/A) = P(B) = 1/6 
Portanto, a probabilidade de obter 6 no segundo lançamento, dado que foi 
obtido 2 no primeiro, é igual a 1/6.
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヶ
1.5 Número de sucessos esperados após N repetições do experimento
Imagine que vamos vamos executar o experimento aleatório “X”, que consiste
em efetuar o lançamento do nosso dado. Buscamos a ocorrência do evento “obter 
um resultado par”. Já vimos que, em cada lançamento, a probabilidade de obter um 
resultado par é P = 50%. 
Após 40 lançamentos, esperamos que quantos tenham dado resultado par?
Ora, basta multiplicar a probabilidade de ter resultado par em cada
lançamento (50%) pelo número de lançamentos (40): 
Sucessos = 50% x 40 = 20 
Ou seja, é esperado que 20 resultados sejam pares. Generalizando, após N
repetições de um experimento com “p” chances de que o nosso Evento ocorra, , é 
esperado que o número de resultados em que o nosso evento ocorreu seja:
Sucessos = N x p
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΑ
2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS
Vejamos mais uma série de exercícios para você praticar bastante o cálculo 
de probabilidades. 
6. FCC – ASSEMBLEIA LEGISLATIVA DO PERNAMBUCO – 2014) Ordenando ao
acaso todas as letras da palavra TRIBUNAL, o que inclui a própria palavra 
TRIBUNAL, teremos 40320 palavras (palavras com ou sem significado). Escolhendo
ao acaso uma dessas palavras, a probabilidade de que ela comece e termine por 
vogal é igual a 
(A) 3
14
(B) 5
28
(C) 1
7
(D) 1
14
(E) 3
28
RESOLUÇÃO:
A palavra tribunal é composta por oito letras, sendo três vogais. Como 
queremos apenas as palavras começadas e terminadas por vogal, observe que 
temos apenas 3 possibilidades para a primeira letra, e com isso nos sobram 2 
possibilidades para a última letra. Sobram ainda outras 6 letras que podemos
permutar nas posições restantes ficando com:
3 x (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) x 2 = 4320
Esse é o número de casos favoráveis. A probabilidade de obter um desses 
casos, sabendo que o total de casos é igual a 40320, é dada por: 
P = 4320 / 40320
Simplificando a expressão, temos: 
P = 216 / 2016 
P = 54 / 504 
P = 27 / 252 
P = 3 / 28 
Resposta: E 
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΒ
7. FCC – ASSEMBLEIA LEGISLATIVA DO PERNAMBUCO – 2014) Um dado não
convencional tem 4 faces equiprováveis e numeradas de 1 à 4. A probabilidade de 
que a soma dos números obtidos em três lançamentos desse dado seja maior do 
que 4 é igual a 
A) 15
16
B) 1
16
C) 7
8
D) 3
4
E) 8
9
RESOLUÇÃO:
Temos quatro possibilidades de resultado no primeiro lançamento, outras 
quatro possibilidades de resultados no segundo lançamento, e a mesma coisa no
terceiro lançamento, totalizando 4x4x4 = 64 possibilidades de resultados (embora 
naturalmente alguns sejam valores repetidos).
A única forma de obter uma soma menor que 4 é pela sequência de três
lançamentos com resultado igual a 1, ou seja: 
1 - 1 - 1, cuja soma é 3 
Já para obter soma é igual a 4, temos as seguintes possibilidades:
2 - 1 - 1 
1 - 2 - 1 
1 - 1 - 2 
Portanto, do total de 64 sequências de lançamentos possíveis, apenas
1 + 3 = 4 delas resultam em somas iguais ou inferiores a 4, de modo que as outras 
60 possibilidades levam a resultados maiores que 4. A probabilidade de obter uma 
delas é igual a: 
P = 60 / 64
P = 15 / 16
Resposta: A 
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΓ
8. IADES – SECRETARIA DE CULTURA-DF – 2014) Uma instalação (obra de arte
composta por diversos elementos em um ambiente), em um museu de arte 
moderna, brinca com a incerteza humana representada por um jogo probabilístico: 
um computador mostra aleatoriamente 5 figuras e pede que a pessoa escolha 
mentalmente 2 delas. De modo aleatório, o computador “chuta” a possível escolha.
A probabilidade de o computador acertar a escolha das duas figuras é de: 
a) 1
5
く 
b) 2
5
く 
c) 3
5
く 
d) 1
10
く 
e) 2
25
く 
RESOLUÇÃO:
Em um primeiro momento, o computador tem 2 chances em 5 de acertar uma 
das 2 figuras escolhidas. Feito isso, restam 4 figuras disponíveis, das quais o
computador precisa acertar mais 1, de modo que a chance de acertá-la será de 1/4 .
Assim, a chance de acertar a primeira E a segunda figuras é: 
P = (2/5) x (1/4) 
P = 2 / 20 = 1 / 10 
Resposta: D 
9. IADES – SECRETARIA DE CULTURA-DF – 2014) Dois colegas de trabalho 
tiram férias e viajam para destinos diferentes. A probabilidade de um deles ligar para 
o escritório onde trabalham é de 2
7
, e a probabilidade de o outro ligar é de 1
6
. Qual
é a probabilidade de os dois não ligarem, de modo algum, para o escritório durante 
as férias?
a) 13
14
b) 20
21
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヰ
c) 21
35
d) 25
42
e) 41
42
RESOLUÇÃO:
A probabilidade de um deles ligar para o escritório é de 2/7, portanto a 
probabilidade de ele NÃO ligar é de 1 – 2/7 = 5/7. 
A probabilidade de o outro ligar é de 1/6, de modo que a probabilidade de ele 
NÃO ligar é de 1 – 1/6 = 5/6. 
Portanto, a probabilidade de os dois não ligarem, de modo algum, para o 
escritório durante as férias é de:
P = (5/7) x (5/6) 
P = 25 / 42
Resposta: D 
10. CESPE – CAIXA – 2014) Para utilizar o autoatendimento de certo banco, o
cliente deve utilizar uma senha silábica composta por três sílabas distintas. Para
que possa acessar a sua conta em um caixa eletrônico, o cliente deve informar a 
sua senha silábica da seguinte maneira: 
• primeiramente, é apresentada uma tela com 6 conjuntos de 4 sílabas distintas
cada um, dos quais apenas um contém a primeira sílaba da senha do cliente, que 
deve, então, selecionar esse conjunto; 
• em seguida, é apresentada uma segunda tela com 6 novos conjuntos de 4 sílabas
distintas cada um, dos quais apenas um contém a segunda sílaba da senha do 
cliente, que deve, então, selecionar esse conjunto;
• finalmente, é apresentada uma terceira tela com 6 novos conjuntos de 4 sílabas
distintas cada um, dos quais apenas um contém a terceira sílaba da senha do 
cliente, que deve, então, selecionar esse conjunto.
A informação da senha silábica só será considerada correta se cada uma das 3 
sílabas que compõem essa senha for informada na ordem solicitada: a primeira 
sílaba deverá estar no conjunto selecionado na primeira tela; a segunda sílaba, no
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヱ
conjunto selecionadona segunda tela; e a terceira sílaba, no conjunto selecionado
na terceira tela. 
Com base nessas informações, julgue os próximos itens. 
( ) Se um indivíduo conseguir visualizar e anotar os 3 conjuntos de 4 sílabas
selecionados corretamente por um cliente em um terminal de autoatendimento e,
em seguida, listar todas as possibilidades para a senha silábica desse cliente, para, 
então, escolher uma dessas possíveis senhas, a probabilidade de que essa escolha 
coincida com a senha do correntista será inferior a 0,01. 
( ) Se um cliente esquecer completamente a sua senha silábica, a probabilidade de
ele acertá-la em uma única tentativa, escolhendo aleatoriamente um conjunto de 
sílabas em cada uma das três telas que forem apresentadas pelo terminal de
autoatendimento, será inferior a 0,005. 
RESOLUÇÃO:
( ) Se um indivíduo conseguir visualizar e anotar os 3 conjuntos de 4 sílabas 
selecionados corretamente por um cliente em um terminal de autoatendimento e,
em seguida, listar todas as possibilidades para a senha silábica desse cliente, para, 
então, escolher uma dessas possíveis senhas, a probabilidade de que essa escolha 
coincida com a senha do correntista será inferior a 0,01. 
O indivíduo vê a tecla que foi apertada, mas não sabe exatamente a sílaba 
correta (pode ser qualquer uma das 4 possibilidades presentes em cada tecla). 
Assim, para cada tecla apertada temos 4 possibilidades para a sílaba correta,
de modo que o número de senhas possíveis é 4 x 4 x 4 = 64. A chance de adivinhar
a senha correta é de 1 em 64, ou seja, 1/64 = 0,015 (superior a 0,01).
Item ERRADO. 
( ) Se um cliente esquecer completamente a sua senha silábica, a probabilidade de 
ele acertá-la em uma única tentativa, escolhendo aleatoriamente um conjunto de 
sílabas em cada uma das três telas que forem apresentadas pelo terminal de 
autoatendimento, será inferior a 0,005. 
 A cada passo o cliente tem que escolher 1 dos 6 conjuntos, tendo 1/6 de 
chance de acertar “no chute”. Assim, para acertar o primeiro, o segundo E o terceiro 
conjuntos, a probabilidade é de (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/216 = 0,0046 (inferior a 
0,005). Item CORRETO. 
Resposta: E C 
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヲ
11. CESPE – POLÍCIA FEDERAL – 2014) Considere que, em um conjunto S de
100 servidores públicos admitidos por concurso público, para cada x = 1, 2, 3, ..., Sx, 
seja o subconjunto de S formado pelos servidores que prestaram exatamente x
concursos até que no concurso de número x foram aprovados pela primeira vez;
considere, ainda, que Nx seja a quantidade de elementos de Sx. A respeito desses 
conjuntos, julgue os itens a seguir. 
( ) Considere que Sx para x = 1, 2, 3 e 4 represente conjuntos não vazios. Nessa
situação, a probabilidade de um servidor público selecionado ao acaso no conjunto 
S ter prestado no máximo 4 concursos até ser aprovado pela primeira vez é igual
4
100
N .
( ) O conjunto S1  S2  S3  ... contém todos os servidores do conjunto S.
( ) Existem dois números inteiros, a e b, distintos e positivos, tais que Sa  Sb é 
não vazio. 
( ) Se N6 = 15, então 15 servidores do conjunto S prestaram 6 concursos e foram 
aprovados pela primeira vez no sexto concurso que prestaram. 
( ) Se a e b forem números inteiros positivos e a ≤ b, então Na ≤ Nb. 
RESOLUÇÃO:
( ) Considere que Sx para x = 1, 2, 3 e 4 represente conjuntos não vazios. Nessa
situação, a probabilidade de um servidor público selecionado ao acaso no conjunto 
S ter prestado no máximo 4 concursos até ser aprovado pela primeira vez é igual 
4
100
N .
Veja que cada Sx é o conjunto formado pelas pessoas que prestaram 
exatamente x concursos . Portanto, a quantidade de pessoas que fez a no máximo 4 
concursos é igual a N1 + N2 + N3 + N4. Este é o número de resultados favoráveis
para o nosso cálculo de probabilidades . Já o total é igual a 100 servidores. Deste 
modo a probabilidade de ter prestado no máximo 4 concursos é de:
P = (N1 + N2 + N3 + N4) / 100 
Item ERRADO. 
( ) O conjunto S1  S2  S3  ... contém todos os servidores do conjunto S.
CORRETO, pois se juntarmos os servidores que prestaram 1, 2, 3, ... 
concursos até serem aprovados , teremos o total de servidores. 
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲン
( ) Existem dois números inteiros, a e b, distintos e positivos, tais que Sa  Sb é 
não vazio. 
ERRADO, pois em cada um dos conjuntos temos servidores que prestaram 
exatamente aquele número de concursos até serem aprovados. Logo , a 
intersecção entre quaisquer dois conjuntos será sempre nula. 
( ) Se N6 = 15, então 15 servidores do conjunto S prestaram 6 concursos e foram
aprovados pela primeira vez no sexto concurso que prestaram. 
CORRETO. É exatamente essa a interpretação correta , de acordo com o 
enunciado. 
( ) Se a e b forem números inteiros positivos e a ≤ b, então Na ≤ Nb. 
ERRADO. Suponha, por exemplo, que tenhamos a = 3 e b = 4. Neste caso, 
S3 é o conjunto formado pelos servidores que foram aprovados após prestarem 
exatamente 3 concursos, e S4 é o conjunto de servidores que foram aprovados 
após 4 concursos. Não podemos afirmar que o conjunto S3 possui mais ou menos
servidores que o conjunto S4. 
Resposta: E C E C E 
12. CESPE – POLÍCIA FEDERAL – 2014) A partir de uma amostra de 1.200
candidatos a cargos em determinado concurso, verificou-se que 600 deles se 
inscreveram para o cargo A, 400 se inscreveram para o cargo B e 400, para cargos 
distintos de A e de B. Alguns que se inscreveram para o cargo A também se 
inscreveram para o cargo B. 
A respeito dessa situação hipotética, julgue os itens subsecutivos. 
( ) Selecionando-se ao acaso dois candidatos entre os 1.200, a probabilidade de 
que ambos tenham-se inscrito no concurso para o cargo A ou para o cargo B é 
superior a 1/6.
( ) Menos de 180 candidatos se inscreveram no concurso para os cargos A e B. 
RESOLUÇÃO:
Repare que dos 1200 candidatos, 400 se inscreveram para outros cargos, de 
modo que apenas 1200 - 400 = 800 candidatos se inscreveram para o cargo A, B, 
ou ambos. Somando os 600 candidatos que se inscreveram para o cargo A com os
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヴ
400 que se inscreveram para o cargo B, teríamos 1000 candidatos, ou seja, 200 
candidatos a mais do que os 800. Isto significa que dos 600 candidatos ao cargo A, 
200 também concorreram ao cargo B. Com essas informações em mãos, vamos 
avaliar os itens. 
( ) Selecionando-se ao acaso dois candidatos entre os 1.200, a probabilidade de 
que ambos tenham-se inscrito no concurso para o cargo A ou para o cargo B é 
superior a 1/6.
Sabemos que 400 candidatos se inscreveram somente para o cargo A, 200 
para os cargos A e B, 200 somente para B, e 400 para outros cargos. Assim, o 
número de duplas que podemos formar com candidatos que se inscreveram 
somente para o cargo A é dado pela combinação C(400,2), e o número de duplas 
que podemos formar com candidatos que se inscreveram somente para o cargo B é 
dado por C(200,2). Já o número total de duplas que podem ser formadas com os
1200 candidatos é C(1200,2). Assim, a probabilidade de que ambos tenham-se 
inscrito no concurso para o cargo A ou para o cargo B é dada por: 
P = favoráveis / total 
(400,2) (200,2)
(1200, 2)
C CP
C


400 399 200 199
2! 2!
1200 1199
2!
P
 



200 399 100 199
600 1199
P   

2 399 1 199
6 1199
P   

997
7194
P 
Para comparar esse número com 1/6, você pode efetuar o cálculo: 
997 x 6 = 5982
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴヲヵ
Isto significa que: 
997 / 5982 = 1 / 6 
Como 997/7194 é MENOR que 997/5982, fica claro que P é menor que 1/6.
Item ERRADO. 
( ) Menos de 180 candidatos se inscreveram no concurso para os cargos A e B.
ERRADO, pois como vimos, o número de candidatos que se inscreveram 
para os cargos A e B simultaneamente é igual a 200. 
Resposta: E E 
13. CESPE – CADE – 2014) Em uma escola, uma pesquisa, entre seus alunos,
acerca de práticas esportivas de futebol, voleibol e natação revelou que cada um 
dos entrevistados pratica pelo menos um desses esportes. As quantidades de 
alunos entrevistados que praticam esses esportes estão mostradas na tabela
abaixo. 
Com base nas informações e na tabela acima, julgue os próximos itens. 
( ) Mais de 130 dos alunos praticam apenas 2 dessas atividades esportivas.
( ) Entre os alunos, 20 praticam voleibol e natação, mas não jogam futebol.
( ) Escolhendo-se um aluno ao acaso, entre os entrevistados, a probabilidade de 
ele praticar natação é inferior a 10%. 
RESOLUÇÃO:
Imagine três conjuntos: um formado pelos alunos que jogam futebol, outro 
pelos alunos que jogam voleibol, e outro pelos alunos que praticam natação.
Podemos desenhar esses três conjuntos entrelaçados, conforme o gráfico abaixo,
para simbolizar que existem alunos que fazem parte de mais de um deles:
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヶ
Note que eu já coloquei os 9 alunos que praticam os três esportes. Com 29 
alunos praticam futebol e natação, e destes sabemos que 9 também praticam vôlei,
podemos dizer que 29 - 9 = 20 alunos praticam somente de futebol e natação, e não 
jogam vôlei. De maneira análoga podemos dizer que 17 - 9 = 8 alunos praticam 
somente vôlei e natação, e que 113 - 9 = 104 alunos praticam vôlei e futebol.
Colocando essas informações no gráfico, ficamos com: 
Sabemos que 505 alunos jogam futebol . Portanto o total de alunos que 
jogam apenas futebol é igual a 505 - 104 - 9 - 20 = 372. Da mesma forma, sabemos 
que 250 alunos jogam voleibol. A partir do gráfico, vemos que o número de alunos
que joga somente este esporte é igual a 250 - 104 - 9 - 8 = 129. 
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲΑ
Por fim, sabemos que 80 alunos praticam natação, de modo que o número de
alunos que apenas nadam é igual a 80 - 20 - 9 - 8 = 43. Colocando essas 
informações no gráfico, ficamos com: 
Somando todos os alunos dispostos no gráfico, temos um total de 
505+129+8+43 = 685 alunos. Com essas informações em mãos, podemos julgar os
itens. 
( ) Mais de 130 dos alunos praticam apenas 2 dessas atividades esportivas.
O número de alunos que praticam apenas duas dessas atividades é igual a: 
104 + 20 + 8 = 132 alunos. Portanto o item está CORRETO. 
( ) Entre os alunos, 20 praticam voleibol e natação, mas não jogam futebol. 
Como vemos no gráfico, apenas oito alunos prática vôlei e natação, mas não
jogam futebol. Item ERRADO.
( ) Escolhendo-se um aluno ao acaso, entre os entrevistados, a probabilidade de 
ele praticar natação é inferior a 10%. 
Veja que temos um total de 685 alunos, sendo que apenas 80 praticam
natação. A probabilidade de escolhermos um deles é igual a: 
P = 80 / 685 
Este número é superior a 10%, que seria igual a 80 / 800. Item errado. 
Resposta: C E E
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲΒ
14. CESPE – CADE – 2014)
A figura acima ilustra parte de um jogo de tabuleiro com 100 casas, numeradas de 1 
a 100, em que a centésima é denominada casa de chegada. O movimento das
peças é determinado pelo jogo de um dado de seis faces numeradas de 1 a 6. Os
jogadores vão se alternando no lançamento do dado e movimentando suas peças
até que cheguem à casa de número 100. Para movimentar a sua peça, o jogador 
deverá lançar o dado e respeitar as seguintes regras: 
 se o número obtido no lançamento do dado for superior a 3, o jogador deverá
andar uma quantidade de casas igual a esse número;
 C se o número obtido no lançamento do dado for inferior a 4, o jogador 
deverá andar uma quantidade de casas igual ao dobro desse número. 
Tendo como referência essas informações, julgue os itens seguintes, considerando 
que o dado utilizado seja equilibrado, isto é, a probabilidade de sair determinada 
face é a mesma para todas as faces. 
( ) Um jogador poderá atingir a casa de chegada com exatamente 24 lançamentos 
do dado.
( ) É possível que um jogador atinja a casa de chegada com 16 lançamentos do
dado. 
( ) Com um lançamento do dado, a probabilidade de que o resultado obtido permita 
que o jogador avance quatro casas com a sua peça é superior a 0,3. 
RESOLUÇÃO:
( ) Um jogador poderá atingir a casa de chegada com exatamente 24 lançamentos 
do dado.
CORRETO. Se tivermos 22 lançamentos iguais a 2, andaremos o dobro de 
casas, ou seja, 4 casas em cada lançamento, totalizando 22 x 4 = 88 casas 
percorridas. Podemos ainda ter 2 lançamentos obtendo o valor 6 em cada um 
deles, e desse modo vamos percorrer mais 12 casas, chegando assim à centésima
casa após 24 lançamentos. 
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲΓ
( ) É possível que um jogador atinja a casa de chegada com 16 lançamentos do
dado. 
Errado. Veja que a pontuação média que deveria ser obtida em cada um dos
16 lançamentos seria de 100 / 16 = 6,25 pontos. Isso é superior qual máximo de 
pontos que podemos obter em cada lançamento, que é igual a 6. 
( ) Com um lançamento do dado, a probabilidade de que o resultado obtido permita 
que o jogador avance quatro casas com a sua peça é superior a 0,3. 
Para avançar exatamente 4 casas, é preciso obter como resultado do 
lançamento os valores 2 ou 4. A probabilidade de obter um desses dois valores é 
igual a 2 / 6 = 1 / 3 = 0,333. Item CORRETO.
Resposta: C E C
15. CESPE – TCDF – 2014) Em uma empresa, as férias de cada um dos 50
empregados podem ser marcadas na forma de trinta dias ininterruptos, ou os trinta 
dias podem ser fracionados em dois períodos de quinze dias ininterruptos ou, ainda,
em três períodos de dez dias ininterruptos. Em 2013, depois de marcadas as férias
de todos os 50 empregados, constatou-se que 23, 20 e 28 deles marcaram os trinta 
dias de férias ou parte deles para os meses de janeiro, fevereiro e junho,
respectivamente. Constatou-se, também, que, nesse ano, nenhum empregado 
marcou férias para algum mês diferente dos mencionados. 
Tendo como referência as informações acima, julgue os itens que se seguem.
( ) Considere que, em 2013, nenhum empregado que trabalha na empresa há mais 
de 10 anos tenha marcado férias para o mês de junho, e que, no mês de maio, a 
empresa tenha escolhido, aleatoriamente, 2 de seus empregados para participar de 
um curso de formação. Nesse caso, a probabilidade de esses 2 empregados 
escolhidos trabalharem na empresa há mais de 10 anos é inferior a 0,2. 
RESOLUÇÃO: 
Os 28 funcionários que tiraram férias em junho tem 10 anos ou menos de 
empresa. Assim, os 50 – 28 = 22 restantes tem mais de 10 anos. 
O número de duplas de empregados que podemos formar, ao todo, é dado 
por C(50,2). E o número de duplas formadas apenas pelos empregados com mais
de 10 anos é C(22,2). A probabilidade de selecionar uma dessas duplas com
empregados mais antigos é:
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヰ
P = C(22,2) / C(50,2) 
P = (22 x 21 / 2!) / (50 x 49 / 2!)
P = (22 x 21) / (50 x 49)
P = 0,188
A probabilidade é inferior a 0,2, portanto o item está CORRETO. 
Resposta: C 
16. CESPE– TCDF – 2014) De um grupo de seis servidores de uma organização,
três serão designados para o conselho de ética como membros titulares, e os outros 
três serão os seus respectivos suplentes. Em caso de falta do membro titular no 
conselho, somente poderá assumir seu lugar o respectivo suplente. 
Com base na situação hipotética acima, julgue os próximos itens.
( ) Tão logo os membros titulares sejam escolhidos, haverá mais de dez maneiras
de serem escolhidos os suplentes. 
( ) O número de maneiras de serem selecionados os três membros titulares e seus 
respectivos suplentes é superior a 100. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Tão logo os membros titulares sejam escolhidos, haverá mais de dez maneiras 
de serem escolhidos os suplentes. 
Após escolher os 3 titulares (que chamaremos de A, B e C), restam 6 – 3 = 3 
servidores. Destes, temos 3 possibilidades para o suplente de A, 2 para o suplente 
de B e a restante para o suplente de C, totalizando 3 x 2 x 1 = 6 possibilidades de
escolher os suplentes. Item ERRADO. 
( ) O número de maneiras de serem selecionados os três membros titulares e seus 
respectivos suplentes é superior a 100. 
Inicialmente devemos escolher 3 dos 6 servidores para serem os titulares.
Trata-se de uma mera combinação: 
C(6,3) = 6 x 5 x 4 / 3! 
C(6,3) = 20 
Assim, temos 20 possibilidades de escolha dos 3 titulares (a ordem entre eles
não importa, afinal escolher A, B e C para serem titulares é o mesmo que escolher
B, C e A). 
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヱ
Para cada um desses trios, sobram 3 servidores para serem os suplentes, 
que podem ser distribuídos entre os titulares de 6 formas diferentes (como vimos no 
item anterior). 
Deste modo, ao todo temos 20 x 6 = 120 formas de escolher os titulares e 
seus respectivos suplentes. Item CORRETO. 
Resposta: E C 
17. CESPE – TCDF – 2014) Considerando que, em um planejamento de ações de
auditoria, a direção de um órgão de controle tenha mapeado a existência de 30 
programas de governo passíveis de análise, e sabendo que esse órgão dispõe de
15 servidores para a montagem das equipes de análise e que cada equipe deverá 
ser composta por um coordenador, um relator e um técnico, julgue os próximos
itens. 
( ) A quantidade de maneiras distintas de serem escolhidos 3 dos referidos 
servidores para a montagem de uma equipe de análise é superior a 2.500. 
( ) Considerando-se que cada servidor do órgão possa participar de somente uma 
equipe de análise e que cada equipe não possa analisar mais que um programa de
governo ao mesmo tempo, é correto afirmar que a capacidade operacional do órgão 
está limitada ao acompanhamento simultâneo de cinco programas de governo. 
( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolherem 3 desses programas para 
serem acompanhados pelo órgão é inferior a 4.000. 
RESOLUÇÃO: 
( ) A quantidade de maneiras distintas de serem escolhidos 3 dos referidos 
servidores para a montagem de uma equipe de análise é superior a 2.500. 
Podemos escolher os 3 servidores que formarão uma equipe através da 
combinação dos 15 servidores em grupos de 3, ou seja,
C(15,3) = 15 x 14 x 13 / 3!
C(15,3) = 15 x 14 x 13 / 6 
C(15,3) = 5 x 7 x 13 
C(15,3) = 455 
Assim, é possível montar 455 trios diferentes de servidores. Em cada um 
desses trios, devemos permutar os 3 servidores entre si, entre os cargos de 
coordenador, relator e técnico. Assim, temos P(3) = 3! = 6 organizações diferentes 
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヲ
entre os três servidores de cada trio, totalizando 455 x 6 = 2730 formas de montar 
as equipes. 
Item CORRETO. 
( ) Considerando-se que cada servidor do órgão possa participar de somente uma 
equipe de análise e que cada equipe não possa analisar mais que um programa de
governo ao mesmo tempo, é correto afirmar que a capacidade operacional do órgão 
está limitada ao acompanhamento simultâneo de cinco programas de governo. 
Temos 15 servidores, de modo que podemos formar 15 / 3 = 5 equipes de 
três servidores simultaneamente. Cada equipe analisa 1 programa por vez, de modo 
que é possível acompanhar 5 programas de governo simultaneamente. Item 
CORRETO.
( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolherem 3 desses programas para 
serem acompanhados pelo órgão é inferior a 4.000. 
Trata-se da combinação dos 30 programas em grupos de 3, ou seja, 
C(30,3) = 30 x 29 x 28 / 3!
C(30,3) = 30 x 29 x 28 / 6 
C(30,3) = 5 x 29 x 28 
C(30,3) = 4060 
Item ERRADO. 
Resposta: C C E 
18. CESPE – SUFRAMA – 2014) Em um campeonato de futebol, a pontuação
acumulada de um time é a soma dos pontos obtidos em cada jogo disputado. Por 
jogo, cada time ganha três pontos por vitória, um ponto por empate e nenhum ponto 
em caso de derrota. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 
( ) Se um time disputou 4 jogos, então a probabilidade de a pontuação acumulada 
desse time ser maior ou igual a 4 e menor ou igual a 7 será superior a 0,35. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos chamar de V, E e D cada vitória, empate e derrota, respectivamente. 
Após 4 jogos, as formas de se fazer 4 pontos são: 
1V, 1E, 2D 
3E, 1D 
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンン
O número de formas de obter 1V, 1E e 2D é dado pelas permutações de 4
resultados, com repetição de 2D, isto é: P(4, 2) = 4! / 2! = 12.
O número de formas de obter 3E e 1D é dado pelas permutações de 4
resultados, com repetição de 3E, isto é: P(4, 3) = 4! / 3! = 4. 
As formas de fazer 5 pontos são: 
1V, 2E, 1D  P(4, 2) = 4! / 2! = 12 
As formas de fazer 6 pontos são: 
2V, 2D  P(4, 2 e 2) = 4! / (2! x 2!) = 6 
As formas de fazer 7 pontos são: 
2V, 1E, 1D  P(4, 2) = 4! / 2! = 12 
Portanto, ao todo temos 12 + 4 + 12 + 6 + 12 = 46 possibilidades favoráveis, 
onde a pontuação vai de 4 a 7 pontos. 
Para sabermos o total de possibilidades, basta lembrar que cada um dos 4 
jogos tem 3 possibilidades de resultado (V, E ou D), totalizando 3 x 3 x 3 x 3 = 81 
possibilidades de combinação de resultados após 4 jogos. 
Logo, a probabilidade de a pontuação ser de 4 a 7 pontos é: 
P = favoráveis / total 
P = 46 / 81
P = 56,7%
Item CORRETO. 
Resposta: C 
19. CESGRANRIO – CEFET/RJ – 2014) O elevador de um condomínio passará por
três serviços de manutenção no semestre que vem. Apenas duas empresas 
prestam tais serviços: a empresa A e a empresa B. Na ocasião da realização de 
cada um dos serviços, o condomínio escolherá qual das duas empresas irá realizá-
lo. Sabe-se que a probabilidade de a empresa A ser escolhida para realizar um 
serviço é quatro vezes maior do que a probabilidade de a empresa B ser escolhida 
para realizar o mesmo serviço. A probabilidade de todos os três serviços de 
manutenção, previstos para o semestre que vem, serem realizados por uma mesma 
empresa é
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヴ
a) 25%
b) 50%
c) 52%
d) 66%
e) 75%
RESOLUÇÃO:
Sabemos que a probabilidade do conjunto universo é igual a cem por cento.
Neste caso, o conjunto universo das empresas que podem realizar o serviço é 
formado apenas pelas empresas A e B. Portanto, chamando de PA e PB as
probabilidades de cada uma das empresas em realizar um serviço, temos:
PA + PB = 100% 
ou seja, 
PA + PB = 1 
Também foi dito que a probabilidade da empresa a ser escolhida é 4 vezes 
maior, ou seja: 
PA = 4 x PB 
Substituindo na equação anterior:
4xPB + PB = 1
5 x PB = 1 
PB = 1 / 5
PB = 0,2 = 20% 
Portanto, 
PA = 4 x 0,2 = 0,8 = 80% 
A probabilidade da empresa A realizar cada serviço é de 80%. Como a
realização de cada um dos serviços é um evento independenteda realização dos
demais serviços, a probabilidade dessa empresa a realizar os três serviços é dada
pela multiplicação: 
Probabilidade de A nos 3 serviços = 0,80 x 0,80 x 0,80 = 0,512
De maneira análoga, a probabilidade da outra empresa realizar os três
serviços é dada pela multiplicação: 
Probabilidade de B nos 3 serviços = 0,20 x 0,20 x 0,20 = 0,008
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヵ
Observe que os casos acima são mutuamente excludentes, pois se uma das
empresas realizar todos os serviços, automaticamente a outra não realizará, e vice-
versa. Portanto, a probabilidade de que os três serviços sejam realizados pela 
mesma empresa é igual à soma:
Probabilidade = 0,512 + 0,008 = 0,520 = 52% 
Resposta: C 
20. CESGRANRIO – PETROBRAS – 2014) O Quadro abaixo apresenta o resultado
de uma pesquisa de satisfação, em relação ao modo de transportes de uma
determinada região, com o total de pessoas para cada situação. 
De acordo com os dados dessa pesquisa, a probabilidade de uma pessoa 
(A) utilizar o modo rodoviário é de 53,3% e de utilizar o modo rodoviário e estar 
satisfeita é de 20%. 
(B) utilizar o modo ferroviário é de 30% e de utilizar o modo ferroviário e estar
satisfeita é de 16,7%. 
(C) utilizar o modo rodoviário é de 63,3% e de utilizar o modo rodoviário e estar
satisfeita é de 33,3%. 
(D) estar satisfeita é de 63,3%. 
(E) utilizar o modo ferroviário é de 36,7%.
RESOLUÇÃO:
Vamos avaliar cada alternativa separadamente:
(A) utilizar o modo rodoviário é de 53,3% e de utilizar o modo rodoviário e estar 
satisfeita é de 20%. 
A probabilidade de uma pessoa usar o modo rodoviário é dado pela divisão 
de 500 + 300 pelo total, que é de 1500 pessoas:
P = 800 / 1500 = 53,3%
Até aqui essa alternativa está correta. A probabilidade de uma pessoa usar o 
modo rodoviário e estar satisfeita é: 
P = 300 / 1500 = 0,2 = 20% 
Portanto esta alternativa está correta. 
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヶ
(B) utilizar o modo ferroviário é de 30% e de utilizar o modo ferroviário e estar
satisfeita é de 16,7%. 
A probabilidade de uma pessoa usar o modo do ferroviário é: 
P = (450 + 250) / 1500 = 46,66% 
Portanto esta alternativa está claramente errada. 
(C) utilizar o modo rodoviário é de 63,3% e de utilizar o modo rodoviário e estar
satisfeita é de 33,3%. 
Já calculamos anteriormente a probabilidade de uso do meio rodoviário, 
ficando fácil ver que essa alternativa está errada. 
(D) estar satisfeita é de 63,3%. 
A probabilidade de uma pessoa estar satisfeita é dada por: 
P = (300 + 250) / 1500 = 36,66% 
(E) utilizar o modo ferroviário é de 36,7%.
A probabilidade de uma pessoa usar o modo do ferroviário é: 
P = (450 + 250) / 1500 = 46,66% 
Portanto esta alternativa está claramente errada. 
Resposta: A
21. CESGRANRIO – IBGE – 2014) Um grupo de 7 crianças é composto de 4
meninos e 3 meninas. Nesse grupo, uma menina e dois meninos são canhotos.
Suponha que, aleatoriamente e sem reposição, duas crianças do grupo sejam 
selecionadas. Qual é a probabilidade de pelo menos uma das crianças selecionadas 
não ser canhota ou ser uma menina? 
(A) 20/21 
(B) 16/21 
(C) 13/21 
(D) 10/21 
(E) 5/21 
RESOLUÇÃO:
 O total de maneiras de selecionarmos duas crianças no grupo composto por 
sete crianças é igual à combinação: 
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンΑ
Total = C(7,2) = 7x6 / 2 = 21 maneiras 
Os casos favoráveis, ou seja, aqueles que nos interessam, são aqueles onde 
selecionamos duas crianças sendo que pelo menos uma não é canhota, ou pelo 
menos uma é menina. Em outras palavras, o que não queremos é selecionar dois
meninos canhotos. 
Só há 1 forma de selecionar os 2 meninos canhotos (afinal, a ordem de
escolha não é relevante para formar duplas). Ou seja, dos 21 casos que vimos
anteriormente, somente 1 não nos interessa, de modo que os outros 20 casos são 
favoráveis. A probabilidade de selecionar um desses casos é: 
P = 20 / 21
Resposta: A
22. QUADRIX – CRQ 20ª – 2014) Em um armazém foram colocadas 10 caixas de
laranja Bahia e 13 caixas de laranja lima (Bahia e lima são espécies de laranjas). 
Porém, esqueceram-se de colocar a devida identificação das caixas, que foram 
empilhadas. Ao retirar, aleatoriamente, uma caixa de laranjas desse armazém, um 
repositor verificou que essa caixa de laranja lima. Em seguida, ele retirou uma nova 
caixa de laranjas. Qual é a probabilidade de essa nova caixa ser de laranja Bahia?
a) 10/23
b) 9/22
c) 9/23
d) 5/11
e) 12/22
RESOLUÇÃO:
Temos 23 caixas no início. Tirando uma de laranja lima, sobram 22 caixas,
sendo 10 de laranja bahia e 12 de laranja lima. A chance de tirar uma das 10 caixas 
de laranja bahia, em um total de 22 caixas restantes, é: 
P = 10 / 22 = 5 / 11 
Resposta: D 
23. QUADRIX – CRQ 20ª – 2014) Em uma festa de aniversário, uma criança recebe
um saquinho com 12 balas de morango e 8 balas de abacaxi. Ao retirar,
aleatoriamente, uma bala do saquinho, a criança verificou que era de morango.
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンΒ
Caso a criança retire aleatoriamente, outra bala do saquinho, qual é a probabilidade
de essa bala também ser de morango? 
a) 3/5
b) 11/19
c) 12/20
d) 11/20
e) 8/12
RESOLUÇÃO:
Após tirar uma bala de morango, sobram 11 de morango e 8 de abacaxi,
totalizando 19 balas. A chance de tirar uma das 11 de morango restantes é: 
P = 11 / 19
Resposta: B 
24. QUADRIX – CRN3ª/SP-MS – 2014) Na sala de espera de sua nutricionista,
Mara estava brincando com cartões educativos para crianças, os quais se devem 
colocar em ordem, para formar palavras. Sua mãe pegou três cartões com a letra A,
um com a letra L, um com a letra D e um com a letra S, os embaralhou, os empilhou 
com as letras para baixo e os entregou a Mara. A probabilidade de que os cartões
embaralhados, tomados um a um, na ordem dada na pilha, formem a palavra 
SALADA é de uma em:
a) 720
b) 120
c) 60
d) 24 
e) 1 
RESOLUÇÃO:
Temos 6 letras, das quais 3 são repetições do A. O total de formas de 
permutá-las é dada pela permutação com repetição: 
P(6, 3) = 6! / 3! = 6 x 5 x 4 x 3! / 3! = 6 x 5 x 4 = 120
Dessas 120 possibilidades, apenas 1 nos atende, que é aquela onde as 
letras estão na disposição SALADA. Portanto, a chance de conseguir esta
disposição é de 1 em 120. 
Resposta: B 
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンΓ
25. QUADRIX – CRN3ª/SP-MS – 2014) Num jogo de RPG são lançados
simultaneamente dois dados numerados de 1 a 20, como o da imagem a seguir. 
A probabilidade de o produto dos dois números obtidos ser par é de: 
a) 100%
b) 75%
c) 50%
d) 25%
e) 0%
RESOLUÇÃO:
Para o produto de dois números ser PAR, basta que um deles seja par. Já
para o produto ser ímpar, é preciso que AMBOS sejam ímpares. 
O total de produtos existentes é igual a 20 x 20 = 400, afinal temos 20 
possibilidades de resultado em cada dado. 
Destes, os produtos ímpares são aqueles formados pelos 10 números
ímpares de cada dado, totalizando 10 x 10 = 100. Logo, os 400 – 100 = 300 
produtos restantes são pares. 
A probabilidade de obter um produto par é: 
P = 300 / 400 = 3 / 4 = 0,75 = 75% 
Resposta: B 
26. QUADRIX – COREN/BA – 2014) No lago artificial de um pesqueiro encontram-
se 20 tilápias e 10 trutas (tilápias e trutas são espécies de peixes). Um pescador
sentado à margem desse lago consegue pescar o seu primeiro peixe, que é uma
truta. Ele então joga novamente o anzol no lago e consegue fisgar outro peixe. Qualé a probabilidade de esse segundo peixe ser também uma truta? 
a) 1/29
b) 11/29
c) 9/29
d) 9/30
e) 1/30
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヰ
RESOLUÇÃO:
Depois de pescar uma truta, sobram 29 peixes no lago, dos quais apenas 9
são trutas e 20 são tilápias. A chance de pegar uma das 9 trutas é: 
P = favoráveis / total 
P = 9 / 29 
Resposta: C 
27. QUADRIX – COREN/BA – 2014) Uma caixa de bombons possui 12 bombons de
chocolate ao leite e 10 de chocolate branco. Ao retirar-se aleatoriamente um 
bombom dessa caixa, qual é a probabilidade de esse bombom ser de chocolate 
branco?
a) 1/22
b) 2/11
c) 5/11
d) 1/10
e) 1/12
RESOLUÇÃO:
Temos 22 bombons ao todo, dos quais 10 são favoráveis ao que queremos 
(são de chocolate branco). Assim,
P = favoráveis / total 
P = 10 / 22
P = 5 / 11 
Resposta: C 
28. QUADRIX – CRM/PR – 2014) Uma moeda viciada tem a probabilidade de dar
cara três vezes maior que a de dar coroa. Qual a probabilidade de dar cara em um 
lançamento dessa moeda?
a) 25%
b) 35%
c) 55%
d) 75%
e) 85%
RESOLUÇÃO: 
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヱ
Sabemos que P(cara) = 3 x P(coroa). Sabemos ainda que a soma das
probabilidades deve ser 100% (afinal uma moeda só pode dar cara ou coroa): 
P(cara) + P(coroa) = 100% 
Substituindo P(cara) por 3xP(coroa), temos:
3xP(coroa) + P(coroa) = 100% 
4xP(coroa) = 100% 
P(coroa) = 100% / 4 
P(coroa) = 25% 
Assim, P(cara) = 3 x P(coroa) = 3 x 25% = 75%.
Resposta: D 
29. UFG – UEAP – 2014) Uma empresa realizou uma pesquisa para montar o
cardápio para os seus trabalhadores. Nessa pesquisa, 29% dos trabalhadores
disseram preferir exclusivamente suco de laranja, 13% preferem exclusivamente 
suco de abacaxi, 10% preferem exclusivamente suco de manga, 8% preferem 
exclusivamente suco de maçã, 6% preferem exclusivamente suco de uva, 22% 
bebem qualquer tipo de suco e o restante declara não beber qualquer tipo de suco 
durante as refeições. De acordo com os dados dessa pesquisa, escolhendo ao 
acaso um trabalhador dessa empresa, a probabilidade de que ele beba suco de 
laranja ou de uva é:
(A) 0,57 
(B) 0,35
(C) 0,28 
(D) 0,13
RESOLUÇÃO:
Os trabalhadores que bebem suco de laranja OU uva são aqueles que 
bebem: 
Exclusivamente laranja + exclusivamente uva + qualquer suco = 
29% + 6% + 22% =
57% = 
0,57 
Resposta: A
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヲ
30. UFG – UEAP – 2014) A tabela a seguir apresenta a quantidade de cálcio
contida em alguns alimentos.
Escolhendo ao acaso uma refeição com uma opção de carne, uma de verdura e 
uma de fruta, a probabilidade dessa refeição conter a menor quantidade de cálcio
possível é: 
A) 1
12
B) 1
7
C) 11
12
D) 6
7
RESOLUÇÃO:
O caso com menor quantidade de cálcio ocorre quando escolhemos a Carne 
cozida, Brócolis (cru) e Figo. Isto porque cada um desses alimentos é o que possui
menos cálcio dentro de seu respectivo grupo. Ou seja, temos 1 opção que resulta 
na menor quantidade de cálcio. 
O total de possibilidades de montar um prato é dado por 2x3x2 = 12, afinal 
temos 2 possibilidades de carne, 3 de verdura e 2 de fruta. 
A probabilidade de selecionar o caso com menor cálcio é de 1 em 12, ou 
seja, 1/12.
Resposta: A
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴン
31. UFG – CELG-GT – 2014) Dois dados são lançados simultaneamente e são
considerados os números que aparecem nas faces voltadas para cima. A 
probabilidade de que um dos dois números que aparecem na face superior seja um 
divisor do outro número é de: 
(A) 4/18 
(B) 5/18
(C) 7/18 
(D) 8/18 
(E) 11/18 
RESOLUÇÃO:
O total de possibilidades nos lançamentos é igual a 6x6 = 36. Veja na tabela 
abaixo, para cada resultado possível no primeiro dado, quais os resultados do 
segundo dado que são divisores daquele primeiro: 
Resultado do 1º dado 
Resultados do 2º dado que seriam 
divisores do 1º
1 1 
2 1, 2 
3 1, 3 
4 1, 2, 4 
5 1, 5 
6 1, 2, 3, 6 
Veja que temos um total de 1+2+2+3+2+4 = 14 possibilidades. Temos ainda
as seguintes possibilidades de combinações onde o resultado do 1º dado é divisor
do resultado do 2º dado: 
Resultados do 1º dado que seriam 
divisores do 2º 
Resultado do 2º dado 
1 1 
1, 2 2 
1, 3 3 
1, 2, 4 4 
1, 5 5 
1, 2, 3, 6 6 
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヴ
 Contando somente as combinações que ainda não foram contabilizadas
anteriormente, temos (1,2), (1,3), (1,4), (2,4), (1,5), (1,6), (2,6), (3,6). Ao todo temos
14 + 8 = 22 possibilidades. 
A chance de tirar uma delas é 22/36 = 11/18. 
Resposta: E 
32. UFG – IF/GO – 2014) De acordo com uma reportagem divulgado pelo jornal O
Estado de S. Paulo, em 2013 foram comercializados 3,061 milhões de veículos
nacionais e 737 mil veículos importados. De acordo com esses dados, escolhendo 
ao acaso um veículo que foi comercializado em 2013, a probabilidade de que ele 
seja importado é, aproximadamente: 
(A) 0,19 
(B) 0,24
(C) 0,41 
(D) 0,74
RESOLUÇÃO:
O total de carros é igual a 3.061.000 + 737.000 = 3.798.000, dos quais 
737.000 são veículos importados. Assim, a probabilidade de selecionar um veículo 
importado é igual: 
P = 737.000 / 3.798.000 
P = 737 / 3.798
P = 0,1940 
Resposta: A
33. ESAF – MPOG – 2014) Um jogo consiste em jogar uma moeda viciada cuja
probabilidade de ocorrer coroa é igual a 1/6. Se ocorrer cara, seleciona-se, ao 
acaso, um número z do conjunto Z dado pelo intervalo {z  N | 7 ≤ z ≤ 11}. Se 
ocorrer coroa, seleciona-se, ao acaso, um número p do intervalo P = {p  N | 1 ≤ p <
5}, em que N representa o conjunto dos números naturais. Maria lança uma moeda 
e observa o resultado. Após verificar o resultado, Maria retira, aleatoriamente, um 
número do conjunto que atende ao resultado obtido com o lançamento da moeda,
ou seja: do conjunto Z se ocorreu cara ou do conjunto P se ocorreu coroa. Sabendo-
se que o número selecionado por Maria é ímpar, então a probabilidade de ter
ocorrido coroa no lançamento da moeda é igual a: 
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヵ
a) 6/31
b) 1/2
c) 1/12
d) 1/7
e) 5/6
RESOLUÇÃO:
Temos:
Z = 7, 8, 9, 10, 11 
P = 1, 2, 3, 4 
Veja que 3 dos 5 resultados do conjunto Z são ímpares, e a probabilidade de
retirarmos um número deste conjunto é de 5/6 (pois temos 5/6 de chance de obter
cara). A probabilidade de tirar um número deste conjunto E ele ser ímpar é de 5/6 x
3/5 = 1/6 x 3/1 = 3/6 = 1/2. 
Veja ainda que 2 dos 4 resultados do conjunto P são ímpares, e a
probabilidade de retirarmos um número deste conjunto é de 1/6 (pois esta é a 
probabilidade de obter coroa). A probabilidade de tirar um número deste conjunto E
ele ser ímpar é de 1/6 x 2/4 = 1/6 x 1/2 = 1/12.
Logo, a probabilidade total de tirar um número ímpar é: 
Probabilidade(ímpar) = 1/2 + 1/12 = 6/12 + 1/12 = 7/12 
Já vimos que a probabilidade de tirar um número ímpar do conjunto P é: 
Probabilidade(ímpar e P) = 1/12 
O exercício pede uma probabilidade condicional. Trata-se da probabilidade 
de um número ser oriundo do conjunto P (ou seja, resultado coroa), dado que este
número é ímpar. Ou seja, 
Probabilidade (ser de P | é ímpar) =
Probabilidade (ímpar e P) / Probabilidade (ímpar) =
(1/12) / (7/12) = 
(1/12) x (12/7) =
1/7 
Resposta: D 
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ;┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヶ
34. ESAF – MTur – 2014) Dois eventos, A e B, são ditos independentes quando:
a) P(A/B) = P(B)
b) P(B/A) = 1- P(B)
c) P(A/B) = P(A)
d) P(A B) = 0
e) P(A B) = P(A) P(B)
RESOLUÇÃO:
Quando dois eventos A e B são independentes, sabemos que P(AB) =
P(A)xP(B). Não temos essa opção de resposta. 
Entretanto, sabemos que a probabilidade condicional é dada por: 
( )( | )
( )
P A BP A B
P B


Para eventos independentes, podemos substituir P(AB) por P(A)xP(B), 
ficando com:
( ) ( )( | )
( )
P A P BP A B
P B


( | ) ( )P A B P A 
De maneira intuitiva, basta entender que não há que se falar em 
probabilidade condicional no caso de eventos independentes. Como A e B são 
independentes, o fato de B ter ocorrido em NADA influencia o evento A ocorrer ou 
não. Portanto, P(A ocorrer dado que B ocorreu) é o mesmo que, simplesmente, P(A
ocorrer). 
Resposta: C 
35. ESAF – MTur – 2014) Dois eventos A e B são tais que: P(A) = 0,25; P(B/A) =
0,5; P(A/B) = 0,25. Assim, pode-se afirmar que:
a) A e B são eventos dependentes.
b) P(B) = 0,5 e os eventos são mutuamente exclusivos.
c) P(B) = 0,25 e os eventos são independentes.
d) P(B) = 0,5 e os eventos são independentes.
e) P(A  B) = 0 e os eventos são independentes.
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴΑ
RESOLUÇÃO:
Veja que: 
( )( | )
( )
P A BP B A
P A


( )0,5
0, 25
P A B

0,5 0, 25 ( )P A B   
0,125 ( )P A B 
Temos ainda que: 
( )( | )
( )
P A BP A B
P B


0,1250, 25
( )P B

0,125( ) 0,50
0, 25
P B  
Assim, veja que: 
P(A)xP(B) = 0,25x0,50 = 0,125 = ( )P A B 
Como P(A)xP(B) = ( )P A B , podemos dizer que os eventos são
independentes.
Resposta: D 
36. ESAF – MTur – 2014) Quando Maria vai visitar sua família, a probabilidade de
Maria encontrar sua filha Kátia é 0,25; a probabilidade de Maria encontrar seu primo 
Josino é igual a 0,30; a probabilidade de Maria encontrar ambos ｠ Kátia e Josino ｠ 
é igual a 0,05. Sabendo-se que, ao visitar sua família, Maria encontrou Kátia, então 
a probabilidade de ela ter encontrado Josino é igual a: 
a) 0,30
b) 0,20
c)
d) 0,1667
e) 0,05
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴΒ
RESOLUÇÃO:
Temos:
P(encontrar K) = 0,25
P(encontrar J) = 0,30
P(encontrar K E encontrar J) = 0,05 
Queremos a probabilidade condicional: 
P(encontrar J | encontrou K) = P(encontrar K E encontrar J) / P(encontrar K) 
P(encontrar J | encontrou K) = 0,05 / 0,25 = 5/25 = 20/100 = 0,20
Resposta: B 
37. ESAF – MTur – 2014) Beto e Bóris são grandes amigos e moram em cidades
diferentes. Durante uma viagem que realizaram ao Rio de Janeiro para participar de 
um congresso, Beto ficou devendo a Bóris 500 dólares. Bóris, um rico empresário,
disse a Beto que não se preocupasse com a dívida, pois assim teria um motivo para 
viajar até a cidade de Beto, tantas vezes quantas forem necessárias, para cobrar a 
dívida. Como Beto reside sozinho e costuma sair muito, Bóris só poderá cobrar a 
dívida se encontrar Beto em sua casa. Sabe-se que a probabilidade de Beto ser 
encontrado em casa é 1/5. Então, a probabilidade de Bóris ter de ir mais de 2 vezes 
à casa de Beto para cobrar a dívida é dada por: 
a) 1/8
b) 4/25
c) 9/25
d) 3/16
e) 16/25
RESOLUÇÃO:
A probabilidade de encontrar Beto já na primeira visita é de 1/5. A
probabilidade de não encontrá-lo na primeira visita, mas encontrar na segunda, é de 
4/5 x 1/5 = 4/25. Assim, a probabilidade de encontrar Beto na primeira OU na 
segunda visitas é: 
Probabilidade (encontrar na 1ª ou 2ª) = 1/5 + 4/25 = 5/25 + 4/25 = 9/25 
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴΓ
Logo, a probabilidade de precisar ir mais de 2 vezes na casa de Beto para 
encontrá-lo é: 
P = 100% - probabilidade (encontrar na 1ª ou 2ª) 
P = 1 – 9/25
P = 25/25 – 9/25
P = 16/25
Resposta: E 
38. ESAF – MTur – 2014) O processo de produção de uma fábrica de copos está
apresentando um grande número de copos defeituosos, ou seja: copos trincados.
Antonio e Ricardo estão realizando um estudo para analisar a quantidade de copos 
trincados. Antonio embala em uma caixa 8 copos, dos quais 3 estão trincados.
Ricardo retira, aleatoriamente, e sem reposição, 4 copos da caixa. Então, a 
probabilidade de Ricardo retirar, exatamente, dois copos trincados é igual a: 
a) 3/5
b) 12
c) 3/7
d) 2/5
e) 2/7
RESOLUÇÃO:
O total de combinações possíveis formadas por 4 dos 8 copos é: 
Total = C(8,4) = 8x7x6x5 / (4x3x2x1) = 7x6x5 / (3) = 7x2x5 = 70
Queremos combinações formadas por 2 copos trincados e 2 copos normais.
O número de formas de escolher 2 dos 3 copos trincados é C(3,2) = 3. E o número 
de formas de escolher 2 dos 5 copos normais é C(5,2) = 10. Logo, as combinações 
com 2 copos trincados e 2 normais totalizam 3x10 = 30. A probabilidade de escolher 
uma delas é: 
P = 30 / 70 = 3/7 
Resposta: C 
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヰ
39. ESAF – MTur – 2014) Coruja e Pardal são dois jogadores do Futebol Clube
Natureza, FCN. Talvez Coruja e Pardal não possam defender o FCN em sua 
próxima partida, contra seu temido adversário, o Futebol Clube Verde, FCV. A
probabilidade de Coruja jogar é 40% e a de Pardal jogar é 70%. Com ambos os 
jogadores em campo, o FCN terá 60% de probabilidade de vencer o FCV. Mas se 
nem Coruja e nem Pardal jogarem, a probabilidade de vitória do FCN passa para 
30%. No entanto, se Coruja jogar e Pardal não jogar, a probabilidade de o FCN
vencer o FCV é de 50%. Se Pardal jogar e Coruja não jogar, essa probabilidade 
passa para 40%. Sabendo-se que o fato de Coruja jogar ou não é independente de 
Pardal jogar ou não, então a probabilidade de o FCN vencer seu temido adversário
é igual a: 
a) 90%
b) 45%
c) 60%
d) 30%
e) 75%
RESOLUÇÃO:
Como a probabilidade de Coruja jogar é de 40% e de Pardal jogar é de 70%, 
podemos dizer que as probabilidades de eles não jogarem são, respectivamente, 
60% e 30%.
Veja que precisamos analisar 4 casos: 
1- Coruja E Pardal jogarem E o FCN vencer: 40%x70%x60% = 16,8%
2- Coruja E Pardal não jogarem E o FCN vencer: 60%x30%x30% = 5,4% 
3- Coruja jogar E Pardal não jogar E FCN vencer: 40%x30%x50% = 6%
4- Coruja não jogar E Pardal jogar E FCN vencer: 60%x70%x40% = 16,8% 
Como os eventos acima são mutuamente excludentes, podemos somar as 
probabilidades de cada um, obtendo o total de 45% de probabilidade do FCN
vencer. 
Resposta: B 
40. ESAF – MTur – 2014) Em um clube, 5% dos homens e 2% das mulheres
praticam basquete. Sabe-se que 40% dos frequentadores são mulheres. 
Selecionando-se, ao acaso, um frequentador desse clube, verificou-se que ele 
pratica basquete. Assim, a probabilidade desse frequentador ser mulher é igual a: 
43974012338
RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ PMどDF 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヱ
a) 4/15
b) 4/19
c) 23/45
d) 6/19
e) 4/21
RESOLUÇÃO:
Imagine que o clube tem 1000 pessoas. Assim, temos 400 mulheres (elas 
são 40% dos frequentadores) e 600 homens. Sabemos que 5% dos 600 homens
jogam basquete, ou seja, 5%x600 = 30 homens. E 2% das 400 mulheres jogam 
basquete, totalizando 2%x400 = 8 mulheres. 
Ao todo temos 30 + 8 = 38 praticantes de basquete, dos quais 8 são 
mulheres. Sabendo que foi selecionado um dos 38 jogadores de basquete, a 
probabilidade de ser uma das 8 mulheres é: 
P = 8 / 38 = 4 / 19 
Resposta: B 
41. ESAF – MINISTÉRIO DA FAZENDA – 2014) Considere que há três formas de
Ana ir para o trabalho: de carro, de ônibus e de bicicleta. Em 20% das vezes ela vai 
de carro, em 30%