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A Matell1atica
do Ensino MedioCopyright @ 2004,2003,2001, 1999 (duas edi~6es), 1997 (duas edi<;oesl by Elon Lages Lill1~,.
Paulo Cezar Pinta Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto Cesar Morgado
Dircitos reservadas, 1997 pela Sociedade Brasileira de Matematica
Estrada Dana Castarina, I 10 - Horto
22460-320, Ria de Janeiro - RJ Volume 1
Cole<;ao do Professor de Matematica
Setinla Edicao.:>
ap~1:Racial fo Capeta
lIus[ra<;~o: Tina Velho
Elo:~ Lages Lima
Paulo Cezar PilW Carvalho
EdL.lrdO vVagner
Augusto Ctsar Morgado
I)iSlribui<;~a c vcndas:
.'11 'icdade BI':.lsileira de Marematica
. Ilwil: \·cndalivras@sbm.org.br
'J' '1.: (21) 2529-5073
\ \\'w.sblll.org.br
~J~(~. r
<:~-' '2 -~ f- V
Cole~Jo do PI' fo' :.~cl i\/bt~ll1jtica
Socieclade Brasileira de j\bt\;ll1~il .. ~. Ri ck Jalleir
r=gSOCIEDADEBRASILEIRADE MATEMATICA
• LogaritllJos. E.L.Lima
• .-\z/iUise C'ollJbillat6ria e Probabilidade carll as soIur;i5es dos exerctcio:j - .-\.C.\fc.rgaclo,
,J.B.Pitolllbeira, P.C.P.Carvalho e P.Fernandez
• .\['.'(iida e Fanna e111Gcollletria (Comprinlellto, .~rea, Vohl1lle e S'elllclh;uH,,,'!l .
LL Lilli"
• .\[f-:u Proles:;cn de .\Iatelluitica e ot/tras fIistorias - E.L.Lillla.
• C00rdcllildas 110 PlaIlo COIl! as SOlll~~O€S dos exercicios ~ E.L.Lil!la cou: a u)Ld)u:·l.u~·;i.()
d, .. P.C.P.Can:alho
• 1"igollollletria, lV,il1leros Complexos - M.P.do Carmo, A.C.:\forgado. E. \\·a.~:lt'r.
"')t"5 Hist6t"ic,lS de J.B.Pitombeira
• r.'t)Orcl,,"aclil-' 110 Espar;o - E.L.Lim"
• PrL):-!oreS:ioes e J\{atel!1citica Finance/fa - A.C.),.[orgado, E.\\·agup.l" '..'5.C %:.1:::
• C\J:I ....•rrw;oes C;eoll1ctricas - E.\\"agnel' com a colabonu;i.\o ele .J.P.Q.C;~:-t:t=-:l"\
• llle :':)<111,"'0 ,i Geo!Iletl'ia Espacia/ - P.C.P.Can·alho
• Geuilletl'ia Ellcliciiall<~ Pialla - J.L.1vLBa •.bosa
• L;oI:wtrias - E.L.Lill1a
• A .\!arclll,itica do EllSillO Medio Vol. 1 - E.L.Lima, P.C.P.Can·a!!,,). [11·a.:;"" •. e
A.C'.\[o!'!;ado
• A ,\!atetl/iitica do Ensino A['§dio VoI.:2 - E.L.Llll1a, P.C.P.CaITill!,,,. E.II·".:;",.!, e
.-\ C. \ fo!'gado
• .·1 .\fatelldtica do Ellsino l\It§clio Vol. 3 - E.L.Lil1la, P.C.P.Carvall",. E.\bgllcr e
.-\.C'.\lo!'gado
• .,r;trt'lll;~t.ica e £1I:-31ll0 - E.L.Lima
• '1'•.,11:1., e J?roblenl:ls - E.L.Lima, P.C.P.CaITalho, E.\Vagne!' e "\'('.\[,':':;",1"
• Eei:·ddi()~ d':L fIistoria Alltiga cia J\ICltel1latici.1 - A.Aaboe
• C:<:I.'iW clIO Textos: Amilise de /iITOS de !\.[ilte/Il,itica - E.L.Liltla
• ."'."t:I:!c'l'OS IrraciolJais e T"rallscenclentes· D.G.de Figueiredo
• F':';:",didacle Cnl Te/Ilpo Polino/Ilial- Uti/a llltrodll\,io ao Algoritnlo .-tk"; - SC.Clll,till!lO
• Oliz!l!J;·:l(b .•..; Bri.lsileiras de l\faterncitica, 9~ a l~ - C.lvloreira, E.}.I\..':r.a, E.'l\:'n~nll,
L..·\""·,,,<:i,,, ~.Saldanha, P.Rodriglles
Conteudo
Capitulo 1 - Conjuntos
1. A noc;ao de conjun to 1
2. A.relnc;ao ele inclll.35.o 3
3. 0 complementar de 11111 conjunto 10
4. Reuni5.o e interseC;<10 14
5. Coment,l.rio sobre a noc;ao ele igllalclaele 17
6. Recomenelac;oes gerais 18
Exercicios 20
Capitulo 2 - Nurrieros Naturais
1. Introduc;ao 25
2. Cornentario: definic;oes, a:xiomas,. etc. 26
3. 0 conjunto elos numero.3 naturais 29
4. Destaque para 0 axioma cia indllc;ao 32
5. Adic;ao e l\ILlltiplicaC;<10 33
G. Orelem entre os mimeros natura is 34
Exercicios 36
Capitulo 3 - Nurneros Cardinais
1. Func;oes 38
2. A noc;ao ele numero cardinal 42
3. Conjuntos finitos 45
4. Sobre conjuntos infinitos 47
Exercicios 49
Capitulo 4 - Niirneros Reais
1. Segmento:3 comensur~i\'eis e incomensuniveis 5:2
2. A reta real 55
3. Expressoes decim<1is 59
4. Desigualcbdes 67
5.Intervalos 70
6. Valor absoluto 72
7. Seqi.i€mcias e Progl'essoes 74
Exercicios 7G
Capitulo 5 - Funt;oes Afins
O. 0 proeluto cartesiano 78
1. 0 plano numerico R 2 82
2. A funy8.o afim 87
3. A funyuo linear 92
4. Caracterizayuo cia funyuo afim 98
5. Funyoes poligonais 102
Exercicios 104
Capitulo G- Fun90es Quadn1ticas
1. Definiy8.o e pretiminares, 113
2. Dm problema muito antigo lIS
3. A forma canonica clo trinomio 121
4. 0 grifico cia funy~o quadritica 124
5. Vma proprieclacle Ilotavel cia parabola 136
6. 0 movimento uniformemente variaclo 142
7. Caracterizay8.o das funyoes qu"dniticas 145
Exercicios 151
Capitulo 7 . Fun90es Polinomiais
1. Funyoes polinomiais vs. polinomios 160
:....Determinanclo um polinomio a partir de seus valores 163
.. Graticos de polinomios 165
8xercicios 169
Capitulo 8 - Fun90es Exponenciais e Logaritmicas
I. lIltroduy8.o 171
:....Potencias de expoente racional 173
:1. A funy~l.oexponencial 178
.l. '~lracterizayao cia funy8.o exponencial 183
G. ru[\yoes exponenciais e progressoes 185
G. 1,'1I ll\::1.0in versa 186
7. F'unyoes logarftmicas 190
S. -'~1r~lcteriz~lyaOc!as funyoes logaritmicas 194
D. Log~lritmos n~lturais 191
I U. r\ funy~l.oexponencial de base e 203
11. Como verificm que f(x+hJ / f(r:J clepende apenas de h 209
1<,'<l'cicios 211
Capitulo 9 . Fun90es Trigonometricas
l. Illtrocluy8.o 213
. . A f'Ully:1.0cle Euler e a meclida cle fmgulos 217
:1.As funyoes tl'igonometl'icas 224
.l. As formulas de acliy3.o 228
G.A lei dos cossenos e a lei dos senos 233
Prefacio
o programa de Matematica da primeira serie do Ensinc :\Iedio tem como
tema central as funqoes reais de uma variavel real, estu·::::3.das sob 0 ponto
de vista elemental', isto e, sem 0 uso do Caleulo Infinite~:mal. Como pre-
liminal' a esse estudo e preparaqao para as series subsec,·..:entes, sao apre-
sentadas noqoes sobre conjuntos, a ideia geral de funt;:2.) e as diferentes
categorias de numeros (naturais, inteiros, racionais e. principalmente,
reais).
o presente livro cobre esse programa. Ele con teL a materia lecio-
nada no primeiro dos tres m6dulos do curso de ape;::'=i;:oamento para
professores de Matematica, iniciado no segundo sen:=~:re de 1996, no
IlVIPA, tendo como instrutores os professores A.C.O.l\Ic :'!ado, E. \Vagner,
Paulo Cezar Carvalho e 0 autor. A estes caros amigos e : ):11petentes cola-
boradores devo uma revisao critica do manuscrito, a :::·..:.?estao de alguns
exemplos interessantes e a inclusao de numerosos ex::rcicios. POI' essa
valiosa participaqao, registro meltS agradecimentos.
o professor de l\Iatematica, principalmente aque:=:J.ue atua no cha-
mado Segundo Grau, no escasso tempo que Ihe re::::::. da faina diaria
para preparar suas aulas, conta praticamente com 1.:.=:2. unica fonte de
referencia: 0 livro-texto que adota (ou os outros, que G:::= pouco diferem).
Yisando dar ao professor maior apoio bibliografic:. 2. Sociedade Bra-
sileira de l\'Iatematica, com a colaboraqao do IMPA, \,-::::1 publicando na
sua "Coleqao do Professor de l\Iatematica" uma ser::: de monografias,
cad a uma delas dedicada a urn t6pico especffico, prir.::?almente a nivel
do Ensino Medio. A presente publicaqao, que prete:.:'= 5er 0 primeiro
livro de uma trilogia, tern a mesma finalidade. S6 q''':-: 2.gora, em vez de
expor 0 programa de Matematica do segundo grau 3:::: forma de tern as
isolados, estaremos dividindo os assuntos pOI' serie .
Em todo este livro, procm-amos deixar claro qu-:: ::. ::\Iatematica ofe-
rece uma variedade de conceitos abstratos que Sel'\'iO'=-.de modelos para
situa~oes concretas, permitindo assim analisar, pre,'::: ~ tirar conclusoes
de forma eficaz em circunstancias onde uma abordagem empirica muitas
vezes nao conduz a nada. Todos os temas aqui abordados san apresen-
tados dentro dessa otica.
Assim e que os conjuntos san 0 modelo matematico para a organi-
za9aO do pensamento logico; os numeros san 0 modelo para as opera90es
de contagem e medida; as fun90es afins, as quadraticas, as exponenciais,
as logarftmicas e as trigonometricas, cada uma delas e estudada como 0
modelo matematico adequado para representar uma situa9ao espedfica.
A fim de saber qual 0 tipo de fun9ao que deve ser empregado para
resolver urn d~terminado problema, e neces~ario comparar as carac-
terfsticas desse problema com as propriedades tfpicas da fun9ao que
se tern em mente. Este processo requer que se conhe9am os teoremas
de caracteriza98.0 para cad a tipo de fun9ao. 8em tal conhecimentoe im-
possIvel aplicar satisfatoriamente os conceitos e metodos matematicos
para resolver os problemas concretos que ocorrem, tanto no dia-a-dia
como nas aplica90es da Maternatica as outras ciencias e a tecnologia.
Varios desses teoremas de caracteriza9ao san expostos aqui, de
forma elemental'. Acho que todos os profess ores devem conhece-Ios e
ensinar seus alunos a usa-Ios de forma consciente. Quanto as demons-
tra90es desses teoremas, embora acessfveis, elas foram i:1clufdas aqui
para 0 entendimento dos professores. Nao considero essencial repass a-
las aos estuclantes, salvo em cas os especiais, a criterio de cada professor.
o irnportante e tel' em mente que as ap1ica90es aqui sugeridas des-
pertam 0 interesse,justificarn 0 esfor90, exibem a eficiencia e a utilidade
dos metodos da Matematica mas, pOl' outro lado, 56 podem ser levadas
a born termo se contarem com uma base conceitual adequada.
A publica98.0 cleste livro contoll com 0 apoio da FAPERJ, em conve-
nio com a CAPES, com a valiosa e sernpre presente colabora9ao do IMPA
e com a prowrbial expertise de Wilson Goes.
Prefacio a segunda edi~ao
Rio de J .lneiro, julho, 19. 7
Elon Lages Lin'll
Esta edi9ao difere da primeira apenas pel a cOrre92.) de alguns erros
tipograficos, pOI' uma pequen-a modifica9aO no final co Capitulo 8, pel
inclusao de dois novos exerdcios no Capitulo 6 e pela ::limina9ao de urn
asneira que escrevi e que 0 Gugu me apontou.
Prefacio a terceira edicao.>
Nesta edi9ao a sec;ao 7 do Capftulo 6 foi re-escrita. Q;,,:::roagradecer a./\"
tur Avila Cordeiro, pOI'uma elegante sugestao ali ine: :-porada. Agr d ()
tambem a Jonas Gomes pel a imagem da pagina 1';~.Agradecim nlo I
san devidos tambem a Maria Laura Magalhaes Go:-..:.csporter usadc II
texto num curso e tel' feito uma cuidadosa revisao d: :nesmo.
Rio de Jane:..:-o. dezembro, 19. ,"
Elon Lages Lirll l
Prefacio a quinta edi9ao
Para esta edi9ao foram feitas algumas modifica90e~ :'02 pequena monLa,
visando maior clareza e correc;ao. Agradec;o aos di\'c~~)5 colegas que 11\ '
apontaram os clefeitos, em particular ao Prof. An:: ::.io Paiva, que r~z
uma revisao sistematica do texto.
Rio de Janeiro, 26 de novembro, 1996
Elon Lages Lima
Rio de J2.::.=-:ro.outubro, 200
Elan Lages Limn
Capitulo 1
Conjuntos
III
1
1. A N09ao de Conjunto I I
Toda a l\Iatematica atual e formulada na linguc.~em de conju~- I
tos. Portanto, a no~ao de conjunto e a mais funda=lE-ntal: a partir
dela, todos os conceitos matematicos podem ser E:\:pressos. Elae
tambem a mais simples das ideias matematicas.
Urn conjunto e formado pOI'elementos. Dado~ urn conjunto A
e urn objeto qualquer Q (que pode ate mesmo ser :utro conjunto),
a (mica pergunta cabivel em relac;:ao a eles e: Q E ou nao urn ele-
mento do conjunto A? No caso afirmatiyo, diz-s~ que Q pertence
ao conjunto A e escreve-se Q E A. Caso contraric. p6e-se Q f:- A e
diz-se que Q new pertence ao conjunto A.
A Matematica se ocupa primordialmente d~ Dumeros e do
espac;:o. Portanto, os conjuntos mais freqlienteme:.te encontrados
na Matematica sac os conjuntos numericos, as figca5 geometricas
(que sac conjuntos de pontos) e os conjuntos que SE:ieri\'am destes, I
como os conjuntos de fun~6es, de matrizes etc.
A linguagem dos conjuntos, hoje uniYersalIT:-::""lIe adotada na I II
apresentac;:ao da Matematica, ganhou esta posi~ac ?orque permite III
dar aos conceitos e as proposi~6es desta ciencia E. :J::ecisao e a ge- II
neralidade que constituem sua caracteristica ba.::.:a.
Os conjuntos substitl.lem as "propriedades" -: 2.5 "condiC;:6es".
Assim, em vez de dizermos que "0 objeto x goza de ?:ropriedade P"
ou "0 objeto lJ satisfaz a condic;:ao C ", podemos E:::c:re\'erX E A e
lJ E B, on de A e 0 conjunto dos objetos que gozan. ia propriedade
de atributo; condi~ao e 0 mesmo que requisito.
3. Nunca escreva coisas como A = {conjunto dos ::1.1.1merospare J,
Isto e incorreto. 0 simbolo {... } significa 0 conjun:o cujos elemen-
tos estao descritos no interior das chaves. Escre':a A = conjunt
dos n{lm'ero pares, A = {numeros pares} ou A =2:>..; n E Z}.
Existe urn conjunto excepcional e intrigante 0 conjunto vu-
zio, design ado pelo simbolo 0. Ele e aceito como cJ::1junto porq I
cumpre a utilissima fun9ao de simplificar as propc ::i90es, evit nel!)
uma longa e tediosa rnen9ao de exce90e.s. Qualq·..:.el' propri III II
contradit6ria serve para definir 0 conjunto vazie POI' exempli I
tern~se~-=Jx;;¥ x} ou seja, e e 0 conjunto dos o':::j~tosx tais Ilill
x e diferente de si mesrno. Seja qual for 0 objeto :\, tern-.se s rn! 1'(1
.x~, 0. Em muitas quest6es rnatematicas e impo!·::'::1te .sabel' I II'
urn determinado conjunto X nao e vazio. Para rno:::,·s.r que Xn'lo (I
vazio, deve-se sirnplesrnente encontrar urn objeto ". :al que .' E ",
Outros conjuntos curiosos sac os conjuntos L'1itario.s. \ III
urn objeto x qualquer, 0 conjunto unitario {x} tern ~0rno {mica In
rnento esse objeto x. Estritarnente falando, x "= :x} nao sa n
mesrna coisa. POl' exernplo, 0 =F {21} pois {0} pos.::..:.iurn elem nll)
(tern-se 0 E {0}) mas 0 e vazio. Em certas ocasi:c-s, entret IIlo,
pode tornar-se urn pedantismo fazer e.ssa distin(:.·: •. Ness ' \-
sos admite-se escrever x em vez de {x}. Urn exen:::::J di.sso oc 1'1' I
qu~ndo se diz que a interse9ao de duas retas res ~ ) ponto P ( Ill)
lugar do conjunto cujo {mico elemento e P) e escr.:·:,=-se r n s = I)
em vez de r n s = {Pl. (Com experiencia e bom ==::150,quem.
ocupa de Maternatica percebe que a obediencia e::::-::a aos rig-i1 ,
padr6es da nota9ao e do rigor, quando praticacb. ;:: pe da let!' ~,
pode ser urn obstaculo a clareza, 8. elegancia e a: ,=ntendimen t
dos alunos.)
P e B e 0 conjunto dos objetos que satisfazern a condi9ao C.
POI' exemplo, sejam P a propriedade de urn numero inteiro x
ser par (isto e, divisivel pOI' 2) e C a.co~di9a.ot?obre 0 numero real
1:1 expressa pOl'
POI' outro lado, sejam
A = {... - 4, -2, 0, 2: 4,6'". , ..} . e B = {l, 2}.
Entao, tanto faz dizer que:::: goza' cia propriedade P e 1:1 satisfaz a
condicao C como 'afirmar que x E A e l/EB:: ••' .•' .
Qual e, porern, a vantagem que ~eobtem quando s~ prefere
dizer que x E A e 1:1E B em V8Z de dizer que x goza da propriedade '
P e 1:1satisfaz a condi9ao C?
A vantagem de se uti)izar a linguagem e a nota9ao de conjun~
tos e que entre estes existe uma algebra, montada sabre as ope-
ra96es de reuniao (A U B) e interse9a.o fA n B), alem da rela:~ao
de inc1usao (A c B). As propriedades eregras opei'at6rias dessa
algebra, como pOl' exemplo
sac extremamente faceis de manipular e representam um enorme
ganho em simplicidade e exatidao quando comparadas ao manu-
seio de propriedades e condi90es.
Recomenda~oes:
1. Evite dizer "teoria dos conjuntos". Essa teoria existe mas,
neste nivel, esta-se apenas introduzindo a linguageme a nota9ao
dos conjuntos. Nao ha teoria alguma aqui.
2. Resista a tenta9a.o de usaI' a expressao "x satisfaz a propriedade
P". Urn objeto pode gozar.de uma propriedade, possuir.uma pro-
priedade, ou tel' uma propriedade. Pode tambem satisfazer uma
condis;ao ou cumprir essa condi9ao. Satisfazer uma propriedade e.
tao err ado como gozar de uma condi~ao. Propriedade e sin6nimo
A Rela~ao de Inclusao
tod ·l m nto de A L~'tambem ele-
um subconjunto de B, ......:.-? r\ esta con-
Sejarn A e B conjuntos.
mento d G, liz-, qu A
tido em B ou que A e parte de B. Para indicar este fato, usa-se a
nota~ao A c B.
Exemplo: sejam T 0 conjunto dos trifmgulos e P 0 conjunto dos
poligonos do plano. Todo triangulo e urn poligono, logo T c P.
A rela~ao A c B chama-se relcu;ao de inclusao. Quando A nao
e urn subconjunto de B, escreve-se A ct B. Isto significa que nem
todo elemento de A pertence a B, ou seja, que existe pelo menos um
objeto a tal que a E A e a ~ B. Por exemplo, sejam A 0 conjunto dos
ntlmeros pares e B 0 conjunto dos multiplos de 3. Tem-sel A ct B
porque 2 E A mas 2 ~ B. Tem-se tambem B cj.. A pois 3 E B mas
3 ~ A.
Ha duas inclus6es extremas. A primeira e obvia: para todo
conjunto A, vale A C A (pois e claro que to do elemento deA per-
tence a A). A outra e, no minimo, curiosa: tem-se 0 C A, seja qual
for 0 conjunto A. Com efeito, se quisessemos mostrar que 0 et A,
teriamos que obter urn objeto x tal que x E 0 mas x ~ A. Como
x E 0 e impossivel, somos levados a conduir que 0 C A, ou seja,
que 0 conjunto vazio e subconjunto de qualquer outro. .
Diz-se que A e urn subconjunto proprio de B quando se tern
A C B com A i= 0 e A i= B.
A rela9ao de inclusao goza de tn?s propriedades fundamentais.
Dados quaisquer conjuntos A, B C tem-se:
reflexiuidade: A C A;
anti-simetria: se A C B e B C A enUio A = B;
trcmsitiuidade: se A C B e Bee entao A c C.
A propriedade anti-simetrica e constantemente usada nos ra-
iocfnios matematicos. Quando se deseja mostrar que os conjuntos
A e B sao iguais, prova-se que A C B e B C A, ou seja, que todo
lemento de A pertence a B e todo elemento de B pertence a A.
Na rea1idade, a propriedade an ti -simetrica da rela9ao de incl usao
contem, nela embutida, a condi~ao de igualdade entre conjuntos:
os conjuntos A e B sac iguais se, e somente se, tern os mesrnos
elementos.
Por sua vez, a propriedade transitiva da inclusao e a base do
raciocinio dedutivo, sob a forma que classicame:1te se chama de
silogismo. Urn exemplo de silogismo (tipicament.:- aristotelico) e 0
seguinte: todo ser humano e urn animal, to do a~ir::al e mortal, logo
to do ser humano e mortal. Na linguagem de con.:'.mtos; isso seria
formulado assim: sejam H, A e M respectivamE:He os conjuntos
dos seres humanos, dos animais e dos mortais. Temos H CAe
A C M, logo HeM.
4. Se a e urn elemento do conjunto A, a rel;::,:2.o a E A po de
tambem ser escrita sob a forma {a} cA. l\Ias e i:::'Jrreto escrever
aCAe{a}EA.
5. Em Geometria, uma reta, urn plano e 0 espa;o SaD conjuntos.
Seus elementos sac pontos. Se r e uma reta cor.:ida no plano T1,
escreve-se r C T1 pois, neste caso, a reta r e un: .::ubconjunto do
plano n. Nao se deve escrever r E T1 nem dizer qUE d reta r pertence
ao plano T1, pois os elementos do conjunto T1 sac p'::1 cos e nao retas.
Arela~ao de inclusao entre conjuntos esta E-~rreitamente re-
lacionada com a implica9ao logica. Vejamos cOLO, Sejam P e Q
propriedades referentes a urn elemento generice c.e urn conjunto
Lt. Essas propriedades definem os conjun tos A, fe :-::Dado pel os ele-
mentos de U que gozam de P, e B, conjunto form::::'-) pelos elemen-
tos de U que tern a propriedade Q. Diz-se entao q'-:€-a propriedade
P implica (ou acarreta) a propriedade Q, e escre\'-:--.::e P =} Q, para
significar que A C B.
POl' exemplo, seja U 0 conjunto dos quadri>? :eros convexos
do plano. Designemos com P a propriedade dE- ·..:.mquadrilate-
1'0 tel' seus quatro fmgulos retos e por Q a pre ~::-iedade de urn
quadrilatero tel' seus lados opostos paralelos. Er.:§.o podemos es-
creveI' P =} Q. Com efeito, neste caso, A e 0 conjun::;, dos retangulos
e B eo conjunto dos paralelogramos, logo A C B.
/, ~ !
6 Conjuntos .A' (.'.
f! ~"~, )
1'/)' VLi f,
Vejamos outro exemplo. Podemos escrever a implica<;ao
x2 + x - 1 = 0 =? x3 - 2x + 1 = O.
Ela significa que toda raiz da equa<;ao x2 +x- 1 = 0 e tambem raiz
de "se x
2 -;- x - 1 '= 0 =? x3 - 2x + 1 = 0 '.
o simbolo =? nao significa "entao", mas sim "implic ", '1'1111111 III
e incorreto empregar 0 simbolo =? com 0 significad 'olll,llI I II
da palavra "portanto". 0 sfmbolo adequado para t:t 1'/1 1/1 "'[I I
e nao =?
Ha diferentes maneiras de se leI' a rela<;ao P =? Q. Pode-se
dizer "P implica Q ", "se P entao Q ", "P e condi<;ao suficiente para
Q ", "Q e condi<;ao necessaria para P" ou "p somente se Q ".
Assim, no primeiro exemplo acima, podemos dizer: "ser re-
t€mgulo implica ser paralelogramo", "se x e urn retangulo entao x
e um paralelogramo", "ser retangulo e condi<;ao suficiente para ser
paralelogramo", "ser paralelogramo e condi<;ao necessaria para ser
retangulo", ou, finalmente, "todo retangulo e urn paralelogramo".
A implica<;ao Q =? P chama-se a reciproca de P =? Q. Eviden-
temente, a reciproca de uma implica<;ao verdadeira pode ser falsa.
Nos dois exemplos dados acima, as reciprocas saD falsas: nem todo
paralelogramo e retangulo e x = 1 e raiz da equa<;ao
7. As defini<;oes matematicas consistem em atribuir n ltW, [llil1/1l ~
tos que gozam de certas propriedades particularmentinL( 1'(1 III
tes. Elas contribuem para a clareza do discurso C 1111111111 III
pensamento. POl' exel11plo, t..W1 IllimenWJaturaL.!l <' J 'It till I
~o Quando.J... e n SaD os linicos .llllmerOs natural - CiLW , 1\) LI
slivisore.s. Embora, estritamente falando, nao sej IT' In ll} II" I',
e somente se," numa defini<;ao, trata-se de um co:;wnl' did 1111'11
mente inadequado pois da a impressao de urn t or I.nt\ 11/1 II 1111
ocultar 0 fato de que se trata de simplesmente dal' urn n011l1 \ I II
conceito. POI' exel11plo, se querel110S definir pa,.cd~·! ),11" II/It! 1/11 I
mos dizer assim: "chama-se paralelogramo ::1.UI11 Ill( II,j 1/11/ II III
qual os lados opostos sac paralelos". Algutl ·:tLIl ,'(
"um quadril8.tero e Ul11paralelogramo se,
opostos sac paralelos". Isto nao tem cant d
Duas observa<;oes adicionais a respeit
l11aticas:
A primeira e que em Matematica n[ hl'l nlll
tas ou perempt6rias. Todas as propo i "( .. III Ill'
tipo "se P enL'io Q", (Esta afirma<;ao p r'lllJlIUll1
l\'btematica. Ela e apenas sobre MaL 1111"t! it'll.
POI' exemplo, seja 0 Teorema 1 I'il I ~III I
verdade absoluta mas na realich 1 1111111 Iii I II I
Quando SaD verdadeiras ambas as implica<;oes P =? Q e Q =?
P, escreve-se P oR Q e le-se "p se, e somente se, Q ", "p e equivalente
a Q" ou "P e necessaria esuficiente para Q". Isto significa que 0
conjunto dos elementos que gozam da propriedade P coincide com
o conjunto dos elementos que gozam de Q.
POI' exemplo, sejam P a propriedade de um triangulo, cujos
lados medem x~y~z., s~r retangulo e Q a propriedade de valeI'
· 'JI '
J ~ I
"'I
j
gulo entao a2 = b2 + c2." (J
POl' isso as vezes se diz que a Matematica e a ciencia das
condi90es necessarias. Ou entao se diz como Bertrand Russel:
"Na Matematica nuncasabemos do que estamos falando nem se e
verdade 0 que estamos dizendo".
A segunda abserva9ao diz respeito as afirma90es que sac va-
cuamenre satisfeitas. Se urn professor disser a sua classe que to-
dos os alunos que tiverem 5 metros de altura passarao com nota 10
sem precisar de prestaI' exames, ele certamente estara falando a
verdade, mesma que corrija suas provas com 0 maximo rigor. Com
feito, sejam P a propriedade de urn aluno tel' 5 metros de altui'a
Q a de obter nota 10 sem prestaI' exames. Entaa P ~ Q pois
o conjunta definido pela propriedade P e vazio e 0 conjunto vazio
stcl. canticlo em qualquer outro. De um modo geral, a implica9ao
I ~ Q e verdadeira (vacuamente) sempre que nao haja elementos
m ~ propriedacle P.
As vezes e.mais natural dizer que urn objeto cumpre uma certa
(. ndiqclo em lugar de afirmar que ele possui uma determinaclapro-
/)I'i dade. POl' exemplo, uma equa9ao como x2 - x - 2.= 0 e mais
1\1 t' priaclamente vista como uma condi9aO a que cleve satisfazE::r
() 11.~ll1lerOx clo que uma propriedade desse numero. (Estamos fa-
1/1/1[0 cle "mais au menos conveniente", nao de "certo ou errado".)
A prop6sito, a resolu9ao de uma equa9ao e urn caso tipico em
!II' e tern uma seqi.iencia de implica90es l6gicas. Vejamos. Para
"('.'( lver a equa9ao
I)() I mos seguir os passos abaixo:
7 . ) ~x- - x - 2 = 0; W ,h.A(Jf./o' c..,.",~
) .
(x - 2)(x.+ 1) = 0; I' Le-,.~~' C·tC'L
X = 2 ou x = -1; .:..-.-' ...-c> '",« ,
(P)
( )
(R)
(5) x E {2, - 1}.
'e chamarmos respectivamente de P, Q, R e 5 as condi90es
I1II postas sobre 0 n(unero x em cada uma das linhas aClma,qs
pa~:sos que acabamos de seguir significam que
P ~ Q ~ R ~ 5,
isto e se 0 numero x satisfaz P entao satisfaz Q e assi:n pOl'diante.
POl' t;ansitividacle, a conclusao a tirar e P ~ 5, ou sfja:
Se x2 - x - 2 = 0 entao x E {2,-1 :"
Estritamente falanclo, esta afirma9ao nao signif:.::a q'.le as rai-
zes cla equa9ao x2-x-2 = 0 sao 2 e -1. 0 que esta c1i:) ac:ma e que
se houver raizes c1esta equa9ao elas devempertencf:' ao conjunta
f7 _11. Acontece entretanto que no presente c~o.~c,0S passos
l-, J. , ,
acirna podem ser revertielos. E Lkil vel' que valem ~':~in~pli~a90es
recfprocas 5 -:--R ~ Q -;,. P, logo 5 ....;..P. Portan to :- = S. ou sej a,
2 e -1 sao de fato as ((micas) raizes ela equa9ao
x2 - x - 2 = o.
E irnportante, quando se resolve urna equa98.0. :er em mente
que caela passo do processo adotado representa l.C:'::l i:nplica90-0
l6gica. As vezes essa implica9aO nao pode ser re·..~:·ti:ia (ista e,
sua reciproca nao e verdaeleira). Nesses casas, 0 c:=-.jU:ltOabtido
no final apenas contern (mas nao 8 igual a) 0 conj1.i:'.:Ocbs raizes,
este llltimo poclenelo ate mesmo ser vazio. Ilustre::·.·'=·sfsta possi-
bilielade com urn exemplo.
Seja a equ::l98.0x2+ 1 = O. Sabemos que ela nao ::: 331.tisolu90es
reais. Na seqi.iencia abaixo, cada uma elas letras P. ::;. R e 5 repre·
senta a concli93o sobre 0 nllmero x expressa na igu:.::l.ade ao lado.
Assim, P significa x2 + 1 = 0, etc.
(P) x2 + 1 = O. (multiplicando pOl' x2 - 1)
(Q) x4 -1 = 0;
(R) x4=1;
(5) xE{-l,l}.
Evielentemente, tem-se P ~ Q :::? R ~ 5, logo P =? ~. o1.:seja, toda
raiz real ela equa98.0 x2 + 1 = 0 pertence ao conj..:::to {-1, 1}. 0
raciocinio e absolutamente correto, mas apenas ilustra 0 fato de
que 0 conjunto vazio esta contido em qualquer outro. A conclusao
·que se pode tirar e que se houver raizes reais da equa9ao x2 +
1 = 0 elas pertencerao ao conjunto {-1, 1}. Nada mais. 0 fato e
que a implica9aO P =} Q nao pode ser revertida: sua reciproca e
faIsa. Este fen6meno ocone freqi.lentemente quando se estudam
as chamadas "equa90es irracionais", mas as vezes ele se manifesta
de forma sutil, provocando perplexidade. (Veja Exercicio 6.)
derivados destes. Por exemplo: na Geometria Plan~~, U e 0 plan .
Na teoria aritmetica da divisibilidade, U e a conjunto dos numero
inteiros.
Entao, dado urn conjunto A (isto e, urn subcCljunto de U),
chama-se complementar de Aao conjunto A C formaci) pelos obj t .
de U que nao pertencem a A. Lembremos que, fix~~doa conjunto
A, para cada elemento x em U, vale uma, e somc:1te urn a, h,
alternativas: x E A, au x ~ A.
o fato de que, para todo x E U, nao existe un~.3.outra oppo
alem de x E A au x ~ A e conhecido em Logica come J prindpio LI
terceiro excluido, e ofato de que as alternativas x E .-\ e x ~ A rwo
podem ser verdadeiras ao mesmo tempo chama-5e ) prindpio II
nc/.o-contradir;ao.
Seguem-se dos princfpios acima enunciad05 a.::::eguint s 1'(.
gras operatorias referentes ao complemental':
(1) Para todo conjunto A C U, tem-se (A~r= ,-\. ('1' do
conjunto e 0 complementar do seu complementar.)
(2) Se A C B entao Be C AC• (Se um conjun:) esta conti III
noutro, seu complemental' con tern esse outro.)
A regra (2) pode ser escrita com a nota9ao -:-'. assumin 1 II
forma seguinte
Observa9ao:
Nao e raro que pessoas confundam "necessario" com "suficiente".
A.C.lVI. notou que as alunos tem mais facilidade de usar correta-
mente esta llltima palavra do que a anterior, ja que "suficiente" e
sin6nimo de "bastante". Talvez isso tenha a vel' com 0 fato de que
urna condi9aO suficiente e geralmente mais forte do que a conclusao
a que se quer chegar. Par exemplo, para que urn nlllllero seja par e
suficiente que seja mllitiplo de 4. (Ou basta ser mllitiplo de 4 para
ser par.) Par outro lado, uma condi9ao necessaria e, em geral, mais
fraca do que a conclusao desejada. Assim, por exempl0, para que
urn quadrilatero convexo Q seja urn retangulo e necessario qU8
seus lados opostos sejam paralelos, mas esta propriedade apenas
nao assegura que Q tenha seus fmgulos todos retos. E claro que urn
conjunto completo de condi90es necessarias para que seja valida
uma propriedade P constitui uma condi9ao suficiente para P.
ACB =} BCcAc.
Na realidade, na presen9a da regTa (1), a reg:':? (2) pod !oJ \,'
refor9ada, valendo a equivalencia abaixo
(3) ACB8BcCAc.
Esta equivalencia pode ser olhada sob a ponto :'2 vista 16o'j '(),
usando-se as propriedades P e Q que definem resp-:.::i\'Clm nt (H
conjuntos A e B. Entao 0 conjunto A e forriuldo pelc.::element 'd(
U que gozam da propriedade P, enquantoque os elecc-ntos d 13. Ill)
todos os que (pertencem a U e) gozam da propried.:,:le Q. A' 1',')
priedades que definem os conjuntos;\C e BCsac rE=pectiv[;ttn 1\((1
a negar;c/.o de P, representada pOl' pi, e a negar;a.o c.-~Q, r pI', 1\
tada pOl' Q'. Assim, dizer que um objeto x goza da ; :'opri elt I pi
significa (pOl' defini9ao) afirmar que x nao goza dE.;:,ropri lttcl( "
3. 0 Complemental' de urn Conjunto -¥
A n098.0 de complemental' de um conjunto s6 faz pleno sentido
quando se fixa urn conjunto U, chamado 0 llniuel'so do discllrso, ou
conjllnto-llniuel'so. U poderia ser chamado a ass unto da discussao,
ou 0 tema em pauta: e~taremos falando somente dos elementos de
U.
Uma vez fixado U, todos as elementos a serem considerados
pertencerao a U e todos os conjuntos serao subconjuntos de Lt, ou
. (e anal;garnente, para Q/). Com estas convens;oes, a relas;ao (3)
acirna se Ie assirn:
(4) p ==? Q se, e sornente se, QI ==? Pl.
Noutras palavras, a irnplica~ao P ==? Q (P irnplica Q) equivale a
dizer que QI --,;, pi (a nega9ao de Q irnplica a nega~ao de P).
Vejarnos urn exemplo. Sejarn Ll 0 conjunto dos quaelrilateros
convexos, RJLpropriedade ue tern urn u~drilat_ero x de S~1"lD0
relfulgllLD e~ p'rO.!2I~d.a!=l~·de ser ~l.-rnp0-ralglQgra~? Entao pi
e a propriedade que tern um quadrilatero convexo ~? nao 5er_ urn.
paralelogTarno e' RI a de nao ser urn retangulo. As irnplica90es
R ==? P e pi ==? W se leem, neste caso, assirn:
(a) Se x e um retangulo entao x e urn pQralelogramo;
(b) Se x nao e urn paralelog1'arno ent~o xnao e urn retfmgulo.
Evidenternente, as afirma90es (a) e (b) SaD equivalentes, ou
seja, elas SaD ape,nas duas rna[,leiras diferente~ de dizer a :r;nesrna
Olsa.
A implica9aO QI -;-. pi chama-se a c012trapositim da irnplica9ao
I -;~ Q.
Sob 0 ponto de vista pragrnatico, a contraposihva ele uma
implica9aO nada mais e do que a mesma implica~ao dita com outrAs
[J'tlavras, ou vista de um angulo diferente. Assim, pOl' exernplo,
a Ll fil'ma9aO de que todo n l1ll1ero pl:irno n1Ctior do que 2 e irn par e
. Llnl'ma9aO ele que urn nllmero pal' maior do que 2 nao e primo
dizem exatamente a mesma coisa, ou· seja, exprimem a mesn1Ct
i [cia, s6 que com diferentes tel'mos.
No dia-a-dia da l\latemittica e freq'i.iente, e llluitas vezes lltil,
.'ubstituir uma implica9ao por sua contrapositiva, a fim de tornar
::; u sig11ificado mais claro ou mais manejL~vel. Por isso e extrerna-
monte importante en tender que P ==? Q e Q' -7 P' SaD afil'ma90eS
C[uivalentes. .
A equivalencia entre uma implica9aO e sua contrapositiva e a
I Llse das demonstrar;oes pOl' Clbslll'clo.
Vejamos um exemplo.
No plano n, consideremos as retas per endiculares res. Seja
P a propriedade que tern urna reta x, nesse rnesrno plano, de ser
diferente des e perpendicular 0- r. POl' outro lado, seja Q a pro-
priedade de urna reta x (ainda no plano m ser paralela a s. Entao
pi , nega9aode P, e a propriedade de urna reta em r coincidir com
sou n~o ser perpendicular a r. A nega9ao de Q e a propriedade QI
que tern urna reta do plano n de nao ser paralela 2.. 5.
A irnplica9aO P =? Q se Ie, em ling-uagern con::_lm, assirn: se
duas retas distintas (s e x) SaG perpendiculares a t:ma terceira (a
saber, r) entao ehs (s ex) SaD paralelas.
A contrapositiva QI ==?Pl significa: se duas reLO.Sdistintas nao
SaD paralelas entao elas nao SaD perpendiculares ~::uma terceira.
(Nos dois paragraTos acima estamos tratando C~ retas do mes~
mo plano.)
Acontece que e mais facil (e mais natural) prO\'~~.ra implica9aO
QI ==? pi do que P ==? Q.Noutras palavras, prova-SE- que P ==? Q pOI'
absurdo. 0 raciocinio e bem simples: se as retas distintas sex
nao SaD paralelas elas tern. urn ponto A em comune. Entao, como e
llllica a perpendicular s a reta T pelo pon to A, seg-.:e-se que x nao
e perpendicular a 1'. {'
.v C<-r.
~,/-", ........•.A~
{·)rv:y;VOp, r6~J I
~*:y:.~y A
~
Observa~ao: / ~
Para pravarque duas retas saa paralelas, em geral se usa a de-
manstra~aa par absurd a pais a defini~ao de retas paralelas e ba-
seada numa nega~ao .. (Retas paralelas sao retas coplan ares que
nao possuem pontos em comum,)
Observemos que se U e 0 universo entao UC = 0 e 0c = U.
veremos que lEA U B,quando pelo menos uma dessas afirmar;:oes
for verdadeira e, par outro lado, x E A n B quaCldo am bas as
. afirma90es acima forem verdadeiras.
Mais concisamente:
Recomenda~ao: x E Au B significa "x E A ou x E B ':
. . . . " ,c ~(""""c.£~:ibh xEAnB sirrnifica "xEAexEBI/.
8. M~ll~as vezes (pn~Clpalme~te nos raC}OClm~SpOl' ab.surdo) e lD G......,. } -M"I .( t:> _
necessano negar uma Imphcar;:ao P ==? Q. E preclso tel' cmdado ao p. Q g R.-:,UJ NotI'se, deste modo, que as opera90es Au B e An B entr
fazer ist~. A ne~,ar;:ao ~e ":0c10homem e mortal" nao 8 ':nenhu~ . ~ ~fe"1),conjuntos constituem a contrapartida m~tematic~ ~os conectivos
ho~em e mortal mas 'exlste (pelo m~no~) urn hO~1~m Imort.al. rf" ''1 ,j"logicos "ou" e "e". Assim, quando 0 con]unto A e :o::mado .pelos
Mars geralmente, negar que P ==? Q slgmfica admltlr que eXl·ste elementos que gozam da propriec1ade P e B pelos~ue gozam cla
(pelo menos) urn objeto que tem a propriedade P mas nao tern a/ propriedade Q entao a propriedade que define 0 co:-.junto Au B '
propriedade Q. I?to 8 bem diferente de admitir que nenhum objeto "P ou Q" e 0 conjunto An B e definido pela propriec.3.de "P e Q ".
com a propriedade P tem tambem a propriedade Q. POl' exemplo, POI'exemplo, convencionemos dizer que urn nLu::ero x goza da
se Pea propriedade que tern urn triangulo de ser isosceles e Q propriedade P quando valeI' a igualdade
a propriedade de ser equilatero, a implica9ao P ==? Q significaria
que todo triangulo isosceles 8 equilatero (0 que 8 falso). A negar;:ao
de P ==? Q e a afirmar;:ao de que existe (pelo menos) um ~riangulo
isosceles nao-equilatero.
Neste contexto, com'em fazer uma distinr;:ao cuidadosa en-
tre a ideia matematica de negcu;cio e a nor;:ao(nao-matematica) de
contrdrio, ou oposto. Se um conceito 8 expresso pOl'uma palavra, 0
conceito contrario e expresso pelo ant6nimo daquela palavra. POl'
exemplo, 0 contntrio de gigantesco 8 minLlsculo, mas a negar;:ao de
gigantesco inclui outras gTada90es de tamanho a18m de minllsculo.
Digamos ainda que x tern a propriedade Q qhando ,",]!'
o conjunto dos nllmeros que possuem a propriedadf ? e A = {l, 2}
d Q' B f' -1 A .e 0 conjunto dos nllmeros que gozam e e = 'l- JJ. SSlm, a
afirmap'i.o
4. Reuniao e Interseyao ,tJ
-4J
. .
Dados os conjuntos A e B, a reunicio AU B e 0 conjunto formado
pelos elementos de A mais os elementos de B, enquanto que a
intersec;cio An B 8 0 conjunto dos objetos que sac ao mosmo tempo
AU B = {l, 2, 3} e An B = {2}.
E importante ressaltar que a palavra "ou" em Maternati'ca
tern urn significado especifico urn tanto diferente daquele que Ihe
e atribufdo na linguagem comum. No dia-a-dia, "ou" quase sem-
pre liga duas alternativas incompatfveis ("vamos de 6nibus ou
de trem?"). Em Matematica, a afirma9ao "p ou Q" significa que
pelo menos uma das alternativas P ou Q e valida, podendo per-
feitamente ocorrer que ambas sejam. POI' exemplo, e correta a
afirma9ao "todo nllil1ero inteiro e maior do que 10 ou menor do
que 20". Noutras palavras, se
A = {x E Z; x > 10}
Estas igualdades, que podem ser yerificadas med:~'tnte a conside-
ra9ao dos casos possiveis, constituem, na realid~:de, regras que
regem 0 usa combinado dos conectiyoo3 16gicoo3"ou" e "e".
A conexao entre as opera90eo3 U, n e a rel;::,.;:aode inclusao
c e dada pelao3seguinteo3 equivalencias:
Alem dio3soA c B ~ A U C :::::B u C e A :- :: :::::B :l C para
todo C.
E, finalmente, se A e B sao subconjuntoo3 do ·..::;.i\'ero3oU, tem-
Estas re1a90eo3,atribufdas ao matematico ingles _~·.r511stusde Iy!ol'-
gan, significam que a nega98.0 de "p au Q" e "ne=:1P nem Q" e a
nega9ao de "P e Q" e "nao P ou nao Q ".
nt2i.o Au B = Z.
A difel'en9a entre 0 usa comum e 0 usa matematico do conec-
li\· "ou" e ilustl'ada pela anedota do obstetra que tambem era
[:l~ltematico. Ao sail' da sala onde acabara de l'ealizal' urn pal'to,
Ill! '}bordado pelo pai da cl'ian9a, que Ihe perguntou: "Foi menino
ou menina, doutor?". Resposta do medico: "Sim." (Com efeito ,
s A e 0 conjunto das meninas, B 0 conjunto dos meninos e x 0
1" • 'm-nascido, certamente tem-se x E A U B.)
As opera90es de reuniao e intersec9ao sao obviamente comu-
I :ltivas
5. Comentario Sobre a N09ao de Igualdade
Uma coisa so e igual a si propria.
Quando se escreve Q = b, isto significa que c =- b sao sfmbolos
usados para designaro mesmo objeto.
POl' exemplo, se Q e a reta perpendicular c.) segmento AB,
levantada a partir do seu ponto medio e b eo COl"......:nto dos pontos
do plano que SaGequidistantes de A e B entao Cl = D.
Em Geometria, as vezes ainda se usam exr-:'2ssoes como "os
angulos c( e f3 SaG iguais" ou "os triangulos ?-,:::: e NB'(' sao
iguais" para significal' que SaGfiguras que poder:.'.O3ersuperpostas
exatamente uma sobre a outl'a. A rigor, porerr" 2sta terminolo-
gia e inadequada. Duas figuras geometricas q':'2 coincidem pOI'
superposi9aO devem ser chamadas cOllgl'Uelltes.
(AUBjUC=AU(BUCj
Talvez valha a pena observar que a palavra "igual" em Geo-
metria ja foi usada num sentido ate bem mais amplo. Euclides,
que viveu ha 2300 anos, chamava "iguais" a dais segmentos de reta
com a mesmo comprimento, a dois poligonos com a mesma area e
a doiss6lidos com a mesmo volume.
N a linguagem corrente, as vezes se diz que duas pessoas au
objetos sac iguais quando urn certo atributo, ao qual se refere 0
discurso naquele momenta, e possuido igualmente pelas pessoas
au objetos em questao. Assim, pOI' exemplo, quando dizemos que
"todos sac ig'uais peran te a lei", is to significa que dais cidadaos
quaisquer tern 'os mesmos direitos e deveres legais.
A rela9ao "0 e igual a b ", que se escreve 0 = b, goza das
seguintes propriedades:
Re(le."Cividade: Q = 0;
Simetria: se 0 = b entao b = 0;
Transitividade: se Cl = b e b = c entao Q = c.
Diante da simetria, a transitividade tambem se exprime as-
sim: se 0 = bee = b entao Q = c. Em palavras: dois objetos (0
e c) iguais a urn terceiro (b) sao iguais entre si. Fonnulada deste
modo, esta propriedade era uma das nor;8es comuns (au axiomas)
que Euclides enunciou nas primeiras paginas do seu famoso livro
"as Elementos".
de D. Hilbert, com sua extraordinaria autoridade, "ningu III 1111
expulsara desse paraiso que Cantor nos doou".
Portanto, se queremos iniciar osjovens em M~1.temati Il, ( III
cessario que os familiarizemos-com os rudimento:: da lingUlI/:1 III ,
da notayao dos conjuntos. Isto, inclusive, vai faciliu.r noss I I'(ipl II
trabalho, pois a precisao dos conceitos e uma ajucL'l indi::>p'II II ',,1
para a clareza das ideias Mas, na sala de aula. ha al(ltlll
dados a tomar. 0 principal deles refere-se ao comeclil1l(Iiill I, 1111
equilibrio, a modera9ao. Isto consiste em evitar 0 pedantiHlllO II II
exageros que conduziram ao descredito da onda Qe "i\'IaL'11111II II
Modema". Nao convem insistir em questoes do ti;'o {e};:: ((, ff I11I ~
mesmo naquele exemplo 0 =F {0}dado acima.
Procure, sempre que possivel, ilustrar seu:: ~)nceito:=;('(11111
xemplos de conjuntos dentro da Matematica. _-\1~:11 de C 11I'illili/
para implantar a linguag-em de conjun tos, este pr,~;:edin1 nLo'11111,
tambem ajudar a relembrar,ou ate mesmo aprcder, L Lo.1illl \
ressantes sobre Geometria, Aritmetica, etc.
Seja cuidadoso, a fim de evitar cometer erros .-\ auLo-t:l'll il'll 1
o maior aliaelo do bom professor. Em caela aula, t:·8.t . si III \ 1111'11
como urn aluno cujo trabalho esta sendo examinc.:io. 11,(111/1111
no que vai dizer mas critique-se tambem depois: ::::d. qLI ' I' dill 1111
bagem? Se achar que falou, nao hesite em corrig::"s 11 plrldll'll
Longe de des pres tigiar, esse habi to fortalecen:l a C(:1fi' tl 'l ell) ill 1
nos no seu mestre.
Esteja atento tambem a corre9ao gramatical. Ling-un,':I'"11111
reta e essencial para a limpidez do raciocinio. ;\1'..:::s lo 1111 I
colegas professores de l\Iatematica, ate mesmo ::1": r H It li\'1 I I
sac urn tanto elescuidados a esse respeito. Diz :::" I "(I (1111111,
que "a reta r intercepta 0 plano C( no ponto P ", q·":''''1 III tlll\'1 I' II1I
dizer intersecta (au in terseta) j '-~que 0 pon to P , ~ i j\ I I Ii Ii" I I
intersec9ao) mas nao a intercepb:19ao de r 111 \
Eis aqui outros enos comuns de [il1';111\: 'II II
evitados:
"rvIaior au igual a". 0 corrct (;; "111111111rill
6. Recomenda~oes Gerais
A ad09ao da linguagem e da nota9ao de conjuntos em Matematica
s6 se tornou uma pratica universal a partir da terceira ou quarta
decada do seculo vinte. Esse uso, responsavel pelos elevados gYaus
de precisao, generalidade e clareza nos enunciados, raciocinios e
definiyoes, provocou uma grande revolu9ao nos metodos, no al-
cance e na profundidade dos resultados matematicos. No final do
seculo 19, muitos matematicos ilustres viam com seria desconfian-
<;:a as novas ideias lan9adas nos trabalhos pioneiros de G, Cantor.
Mas, lenta e seguramente, esse ponto de vista se imp6s e, no dizer
A ru. ~~;;:
'0'0' -
(
\,
)., M.·.O' ...
(T nte dizer "igual ou maior a" e veja como soa maL)
"Euclideano", 0 correto e "euclidiano",
"Assumir", no lugar de "supor" (vamos assumir que as retas r e
:i ' jam paralelas), Isto e correto em ingles mas nao em portugues,
Nao diga "completude", diga "completeza", (Belo --7 beleza;
I'i' -) riqueza; nobre --7 nobreza; completo --7 completeza,)
NCLO dig-a "Espa~o de tempo". Espa~o e tempo SaG conceitos
I'i ,j , , fundamentais e independentes. Nao se deve mistura-los,
I)il','ll "intcrvalo de tempo".
as irnplica~i5es Pj =? Q I e P2 ==? Q2 na hip6tese pOl' suas reciprocas
Ql ==? P1 e Q2 ==? P2?
6. Escreva as irnplica~i5es logicas que correspondem a resolu~ao
da equa~ao IX + 2 = x, veja quais saol,ev~iv~i:: e explique 0
aparecimento de raizes estranhas. Fa~a 0 mesmo com a equa~ao
IX + 3 = x.
7. l'vIostre que, para todo m > 0, a equa~ab /x -:-m = x tern
exatamente uma raiz.
8. Consiaere as seguintes (aparentes) equivalenc:as logicas:
x = 1 ¢::? x2 - 2:-< + 1 = 0
I. ~ j~lm PI, P2, QI , Q2 propriedades referentes a elementos
(/" 11111 onjllnto-universo Lt. 811ponha que P1 e P2 esgotarn todos
11,1 'ItS 'possiveis (ou seja, urn elernento qualqller de U ou tern a
pr'opl'j bde PI ou tern P2). 811ponha ainda que Q 1 e Q2 SaG incom-
I :II iv i (isto e, excluem-se rnutuamente). 8uponha, finalrnente, Conclusao (?): x = 1 {::} x = ± 1. Onde esta 0 ero?
1111(\ III ==? QI e P2 --;.- Q2' Prove que valem a~ reciprocas: Q.l ==? P1 ~ 9 A " d I' ~ . 3-6 .2..!...llx-6 SaG 1 .) -=-:3 Substitlia
~ r.{1,,,- ~ e..".-:' "J... ,&v\\;:.o.- l!; , , "Q..:..--e """. ...f'''-<V-<'- • S1mzes 0 po InOmlO x x" , - _. _ 3'
(I ) I > 12. ,.It">' -D.",,\(l\Y' ,G..~' u~ftr v""" ('Jr, 7,~L.Q"V lQ': ,d~ ...•'!J', nesse olin6mio 0 termo llx pOl' 11 x 2 = 22, obte:::do entao x _
, "'.'.\.' '\"'-<, ,~,,~·_~c,- """".\"0'\\(" c',,- .hJ(J:»Ik:,.Q.<:...>"",-:> <',0", p .' . _ . .._
~. I'dlquadl'e no con ex to do exerClClO antenor 0 segmnte fato ,~, ~rJ:',r,' 6x2 + 16, que amda tern 2 como rmz mas nao se ar.:lla para x - 1
:II()/ll'trico: Duas ObUqlWS que se afastam iguCllmente do pe da nem x = 3. Enuncie urn resultado geral que explio.'.:e este fato e 0
/)I'I'/)UIl lieu/a!' SaD iguais. Se se alastam desigualmente entaD sao relacione com 0 exercicio anterior.
/1'. 'igllais e a maio!' e a que mais se afasta, 10. Expressi5es tais como "para todo" e "qualque:' que seja" SaG
:t. 'j am Xl X2, Yj Y2 subconjuntos do conjunto-llniverso U, 8u- chamadas de quantificadores e aparecern em sente:1~as dos tipos:
!lllllll'l que XI U X2 = U e 1'1n Y:z ~ 0, que XI C 1'1 e que X2 C Y2. (1) "Para todo x, e satisfeita a condi9ao P(x)"
1
1
1'1 \. que XI =Yj e'X2 = 1'2. (2) "Existe algum x que satisfaz a condi~ao P(x)'
,/. 'ompare 0 exercicio anterior com 0 primeiro em tel'mos de onde P( x) e uma condi~ao envolvendo a vari~l'\"el \.
elm 'za e simplicidade dos enunciac1os. l\Iostre que qualquer urn a) Sendo A 0 conjunto de todos os objetos x (de un'. :::::-rtoconjunto-
l't po de sel' l'esoh-ido usanc10 0 outro. Estabele91:1 resultados universo U) que satisfazem a condi~ao P(x), escre',:. as senten~as
:tll:tlOgOS com n propriedades ou n subconjuntos em vez de 2. Veja (1) e (2) acima, usando a ling-uagem de conjuntos.
(I livro ';Coordenadas no Espa~o", (Cole98.0 do Professor de lVlate- b) Quais SaD as nega~i5es de (1) e (2)? Escreva C2.::3 uma destas
rn:ttica, 8.B.l\I.) pag. 83 uma utiliza~ao deste fato com n = 8. nega~i5es usando conjuntos e COmpare com as se=-_:-?n~as obtidas
f>. Ainda no tema do primeiro exercicio, sel'ia v<.1lido substituir em a),
c) Para cada senten~a abaixo, diga se ela e verdadeira ou falsa e
forme sua nega9ao:
• Existe urn numero real x tal que x2 = -1.
• Para todo numero inteiro n, vale n2 > n.
• Para todo numero real x, tem-se x > 1 01..1 x2 < 1.
• Para todo mimero real x existe urn nllmero natural n tal que
n > x.
• Existe urn nllmero natural n tal que, para todo numero real
x, tem-se n > x.
12. 0 artigo 34 da Constitui9aO Brasileira de 1988 diz 0 seguint :
"A Uniao nao intervira nos Estados nem no LJist!'ito Fed nt'l,
exceto para:
I. Manter a integridade nacional;
II. Repelir invasao estrangeira ou de unidade da Feder:tC1i,()
em outra"
III. .... ;
a) Suponhamos que 0 estado do Rio de Janeiro se.ia invadido p I'
tropas do estado de Sao Paulo. 0 texto acima oJbriga a Uniuo
a intervir no estado? K a sua opiniao, qual era a inten9aO 10,
legisladores nesse caso?
Reescreva 0 texto do artigo 34 de modo a torna-:,) mais preci n,
11. Considere os conjuntos abaixo:
F = conjunto de todos os fi16sofos
M = conjunto de todos os matematicos
C = conjunto de todos os cientistas
P = conjunto de todos os professores
a) Exprima cada uma das afirmativas abaixo usando a linguagem
de conj un tos: '
1) Todos os matematicos sac cientistas,
2) Alguns matematicos sac professores.
3) Alguns cientistas sac fi16sofos.
4) Todos os fi16sofos sac cientistas ou profess ores.
5) Nem todo professor e cientista.
b) Fa9a 0 mesmo com as afirmativas abaixo:
6) Alguns matematicos sac fi16sofos,
7) Nem todo fi16sofo e cientista.
8) Alguns fi16sofos sac professores.
9) Se urn fi16sofo nao e matematico, ele e professor.
10) Alguns fi16sofos saC}matematicos.
c) Tomanclo as cinco primeiras afirmativas como hip6teses, verifi-
que quais clas afirmativas do segundo grupo sac necessariamente
verdadeiras.
b)
13. Prove que x2 -+- x - 1 = 0 ::} x-' - 2x -;- 1 = :,
14. Prove que, para x, lJ, k inteiros, tem-se x -,,:} = 13k
4x + 3'0 = 13(4k -lJ). Conclua que 4x + 3'0 ex+- ":':.sao divis!v L
pOl' 13 para os mesmos valores inteiros de x e lJ,
15. 0 diagram a de Venn para os conjuntos X, Y, Z decomp-
o plano em oito regioes, Numere essas regioes e exprima cadn
urn dos conjuntos abaixo como reuniao de algumas dessas regia ~,
(POl' exemplo: X n Y = 1U 2.)
a) (XC U Y)C; b) (XC u Y) u ZC;
c) (xcnY)u(XnZCl; d) (XuY)CnZ
16. Exprimindo cada membro como reuniao de 1'-=00es numerc·
c1as,pro\'e as igualdacles:
a) (XuY)nz=(XnZ)u(YnZ);
b) Xu tY n Z)C = Xu yc U zc.
17. Scjam A, Bee conjunto's, Determine ur::.:. condi9aO n .
cessaria e suficiente para que se tenha Au (B n C = (A U D) n
18. A diferenc;a entre conjuntos e definicla pOI' .~.- B = {x I x E
A e x ~ G}. Determine uma conc1i9Ronecessaria e S 'Jficiente para
que S8 tenha A - (B - C) = (A - B) - C.
19. Prove que se urn quadrado perfeito e par entao sua raiz
quadrada e par e que se urn quadrado perfeito e irnpar entao sua
t"':tiz quadrada e irnpar.
O. Prove 0 teorerna de Cantor: ~e A e urn conjunto e P(A) e 0
. njunto das partes de A, nao existe urna funr,;ao f:A ~ P(A) que
.' j'l ·obrejetiva .
.'-Iup; stelo: Suponha que exista urna tal funr,;ao f e considere X
t, E A : x rf- f(x)}.
Capitulo 2
N'C1merosNaturais
'Dells criOll os nlimeros !:atl/mis. 0 resto .: j:";ra dos homens."
=-~:Jpold Kronecker
1. Introdu~ao
Enquanto os conjuntos constituern urn meio auxi~:c..r, os nurneros
SaD urn dos dois objetos principaisde que se ocup~,:c..Maternatica.
(0 outro e 0 espar,;o, junto com as figuras geomet,'lcas nele conti-
das,)
Nllmeros SaDentes abstratos, desenvolvidos V·l:>homem como
modelos que permitem contar e mediI', portanto a\'_".~iaras diferen-
tes quantidades de uma grandeza.
Os compendios tradicionais dizem 0 seguintE-
"Nllmero e 0 resultaclo da comparar,;ao entre -.i.magrandeza e
a unidade. Se a grandeza e discreta,' essa comps..:'29<:"wchama-se
uma contClgern e 0 resultado e um nllmero inteir:: se a grandeza
e continua, a comparar,;ao chama-se uma rnedi(Ji,: -=- 0 resultado e
um nLlmero reaL"
Nos padr6es atuais de rigor maternatico, 0 t:,,;-:ho acima nao
pode ser considerado como uma definir,;ao matem2~i :'a, pois faz uso
de ideias (como gTandeza, unidade, discreta, cont:.:-.'.la) e processos
(como comparar,;ao) de significado nao estabelec::: :'. Entretanto,
todas as palavras que nela aparecem possuem um ':::-Cltidobastante
claro na linguagem do dia-a-dia. POl' isso, embor:. :-lao sirva para
demonstrar teoremas a partir dela., a definir,;ao t:s.dicional tern 0
grande merito de nos revelar para que servern E-:::>1' qual motivo
foram inventados os nLlmeros. Isto e muito mai.: ::0 que se pode
dizer sobre a defini~ao q\le encontramos no nosso dicionario mais
conhecido e festejado, conforme reproduzimos a seguir.
Numero. [Do'lat. numeru.] s.m. 1. Mat. 0 conjunto de
todos os conjuntos equivalentes a urn conjunto dado.
Discutiremos este ponto logo mais, quando tratarmos de nu-
meros cardinais. No momento, pa1'ece oportuno fazer uma pe-
quena pausa para uma observagao.
ilustrar 0 pensamento geometrico mas nao sac utilizav i Jlm r I
ciocinios matematicos porque sac formuladas em termo vII/In I I
. .ImpreClSOS.
Na apresenta~ao de uma teoria matematica, toda defil i 'iln 1'1'
uso de termos especificos, os quais foram definido.'; usand (iil,/'(I
termos, e assim sucessivamente. Este processo iterativ I v' II
tres possibilidades:
a) Continua indefinidamente, cad a defini9ao depE-ndencl II I II
tras anteriores, sem nunca chegar ao fim,
b) Conduz a uma circularidade, como nos dicioc-..:irios, 1 1(1 I
ve, pOl'exemplo: compreender ----;.perceber, pE:'cebe1' -', '1111 II
del' e entender -7 compreender.)
c) Termina numa palavI'a, ou num conjunto de != ?~a\T,"S ( 1\ 1)1'(
ferencia dotadas de conota90es intuitivas s::,:ples) qu' 111111
sac definidas, isto e, que sac tomadas como c'c-pres nLu iVII
de conceitos primitivos. Exemplos: ponto, I'eu, conj L1 nto,
Evidentemente, as alternativas a) e b) acima .:'i:ada::>ni'1 ('I)"
vem a Matematica. A alternativa c) e a adotada Se pI' Vtrrl\ll,
aten9ao, veremos que foi assim que aprendemos 9. fala1'. Ncllill
rosas palavras nos foram apresentadas sem defil-,,:~3.0e p l"1111111
cern ate hoje em nosso vocabulario como conceito~ ~rimiti\' :;/11111
aprendemos a usar pOl' imita~ao e experiencia.
Para poder empregar os conceitos primitivos <:.iequacbm 'Ill 11,
e necessario dispor de urn conjunto de principio~ JU reol"tl,' lilill
disciplinem sua utilizagao e estabele9am suas pr,:p:-iedacl. , 'I',d
principios sac cham ados axiomas ou postulados .. -\.ssim lllO (I
conceitos primitivos sac objetos que nao se defir.~21, 0;:, , . i III I
sao proposi~oes que nao se demonstram.
Vma vez feita a lista dos conceitos primitivos ~ en un i;l [0.1 (I
axiomas de uma teoria matematica, todas as dem::..:~n090 I (1111
ser definidas e as afirma~oes seguintes devem se:' ::lemon tr l(/I\ \,
Nis.tD-COrJ.si.s-t@-o-ehamad.o_mMedoaxiom6tico. ;..~ propo iC~ \) Il
serem demonstradas chmnam-se tt!OI't;;nas e sm'....":ons qLl"11Cill,
2. Comeri.tario: Definit;oes, Axiomas, etc.
Conforme dissemos no Capitulo 1, uma defini9ao matematica e
uma c;onven.gao Q-lJJLDIDs.isLe--l,lSaL...U.11LllOme_,._O\L.llm.~Lsent.e.n.9-a
breve, para designar urn objeto Ollllill.a.p.rnpri.edaeJe, cuja des.cQgao
D.Dlllli'l.-Lmen.taexigiria.Q...emprego_d.euma s.8ntenga mais lonKa. Ve-
jamos algumas defini90es, como exemplo:
• A.ngulo e a figura formada pOl' duas semi-retas que tern a
mesma origem.
• Primos entre si sac dois ou mais nllmeros naturais cujo unico
divisor comum e a unidade.
Mas nem sempre foi assim. Euclides, pOl' exemplo, comega os
"Elementos" com uma serie de defini90es, das quais selecionamos
as seguintes:
• Linha e urn comprimento sem largura.
• Superf£cie e 0 que possui comprimento e largura somente.
• Quando uma reta corta outra fOl'mando angulos aeljacentes
iguais, cada um desses angulos chama-se reto e as retas se
dizem perpendiclllares.
As c1efini~6es de angulo e de m""uneros primos entre si, dadas
acima, bem como as gefinigoes de angulo reto e retas perpendicu-
lares dadas pOl' Euc1ides, sac corretas. Elas atendem aos padr6es
atuais de precisao e objetividac1e. Poroutro lade, nas defini90es
de linha e superficie, Euclides visa apenas oferecer ao seu lei tor
uma imagem intuitiva desses conceitos. Elas podem servir para
mailto:Nis.tD-COrJ.si.s-t@-o-ehamad.o_mMedo
imediatas sao denominadas corolarios. Vma proposi~ao auxiliar,
usada na demonstra~ao de urn teorema, e chamada urn lema.
Ser urn axioma ou ser urn teorema nao e uma caracteristica
intrinseca de uma proposi~ao. Dependendo da preferencia de
quem organiza a apresenta~ao da teoria, uma determinada propo-
S[<;80pode ser adotada como axioma 01.1entao provada como teo-
rema, a partir de outra proposi<;ao que a substituiu na lista dos
aXlOmas.
N a se~ao seguinte, veremos um resumo da teoria matematica
10::;n(1meros naturais, onde os conceitos primitivos SaG "n(1mero
rntural" e "sucessor" e os axiomas SaGos de Peano.
Do ponto de vista do ensino a nivel do segundo grau, nao tern
'lbimento expor a l\Iatematica sob forma axiomatica. Mas e ne-
, sS<.1rioque 0 professor saiba que ela pode ser organizada sob a
(' nna acima delineada. Vma linha de equilibrio a ser seguida na
,'ab de aula deve basear-se nos seguintes preceitos:
1. Nunca dar explica~6es falsas sob 0 pretexto de que os alu-
n ainda nao tern maturidade para entender a verdade. (lsto
t'la como dizer a uma crian<;a que os bebes SaG tr2.zidos pela ce-
I" nha.) Exemplo: "infinito e urn n(1mero muito grande". Petra
()u Lt·oexemplo, vide RPlVI29, pags. 13-19.
2. Nao insistir em detalhes formais para justificar afirma-
: '8 que, alem de 'verdadeiras, SaG intuitivamente obvias e acei-
In . pOl' todos sem discussao nem dl1vidas. Exemplo: 0 segmento
d' t" ta que une um ponto interior a urn ponto exterior de uma
'It" 'Lll1fe1'encia tem exatamente um ponto em comum com essa ei1'-
. InG rEmcia.
Em contraposi9ao, fatos importantcs cuja veracidade nao e
('\'i lcnte, como 0 Teorema de Pitagoras 01.1a Formula de Euler
1 <.It''1poliedros convexos, devem ser demonstrados (ate mesmo de
\' :ll'ias form as difere;l tes).
Excetuam-se, naturalmente, demonstra~6es long-as, elabora-
eLts ou que fa~am usa de no~6es e resultados acima do alcance dos
l'_ tuc1antes desse nivel (como 0 Teorema Fundamental c1aAlgebra,
pOI'exemplo).
Provar 0 6bvio transmite a falsa impressao de que a Matema-
tica e inutil. POl' outro lado, usaI' argumentos ele~antes e convin-
centes para demonstrar resultados inesperados e :lma maneira de
exibir sua for<;ae sua beleza. As demonstra~6es, c.·Jando objetivas
e bem apresentadas, contribuem para desenvoh'e, 0 raciocinio 0,
espirito critico, a maturidade e ajudam a en tender ) encadeamento
logico das proposi96es matematicas.
3. Tel' sempre em mente que, em bora a J\L=.tematica possa
ser cultivada pOl' si mesma, como urn todo coerc:ne, de elevado
padrao intelectual, formado pOl' conceitos e prop~si<;6es de natu-
reza abstrata, sua presen9a no curriculo escolar ,-,3.0 se deve ape-
nas ao valor dos seus metodos para a forma<;ao m:::ltal dos jovens.
A importancia social c1aMatematica pro\'em d~ que ela fornece
modelos para analisar situa<;6es da vida real. Assim, pOI' exem-
plo.s, conjuntos SaG 0 modelo para disciplinar 0 r.:..ciacfnio logico,
nl1meras naturais sao 0 madelo para contagem E- numeros reais
SaG0 modelo para medida; fun~6es afins servem ie modelo para
sitLla96es, como a movimentouniforme, em que cs acrescimos da
fun~ao SaGproporcionais aas acrescimos da varia\'::: independente.
E assim par diante.
Todos os topicos deste livro SaGaborc1ados sob: ::eguinte lema:
a Matematica fornece modelas abstratos para sere: utilizados em
situa96es concretas, do dia-a-dia e das Ciencias. ?ara pader em-
pregar estes model os e necessaria verificar, em c:=.::acasa, que as
hipoteses que the servem de base saa satisfeitas .
3. 0 Conjunto dos Numeros Naturais
Lentamente, a medida em que se civilizava, a hur:,.=.Clidadeapode-
rou-se desse modelo abstrata de cantagem (um, d.::::, tres, quatro,
...) que SaG os n(1meros naturais. Foi uma eva1-.:.;8.0demorada.
As tribos mais rudimentares cantam apenas Ul?l, ::.".)is, muitos, A
lingua inglesa ainda guarda urn resquicio desse es:isio na palavra
thrice, que tanto pode significar "tres vezes" conlC:'::nuito" ou "ex-
tremamente".
As necessidades provocadas pOl' urn sistema social cad a vez
mais complexo e as longas refl.exoes, possiveis gra9as a disponi-
bilidade de tempo trazida pelo progresso economico, conduziram,
atraves dos seculos, ao aperfei~oamento do extraordinario instru-
mento de avalia~ao que e 0 conjunto dos numeros naturais.
Decorridos muitos milenios, podemos hoje descrever concisa e
precisamente 0 conjunto N dos nllmeros naturais, valendo-nos da
notavel sintese feita pelo matematico italiano Giuseppe Peano no
limiar do seculo 20.
N e urn ci:mjunto, cujos elementos sac cham ados nztmeros na-
turais. A essencia da caracteriza9ao de N reside na palavra "suces-
SOl'''. Intuitivamente, quando n, nl E N, dizer que nl e 0 sucessor
den significa que nl vem logo depois de n, nao havendo outros
nllmeros naturais entre n e nl Evidentemente, esta explica9ao
apenas substitui "sucessor" por "logo depois", portanto nao e uma
defini9ao. 0 termo primitivo "sucessor" nao e definido explicita-
mente. Seu uso e suas propriedades sao regidos por algumas re-
gras, abaixo enumeradas:
a) Todo numero natural tern urn unico sucessor;
b) Nllmeros naturais diferentes tern sucessores diferentes;
c) Existe um lmico numero natural, chamado um e representado
pelo s.imbolo 1, que nao e sucessor de nenhum outro;
d) Seja X urn conjunto de numeros naturais (isto e, X eN). Se
1 E X ese, alem disso, 0 sucessor de todo elemento de Xa.inda
pertence aX, e.ntao X =N.
As afirma90es a), b), c) e d) acima S80 conhecidas como os
axiom as de Peano. Tudo 0 que se sabe sobre os nllmeros naturais
pode ser demonstrado como conseqiiencia cresses axiom as.
lJm engenhoso processo, chamado sistema de numemr;clo deci-
mal, pennite representar todos os nllmeros naturais com 0 auxflio
<d\ossimbolos 0 1 2 3 4 i:; 6 7 8 e 9 Ale'm disso os primeiros) , ) ) ,v, ". ,
nlS'meros naturais tern nomes: 0 sucessor do nllrnero urn chama-
se "dois" 0 sucessor de dois chama-se "tres", etc .. \ partir d 11111
certo po~to, Esses nomes tornam-se muito complic:ldos, send [JI'
ferivel abrir mao deles e designar os gran des n'.imeros p r , \111
representa~ao decimal. (N a realidade, os numeros rnuito gran I
nao possuem nornes. Por e-xemplo, como se cha:::aria 0 nun 1'(1
101000?).
Deve ficar claro que 0 conjunto N = {1, 2, 3, ... ;. dos nllrn I'll,
naturais e urna sequencia de objetos abstratos q~2, em princfl ill,
sac vazios de significado. Cada urn desses obje:):; (urn nl1111I'll
natural) possui apenas urn lugar determinado r.2sta seqi.i~n 'ill,
Nenhuma outra propriedade the serve de defini9cO.).Todo nllD1 "II
tem urn sucessor (unico) e, com exce9{w de 1, t2:11 tambem I1II
unico antecessor (nllmero do qual e sucessor).
Vistos desta rnaneira, podemos dizer que os n·..:....'11erOSnatLll'Ui~
sac nztmeros ordinais: 1 e 0 primeiro, 2 e 0 segun::'), etc.
UrnPequeno Cornentario Grarnatical
Quando dizemos "0 numero urn", "0 numero dois- ou "0 nllm 'p
tres", as palavras "urn", "dois" e "tres" sac substE.:-:.tivos, pois '~lO
nomes de objetos. Isto contrasta com 0 uso des:.::; palavras 11l
frases como "urn ano, dois rneses e tn?s dias", ond2 elas aparec III
para dar a ideia de nllmero cardinal, isto e, com: resultados 1)
contagens. Nesta frase, "urn", "dois" e "tres" nao s~) substantiv ~,
Pertencem a uma categoria gramatical que, noutr~s linguas (com
frances, ingles e alemao, por exemplo) e chamad::: = djetiuo rwme·
red e que os gramaticos brasileiros e portugueses ~'1aurn par d
decadas, resolveram chamar de numeml apenas. £s:e comentari
visa salientar a diferen~a entre os nllrneros natura.:s. olhados como
elementos do conjunto N, eo seu emprego como nllL2:'03 cardinai
Este segundo aspecto sera abordado no capitulo 52~.linte.
o z ro) deve ou nao ser incluido entre os numeros naturais. (Vide
"1VI 1 Professor de Matematica", pag. 150.) Praticamente·todos os
I iVI" S de Matematica us ados nas escolas brasileiras consideram
() , mo 0 primeiro numero natural (consequentemente 1 e 0 se-
I: IIncI ,2 e 0 terceiro, etc). Como se viu acima, nao adotamos esse
iJOIl a-de-vista. Trata-se, evidentemente, de lima questao de pre-
('('I'i, cia. Deve-se lembrar que 0 sfmbolo 0 (sob diferentes formas
WMi as) foi empregado inicialmente pelos maias, posteriormente
Jl'1 s hindus, difundido pelos arabes e adotado no ocidente, nao
('( 1110 urn nllmero e sim como urn algarismo, com 0 utilfssimo obje-
I iv 1 preencher uma casa decimal vazia. (No caso dos maias a
!J'tS 10sistema de numera9ao era 20, e nao 10.) De resto, a OP9~0
(10 I Ll mero natural para iniciar a seqi.iencia nao se limita a escolher
I'lt t'. 0 1. Freqi.ientemente esquecemos que, do mesmo modo que
('() 11 h cmos e usamos 0 zero mas come9amos os nllmeros naturais
I'om 1, a Matematica grega, segundo apresentada pOI' Euclides,
Illl nsiderava 1como urn nllmero. Nos "Elementos", encontra-
Ill), as seguintes defini90es:
"Uniclade e aquilo pelo qual cada objeto e urn. N llmero e umR
lilt dLitude de unidades".
Com efeito, se chamarmos de X 0 conjunto dos mimeros natu-
rais n para os quais Pin) e valida, veremos que 1 E: X em virtude
de i) e que n EX=? n/ E X em virtude de ii), Logo, pelo axioma da
indu9ao, concluimos que X =; N.
2. 0 axioma da indu9aO e uma forma sagaz e operacional de dizer
que qualquer nllmero natural n pode ser alcan9adc 5e partirmos
de 1e repetirmos suficientemente a opera9ao de tOLar 0 sucessor
de um nlUDero. Ele esta presente (pelo menos de fO:';na implfcita)
sempre que, ao afirmarmos a veracidade de uma ?roposi9ao re-
ferente aos nllmeros naturais, verificamos que eL: e \'erdadeira
para n = 1, n = 2, n = 3 e dizemos "e assim pOl' c.:ante ...". Mas
e precise tel' cuidado com esta ldtima frase, Ela ::ressupoe que
P(n) =? P(n/) para todo n E N. No final deste CJ.pftulo, apre-
sen tamos como exercicios algumas proposi90es den~)ns traveis pOI'
recorrencia, bem como alguns curiosos paradoxos q'..:e resultam do
usa inadequado do axioma da inducao.
r
,. Destaque para 0 A.xioma da Indu9ao
) 'dtimo dos axiomas de Peano e conhecido como a ax/om a da
illdur,:ao. Ele e a base de urn eficiente metodo de demonstra9ao
<1(1 I l"oposi90es referentes a nllmeros naturais (demonstra90es par
i J I I I ao, au pOI' recorrencia). Enunciado sob a forma de proprie-
till I s em vez de conjuntos, ele se formula assim: .
eja P(n) uma propriedade relativa ao nllmero natural n. Su-
p )111 am os que
i) P(1) e valida;
ii) Para todo n E N, a validez de' P(n) implica a validez de
II( Il/), onde n/ eo sucessor de n.
Entao Pin) e valida qualquer que seja 0 nllmero natural n.
5. Adi9ao e Multiplica9ao
Entre os nluneros naturais estao definidas duas 01='-:ra90esfunda-
mentais: a adi9CtO, que aos nluueros n,1-1 E N faz .:)lTesponder a
soma n + pea mllltiplica9CtO, que Ihes associa 0 pr:.duto np.
A soma n + p e 0 nllmero natural que se obte:-..:.a partir de n
aplicando-se p \'ezes seguidas a Opera9ao de tomar : 3ucessor. Em
particular, n + 1 eo sucessor de n, n + 2 e 0 suces~)!" do sucessor
de 11, etc. POI' exemplo, tem-se 2 + 2 = 4 simplesm-::-. te pOl'que 4 e
o sucessor do sucessor de 2.
De agora em diante, a sucesor do nllmero nat..:::al n sera de-
signado pOI' n + 1.Quanta ao produto, poe-se n . 1 = n pOI' defiL:';'ao e, quando
1-1 ::j:. 1, np e a soma de p parcel as iguais a n.
Em ldtima analise, a soma n +p e 0 produto n ...:em mesmo as
significados que lhes sac atribuidos pel as explica«;:oesdadas acima.
Entretanto, ate que saibamos utilizar os numeros naturais para
efetuar contagens, nao tern sentido falar em "p vezes" e "p parce-
las". POl' isso, as opera«;:oes fundamentais devem ser definidas pOl'
indu«;:ao, como se segue.
Boa-ordenac;ao: Todo subconjunto nao-vazic Xc N p s ui \1111
menor elemento. Isto significa que existe urn demento 11l() I
que e menor do que todos os demais elementos ce X.
A boa-ordenac;ao pode muitas vezes substitt:.ir com v:lnl:tl\( III
a induc;ao como metoda deprova de resultados rE-:erentes a nL1t11i
ros naturais.
Sao muito raros e pouco interessantes os exe::lplos de cl 0\(111
trac;ao pOl'induc;ao quepodem ser dados sem usaI' _'lS operac;o , f't III
damentais e as desigualdades, POl'isso, somente ~'.g'oraapl' Iii I
mas urn deles, seguido de uma demonstrac;ao po:' boa-ord na " II,
Exemplo 1. Queremos pro val' a validez, pare'. :odo nL1l11I" , III
tural n, da igualdade
P(n): i + 3 + 5 + ... + (2n - 1) =m2.
Adic;ao: n+1 =sucessordenen+(p+l) = (n+p)+l. Esta
ultima igualdade cliz que se sabemos somal' p a todos as numeros
naturais n, sabemos tambem somal' p + 1: a soma n + (p + 1) e
simplesmente 0 sucessor (n +p) + 1 de n+p. 0 axioma da induc;ao
garante que a soma n + pesta definida para quaisquer n, pEN.
lvfultiplicac;a.o: n· 1 = n e n(p + 1) = np + n. Ou seja: multi-
plical' urn numero n porI nao 0 altera. E se sabemos multipliear
todos os numeros naturais n pOl' p, sabemos tamb¢m multipliea-
los pOl'p + 1: basta tomar n( p + 1) = np +n. POI'induC;ao, sabemos
multipliear todo n pOl' qualquer p.
Estas operac;oes gozam das eonhecidas propriedades de asso-
ciatividade, comutatividade e distributividade. As demonstrac;oes
sac feitas pOl'induc;ao, (Vide, pOl'exemplo, "Curso de Analise", vol.
1, pag. 28.)
Usaremos induC;ao. Para n = 1, P(1) se resume 2. afirmar q I
1. Supondo P(n) verdadeira para urn eerto valo:' de n, sonw 11111.
2n + 1 a ambos os membros da igualdade acima, :,btendo
6. Ordem Entre os Numeros Naturais
Nossa breve deseric;ao do eonjunto N dos numeros naturais tel"
mina com a relac;3.o de ordem m < n.
Dados m, n E N, diz-se que m Ii menor do que n, e esereve-se
m < n, para signifiear que existe algum pEN tal que n = m + p.
(Isto quer dizer que n e 0 sueessor do sucessor ... do sucessor de m ,
o ato de tomar 0 sucessor sendo iterado p vezes.)
A relac;3.o m < n tern as seguintes proprieclades:
Transitiuidade: Se m < n e n < p entao m < p.
Tricotomia: Dados m, n E N, vale uma, e somente uma, das
alternativas: m = n, m -< n ou n < m.
AfonotonicidClde: Se m < n entao, para qualquer PEN, tem-
se ffi+p < n+p e mp < np.
1 + 3 + 5 + ... + [2(n + 1) - 1] = (n + '.2.
Mas esta Llltima igualdade e P(n + 1). Logo P -. =? P(n I I).
Assim, P(n) vale para todo n E N. Podemos entE.) an.rmat' III I
soma clos n primeiros nLlmeros impares e igual ac:-;,uadrad I II,
Exemplo 2. (Usando boa-ordenas:ao.) Lerr.:!'emos qu \1111
nLunero natural p ehama-se primo quando nao p-:::~ ser XI 1"(\ • II
como procluto p = mn de dois nLllneros naturais, c.:::lenos q 1 1111\
cleles seja igual a 1 (e 0 outro igual a p); isto equi',':Je a cliz I" Ill!
os fatores m, n nao podem ser ambos menores do c:..:~p. Urn r , \iI
taclo fundamental em Aritmetiea diz que todo n(:=-_ero nc t Inti (I
primo 01..1e urn procluto de fatores primos. Provarer:.. :·s isto p I'!)(J I
ordena«;:ao. Usaremos a lingl.lagem de conjuntos. S':~3.X 0 e t\jllll(11
10 nLuueros naturais que sac primos ou produtos de fatores pri-
III bservemos que se men pertencem a X entao 0 produto mn
Il I't nce a X. Seja Yo complemental' de X. Assim, Ye 0 conjunto
Ii) I Lllueros naturais que nao sac primos nem sac produtos de
l'ILtll' S primos. Queremos provar que Y e vazio. Isto sera feito
IHII' I" lu)io ao absurclo (como sempre se cla nas demonstrac;oes
1'111' I n-orclenac;ao). Com efeito, se Y nao fosse vazio, haveria urn
Illtill( r lemento Q E Y. Entao toclos os nllmeros menores do que
It il \I'L nc riam a X. Como Q nao e primo, ter-se-ia Q = m, n, com
11\' l n < Q, logo m E X e n E X. Sendo assim, mn E X. Mas
11\1\ (l, 0 que daria Q E X, uma contradic;ao. Segue-se que Y = 0,
('OII·ILlindo a clemonstrac;ao.
para todo n~3 e concIua dai que a sequencia
1, /2, ~, V4 ...
e decrescente a partir do terceiro termo.
5. Prove,porinduc;ao, que
7) 2 n( n -'- 1)( 2n - 1
1 +. 2 -, + 3 - + .. ,+ n = '""6 .
J? ',. ,,-'< 'f 1 .
6. Critique aseguinte argumentac;ao: Quer-se ::rovar que todo
nllmero natural e pequeno. Evidentemente, 1 e ·..:.mnumero pe-
queno. Alem disso, se n for pequeno, n+ 1 tamben', ) sera, pois nao
se torna grande urn nllmero pequeno simplesmer.:c somando-Ihe
uma unidacle. Logo, pOI' induc;ao, todo nllmero na:·.l:cal e pequeno.
Iii.' l' icios
I. I}:t 10 0 nllmero natural Q, seja Yc N um conjunto com as
(1/\lliI1.L propriedacles: (1) Q E Y; (2) n E Y ::::? n + 1 E Y. Prove
titll' . ntem todos os nl1ll1eros naturais maiores do que ou iguais
II (I, ( 'UO'estclO: considere 0 conjunto X = IauY, onde let e 0 conjunto
!Io,J nLllneros naturais :S;Q, e prove, pOl' incluc;ao, que X = N.)
7. Use a clistributividade para calcular (m + n 1 + 1) de cluas
maneiras diferentes e em seguida ~se a lei do cor:-2 para concluir
que m + n = n + m.
8. Seja X C N urn conjunto nao-vazio, com a seg-c..T}teproprieda-
de: para qualquer n E N, se todos os numeros n:::::..:.raismenores
do que n pertencem a X entao n E X. Prove que X = ~~.(SugestCio:
boa ordenac;ao.)
9. Seja Pin) uma propriedade relativa ao nllmer: ::::atural n. Su-
ponha que P( 1), P(2) sac verdadeiras e que, para =.'.:.alquer n E N,
a verdacle de Pin) e Pin + 1) implica a verdade dE-~ n + 2). Prove
que Pin) e verdadeira para todo n E N.
10. Use incluc;ao para provar que
3' 3 31) .1 +2"+3 + .. ·+n =4n-(n+1-
'0 0 exercfcio anterior para provar que 2n + 1 :s;2n para todo
, m seguida, que n 2 < 21\ para todo n~5.
:L 'mplete as cletalhes da seguinte demonstrac;ao do Principio
tit I~o,:t Orclenac;ao: Seja A C N urn conjunto que nao possui urn
III 'nor elemento. Considere 0 conjunto X formado pelos nlllueros
Illl It' is n tais que 1,2, ... , n nao pertencem a A. Observe que
I f_ X ,alem disso, se n E X entao todos os elementos de A sac
'1 L + 1. Como n + 1 nao pode ser 0 menor elemento de A, conclua
lill ' Jl + 1 E X logo, pOl' induc;ao, .segue-se que X = U, portanto A e
vazlo.
( +1)nnn :S;n.
Capitulo 3
Numeros Cardinais
/
~(,
/'
A import an cia dos numeros naturais provem do fato de que eles
constituem o.modelo matematico que torn a possivel 0 processo de
contagem. Noutras palavras, eles respondem a perguntas do tipo:
"Quantos elementos tern este conjunto?"
Para con tar os elementos de urn conjunto e necessario usaI' a
n09ao de ~ndencia biuniyoca, oJLbije9a.o... Trata-se de urn
caso particular do conceito de fun93.0, que abordaremos de forma
breve agora e com mais vagal' posteriormente.
1. Fun90es
Dados os conjuntos X, Y, uma funr;c7.o f: X --) Y (Ie-se "uma funr;:ao
de X em Y") e uma regra (ou conjunto de instru90es) que diz como
associar a cada elemento x, E X urn elemento !:J =:= f(x) E Y. (\
conjunto X chama-se 0 domfnio eYe 0 contra-dom[nio da funcao
f. Para cada x E X, 0 elemento f(x) E Y chama-se a imagem d~ ~
pela funr;:ao f, ou 0 valor assumido pela fun9ao f no ponto x E X.
Escreve-se x f--1 f( x) para indicar que f transforma (ou leva) x emf(x).
. ~xemplos particularmente simples de fun90es sao a /i.tnr;c7.o
zdentldade f: X --) X, definida pOI' f( x) = x para todo x E X e as
/i.tnr;oes constantes f: X --) Y, onde se'toma urn elemento C EYe sa
poe f(x) = c para todo x E X.
Recomenda90es
1. E importante ressaltar que f(x) e a imagem do elemento x E X
A Matem,Hica do Ensino Medio, VOlum I II
pela funr;:ao f, ou 0 valor da fun9ao f no ponto :\ ::: X. 0 Ii "II
antigos, bem como alguns atuais, principalmenre os de l'IJI(I,costumam dizer "a fun9ao f(x)" quando deverian: dizer "a f 1I1\' III
f". Algumas vezes essa linguagem inexata torn:: a comuni.' 1\' II
mais nipida e fica dificiI resistir a tenta9ao de u~a-Ia, Ma I'
dispensavel a cada momento tel' a n09ao precis:::. do que
fazendo,
Na pratica, ha algumas fun90es com as quai~ f simpl
tural lidar usando a terminologia correta. POI' -:-xemplo,
acostumar-se a escrever as fun90es .sen: R --) R e Jc.;:. -:---)L-:, 1111'
dando as nota90es sen x e log x para os numeros >::ais qu suo II,
valores destas fun90es num dado ponto x. POl' OlC'O lado, qU'l/1(/(I
se trata de uma funr;:ao poIinomial, 0 bom-senso 1:: s le\'a a cli%lll'
em vez da forma mais correta e mais pedante "a Ln98.0 p: R _} ),'
tal que
para todo x E R". Caso analogo se da com a fun98.0 :-:':ponencia! (.'
em bora recentemente se tenha tornado cada vez =.ais freqLi nl
escrever exp(x) = eX e assim poder falar da fun<;:3.oox;;: E --) n,
2. Deve·se ainda observar que uma fun9Ro cor.~~a de tre;:, in.
gredientes: dominio, contra-dominio e a lei de cc:cesponden jn
x l---1 f(xl. Mesmo quando dizemos simplesmente '::, :lIn9RO f", fi.
earn subentendidos seu dominio X e seu contra-de =-.inio Y. S lt1
que eles sejam especificados, nao existe a fun98.0 .':o.ssimsendo
uma pergunta do tipo "Qual e 0 dominio da fun9a: .: x' = 1/x "'1,
estritamente falando, nao faz sentido, A pergunt2 : Jrreta seri :
"Qual e 0 maior Subconjunto X c IRtal que a forn::: 3. i( x) = 1 II
define uma fun9RO f: X --) R?" Novamente, a pergu:-.:;:. incorreta
mais simples de formular, Se for feita assim, e prC::50 saber s U
significado.
Segue-s8 do que foi dito acima que as fun90es f:) _ Ye g: XI _}
il II i uais se, e somente se, X = X', Y = y' e f(xl
Lotio, E 0-.
I. H oj 1m X 0 conjunto dos triangulos do plano n e !R 0 conjunto
ill I 11LIill t'o reais (que abordaremos logo mais). Se, a cada t E X,
11~I\i'ln ~ corresponder 0 nllmero real f(t) = area do triangulo t,
111)1,(11'('1)1 ~ uma fun9ao f: X -7 K
I', I 't'j m S 0 conjunto dos segment os de reta do plano n e ~ 0
I'fill.! 1111L d~ s retas desse mesmo plano. A regra que associa a cada
l'l\ll!t neo AB E 5 sua mediatriz g(AB) define uma fun9ao g: 5. -7 ~.
:. 1\ i rl" s·pondencia qlle associa a cada lltimero natllral n Setl
[11'( , [' n. +- 1 define uma fun9ao 5:,N -7 N, com 5(n) = n + 1.
l) 111'l fun9ao f: X -7 Y chama-se injetiua quando elementos
dll',II'UI1L ::i m X sac transform ados pOl' f em elementos diferentes
1111 ,( Ll ~ ja, f e injetiva quando
x -=f. x' em X =? f(x) ¥- f(x'),
II) II' COli li98.0 pode tambem ser expressa em sua forma contrapo-
II i 1\:
f(x) = f(x') =? x = x'.
N .. tl'l2S exemplos dados acima, apenas 0 terceiro e de uma
/'IIIl\'1l itjetiva. (Dois triangulos diferentes podem tel' a mesma
111'1 1\ \ clois segmentos distintos podem tel' a mesma mediatriz mas
III" 111 r s no.turais diferentes tem sucessores diferentes.)
iz- e que uma fun9ao f: X -7 Y e sobrejetiuCl quando, para
qtlld {L1 r clemento"bl E Y, pode-se encontrar (pelo menos) urn ele-
II) nt x E X tal que f(x) = 1).
Nos tres exemplos dados acima, apenas 0 segundo apresenta
li In'[ fun98.0 sobrejetiva, (Toda reta do plano e mediatriz de al-
1',lIiO segmento mas apenas os numeros reais positivos podem ser
;'II'cas de triangulos eo nlllnero 1nao e sucessor de nLlmero natural
algum,) .
Mais geralmente, chama-se imagem do subconJ~nto A c X
pela fun9ao f: X -7 Y ao subconjunto f(A) C '! form~co pelos ele-
mentos f(x), com x E A. A fun9ao f: X -7 Ye sobreJe:l\'a quando
f(Xl = Y. 0 conjunto f(Xl, imagem do dominio X pc-:a fun93.0 f,
chama-se tambem ClimClgem dCl fltnqcl.o f.
Nos exemplos 1), 2) e 3) a imagem da fun9ao f :: 0 conjunto
dos nl1ll1eros reais positi\-os, a imagem de g e todo 0 2J:ljunto ~ e
a imagem de 5 e 0 conjunto dos nllmeros naturais ?.::
Dada a fun9ao f: X -7 Y, para saber se um ce::o elemento
bEY pertence ou nao a imagem f(Xl, escrevemo:: ~1"equa9ao"
f(xl = b e procuramos achar algum x E X que a S2.:::::'a~a. Con-
seqi.lentemente, para mostrar que f e sobrejetiva (1::-:'e-se provar
que a equa9ao f(xl = "bI possui uma solu~3.o x E X, :::-,'2. qual for 0
"bI E Y dado.
Recomendac;ao
3. Em muitos exemplos de fun90es f: X -7 Y, princ:;Jalmente na
Matemcl.tica Elemental', X e Y sac conjuntos nLlmer-::e,s e a regra
x H f(x) exprime 0 valor f(x) pOl' meio de uma f6rnnc>. J.ue envolve
x. Mas em geral nao precisa ser assim. A naturezc :::3. regra que
ensina como obter f(xl quando e dado x e inteirame:-.:-=- arbitraria,
sendo sujeita apenas a d\.laS condi90es:
a) Nao deve haver exce90es: a fim de que a f\.,:.;3.0 f tenha 0
conjunto X como dominio, a reg1'a deve fornecer fl \. 5eja qual for
x c X dClda.
b) Nao pode haver ambigi.i.idacles: a cada x E: :..regra deve
fazer corresponder um (mica f(x) em Y,
Os exemplos a seguir ilustram essas exigenci::.:
Exenlplos
4. Considere a tentativa de definir uma fun~ao
f: N -7 N, estipulando que, para to do 11. E N, 0 r. .:::1ero natural
p = f(x) deve ser tal que p2 + 3 = n. 0 numero p = f(n) so pode
ser encontrado se n for igual a 4, 7, 12, 19, ... pais nem todos
as numeros naturais s800 da forma p2 + 3. Assim, esta regra n800
define uma fun~8oo com dominio N, porque tern exce90es.
5. Indiquemos com X 0 conjunto dos ntlmeros reais positivos e com
Y a conjunto dos triangulos do plano. Para cada x E X, ponharnos
f[x) = t caso t seja urn triangulo cuja area e x. Esta regra n800
define uma fun~ao f: X ---) Y porque e ambigua: dado 0 numero
x > 0, existe ~ma infinidade de trifmgulos diferentes com area x.
2. A N09ao de Numero Cardinal
Uma fun~8oo f: X ---) Y chama-se uma bijer;ao, au uma correspon-
dencia biun£uoca entre X e Y quando e ao mesmo tempo injetiva e
sobrejetiva.
Exemplos
6. Sejarn X = {1, 2, 3,4, S} e Y = {2, 4,6,8,1 O}. Definindo f: X ---) Y
pela regra f(n) = 2n, ternos uma correspondencia biunivoca, onde
f( 1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 6, f(4) = 8 e f(S)' = 10.
7. Urn exemplo particularmente curiosa de correspond€mcia
biunivoca foi descoberto pelo fisico Galileu Galilei, que viveu h8.
quatrocentos anos. Seja P 0 conjunto dos nurneros naturais pares:
P = {2, 4,6, ... , 2n, ... }. Obtern-se urna correspondencia biunivoca
f: N ---)P pondo-se f(n) = 2n para todo n E N. 0 interessante deste
exernplo e que P e urn subconjunto proprio de N.
8. Sejarn Y a base de urn triangulo e X urn segmento paralelo
a Y, unindo os outros dois lados desse triangulo. Seja ainda P 0
vertice oposto abase Y. Obtern-se urna correspondencia biunivoca
f: X ---)Y associando a cada x E X 0 ponto f( x) onde a serni-reta Px
intersecta a base Y
9. Neste exernplo, X = C - {P} e a conjunto obtido :-etirando da
circunferencia 0 ponto P eYe urna reta perpendicula: ao diarnetro
que passa pOI' P.
Definirernos urna correspondencia biunivoca f:: -) Y panel I
para cada x E X, f(x) = interSe98.0 da serni-reta Px :):!1l a ret Y.
Diz-se que dais conjuntos X e Y tern a mesmo nll ---.2rocardin tt
quando se pode definir urna correspondencia biuniy :ca f: X -) Y.
Cada urn dos quatro exemplos acirna exibe urn ~8.I de conjul1
tos X, Yearn 0 mesrno ntlrnero cardinal.
Exemplo 10. Sejarn X = {1} e Y = {1,2}. Evidr:-.:.:.ernente n-l
Ie existir uma correspondencia biunivoca f: X -1 Y, portanto X
Y nao tern 0 mesmo numero cardinal.
ou nao e urn elemento de si mesmo? Qualquer que ~eja a resposta,
chega-se a uma contradifaO.
1\ palavra "numero" no dicionario
;\. v z s se diz que os conjuntos X e Y sac (numericamente) equi-
/ dunt s quando e possivel estabelecer uma correspondencia biuni
I) 'il f: X -1 Y, ou seja, quando X e Ytern 0 ~esmo nllmero cardinal.
I 't explica (embora nao justifique) a definifao dada no cli-
\'il)lit'trlo mais vendido do pais. Em algumas sitllafoes, ocorrem
( III 1VI'ltn1atica definifoes do tipo seguinte: urn L'etO,. e 0 conjunto
I II l' os segmentos de reta do plano que sac equipolentes a
IIIII .' 'l)'m nto dado. (Defini9aO "POI' abstrafao".) Nessa mesma
(dll, p cl r-se-ia tentar dizer: "nLlmero cardinal de urn conjunto e
I) ('(1I1jIl1to de todos os conjuntos equivalentes