Transformação de tensão (tensões no plano)

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Paracambi 
26/11/2014 
 
TEC00205 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
TURMA C1/B1 
AULA 17 
 
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 
Parte A: 
Tensões no plano 
Prof. Eliane Pires 
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
2 
O estado geral de tensão em um ponto é caracterizado por 6 (seis) 
componentes independentes da tensão normal e de cisalhamento. 
Transformação da tensão no plano 
 
σx → Tensão normal na direção do eixo x; 
σy → Tensão normal na direção do eixo y; 
σz → Tensão normal na direção do eixo z ; 
𝜏xy e 𝜏zy →Tensão de cisalhamento na face 
y (*); 
 𝜏xz e 𝜏yz →Tensão de cisalhamento na face 
z (*); 
𝜏yx e 𝜏zx → Tensão de cisalhamento na face 
x (*); 
 
(*) OBS: O 1º índice é da direção da tensão de 
cisalhamento (𝜏), e o 2º índice é da face em que 𝜏 
atua (ou da direção da tensão normal que atua no 
plano de cisalhamento) . 
 
z 
x 
y 
Face y 
Face x 
Face z 
• O estado triaxial de tensões não é comum na prática da engenharia. 
A maioria das situações de carregamento é possível de analisar no 
estado plano de tensões, que é uma simplificação das cargas sobre 
um corpo. 
• O estado plano de tensões é representado por uma combinação de 
2 componentes de tensões normais (σx e σy) e 1 componente de 
tensão de cisalhamento (τxy) que agem nas 4 faces do elemento. 
Sendo assim 𝜎𝑧 = 𝜏𝑧𝑥 = 𝜏𝑧𝑦 = 0. 
 
 
 
 
 
Face y 
Face x 
3 
4 
O estado plano de tensão ocorre em 
laje, parede, ou como exemplo ao lado, 
uma placa fina submetida a forças 
atuates no plano médio da espessura 
da placa. 
Outro exemplo de estado 
plano de tensão ocorre em 
um ponto na superfície de 
um vaso pressão de parede 
fina (Fig a e b) devido a 
forças hidrostáticas geradas 
no seu interior. 
b a 
5 
 A direção do carregamento vai fornecer orientação de tensões distintas 
sobre a seção da estrutura e o estado triaxial de tensão pode ser 
simplificado para o estado plano de tensão no cálculo estrutural. 
6 
É possível transformar as componentes de tensão, considerando a 
intensidade, a direção de cada tensão e a orientação (rotação) do 
elemento de área sobre a qual as tensões agem. 
Se o estado de tensão for definido pelas componentes σx, σy e τxy, 
orientadas aos longos do eixo x e y, então as componentes σx’, σy’, τx′y′, 
orientadas ao longo dos eixos x’ e y’e rotacionadas de um ângulo Ɵ em 
relação ao eixos x serão determinadas. 
Proposta: Expressar as componentes σx’, σy’, τx′y‘ em termos de σx, σy, 
τxy e θ. 
7 
 
As tensões normais de tração (age para fora da face) são positivas, e as 
de compressão (age para dentro da face) negativa. 
 
A tensão de cisalhamento é positiva quando age para cima na face 
direita do elemento, do contrário, é negativa. 
 
Convenção de sinais 
8 
O ângulo θ é medido do eixo x positivo para o eixo x’ positivo. Ele é 
positivo quando segue o sentido anti-horário. 
(a) 
(b) 
Convenção de sinal positivo 
Equações gerais de transformação da tensão no plano. 
9 
Equações de equilíbrio das forças para determinar σx’ e τx’y’: 
Face x 
Face y 
Simplificando as duas equações descritas anteriormente e 
usando as identidades trigonométricas: 
 
𝜎
𝑥
′ =
𝜎
𝑥
+ 𝜎
𝑦
 
2
 + 
𝜎
𝑥
 
− 𝜎
𝑦
2
𝑐𝑜𝑠 2θ + τxy 𝑠𝑒𝑛 2θ 1 
 
τx′y′ = −
𝜎
𝑥
 
− 𝜎
𝑦
 
2
 𝑠𝑒𝑛 2θ + τxy 𝑐𝑜𝑠 2θ 2 
10 
sen 2θ = 2 sen θ *cos θ 
sen² θ = (1-cos 2θ)/2 
cos² θ = (1+cos 2θ)/2 
As componentes da tensão que agem ao longo dos eixos x’ e 
y’ são respectivamente 𝜎𝑥′ 𝑒 𝜏𝑥′𝑦′: 
 
A expressão para a componente da tensão normal (𝜎
𝑦
′) que age na 
direção y’ é obtida substituindo θ por (θ+90º), na equação 1, onde (θ+90º) 
é o ângulo que o eixo y’ forma com o eixo x: 
 
𝜎
𝑦
′ =
𝜎
𝑥
+ 𝜎
𝑦
 
2
 − 
𝜎
𝑥
 
− 𝜎
𝑦
2
𝑐𝑜𝑠 2θ − τxy 𝑠𝑒𝑛 2θ 3 
11 
(d) 
12 
O estado plano de tensão em um ponto da superfície da fuselagem do 
avião é representado no elemento orientado como mostra a figura. 
Represente o estado de tensão no ponto em um elemento orientado a 30º 
no sentido horário em relação à posição mostrada. 
Exemplo 1 
Solução do exemplo 1 
𝜎𝑥 = -80 MPa; 𝜎𝑦 = 50 MPa; τxy = -25 MPa 
 
 
τx′y′ = −
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 
2
 𝑠𝑒𝑛 2θ + τxy 𝑐𝑜𝑠 2θ = −
−80− 50 
2
 𝑠𝑒𝑛 2 −30° + (−25) 𝑐𝑜𝑠 2 −30° 
𝜎
𝑥
′ =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 
2
 + 
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
𝑐𝑜𝑠 2θ + τxy 𝑠𝑒𝑛 2θ =
−80 + 50 
2
 + 
−80
 
− 50
2
𝑐𝑜𝑠 2 −30° + (−25) 𝑠𝑒𝑛 2 −30° 
𝜎
𝑥
′ = −25,8 𝑀𝑃𝑎 ( resposta) 
τx′y′ = −68,8 𝑀𝑃𝑎 (𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎) 
𝜃 = − 30° 
Aplicando as formulações 
baseadas no equilíbrio das 
forças no plano CD (𝒃𝒃): 
Sinais negativos de 𝜎𝑥` e τx′y′ indicam que eles agem nas direções negativas de x´e y´. 
Ɵ é medido de x até x´ 
Atenção a convenção de sinais! 
𝑏𝑏 = 𝐶𝐷 
13 
Aplicando as formulações baseadas no equilíbrio das forças no 
plano BC (𝒂𝒂): 
 
τx′y′ = −
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 
2
 𝑠𝑒𝑛 2θ + τxy 𝑐𝑜𝑠 2θ = −
−80− 50 
2
 𝑠𝑒𝑛 2 60° + (−25) 𝑐𝑜𝑠 2 60° 
𝜎
𝑥
′ =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 
2
 + 
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
𝑐𝑜𝑠 2θ + τxy 𝑠𝑒𝑛 2θ =
−80 + 50 
2
 + 
−80
 
− 50
2
𝑐𝑜𝑠 2 60° + (−25) 𝑠𝑒𝑛 2 60° 
𝜎
𝑥
′ = −4,15 𝑀𝑃𝑎 (𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎) 
τx′y′ = 68,8 𝑀𝑃𝑎 (𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎) 
𝜃 = + 60° 
14 
Ɵ é medido de x até x´ 
𝜎𝑥 = -80 MPa; 𝜎𝑦 = 50 MPa; τxy = -25 MPa 
 
 
𝑎𝑎 = 𝐵𝐶 
Tensões principais e tensão de 
cisalhamento máxima no plano 
Na engenharia, é importante determinar a orientação dos planos os 
quais agem as tensões normais máxima e mínima e a orientação do 
plano no qual age a tensão cisalhante máxima. 
 
15 
Tensões principais no plano 
𝜎
𝑥
′ =
𝜎
𝑥
+ 𝜎
𝑦
 
2
 + 
𝜎
𝑥
 
− 𝜎
𝑦
2
𝑐𝑜𝑠 2θ + τxy 𝑠𝑒𝑛 2θ 1 
Para determinar as tensões normais máxima e mínima deve-se 
derivar a equação (1) em relação a θ, igualando o resultado a 
zero. 
𝑑𝜎𝑥′
𝑑𝜃
= 0 ∴
𝜎
𝑥
+ 𝜎
𝑦
 
2
 (2 𝑠𝑒𝑛 2θ) + 2τxy 𝑐𝑜𝑠 2θ 1𝑎 
Resolvendo a Equação 1a, igualando a zero, e fazendo 𝜃 = 𝜃𝑝, obtemos 
a orientação dos planos da tensão normal máxima e mínima. 
𝑡𝑔 2θ𝑝 = 
τxy
(𝜎
𝑥
 − 𝜎
𝑦
)/2
 4 
Orientação do planos 
principais (onde as 
tensões normais são 
máximas e a tensão 
cisalhante é nula). 
A solução da equação (4) fornece 2θp1 . Os valores 2θp1 e 2θp2 estão 
afastados um do outro por 180º, portanto 𝜃𝑝1𝑒 𝜃𝑝2 estão afastados por 90º. O 
𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑝1 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑝2 podem ser encontrados a partir dos triângulos da Figura 
a abaixo, com base na Equação 4. 
16 
σ 
t 
Figura a: relações trigonométricas 
17 
𝜎1,2= 
𝜎
𝑥
+ 𝜎
𝑦
2
±
𝜎
𝑥
 −𝜎
𝑦
2
2
+ τxy
2 5 
Substituindo 2θ na equação (1) por 2θp1 e fazendo a simplificação necessária, 
obtém-se 𝜎1: 
Dependendo do sinal escolhido, o resultado dará a tensão normal máxima 
ou mínima no plano. Este conjunto de valores corresponde as tensões 
principais, onde 𝝈𝟏 ≥ 𝝈𝟐. 
Tensões principais 
que atuam nos 
planos principais 
𝜎
𝑥
′ =
𝜎
𝑥
+ 𝜎
𝑦
 
2
 + 
𝜎
𝑥
 
− 𝜎
𝑦
2
𝑐𝑜𝑠 2θ + τxy 𝑠𝑒𝑛 2θ 1 
𝜎1 =
𝜎
𝑥
+ 𝜎
𝑦
 
2
 + 
𝜎
𝑥
 
− 𝜎
𝑦
2
𝑐𝑜𝑠 2θp1 + τxy 𝑠𝑒𝑛 2θp1 
Analogamente, substituindo por 2 θp2 , obtém-se 𝜎2 . Daí, determina-se, 
simultaneamente, 𝜎1,2 : 
18 
𝑶𝒖 𝒔𝒆𝒋𝒂: nenhuma tensão de cisalhamento age nos planos principais. 
τx′y′ = −
𝜎
𝑥
 
− 𝜎
𝑦
 
2
 𝑠𝑒𝑛 2θ + τxy 𝑐𝑜𝑠 2θ 2 
Se as relações trigonométricas (𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑒 𝑐𝑜𝑠2𝜃) para 𝜃𝑝1 𝑜𝑢 𝜃𝑝2 forem 
substituídas na Equação 2, então 𝜏𝑥′𝑦′ = 0. 
τx′y′ = 0 
19 
𝑡𝑔 2θc = 
−(𝜎
𝑥
− 𝜎
𝑦
)/2
τxy
 6 
Tensão de cisalhamento máxima no plano 
A orientação de um elemento sujeito à tensão cisalhante máxima pode ser 
determinada derivando a equação (2) em relação a Ɵ e igualando o resultado a 
zero. Isso fornece a Equação 6. 
τx′y′ = −
𝜎
𝑥
 
− 𝜎
𝑦
 
2
 𝑠𝑒𝑛 2θ + τxy 𝑐𝑜𝑠 2θ 2 
Orientaçãoda tensão de cisalhamento 
máxima no plano. 
𝑑𝜏𝑥′𝑦′
𝑑𝜃
= 0 
As orientações da tensão de cisalh. máx. 
(2𝜃𝑐1 𝑒 2𝜃𝑐2) são mostradas pelos 
triângulos da Fig. a ao lado, com base na 
Equação 6. Uma vez que 𝑡𝑔2𝜃𝑐 é recíproca 
negativa de 𝑡𝑔2𝜃𝑝 (slide 16), então 
2𝜃𝑐 𝑒𝑠𝑡á 𝑎 90° 𝑑𝑒 2𝜃𝑝 𝑒 𝜃𝑐 𝑒𝑠𝑡á 𝑎 45° 𝑑𝑒 𝜃𝑝. 
𝑡𝑔 2θ𝑝 = 
τxy
(𝜎𝑥 −𝜎𝑦)/2
 4 𝑠𝑙𝑖𝑑𝑒 16 
Fig. b: relações trigonométricas 
“A tensão de cisalhamento máxima deve 
ser orientada a 45º em relação a posição 
de um elemento sujeito à tensão 
principal.” 
σ 
t 
20 
Planos principais Planos de referência Planos de tensão de 
cisalhamento máxima 
Nos planos principais, a tensão de cisalhamento é nula. Contudo, num 
plano orientado a 45º em relação aos planos principais, a tensão de 
cisalhamento será máxima (𝝉𝒎á𝒙) e a tensão normal será a médias das 
tensões (𝝈𝒎é𝒅 =
𝝈𝒙+𝝈𝒚
𝟐
). 
21 
Nos planos principais, a tensão de cisalhamento é nula. Contudo, num 
plano orientado a 45º em relação aos planos principais, a tensão de 
cisalhamento será máxima (𝝉𝒎á𝒙) e a tensão normal será a médias das 
tensões (𝝈𝒎é𝒅 =
𝝈𝒙+𝝈𝒚
𝟐
). 
𝜃𝑐 = 𝜃𝑝 + 45
𝑜 
22 
𝜏máx=
𝜎
𝑥
 −𝜎
𝑦
2
2
+ τxy
2 (7) 
𝜎méd = 
𝜎𝑥+𝜎𝑦
2
 (8) 
τx′y′ = −
𝜎
𝑥
 
− 𝜎
𝑦
 
2
 𝑠𝑒𝑛 2θ + τxy 𝑐𝑜𝑠 2θ 2 
Tensão de cisalhamento máxima no plano 
Também os valores de 𝑠𝑒𝑛 2𝜃𝑐 𝑒 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑐 obtidos 
da (Fig. a) podem ser substituídos na Equação 
1, determinando uma tensão normal média 
( 𝜎 méd) atuando nos planos da tensão de 
cisalhamento máxima: 
Tensão normal média 
A tensão de cisalh. máx. (𝜏𝑚𝑎𝑥) (Fig.c) pode ser determinada substituindo os 
valores trigonométricos 𝑠𝑒𝑛 2𝜃𝑐 𝑒 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑐 da (Fig b) na Equação (2). 
𝜎
𝑥
′ =
𝜎
𝑥
+ 𝜎
𝑦
 
2
 + 
𝜎
𝑥
 
− 𝜎
𝑦
2
𝑐𝑜𝑠 2θ + τxy 𝑠𝑒𝑛 2θ 1 
Fig.b: relações trigonométricas 
Fig. c: tensões de cisalh .máx. no 
plano associada a tensão normal 
média. 
23 
Em resumo 
𝜎
𝑥
′ =
𝜎
𝑥
+ 𝜎
𝑦
 
2
 + 
𝜎
𝑥
 
− 𝜎
𝑦
2
𝑐𝑜𝑠 2θ + τxy 𝑠𝑒𝑛 2θ 1 
τx′y′ = −
𝜎
𝑥
 
− 𝜎
𝑦
 
2
 𝑠𝑒𝑛 2θ + τxy 𝑐𝑜𝑠 2θ 2 
𝜎
𝑦
′ =
𝜎
𝑥
+ 𝜎
𝑦
 
2
 − 
𝜎
𝑥
 
− 𝜎
𝑦
2
𝑐𝑜𝑠 2θ − τxy 𝑠𝑒𝑛 2θ 3 
𝑡𝑔2𝜃𝑝 =
τxy
(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦)/2
 4 
𝜎1,2= 
𝜎
𝑥
+ 𝜎
𝑦
2
±
𝜎
𝑥
 −𝜎
𝑦
2
2
+ τxy
2 5 
𝑡𝑔 2θc = 
−(𝜎
𝑥
− 𝜎
𝑦
)/2
τxy
 6 
𝜏máx=
𝜎
𝑥
 −𝜎
𝑦
2
2
+ τxy
2 (7) 
𝜎méd = 
𝜎
𝑥
+𝜎
𝑦
2
 (8) 
Exemplo 2 
Quando a carga de torção T é aplicada à barra, ela produz um estado de 
tensão de cisalhamento puro no material. Determine (a) a tensão de 
cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média associada e (b) as 
tensões principais. 
 
 
 
 
 
24 
Solução do exemplo 2 
𝜎𝑥 = 0; 𝜎𝑦 = 0; τxy = -τ 
 
 
 
𝜏máx=
𝜎
𝑥
 −𝜎
𝑦
2
2
+ τxy
2=
0 −0
2
2
+ −τ 2 = 𝜏𝑚𝑎𝑥 = ±τ 
(resposta) 
𝜎méd = 
𝜎
𝑥
+𝜎
𝑦
2
 = 
0+0
2
= 0 (𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎) 
a) Tensão de cisalhamento máxima no plano: 
A partir da convenção de sinal determinada 
Aplicando as equações (7) e (8) 
Como esperado, a tensão 
de cisalhamento máxima no 
plano é representada pela 
Fig. a 
Fig. a: tensão de 
cisalhamento máxima 
OBS: Materiais dúcteis falham 
em virtude da tensão de 
cisalhamento. Se a barra do 
enunciado for feita de aço doce 
(%C < 0,02), falhará no plano de 
tensão de cisalhamento máxima 
que ocorrerá com uma inclinação 
de 90º ou 0º. 
 
25 
Fig. b: falha por cisalhamento (𝜏máx) 
𝜏𝑚𝑎𝑥 
26 
𝜎1,2= 
𝜎
𝑥
+ 𝜎
𝑦
2
±
𝜎
𝑥
 −𝜎
𝑦
2
2
+ τxy
2 = 
0+0
2
±
0 −0
2
2
+ −τ 2 = ±τ 
𝑡𝑔 2θ𝑝 = 
τxy
(𝜎
𝑥
−𝜎
𝑦
)/2
 = 
−τ 
(0−0)/2
=
−𝜏
0
= −∞ ∴ 2𝜃𝑝 = −90° → θ𝑝2 = 45º; θ𝑝1 = −45º 
(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎) 
𝜎
𝑥
′ =
𝜎
𝑥
+ 𝜎
𝑦
 
2
 + 
𝜎
𝑥
 
− 𝜎
𝑦
2
𝑐𝑜𝑠 2θ + τxy 𝑠𝑒𝑛 2θ 
Isto confirma que 𝜎2 = −𝜏 age no plano definido 
θ𝑝2 = 45º e 𝜎1 = 𝜏 age no plano θ𝑝1 = −45º. 
b) Tensões principais: aplicando as equações 4 e 5 
Substituindo θ𝑝2 = 45º na Equação (1) para determinar a 
orientação adequada do elemento: 
𝜎1 = 𝜏 𝑒 𝜎2 = −𝜏 (𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎) 
𝜎𝑥′ = 0 + 0 + −𝜏 𝑠𝑒𝑛 2 45° = −𝜏 𝑠𝑒𝑛 90° = −𝜏 
Obs: Materiais frágeis falham em virtude da 
tensão normal de tração (𝜎1 ). Se a barra do 
enunciado for feita de ferro fundido, falhará na 
tração com uma inclinação de 45º . 
Fig. b: falha por tração (𝜎1) 
𝜏𝑚𝑎𝑥 
27 
Quando a carga axial P é aplicada à barra, ela produz um estado de tensão 
de tração no material. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de 
cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média associada. 
 
 
 
 
 
Exemplo 3 
28 
Solução do exemplo 3 
𝜎𝑥 = 𝜎; 𝜎𝑦 = 0; τxy = 0 
 
 
 
A partir da convenção de sinal determinada, 
a) Tensões principais 
Temos tensão máx de tração (𝜎1) e nenhuma tensão de compressão (𝜎2). 
Por observação 𝜎1 = 𝜎 e 𝜎2 = 0 resposta 
b) Tensão de cisalhamento máxima no plano: 
aplicando as Equações 6, 7 
𝑡𝑔2𝜃𝑐 =
− 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2 
𝜏𝑥𝑦
=
− 𝜎 − 0 2 
0
= −∞ ∴ 2𝜃𝑐2
= −90° ∴ 𝜃𝑐2 = −45° 𝑒 𝜃𝑐1 = 45° 
𝜏máx=
𝜎
𝑥
 −𝜎
𝑦
2
2
+ τxy
2 =
𝜎 −0
2
2
+ 0 2 = ±
𝜎
2
 
𝜎méd = 
𝜎
𝑥
+𝜎
𝑦
2
 = 
𝜎+0
2
=
𝜎
2
 (𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎çã𝑜) (𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎) 
Tensão normal média: aplicando a equação 8 
OBS: Materiais frágeis falharia por conta da tensão 
normal. Se a barra do enunciado fosse de ferro 
fundido, falhará conforme fig ao lado 
29 
Substituindo θ𝑐2 = 45º na Equação (2) para determinar a orientação adequada do 
elemento: 
τx′y′ = −
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 
2
𝑠𝑒𝑛 2θ + τxy 𝑐𝑜𝑠 2θ = −
𝜎 − 0
2
𝑠𝑒𝑛2 45° + 0 ∴ 
𝜏𝑥′𝑦′ =
−𝜎
2
𝑠𝑒𝑛90° ∴ 𝜏𝑥′𝑦′ =
−𝜎
2
 
Esta tensão de cisalhamento negativa age na 
faxe x’ , na direção negativa de y’ , conforme 
figura ao lado. 
OBS: Se a barra do enunciado fosse feita de 
um material dúctil, como aço doce, falhará 
devido a tensão de cisalhamento 
(deslizamento dos planos da estrutura 
cristalina do aço), no interior da região de 
estricçao, segundo um plano de ruptura de 
45º , calculado anteriormente, formando um 
cone em torno da barra. 
30 
Exemplo 4 
O estado plano de tensão em um ponto sobre um corpo é exibido. 
Represente este estado de tensão com relação as suas tensões 
principais. 
31 
Solução Exemplo 4 
𝜎𝑥 = -20 MPa; 𝜎𝑦 = 90 MPa; τxy = 60 MPa 
A partir da convenção de sinal determinada, 
𝜎1,2= 
𝜎
𝑥
+ 𝜎
𝑦
2
±
𝜎
𝑥
 −𝜎
𝑦
2
2
+ τxy
2 = 
−20+90
2
±
−20 −90
2
2
+ 60 2 
Tensões principais: 
= 35,0 ± 81,4 ∴ 𝜎1 = 116 𝑀𝑃𝑎 𝑒 𝜎2 = −46,4 𝑀𝑃𝑎 
𝑡𝑔 2θ𝑝 = 
τxy
(𝜎𝑥−𝜎𝑦)/2
 = 
60 
(−20−90)/2
= −1,0909 → 2θ𝑝 =arctg−1,0909=−47,49° → 
Orientação do elemento: aplicando a Equação 4 
𝜃𝑝 = −23,7° 
𝜎1 = 116 MPa age no plano 
θ𝑝1 = 66,3º. Nenhuma tensão 
de cisalhamento age nesse 
elemento no plano principal. 
32 
Como a diferença entre 2Ɵp1 e 2Ɵp2 é 180º, então 
2𝜃𝑝1 = 180° + 2𝜃𝑝2 = 180° + −47,49° = 132,51° ∴ 𝜃𝑝1 =
132,51
2
→ 𝜃𝑝1 = 66,3° 
Ɵ deve ser medido 
positivamente no sentido anti-
horário do eixo x para o eixo 
normal x´ na face do elemento. 
𝜎
𝑥
′ =
𝜎
𝑥
+ 𝜎
𝑦
 
2
 + 
𝜎
𝑥
 
− 𝜎
𝑦
2
𝑐𝑜𝑠 2θ + τxy 𝑠𝑒𝑛 2θ 
= 
−20+60 
2
 + 
−20
 
− 60
2
𝑐𝑜𝑠 2 (−23,7º) + 60 𝑠𝑒𝑛 2 (−23,7º) = -46,4 MPa 
Substituindo θ𝑝 = −23,7º na Equação (1) : 
Portanto, 𝜎2 = −46,4 𝑀𝑃𝑎 𝑎𝑔𝑒 no plano definido θ𝑝2 = −23,7º 
Exemplo 5 
O estado plano de tensão em um ponto sobre um corpo é exibido. 
Represente este estado de tensão como a tensão de cisalhamento máxima 
no plano e a tensão normal média associada. 
 
 
 
 
 
 
33 
Solução Exemplo 5 
34 
𝜎𝑥 = -20 MPa; 𝜎𝑦 = 90 MPa; τxy = 60 MPa 
A partir da convenção de sinal determinada, 
𝜏máx=
𝜎
𝑥
 −𝜎
𝑦
2
2
+ τxy
2 =
−20 −90
2
2
+ 60 2 = ±81,4 𝑀𝑃𝑎 
Tensão de cisalhamento máxima no plano: 
aplicando a Equação 7Orientação do elemento: aplicando a Equação 6: 
𝑡𝑔2𝜃𝑐 =
− 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2 
𝜏𝑥𝑦
=
− −20 − 90 2 
60
= 0,9167 ∴ 2𝜃𝑐 = 42,5° ∴ 𝜃𝑐 = 21,3° 
τx′y′ = −
𝜎
𝑥
 
− 𝜎
𝑦
 
2
 𝑠𝑒𝑛 2θ + τxy 𝑐𝑜𝑠 2θ= −
−20−90
2
𝑠𝑒𝑛2 21,3° + 60𝑐𝑜𝑠2 21,3° = 81,4 𝑀𝑃𝑎 
(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎) 
𝜃𝑐2 = 21,3° 𝜃𝑐 = 𝜃𝑝 + 45° 𝜃𝑝 = 𝜃𝑐 − 45° = 21,3° − 45° = −23,7° = 𝜃𝑝2 
Identificação de 𝜽𝒄 
𝜃𝑐1 = 𝜃𝑝1 + 45° = 66,3° + 45° = 111,3° = 𝜃𝑐1 
(Exemplo 4) 
(Exemplo 4) 
35 
𝜎méd = 
𝜎
𝑥
+𝜎
𝑦
2
 = 
−20+90
2
= 35 𝑀𝑃𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎çã𝑜 (𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎) 
Tensão normal média: 
Esse resultado positivo indica que 𝜏máx age na direção de y’ positiva 
nessa face (θ = 21,3º). 
36 
Fim de Aula