Exercícios de Geometria Espacial

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Prismas.Pirâmides,Cilindros,Cones e Esferas 
 
1. (Fuvest 2015) O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo 
reto ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E e que AE 2cm, 
AD 4cm e AB 5cm. 
 
 
 
A medida do segmento SA que faz com que o volume do sólido seja igual a 
4
3
 do volume da 
pirâmide SEFGH é 
a) 2 cm 
b) 4 cm 
c) 6 cm 
d) 8 cm 
e) 10 cm 
 
2. (Uerj 2015) Um cubo de aresta EF medindo 8 dm contém água e está apoiado sobre um 
plano α de modo que apenas a aresta EF esteja contida nesse plano. A figura abaixo 
representa o cubo com a água. 
 
 
 
Considere que a superfície livre do líquido no interior do cubo seja um retângulo ABCD com 
área igual a 232 5 dm . 
Determine o volume total, em 3dm , de água contida nesse cubo. 
 
3. (Pucrj 2015) O que acontece com o volume de um paralelepípedo quando aumentamos a 
largura e a altura em 10% e diminuímos a profundidade em 20%? 
a) Não se altera 
b) Aumenta aproximadamente 3% 
c) Diminui aproximadamente 3% 
d) Aumenta aproximadamente 8% 
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e) Diminui aproximadamente 8% 
 
4. (Pucrj 2015) O diagrama abaixo mostra uma pilha de caixas cúbicas iguais, encostadas no 
canto de um depósito. 
 
 
 
Se a aresta de cada caixa é de 30 cm, então o volume total dessa pilha, em metros cúbicos, é 
de: 
a) 0,513 
b) 0,729 
c) 0,810 
d) 0,837 
e) 0,864 
 
5. (Uerj 2015) Um funil, com a forma de cone circular reto, é utilizado na passagem de óleo 
para um recipiente com a forma de cilindro circular reto. O funil e o recipiente possuem a 
mesma capacidade. 
De acordo com o esquema, os eixos dos recipientes estão contidos no segmento TQ, 
perpendicular ao plano horizontal .β 
 
 
 
Admita que o funil esteja completamente cheio do óleo a ser escoado para o recipiente 
cilíndrico vazio. Durante o escoamento, quando o nível do óleo estiver exatamente na metade 
da altura do funil 
H
, ,
2
 o nível do óleo no recipiente cilíndrico corresponderá ao ponto K na 
geratriz AB. 
A posição de K, nessa geratriz, é melhor representada por: 
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a) 
b) 
c) 
d) 
 
6. (Espcex (Aman) 2015) Um cone de revolução tem altura 4 cm e está circunscrito a uma 
esfera de raio 1cm. O volume desse cone (em 3cm ) é igual a 
a) 
1
.
3
π 
b) 
2
.
3
π 
c) 
4
.
3
π 
d) 
8
.
3
π 
e) 3 .π 
 
7. (Uemg 2015) Um reservatório de água, de formato cônico, com raio da tampa circular igual 
a 8 metros e altura igual a 9 metros, será substituído por outro de forma cúbica, de aresta 
igual a 10 metros. 
 
Estando o reservatório cônico completamente cheio, ao se transferir a água para o reservatório 
cúbico, a altura do nível atingida pela água será de (considere 3π  ) 
a) 5,76m. 
b) 4,43m. 
c) 6,38m. 
d) 8,74m. 
 
8. (Enem 2014) Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la 
no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais 
comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado 
na figura. 
 
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Considere um silo de 2m de altura, 6m de largura de topo e 20m de comprimento. Para cada 
metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5m a mais do que a largura do fundo. Após a 
silagem, 1 tonelada de forragem ocupa 32m desse tipo de silo. 
 
EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc.embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 2012 
(adaptado). 
 
Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é 
a) 110. 
b) 125. 
c) 130. 
d) 220. 
e) 260. 
 
9. (Enem 2014) Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as 
dimensões, em centímetros, mostradas na figura. 
 
 
 
Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as 
dimensões de sua base sejam 25% maiores que as da lata atual. 
 
Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em 
a) 14,4% 
b) 20% 
c) 32,0% 
d) 36,0% 
e) 64,0% 
 
10. (Mackenzie 2014) Se um tetraedro regular tem arestas de comprimento 6 m, então 
podemos afirmar que 
a) a altura é igual a 3 3m. 
b) a altura é igual a 3 6m. 
c) a altura é igual a 4,5 m. 
d) o volume é igual a 3
27 3
m .
2
 
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e) o volume é igual a 318 2m . 
 
11. (Unicamp 2014) Considere um cilindro circular reto. Se o raio da base for reduzido pela 
metade e a altura for duplicada, o volume do cilindro 
a) é reduzido em 50%. 
b) aumenta em 50%. 
c) permanece o mesmo. 
d) é reduzido em 25%. 
 
12. (Uemg 2014) Uma empresa deseja fabricar uma peça maciça cujo formato é um sólido de 
revolução obtido pela rotação de um trapézio isósceles em torno da base menor, como mostra 
a figura a seguir. As dimensões do trapézio são: base maior igual a 15 cm, base menor igual a 
7 cm e altura do trapézio igual a 3 cm. 
 
 
 
Considerando-se 3,π  o volume, em litros, da peça fabricada corresponde a 
a) 0,212. 
b) 0,333. 
c) 0,478. 
d) 0,536. 
 
13. (Espcex (Aman) 2013) O sólido geométrico abaixo é formado pela justaposição de um 
bloco retangular e um prisma reto, com uma face em comum. Na figura estão indicados os 
vértices, tanto do bloco quanto do prisma. 
 
 
 
Considere os seguintes pares de retas definidas por pontos dessa figura: as retas LB e GE, 
as retas AG e HI, e as retas AD e GK . As posições relativas desses pares de retas são, 
respectivamente, 
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a) concorrentes; reversas; reversas. 
b) reversas; reversas; paralelas. 
c) concorrentes, reversas; paralelas. 
d) reversas; concorrentes; reversas. 
e) concorrentes; concorrentes; reversas. 
 
14. (Fgv 2013) A figura mostra a maquete do depósito a ser construído. A escala é 1: 500, ou 
seja, 1cm, na representação, corresponde a 500 cm na realidade. 
Qual será a capacidade, em metros cúbicos, do depósito? 
 
 
 
15. (Fgvrj 2013) Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma chapa retangular de 
metal, com 8 dm de largura por 10 dm de comprimento, cortando-se, de cada canto da chapa, 
um quadrado de lado x decímetros e, a seguir, dobrando-se para cima as partes retangulares, 
conforme sugere a figura a seguir: 
 
 
 
O volume, em 3dm , da caixa assim obtida é 
a) 2 380x 36x 4x  
b) 2 380x 36x 4x  
c) 2 380x 18x x  
d) 2 380x 18x x  
e) 2 320x 9x x  
 
16. (Ufmg 2013) Um cone circular reto de raio r 3 e altura h 2 3 é iluminado pelo sol a 
um ângulo de 45°, como ilustrado a seguir. 
 
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A sombra projetada pelo cone é delimitada pelos segmentos PA e PB, tangentes ao círculo da 
base do cone nos pontos A e B, respectivamente. 
Com base nessas informações, 
a) DETERMINE a distância de P ao centro O do círculo. 
b) DETERMINE o ângulo ˆAOB. 
c) DETERMINE a área da sombra projetada pelo cone. 
 
17. (Pucrj 2013) De um disco circular, de raio medindo 6 e centro C, cortamos um setor cujo 
arco mede 13. Usando o pedaço maior, fazemos um cone reto juntando os lados CA e CB, 
como nas figuras abaixo. 
 
 
 
Não use aproximações para π e determine: 
a) o perímetro da base do cone; 
b) o raio da base do cone; 
c) o volume do cone. 
 
18. (Fgv 2013) Um reservatório tem a forma de uma esfera. Se aumentarmos o raio da esfera 
em 20%, o volume do novo reservatório, em relação ao volume inicial, aumentará 
a) 60% 
b) 63,2% 
c) 66,4% 
d) 69,6% 
e) 72,8% 
 
19. (Mackenzie 2012) 
 
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O número mínimo de cubos de mesmo volume e dimensões inteiras, que preenchem 
completamente o paralelepípedo retângulo da figura, é 
a) 64 
b) 90 
c) 48 
d) 125 
e) 100 
 
20. (Enem PPL 2012) O Museu do Louvre, localizado em Paris, na França, é um dos museus 
mais visitados do mundo. Uma de suas atrações é a Pirâmide de Vidro, construída no final da 
década de 1980. A seguir tem-se, na Figura 1, uma foto da Pirâmide de Vidro do Louvre e, na 
Figura 2, uma pirâmide reta de base quadrada que a ilustra. 
 
 
 
Considere os pontos A, B, C, D como na Figura 2. Suponha que alguns reparos devem ser 
efetuados na pirâmide. Para isso, uma pessoa fará o seguinte deslocamento: 1) partir do ponto 
A e ir até o ponto B. deslocando-se pela aresta AB; 2) ir de B até C, deslocando- se pela aresta 
que contém esses dois pontos; 3) ir de C até D, pelo caminho de menor comprimento; 4) 
deslocar se de D até B pela aresta que contém esses dois pontos. 
 
Disponível em: http://viagenslacoste.blogspot.com. Acesso em: 29 fev. 2012. 
 
A projeção do trajeto da pessoa no plano da base da pirâmide é melhor representada por 
a) 
b) 
c) 
d) 
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e) 
 
21. (Ufsj 2012) Se o volume de um tetraedro regular é 3(2 2)/3 cm , a medida de sua aresta 
é, em centímetros: 
a) 3 
b) 2/3 
c) 6 
d) 2 
 
22. (Insper 2012) Em uma pirâmide quadrangular regular, a área lateral é o dobro da área da 
base. Nesse caso, cada face lateral forma com o plano da base um ângulo que mede 
a) 15°. 
b) 30°. 
c) 45°. 
d) 60°. 
e) 75°. 
 
23. (Espm 2012) Dois copos cilíndricos têm o mesmo volume. Seus diâmetros internos medem 
6cm e 8cm, respectivamente. Se a soma das suas alturas é igual a 24cm, a diferença entre 
elas é de: 
a) 5,34 cm 
b) 8,12 cm 
c) 5,78 cm 
d) 7,66 cm 
e) 6,72 cm 
 
24. (Fgvrj 2012) Em uma lata cilíndrica fechada de volume 35175 cm , cabem exatamente três 
bolas de tênis. 
 
a) Calcule o volume da lata não ocupado pelas bolas. 
b) Qual é a razão entre o volume das três bolas e o volume da lata? 
 
 
 
25. (Unicamp 2011) Depois de encher de areia um molde cilíndrico, uma criança virou-o sobre 
uma superfície horizontal. Após a retirada do molde, a areia escorreu, formando um cone cuja 
base tinha raio igual ao dobro do raio da base do cilindro. 
 
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A altura do cone formado pela areia era igual a 
a) 
3
4
da altura do cilindro. 
b) 
1
2
da altura do cilindro. 
c) 
2
3
da altura do cilindro. 
d) 
1
3
da altura do cilindro. 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [E] 
 
Sabendo que ABCDEFGH é paralelepípedo reto, temos EF AB e EH AD. Portanto, segue 
que o resultado pedido é dado por 
 
4 1 4 1
[SABCD] [ABCDHEFG] [SEFGH] SA AE (AE SA)
3 3 3 3
3 SA 9 2 4 (2 SA)
SA 10cm.
        
      
 
 
 
Resposta da questão 2: 
 
 
 
 
No retângulo ABCD: : 8x 32 5 x 4 5dm   
 
No triângulo AED: 2 2 2 2(4 5) 8 y y 16 y 4      
 
Portanto, o volume do prisma (líquido) será dado por: 
34 8 8V 128 dm
2
 
  
 
Resposta da questão 3: 
 [C] 
 
 
 
(inicial)V a b c   (final) (inicial)V 1,1 a 1,1 b 0,8 c 0,968 V        
 
(final) (inicial) (inicial)V V 0,032V ,   portanto houve uma redução de aproximadamente 3%. 
 
Resposta da questão 4: 
 [E] 
 
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Volume de cada cubo em 3 3 3m V (0,3) 0,027m   
 
Total de cubos na figura: 4 4 9 4 3 32     
 
Volume Total: 332 0,027 0,864m  
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
Volume do cilindro: V 
Volume do óleo no cone no momento considerado: Vi 
Daí, temos: 
3
i
i
H
V V2 V
V H 8
 
 
   
  
 
 
Portanto, o volume que estará no cilindro no instante considerado será: 
V 7V
V ,
8 8
  ou seja, 
87,5% do volume do cilindro, portanto a alternativa [A] é mais adequada. 
 
Resposta da questão 6: 
 [D] 
 
Considerando O o centro da esfera, temos: 
 
 
 
No triângulo AOD, temos: 2 2 2AD 1 3 AD 8cm    
8 1 4
ADO ABC r cm
4 r 8
Δ Δ     
 
Portanto, o volume V do cone será dado por: 
2
2 31 1 4 8V R h 4 cm
3 3 38
π
π π
  
         
 
 
 
Resposta da questão 7: 
 [A] 
 
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O volume de água no reservatório cônico é igual a 
 
2 31 8 9 576 m .
3
     
 
Portanto, a altura h atingida no reservatório cúbico será 
 
210 h 576 h 5,76 m.    
 
Resposta da questão 8: 
 [A] 
 
Como h 2 m, segue-se que b 6 2 0,5 5 m.    Logo, segue que o volume total do silo é 
igual a 3
6 5
20 220 m .
2
 
  
 
 Em consequência, sabendo que 1 tonelada de forragem ocupa 
32 m , podemos concluir que o resultado pedido é 
220
110
2
 toneladas. 
 
Resposta da questão 9: 
 [D] 
 
Se H é a altura da lata atual, então seu volume é igual a 2 324 Hcm . Agora, sabendo que as 
dimensões da nova lata são 25% maiores que as da lata atual, e sendo h a altura da nova 
lata, temos 
2
25 1624 h 24 H h H h 64% H,
4 25
 
          
 
 isto é, a altura da lata atual deve 
ser reduzida em 100% 64% 36%.  
 
Resposta da questão 10: 
 [E] 
 
A altura do tetraedro regular é igual a 
6 6
2 6 m,
3
 e seu volume é 
3
36 2 18 2 m .
12
 
 
Resposta da questão 11: 
 [A] 
 
Sejam V, r e h, respectivamente, o volume, o raio da base e a altura do cilindro. Logo, como 
2V r h,π   segue-se que a variação percentual pedida é dada por 
 
2
2
2
r
2h r h
2
100% 50%,
r h
π π
π
 
     
 
  
 
 
 
isto é, houve uma redução de 50% no volume do cilindro. 
 
Resposta da questão 12: 
 [B] 
 
Volume da embalagem em cm
3
: cilindro coneV V 2V  
 
2 2 31V 3 15 2 3 4 135 24 111 333cm 0,333L
3
π π π π π             
 
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Resposta da questão 13: 
 [E] 
 
As retas LB e GE são as retas suporte das diagonais GE e LB. Logo, as retas LB e GE são 
concorrentes no ponto de interseção das diagonais do bloco. 
Como as retas AG e HI são coplanares e não paralelas, segue que AG e HI são 
concorrentes. 
Como AD e GK são distintas, não têm ponto em comum e não são coplanares, temos que 
AD e GK são reversas. 
 
Resposta da questão 14: 
 O depósito pode ser dividido em um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 
0,9cm 3cm 7,2cm;  e um prisma triangular reto de altura 7,2cm, com uma das arestas da 
base medindo 3cm e altura relativa 0,6cm. Logo, a capacidade do depósito da maquete é 
dada por 
 
33 0,60,9 3 7,2 7,2 25,92cm .
2

     
 
Portanto, como a escala adotada é 1: 500 e 3 6 31cm 10 m , segue que a medida real da 
capacidade do depósito é 
 
3
3
6
25,92 500
3240 m .
10

 
 
Resposta da questão 15: 
 [A] 
 
O volume da caixa é dado por 
 
2
2 3
x (8 2x) (10 2x) x (80 16x 20x 4x )
80x 36x 4x .
        
  
 
 
Resposta da questão 16: 
 
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a) O POTΔ é isósceles, pois PO = OT, logo PO = 2 3 (figura 1) 
b) No POAΔ (figura 2), temos: 
3 1
cos 60 AÔB 2 120
22 3
α α α        
c) Sendo A = área da sombra do cone, temos: 
PAOB setor(120 )
2
A A A
1 3
A 2 3 2 3 sen60 3 3 .
2 3
π
π
 

        
 
 
Resposta da questão 17: 
 a) O perímetro da base do cone é dado por 
 
2 6 13 (12 13) u.c.    
 
b) Seja r o raio da base do cone. Do item (a), sabemos que o perímetro da base do cone mede 
12 13. Logo, 
 
12 13
2 r 12 13 r u.c.
2
 
      

 
 
c) Como CA 6 corresponde à geratriz do cone e 
12 13
r ,
2
 


 segue que a altura do cone é 
dada por 
 
2
2 13(24 13)12 136 u.c.
2 2
    
  
  
 
 
Portanto, o volume do cone é igual a 
 
2 2
13 (24 13)1 12 13 1 12 13
13 (24 13) u.v.
3 2 2 24
        
             
     
 
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Resposta da questão 18: 
 [E] 
 
Seja r o raio da esfera. Logo, após aumentarmos r de 20%, teremos 
 
3 3
3
4 4
(1,2 r) r
3 3 100% (1,728 1) 100%
4
r
3
72,8%,
π π
π
   
   


 
 
ou seja, o volume do novo reservatório, em relação ao volume inicial, aumentará 72,8%. 
 
Resposta da questão 19: 
 [B] 
 
A medida da aresta dos cubos de mesmo volume que preenchem completamente o 
paralelepípedo retângulo da figura é dada por mdc(8, 36, 20) 4. Portanto, o resultado pedido 
é dado por 
 
8 36 20
2 9 5 90.
4 4 4
      
 
Resposta da questão 20: 
 [C] 
 
A figura abaixo mostra a projeção do caminho feito sobre a pirâmide no plano de sua base. 
 
 
 
Portanto, alternativa [C] está correta. 
 
Resposta da questão 21: 
 [D] 
 
Fórmula para o volume do tetraedro regular de aresta a: 

3a 2
V
12
 
    
3
3a 2 2 2 a 8 a 2
12 3
 
 
Resposta da questão 22: 
 [D] 
 
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Considere a figura, em que V é o vértice da pirâmide, O é o centro da base e M é o ponto 
médio da aresta AB. 
 
 
 
Queremos calcular a medida do ângulo VMO. 
Sabendo que a a área lateral é o dobro da área da base, vem que 
 
2
b
AB VM
A 2 A 4 2 AB
2
VM AB.

     
 
 
 
Portanto, do triângulo VOM, obtemos 
 
AB
OM 2cosVMO cosVMO
VM AB
1
cosVMO
2
cosVMO cos60
VMO 60 .
  
 
  
  
 
 
Resposta da questão 23: 
 [E] 
 
 
 
2 2.3 .x .4 .y
9x 16y
9x 16y
resolvendo o sistema ,x 15,36 e y 8,64
x y 24
fazendo x y,temos: 15,36 8,64 6,72.
π π


 
 
  
 
 
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Resposta da questão 24: 
 a) Sejam h e r, respectivamente, a altura e o raio do cilindro. 
Como o raio de cada bola é igual ao raio do cilindro e h 6r, temos 
 
2 3 1725r 6r 5175 r .
2
π
π
    
 
Daí, segue que o volume de cada bola é igual a 
 
3
3
4 4 1725
r
3 3 2
1150cm .
π π
π
  

 
 
Portanto, o resultado é 35175 3 1150 1725cm .   
 
b) A razão entre o volume das três bolas e o volume da lata é 
3450 2
.
5175 3
 
 
Resposta da questão 25: 
 [A] 
 
Como o volume de areia é o mesmo, segue que: 
2 2 2 2
con con cil cil con cil
con cil
1 1
r h r h (2R) h R h
3 3
3
h h .
4
            
  
 
 
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade 
 
Data de elaboração: 28/04/2015 às 19:48 
Nome do arquivo: Pris. 
 
 
Legenda: 
Q/Prova = número da questão na prova 
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro® 
 
 
Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo 
 
 
1 ............. 135922 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2015 ......................... Múltipla escolha 
 
2 ............. 137067 ..... Média ............ Matemática ... Uerj/2015 ............................. Analítica 
 
3 ............. 135427 ..... Média ............ Matemática ... Pucrj/2015 ............................ Múltipla escolha 
 
4 ............. 135445 ..... Média ............ Matemática ... Pucrj/2015 ............................ Múltipla escolha 
 
5 ............. 132710 ..... Elevada ......... Matemática ... Uerj/2015 ............................. Múltipla escolha 
 
6 ............. 134945 ..... Elevada ......... Matemática ... Espcex (Aman)/2015 ........... Múltipla escolha 
 
7 ............. 137587 ..... Baixa ............. Matemática ... Uemg/2015 .......................... Múltipla escolha 
 
8 ............. 135547 ..... Baixa ............. Matemática ... Enem/2014 ........................... Múltipla escolha 
 
9 ............. 135574 ..... Baixa ............. Matemática ... Enem/2014 ........................... Múltipla escolha 
 
10 ........... 131036 ..... Baixa ............. Matemática ... Mackenzie/2014 ................... Múltipla escolha 
 
11 ........... 128174 ..... Baixa ............. Matemática ... Unicamp/2014 ...................... Múltipla escolha 
 
12 ........... 131151 ..... Média ............ Matemática ... Uemg/2014 .......................... Múltipla escolha 
 
13 ........... 120722 ..... Baixa ............. Matemática ... Espcex (Aman)/2013 ........... Múltipla escolha 
 
14 ........... 125952 ..... Média ............ Matemática ... Fgv/2013 .............................. Analítica 
 
15 ........... 121147 ..... Baixa ............. Matemática ... Fgvrj/2013 ............................ Múltipla escolha 
 
16 ........... 123863 ..... Elevada ......... Matemática ... Ufmg/2013 ........................... Analítica 
 
17 ........... 121535 ..... Média ............ Matemática ... Pucrj/2013 ............................ Analítica 
 
18 ........... 125940 ..... Baixa ............. Matemática ... Fgv/2013 .............................. Múltipla escolha 
 
19 ........... 111846 ..... Baixa ............. Matemática ... Mackenzie/2012 ................... Múltipla escolha 
 
20 ........... 127157 ..... Média ............ Matemática ... Enem PPL/2012 ................... Múltipla escolha 
 
21 ........... 117313 ..... Média ............ Matemática ... Ufsj/2012 .............................. Múltipla escolha 
 
22 ........... 115721 ..... Média ............ Matemática ... Insper/2012 .......................... Múltipla escolha 
 
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23 ........... 114756 ..... Média ............ Matemática ... Espm/2012 ........................... Múltipla escolha 
 
24 ........... 109838 ..... Média ............ Matemática ... Fgvrj/2012 ............................ Analítica 
 
25 ........... 100784 ..... Baixa ............. Matemática ... Unicamp/2011 ...................... Múltipla escolha