MECÂNICA DOS MATERIAIS APLICADA

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MECÂNICA DOS MATERIAIS APLICADA
BACHARELADO EM ENGENHARIA MECÂNICA
Daniel Martins Queiroz Aprígio
Édson Reis Nicolau
João Paulo de Almeida Santos
Rodrigo Pereira Rodrigues Chaves
Ricardo Silva Bezerra
PROJETO DE DIMENSIONAMENTO DE UM EIXO ESCALONADO
Professor – Dr. Sérgio Renan Lopes Tinô
GOIÂNIA
Janeiro – 2022
Sumário
1. Introdução	3
1.1 Problema proposto	3
2. Análise estática	4
2.1 Reações de Apoio no plano XY (radial)	5
2.2 Reações de Apoio no plano XZ (tangencial)	5
2.3 Torque	6
2.4 Momentos distribuídos (Momento fletor e esforço cortante)	6
3. Análise de fadiga	8
3.1 Escolha do Material	9
3.2 Limite de Resistência à fadiga	10
3.3 Fator de superfície	10
3.4 Fator de tamanho	11
3.5 Fator de carregamento	11
3.6 Fator de temperatura	12
3.7 Fator de confiabilidade	12
3.8 Fator de efeitos diversos	13
3.9 Concentração de tensão e sensitividade ao entalhe	13
3.10 Correção do limite de resistência à fadiga	14
4 Método de Soderberg	14
4.1 Cálculo do diâmetro no ponto J	15
4.1.1 Revisão de concentração de tensão e sensitividade ao entalhe	15
4.1.2 Correção do fator de tamanho	16
4.1.3 Correção do limite de resistência à fadiga	17
4.1.4 Tensões de Von Mises	17
4.1.5 Cálculo do coeficiente de segurança	17
4.1.6 Cálculo para o escoamento	18
4.1 Cálculo do diâmetro no ponto I	18
4.2.1 Estimativa do valor do diâmetro	18
4.2.2 Filete de ressalto	18
4.2.3 Correção do fator de tamanho	20
4.2.4 Correção do limite de resistência à fadiga	20
4.2.5 Tensões de Von Mises	21
4.2.6 Cálculo do coeficiente de segurança	21
4.2.7 Cálculo para o escoamento	21
4.3 Cálculo no diâmetro no ponto K	21
4.3.1 Estimativa do valor do diâmetro	21
4.3.2 Filete de ressalto	22
4.3.3 Correção do fator de tamanho	22
4.3.4 Correção do limite de resistência à fadiga	22
4.3.5 Tensões de Von Mises	22
4.3.6 Cálculo do coeficiente de segurança	22
4.3.7 Cálculo para o escoamento	23
4.4 Cálculo no diâmetro no ponto M	23
4.4.1 Estimativa do valor do diâmetro	23
4.4.2 Filete de ressalto	23
4.4.3 Correção do fator de tamanho	23
4.4.4 Correção do limite de resistência à fadiga	23
4.4.5 Tensões de Von Mises	24
4.4.6 Cálculo do coeficiente de segurança	24
4.4.7 Cálculo para o escoamento	24
4.5 Resultados dos diâmetros	24
5. Análise de deflexão e inclinação do eixo	25
6. Representação do Eixo	29
7. RESULTADOS E DISCUSSÕES	30
8. CONCLUSÃO	33
9. OPINIÃO PESSOAL	34
10. REFERÊNCIAS	34
1. Introdução
A proposta de o trabalho a seguir tem como intuito de realizar um dimensionamento básico de um eixo de transmissão. Para tal, utilizou-se das análises de tensões e deflexões, tomando como base teórica, os exemplos resolvidos 7.2 e 7.3 do livro “Elementos de Máquinas (8° edição)” escritas por Shigley. A elaboração do projeto visa analisar os critérios de possíveis falhas e obter a máxima redução de custos, com a escolha de um material que se adeque ao orçamento e, ao mesmo tempo, apresente boas propriedades mecânicas. Diante do problema proposto, o mesmo deve ser considerado como uma situação real, na qual os engenheiros em formação colocam em prática a teoria estudada na disciplina de Mecânica dos Materiais Aplicada.
Ao utilizar os conhecimentos adquiridos não só na disciplina, mas durante o curso de engenharia mecânica, foi possível obter valores que estão atrelados ao desempenho da peça quando forças são aplicadas sobre ela, considerando também sua fabricação com um determinado tipo de aço.
1.1 Problema proposto
Um desenho de caixa de engrenagem de redução dupla foi desenvolvido para que tivesse a disposição geral e as dimensões axiais do eixo intermediário carregando as duas engrenagens de corte reto propostas, como mostra a Figura 7-10. As engrenagens e mancais estão localizados e suportados por ressaltos e mantidas no lugar por anéis de retenção. As engrenagens transmitem torque por chavetas. As engrenagens foram especificadas para permitir que as forças tangenciais e radiais transmitidas através delas ao eixo sejam determinadas como se segue:
 
 
Em que os sobrescritos t e r representam as direções tangencial e radial, respectivamente; e os subscritos 23 e 54 representam as forças exercidas pelas engrenagens 2 e 5 (não mostradas) nas engrenagens 3 e 4, respectivamente.
De início à próxima fase do desenho, na qual um material apropriado é selecionado e diâmetros apropriados para cada seção do eixo são estimados a fim de prover suficiente capacidade de fadiga e de tensão estática para vida infinita do eixo, com fatores mínimos de segurança 1,5.
Figura 1 – Eixo do modelo de transmissão
2. Análise estática
As seguintes equações fundamentais foram empregadas para o cálculo:
 (1)
 (2) 
 (3)
A equação 1 descreve o somatório de forças igual a zero, enquanto a equação 2 descreve o somatório de momentos igual a zero. Por fim, a equação 3 diz que o torque pode ser obtido através do produto da força aplicada pela distância. Utilizando o diagrama de corpo livre (mostrado na figura 2) como complemento às equações descritas acima, é possível obter os valores das reações de apoio nos mancais (plano XY e XZ) e o torque resultante em cada engrenagem. 
Figura 2 – Diagrama de Corpo Livre do eixo
2.1 Reações de Apoio no plano XY (radial)
Os valores de Wr 23 e Wr 54 já são conhecidos, portanto, basta substituí-los na equação do somatório de forças:
 ∑ 𝐹 = 0 → 𝑊23 𝑟 + 𝑊54 𝑟 – 𝑅𝑎𝑦 – 𝑅𝑏𝑦 = 0 → 𝑅𝑎𝑦 + 𝑅𝑏𝑦 = (845 + 3700) 𝑁 = 4545 𝑁 
Como se têm duas variáveis desconhecidas, é necessário utilizar mais uma equação, que seria a do somatório de momentos:
∑ 𝑀 = 0 → 𝑅𝑏𝑦(0,264 – 0,014) = 845(0,064 – 0,014) + 3700(0,209 – 0,014) 0,25𝑅𝑏𝑦 = 42,25 + 721,5 → 𝑅𝑏𝑦 = 3055 𝑁 
Tendo o valor de 𝑅𝑏𝑦 é possível encontrar 𝑅𝑎𝑦:
 𝑅𝑎𝑦 + 𝑅𝑏𝑦 = 4545 𝑁 → 𝑅𝑎𝑦 = (4545 – 3055) 𝑁 = 1490 𝑁
2.2 Reações de Apoio no plano XZ (tangencial)
O processo descrito no tópico anterior deve ser reproduzido, mas agora, considerando os valores de Wt 23 e Wt 54. Dessa forma, chega-se no seguinte: 
∑ 𝐹 = 0 → 𝑊23 𝑡 + 𝑊54 𝑡 + 𝑅𝑎𝑧 + 𝑅𝑏𝑧 = 0 → 𝑅𝑎𝑧 + 𝑅𝑏𝑧 = (−2640 + 2960)𝑁 = 320 𝑁 ∑ 𝑀 = 0 → 𝑅𝑏𝑧(0,264 − 0,014) = −2640(0,064 − 0,014) + (2960)(0,209 − 0,014) → 0,25 𝑅𝑏𝑧 = −132 + 577,2 → 𝑅𝑏𝑧 = 1708,8 𝑁 
𝑅𝑎𝑧 + 𝑅𝑏𝑧 = 320 𝑁 → 𝑅𝑎𝑧 = (320 − 1780,8) 𝑁 = −1460,8N
2.3 Torque
Utilizando a equação , é possível encontrar os torques aplicados nas engrenagens do eixo estudado:
· Engrenagem 3:
𝜏3 = 𝐹3 × 𝑑3 2 = 2640 𝑁 × 0,3 𝑚 2 = 396 𝑁. m
· Engrenagem 4: 
𝜏4 = 𝐹4 × 𝑑4 2 = −2960 𝑁 × 0,267 𝑚 2 = −395,16 𝑁. m
Além disso, o torque resultante pode ser calculado pelo somatório de τ3 e τ4: 𝜏𝑅 = 𝜏3 + 𝜏4 = (396 − 395,16) 𝑁. 𝑚 = 0,84 𝑁. m
2.4 Momentos distribuídos (Momento fletor e esforço cortante)
Com o uso do software livre MDSolids obteve-se o diagrama de corpo livre (DCL), o diagrama de esforço cortante (DEC) e diagrama de momento fletor (DMF). Tais diagramas estão dispostos, nessa ordem, nas figuras 3 e 4, que, respectivamente, mostram os resultados para o plano XY e XZ.
 Figura 3 – DCL, DEC e DMF no plano XY
 Figura 4 – DCL, DEC e DMF no plano XZ
Escolhendo pontos de interesse ao longo do eixo, o software retorna os valores da força e do momento que estão sendo aplicadas nessas posições. Sabendo dos momentos fletores nos planos XY e XZ, faz-se o cálculo da resultante (módulo) para descobrir o momento total. A tabela abaixo mostra os resultados obtidos:
Tabela 1 – Valores dos momentos fletores em certos pontos específicos do eixo
Pode-se perceber que o maior momento encontrado foi em J, onde está localizada a engrenagem 4. Isso ocorre por se tratar de um ponto de concentração de tensão, sendo, assim, uma posição crítica de grande importância.
3. Análise de fadiga
A análise é iniciada no ponto J, pois, assim como já foi mencionado anteriormente, trata-se de um ponto crítico do eixo com os maiores valores de momento. Consecutivamente serão adotados ospontos I, M e K, que são as demais posições críticas que possuem momentos significativos, além de uma alteração em seus diâmetros respectivos.
Desse modo, serão encontrados 4 valores de diâmetros, correspondentes ao lado direito do eixo. Aproveitando-se da geometria simétrica, não será necessário repetir toda essa análise nos pontos à esquerda, pois tais diâmetros são idênticos, o que simplifica um pouco os cálculos. Como o eixo roda com torção e flexão constantes, a flexão é reversa e a torção é estável, logo, 𝑀𝑚é𝑑𝑖𝑜 = 𝑇𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 = 0. 
Os momentos alternantes são os momentos totais, anteriormente já mencionados, enquanto o torque médio é calculado por uma média simples entre os torques aplicados nas engrenagens 3 e 4, considerando seus valores obtidos em módulo. Ou seja:
 
Os valores obtidos estão representados na tabela abaixo:
Tabela 2 – Valores dos carregamentos aos quais os pontos estão submetidos
3.1 Escolha do Material
O material escolhido para ser usado como base do cálculo de dimensionamento dos diâmetros foi o aço SAE 1020 CD estirado a frio. Este aço possui médio teor de carbono em sua composição (cerca de 0,2%) e boas propriedades mecânicas, tais como, tenacidade e usinabilidade. É também de fácil conformação, soldagem, forjamento e seu tratamento térmico é relativamente pouco custoso, ou seja, com a escolha desse material se obtém um ótimo custo-benefício. Suas aplicações mais comuns são em eixos, parafusos, pregos, peças forjadas com esforço médio, engrenagens e componentes estruturais. Na figura abaixo, são mostrados os valores consultados para a realização dos cálculos de dimensionamento:
Tabela 3 – Valores das propriedades mecânicas de alguns aços com o material escolhido em destaque
Destacado em preto, têm-se os valores da resistência à tração e ao escoamento referentes ao aço SAE 1020. Eles servirão como base para os cálculos dos diâmetros a serem encontrados. É possível, então, afirmar que: 𝑆𝑢𝑡 = 470 𝑀𝑃𝑎 e 𝑆𝑦 = 390 𝑀𝑃a.
3.2 Limite de Resistência à fadiga
O limite de resistência à fadiga é dado pela fórmula 𝑆𝑒 ′ = 0,5 × 𝑆𝑢𝑡. Substituindo o valor da resistência à tração chega-se em: 𝑆𝑒 ′ = 0,5 × 470 𝑀𝑃𝑎 = 235 𝑀𝑃a.
3.3 Fator de superfície
O fator de superfície é calculado por 𝐾𝑎 = 𝑎 × 𝑆𝑢𝑡 𝑏. Os parâmetros a e b são dados de acordo com o acabamento superficial da peça, assim como é mostrado na figura seguinte:
Tabela 4 – Parâmetros no fator de condição de superfície de Marin
Como o aço escolhido é laminado a frio, devem-se utilizar os valores que estão destacados em vermelho. Sendo assim, tem-se que: 𝐾𝑎 = 4,51 × 470−0,265 ≅ 0,883.
3.4 Fator de tamanho
O fator de tamanho é determinado pelas equações abaixo:
· 𝐾𝑏 = 1,24 × 𝑑 −0,107, quando o diâmetro do eixo está entre 2,79 mm e 51 mm 
· 𝐾𝑏 = 1,51 × 𝑑 −0,157, quando o diâmetro do eixo está entre 51 mm e 274 mm
Como os valores de diâmetro ainda não são conhecidos, estima-se que o fator de tamanho é 1, ou seja, 𝐾𝑏 = 1.
3.5 Fator de carregamento
O fator de carregamento é apresentado conforme a tabela 5, a seguir:
 Tabela 5 – Parâmetros no fator de carregamento de Marin
O eixo estudado está submetido a torção e flexão. Sendo assim, poderia ser utilizado o valor de 1, no caso de uma estimativa generosa, ou então ser usado o valor de 0,59, no caso de uma estimativa mais criteriosa. Neste trabalho, optou-se pela média entre os carregamentos de flexão e torção, fazendo-se uma estimativa intermediária. 
3.6 Fator de temperatura
Este parâmetro deve também ser identificado baseando-se em uma tabela de valores prévios, assim como é exibido a seguir:
Tabela 6 – Fator de temperatura
Considerando a temperatura ambiente por volta dos 25°C a 20°C, deve-se usar 1 como fator de temperatura, isto é, Kd = 1.
3.7 Fator de confiabilidade
Fazendo uma escolha mais conservativa para este parâmetro, estima-se a confiabilidade em 50%, o que resulta em 𝐾𝑒 = 1. Para tal parametrização a figura abaixo foi usada como base:
Tabela 7 – Fatores de confiabilidade
3.8 Fator de efeitos diversos
Por consideração, adota-se este fator sendo igual a 1. 𝐾𝑒𝑓 = 1.
3.9 Concentração de tensão e sensitividade ao entalhe
Observando que as engrenagens possuem chavetas, foi escolhido o raio de assento de chaveta de extremidade fresada, que possui 𝑟/𝑑 = 0,02. Isso pode ser observado na tabela subsequente:
Tabela 8 - Estimativas da primeira iteração para fatores de concentração de tensão
Visando um primeiro passo rápido e conservativo é assumido que 𝐾𝑓 = 𝐾𝑡 e que 𝐾𝑓𝑠 = 𝐾𝑡𝑠. Portanto, tem-se que 𝐾𝑓 = 𝐾𝑡 = 2,14 e 𝐾𝑓𝑠 = 𝐾𝑡𝑠 = 3.
3.10 Correção do limite de resistência à fadiga
Usando todos os coeficientes adotados anteriormente o limite de resistência a fadiga será dado por: 
𝑆𝑒 = 𝐾𝑎 × 𝐾𝑏 × 𝐾𝑐 × 𝐾𝑑 × 𝐾𝑒 × 𝐾𝑒𝑓 × 𝑆𝑒 ′ = 0,883 × 1 × 0,795 × 1 × 1 × 1 × 235 
𝑆𝑒 = 164,97 𝑀𝑃𝑎
4 Método de Soderberg
Com os coeficientes calculados anteriormente, é possível fazer uma estimativa do diâmetro utilizando a equação de Soderberg, escrita a seguir:
Os parâmetros A e B são dados por:
O fator de segurança n proposto é de 1,5, já os valores de resistência à fadiga e resistência ao escoamento já são conhecidos e iguais a:
Portanto a equação de Soderberg será reescrita como:
4.1 Cálculo do diâmetro no ponto J
4.1.1 Revisão de concentração de tensão e sensitividade ao entalhe
O entalhe é um contorno geométrico a interromper o fluxo de força pela peça. Sua implicação pode ser avaliada pelo fator de sensibilidade ao entalhe, representada pela letra q. Para calcular o raio de entalhe 𝑟 no ponto J, utiliza-se a relação 𝑟 𝑑 = 0,02, assim como já exposto no tópico 3.9. O diâmetro d foi calculado logo acima, então, substituindo seu valor na relação, tem-se que: 𝑟 = 0,02 × 43 = 0,86 𝑚𝑚. Empregando esse valor do raio de entalhe e sabendo que a resistência à tração 𝑆𝑢𝑡 = 470 𝑀𝑃𝑎, a análise do gráfico abaixo se torna possível. É exatamente por meio dessa análise que se obtém o valor de 𝑞.
Gráfico 1 – Curvas de sensibilidade ao entalhe para aços (flexão)
Conclui-se que o valor de sensitividade ao entalhe é algo próximo a 0,7, ou seja, 𝑞 = 0,7. Logo após, é necessário definir o fator de entalhe à fadiga, o que é feito por meio da seguinte relação: 𝐾𝑓 = 1 + 𝑞(𝐾𝑡 – 1). As variáveis 𝑞 e 𝐾𝑡 são conhecidas, então a relação é reescrita como: 𝐾𝑓 = 1 + 𝑞(𝐾𝑡 – 1) = 1 + 0,7(2,14 – 1) = 1,798. Outro fator a ser encontrado é a sensibilidade ao entalhe para o aço em torção, representado por 𝑞𝑠 , pois é através dele que se obtém a variável 𝐾𝑓𝑠. Para isso, é feita a leitura em um novo gráfico e utilizada uma nova relação, demonstrados abaixo:
Gráfico 2 – Curvas de sensibilidade ao entalhe para aços (torção)
Como o aço 1020 vai passar por uma têmpera visando melhorar suas propriedades mecânicas, deve-se analisar o gráfico com base na primeira curva. Assim sendo, stimasse que 𝑞𝑠 = 0,96. A relação usada para descobrir 𝐾𝑓𝑠 é a seguinte: 𝐾𝑓𝑠 = 1 + 𝑞𝑠 (𝐾𝑡𝑠 – 1) = 1 + 0,96(3 – 1) = 2,92.
4.1.2 Correção do fator de tamanho
O valor do diâmetro foi descoberto, assim, é possível determinar o valor real do fator de tamanho. Como já mencionado anteriormente, para valores de diâmetro entre 2,79 mm e51 mm, a equação usada é a seguinte: Substituindo o valor do diâmetro achado (aproximadamente 43 mm): = 0,829.
4.1.3 Correção do limite de resistência à fadiga
O limite de resistência à fadiga deve passar por uma nova correção, haja vista, que alguns valores foram alterados, como é o caso de 𝐾𝑓, 𝐾𝑓𝑠 e 𝐾𝑏. Os demais termos da equação de 𝑆𝑒 continuaram os mesmos, o que resulta em: 
𝑆𝑒 = 𝐾𝑎 × 𝐾𝑏 × 𝐾𝑐 × 𝐾𝑑 × 𝐾𝑒 × 𝐾𝑒𝑓 × 𝑆′e 
𝑆𝑒 = 0,883 × 0,829 × 0,795 × 1 × 1 × 1 × 235 = 136,76 𝑀𝑃a
4.1.4 Tensões de Von Mises
As tensões são dadas pelas fórmulas:
Substituindo os valores conhecidos temos:
4.1.5 Cálculo do coeficiente de segurança
Pelo critério de Soderberg o coeficiente de segurança é calculado da seguinte da maneira:
Jogando os valoresna equação: 
 
Como o coeficiente de segurança para o ponto calculado é maior do que 1,5 então o projeto está dentro dos critérios de segurança e o diâmetro estimado está correto.
4.1.6 Cálculo para o escoamento
4.1 Cálculo do diâmetro no ponto I
4.2.1 Estimativa do valor do diâmetro
Analisando o ponto I trata-se de uma região de suporte em ressalto, portanto, a relação a ser adotada é D/d = 1,2. Logo, D = 1,2 x 43mm = 51,66 52mm. 
4.2.2 Filete de ressalto
Considerando um filete bem arredondado, a relação a ser usada é 𝑟/𝐷 = 0,1, assim como foi mostrada na figura 9. O valor de D foi encontrado anteriormente, substituindo-o nessa relação, tem-se que 𝑟 = 0,1 × 52 𝑚𝑚 = 5,2 𝑚𝑚 Agora, para obter os valores das variáveis 𝑞, 𝑞𝑠 , 𝐾𝑡 e 𝐾𝑡𝑠 uma nova análise de gráficos deve ser realizada. Para 𝐾𝑡 o gráfico a ser usado é o seguinte:
Gráfico 3 – Curvas de concentração de tensão para carga de flexão
Considerando que 𝑟/𝐷 = 0,1 e 𝐷/𝑑 = 1,2 percebe-se que o valor de 𝐾𝑡 é algo próximo a 1,62. Para a análise de 𝑞, por outro lado, deve-se olhar a figura 10 novamente. Como o raio estimado é de 5,2 𝑚𝑚 e 𝑆𝑢𝑡 = 470 𝑀𝑃𝑎 é possível afirmar que 𝑞 = 0,84. Importante ressaltar que no gráfico o valor máximo no eixo x é de 5 𝑚𝑚, logo este valor 18 deve ser tomado como base para a análise, haja vista, que é o mais próximo do raio encontrado. Como 𝐾𝑓 = 1 + 𝑞(𝐾𝑡 – 1), têm-se que:
 𝐾𝑓 = 1 + 𝑞(𝐾𝑡 – 1) = 1 + 0,84 × (1,62 – 1) = 1,52
Para obtenção de 𝐾𝑡𝑠, por outro lado, deve-se usar o gráfico abaixo:
Gráfico 4 – Curvas de concentração de tensão para cargas de torção
Novamente, considerando as relações de 𝑟/𝐷 = 0,1 e 𝐷/𝑑 = 1,2, é perceptível que 𝐾𝑡𝑠 = 1,37. Para 𝑞𝑠 a figura a ser observada é a de número 11. O raio é de 5,2 𝑚𝑚 e a curva é a do aço temperado, ou seja, 𝑞𝑠 = 1. Resta agora, encontrar o valor de 𝐾𝑓𝑠, dado pela equação: 
𝐾𝑓𝑠 = 1 + 𝑞𝑠 (𝐾𝑡𝑠 – 1) = 1 + 1(1,37 – 1) = 1,37.
4.2.3 Correção do fator de tamanho
O diâmetro estimado é de 52 𝑚𝑚, portanto a equação de correção do fator de tamanho a ser usada é a subsequente: 
𝐾𝑏 = 1,51 × = 1,51 × = 0,812.
4.2.4 Correção do limite de resistência à fadiga
O único termo da equação do limite de resistência à fadiga alterada foi o fator de tamanho (𝐾𝑏). Os demais termos da equação continuaram iguais aos utilizados no ponto J, isto é: 𝐾𝑎 = 0,883, 𝐾𝑐 = 0,795 e 𝐾𝑑 = 𝐾𝑒 = 𝐾𝑒𝑓 = 1. Consequentemente: 
𝑆𝑒 = 0,883 × 0,812 × 0,795 × 1 × 1 × 1 × 235 = 133,95 𝑀𝑃a
4.2.5 Tensões de Von Mises
Novamente utilizando a equação de Von Mises, mas agora, com os termos Kf = 1,52 e Kfs = 1,37, tem-se que:
4.2.6 Cálculo do coeficiente de segurança
Substituindo os novos valores na equação de Soderberg, chega-se no seguinte: 
Como o coeficiente de segurança para o ponto calculado é maior do que 1,5, então o projeto está dentro dos critérios de segurança e o diâmetro estimado está correto.
4.2.7 Cálculo para o escoamento
 
4.3 Cálculo no diâmetro no ponto K
4.3.1 Estimativa do valor do diâmetro
No ponto K existe uma região de suporte em ressalto, porém, são seguidas as razões usuais 𝑟/𝐷 = 0,1 e 𝐷/𝑑 = 1,2. Assim sendo: 43 𝑑 = 1,2 → 𝑑 = 35,83 𝑚𝑚 ≅ 36 𝑚m
4.3.2 Filete de ressalto
Como já mencionado anteriormente 𝑟/𝐷 = 0,1, o que resulta em 𝑟 = 0,1 × 36 𝑚𝑚 = 3,6 𝑚𝑚. Os valores de 𝐾𝑡 e 𝐾𝑡𝑠 serão mantidos, já que no ponto K as relações de diâmetro e raio são as mesmas aplicadas ao ponto I. Os valores de 𝑞 e 𝑞𝑠 , no entanto, devem ser analisados mais uma vez. Olhando os gráficos das figuras 10 e 11, é possível estimar que 𝑞 = 0,8 e 𝑞𝑠 = 1. Logo, tem-se que:
 𝐾𝑓 = 1 + 𝑞(𝐾𝑡 – 1) = 1 + 0,8 × (1,62 – 1) = 1,5 e 𝐾𝑓𝑠 = 1,37.
4.3.3 Correção do fator de tamanho
O diâmetro estimado é de 36 𝑚𝑚, portanto, a equação de correção do fator de tamanho a ser usada é 𝐾𝑏 = 1,24 × = 1,24 × = 0,845.
4.3.4 Correção do limite de resistência à fadiga
Outra vez, o único termo da equação do limite de resistência à fadiga alterada foi o fator de tamanho (𝐾𝑏). Os demais termos da equação continuaram iguais aos utilizados no ponto J e I, ou seja: 𝐾𝑎 = 0,883, 𝐾𝑐 = 0,795 e 𝐾𝑑 = 𝐾𝑒 = 𝐾𝑒𝑓 = 1. 
Consequentemente: 
𝑆𝑒 = 0,883 × 0,845 × 0,795 × 1 × 1 × 1 × 235 = 139,40 𝑀𝑃a
4.3.5 Tensões de Von Mises
Novamente utilizando a equação de Von Mises, mas agora, com os termos Kf = 1,5 e Kfs = 1,37, tem-se que: 
4.3.6 Cálculo do coeficiente de segurança
Substituindo os novos valores na equação de Soderberg, chega-se no seguinte:
Como o coeficiente de segurança para o ponto calculado é maior do que 1,5, então o projeto está dentro dos critérios de segurança e o diâmetro estimado está correto.
4.3.7 Cálculo para o escoamento
4.4 Cálculo no diâmetro no ponto M
4.4.1 Estimativa do valor do diâmetro
No ponto M, assim como em I e J, são seguidas as razões usuais 𝑟/𝐷 = 0,1 e 𝐷/𝑑 = 1,2. Dessa forma, 36/𝑑 = 1,2 → 𝑑 = 30 𝑚𝑚.
4.4.2 Filete de ressalto
Como já mencionado anteriormente 𝑟/𝐷 = 0,1, o que resulta em 𝑟 = 0,1 × 30 𝑚𝑚 = 3 𝑚𝑚. Os valores de 𝐾𝑡 e 𝐾𝑡𝑠 serão mantidos, já que no ponto M as relações de diâmetro e raio são as mesmas aplicadas aos pontos I e K. Os valores de 𝑞 e 𝑞𝑠 , no entanto, devem ser obtidos novamente. Analisando os gráficos 3 e 4, é possível estimar que 𝑞 = 0,78 e 𝑞𝑠 = 1. Logo, tem-se que:
 𝐾𝑓 = 1 + 𝑞(𝐾𝑡 – 1) = 1 + 0,78 × (1,62 – 1) = 1,48 e 𝐾𝑓𝑠 = 1,37.
4.4.3 Correção do fator de tamanho
O diâmetro estimado é de 30 𝑚𝑚, portanto, a equação de correção do fator de tamanho a ser usada é 𝐾𝑏 = 1,24 × = 1,24 × = 0,862.
4.4.4 Correção do limite de resistência à fadiga
O único termo da equação do limite de resistência à fadiga alterada foi o fator de tamanho (𝐾𝑏). Os demais termos da equação continuaram iguais aos utilizados no ponto J, I e M, ou seja: 𝐾𝑎 = 0,883, 𝐾𝑐 = 0,795 e 𝐾𝑑 = 𝐾𝑒 = 𝐾𝑒𝑓 = 1. Consequentemente: 
𝑆𝑒 = 0,883 × 0,862 × 0,795 × 1 × 1 × 1 × 235 = 142,20 𝑀𝑃a.
4.4.5 Tensões de Von Mises
Novamente utilizando a equação de Von Mises, mas agora, com os termos Kf = 1,48 e Kfs = 1,37, tem-se que:
4.4.6 Cálculo do coeficiente de segurança
Substituindo os novos valores na equação de Soderberg, chega-se no seguinte:
Como o coeficiente de segurança para o ponto calculado é maior do que 1,5, então o projeto está dentro dos critérios de segurança e o diâmetro estimado está correto.
4.4.7 Cálculo para o escoamento 
4.5 Resultados dos diâmetros
Como todos os coeficientes de segurança para os valores de diâmetros estimados foram maiores que 1,5, pode-se afirmar que tais estimativas estão corretas. Os diâmetros encontrados foram: 𝑑1 = 𝑑7 = 30 𝑚𝑚, 𝑑2 = 𝑑6 = 36 𝑚𝑚, 𝑑3 = 𝑑5 = 43 𝑚𝑚 e 𝑑4 = 52 𝑚m
5. Análise de deflexão e inclinação do eixo
Os gráficos de deflexão e inclinação foram obtidos por meio do software SkyCiv. Uma ferramenta de análise estrutural, que possui um teste gratuito de 14 dias. Para a elaboração dos diagramas foram utilizados os valores dos carregamentos aos quais o eixo está sujeito, os valores dos diâmetros calculados e os valores de algumas propriedades do material. Em relação a este último tópico, levou-se em consideração o módulo de elasticidade e a densidade do aço o 1020, que são, respectivamente, iguais a 207 𝐺𝑃𝑎 e 7800 𝑘𝑔⁄𝑚³. A montagem do eixo se deu da seguinte forma:
Figura 5 – DCL do eixo dimensionado no SkyCiv
Os diagramas de corpo livre, de deflexão e de inclinação são mostrados a seguir:
Figura 6 – DCL no plano XY
Gráfico 5 – Deflexão no plano XY
Gráfico 6 – Inclinação no plano XY
Figura 7 – DCL no plano XZ
Gráfico 7 – Deflexão no plano XZ
Gráfico 8 – Inclinação no plano XZ
Para a apresentação de uma simulação 3D, foi utilizado um software diferente dos gráficos e figuras mostrados previamente, AutoDesk Fusion 360.
Figura 8 – Deflexão em 3D
6. Representação do Eixo
Na figura 9 está representado o Eixo em 3D e logo abaixo na figura 10 está em 2D. Para a construção deles foi utilizado o softwares AutoDesk Fusion 360.
Figura 9 – Representação em 3D do Eixo
Figura 10 –Representação em 2D do Eixo
7. RESULTADOS E DISCUSSÕES
Outros resultados importantes são os diagramas de torque, torção, tensão de cisalhamento e tensão de flexão. Todos eles são também apresentados pelo SkyCiv, porém o penúltimo deles, por algum motivo desconhecido, se comportou de maneira estranha e, por isso, foi refeito no Ftool (software livre usado para análise de estruturas). Esses diagramas são mostrados a seguir:
Figura 11: Diagrama de torque
Figura 12: Diagrama de torção
Figura 13: Tensão de cisalhamento nos planos XY e XZ
Figura 14: Tensão de flexão no plano XY
Figura 15: Tensão de flexão no plano XZ
Os programas durante a simulação, retornam ainda, os valores máximos de algumas variáveis importantes. Na tabela a seguir, tais valores são mostrados:
	Variável
	Valor
	Unidade
	Massa do eixo
	3,29
	kg
	Velocidade crítica
	7631,478
	RPM
	Momento de flexão máximo
	194,488
	Nm
	Força de cisalhamento máxima
	3536,138
	N
	Deflexão máxima
	0,018
	mm
	Inclinação máxima
	0
	rad
	Máxima tensão de flexão
	24,916
	MPa
	Máxima tensão de cisalhamento
	5,558
	MPa
	Máxima tensão equivalente de Von Mises (𝜎′ )
𝑎
	50,509
	MPa
Tabela 1: Resultados de algumas variáveis importantes
Fazendo comparações entre os cálculos realizados à mão com os resultados retornados pelos softwares, percebe-se que os valores são relativamente próximos ou iguais. Essas diferenças, provavelmente, são provenientes dos arredondamentos feitos.
Como exemplo podem ser citados as forças de reações nos planos XY e XZ e o momento total máximo, demonstrados nas figuras 15 e 18 e na tabela 2. Para esses casos, os valores calculados pelos programas foram idênticos aos valores encontrados por meio de contas, o que indica a veracidade dos cálculos feitos.
Outra boa comparação é em relação a máxima tensão equivalente de Von Mises, que no software foi de 50,509 𝑀𝑃𝑎 e nas contas foi de aproximadamente 45 𝑀𝑝𝑎. É importante ressaltar, novamente, que essa pequena alteração é consequência de alguns arredondamentos feitos com o intuito de facilitar as contas.
Além disso, é importante frisar que, assim como o esperado, o ponto que apresenta maior deflexão e concentração de momento é em J. Isso foi confirmado, justamente com o auxílio do SkyCiv, que mostrou pela simulação 3D (figura 21) que o eixo terá maior deflexão na região próxima aos 215 mm (exatamente onde se encontra o ponto J).
Por fim, pela análise da deflexão e da inclinação do eixo conclui-se que os valores obtidos graficamente se enquadram na máxima deflexão e inclinação, que são apresentados na figura subsequente:
Figura 16: Valores típicos para inclinação em rad e deflexão em mm
O valor máximo de deflexão encontrado via gráfico foi de 0,018 𝑚𝑚, enquanto o de inclinação foi de 0,00005 rad. Como tais resultados estão abaixo ou conforme os valores típicos, significa que o eixo escalonado suportará o carregamento sem sofrer danos aos mancais e engrenagens.
8. CONCLUSÃO
O principal intuito do projeto era realizar o dimensionamento de um eixo que suportasse tensões estáticas e fadiga de vida infinita, tendo como base o critério de Soderberg. Para isso, deveria se atentar ao fator de segurança mínimo de valor 1,5 e aos fatores de concentração de tensão, tanto da chaveta, quanto do ressalto entre os diâmetros. O desenvolvimento do trabalho contou com o auxílio de algumas ferramentas da engenharia, como os programas de análise estrutural MDsolids, Skyvic, Ftool e o software de modelagem 3D SolidWorks. Foi, justamente o uso dessas ferramentas, que verificou que os diâmetros estimados através de cálculos (método de Soderberg), atendiam ao fator de segurança proposto.
Outra condição que confirma a exatidão dos diâmetros calculados é a análise de deflexão e inclinação. Isso, porque, as deflexões e as inclinações obtidas por gráficos computacionais ficaram abaixo do máximo valor estipulado e padronizado pela literatura. Isso indica que o eixo não terá nenhum tipo de problema, o que só é possível com a realização correta de todas as contas feitas e a escolha adequada do material do eixo.
Conclui-se, portanto, que o eixo de aço SAE 1020 dimensionado está apto para suportar os esforços que foram aplicadas sobre ele.
9. OPINIÃO PESSOAL
O trabalho teve importante papel acadêmico, pois os estudantes em formação tiveram que agir como Engenheiros para solucionar o problema proposto. Possibilitou, ainda, um grande aprendizado na disciplina de Mecânica dos Materiais Aplicada e em outras áreas não pertencentes de forma direta à essa matéria, como, por exemplo, o uso de softwares de simulação/análise estrutural.
10. REFERÊNCIAS
Ftool, Version 4.0.0 [S.l.]: A Graphical-Interactive Program for Teaching Structural Behavior. Disponível em: <https://www.ftool.com.br/Ftool/>. Acesso em: 27 jul. 2021.
MDSolids. Version 4.1.0. [S.l.]: Educational Software for Engineering Students. Disponível em: <https://web.mst.edu/~mdsolids/>. Acesso em: 25 jul. 2021.
SHIGLEY, J. E. Elementos de Máquinas. 8. ed. Rio de Janeiro: Livros Tecnicos E Cientificos, 1994. 347p.
SkyCiv. Version 2.5.1. [S.l.]: Cloud Engineering Software. Disponível em: < https://skyciv.com/pt/>. Acesso em: 28 jul. 2021.