Apostila de Matemática Aplicada à Administração I - Prof Carlos André

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS 
PÚBLICOS E EXAMES 
VESTIBULARES
250 QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS
(TRT / CESPE – Unb / Basa / Receita Federal / Correios / Banco do Brasil / Sefaz-RO)
(Cesgranrio / UFRJ / UNIR)
200 PROBLEMAS PROPOSTOS COM GABARITO
PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
SUMÁRIO
 
 Pág.
1. Conjuntos dos Números Naturais (N) ........................................................................ 07
Da reta numérica natural..................................................................................................... 08 
Operações com números naturais........................................................................................09
Da adição de números naturais............................................................................................09
Da subtração de números naturais.......................................................................................10
Expressões numéricas simples.............................................................................................11
Da multiplicação de números naturais................................................................................ 11
Da divisão de números naturais...........................................................................................13
Expressões numéricas..........................................................................................................13
Potenciação com números naturais......................................................................................14
Expressões numéricas..........................................................................................................15
Números inteiros................................................................................................................. 16
Números inteiros positivos e negativos...............................................................................16
Representação geométrica dos números inteiros.................................................................17
Módulo ou valor absoluto de um número inteiro................................................................ 18
Números inteiros opostos ou simétricos..............................................................................19
Comparação de números inteiros........................................................................................ 19
Determinação de um subconjunto de Z............................................................................... 20
Soma de dois números inteiros de mesmo sinal..................................................................20
Soma de dois números inteiros de sinais diferentes............................................................ 21
Soma de dois números inteiros onde um deles é zero......................................................... 21
Soma de dois números opostos ou simétricos..................................................................... 22
Soma de três ou mais números inteiros............................................................................... 22
Subtração de números inteiros.............................................................................................22
Adição algébrica.................................................................................................................. 22
Eliminação de parênteses.................................................................................................... 23
Multiplicação de números inteiros...................................................................................... 23
Quando os dois fatores têm sinais iguais.............................................................................23
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
2
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Quando os fatores têm sinais diferentes.............................................................................. 24
Produto de três ou mais números inteiros............................................................................24
Divisão de números inteiros................................................................................................ 25
Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal........................................................... 25
Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes.........................................................25
Potenciação de números inteiros......................................................................................... 25
Quando o expoente é um número par..................................................................................25
Quando o expoente é um número ímpar..............................................................................25
Potência de expoente 1 (um)............................................................................................... 26
Potência de expoente 0 (zero)..............................................................................................26
Produto de potência de mesma base....................................................................................26
Quociente de potência de mesma base................................................................................ 26
Potência de potência............................................................................................................ 27
Potência de um produto ou de um quociente.......................................................................27
2. Números Primos............................................................................................................ 28
Números primos.................................................................................................................. 28
Números compostos.............................................................................................................28
Conclusões...........................................................................................................................28
Reconhecimento de um número primo................................................................................29
Decomposição de um número em fatores primos................................................................29
Procedimentos..................................................................................................................... 30
Problemas Propostos......................................................................................................... 30
Gabarito..............................................................................................................................31
3. Máximo Divisor Comum E Mínimo Múltiplo Comum..........................................32
Máximo divisor comum (M.D.C.)......................................................................................32
Técnicas para o cálculo do M.D.C...................................................................................... 32
Técnica de decomposição em fatores primos................................................................... 32
Problemas Propostos......................................................................................................... 33
Gabarito..............................................................................................................................33www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
3
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Mínimo múltiplo comum (M.M.C.)................................................................................... 33
Técnicas para o cálculo do M.M.C .................................................................................. 33
Propriedades........................................................................................................................ 35
Relação entre o M.M.C e o M.D.C dos mesmos números............................................. 35
Problemas Propostos......................................................................................................... 36
Gabarito..............................................................................................................................36
4. Números Racionais........................................................................................................37
A reta numérica decimal......................................................................................................38
Adição de números racionais – adição algébrica................................................................ 38
As frações têm o mesmo denominador............................................................................... 39
Multiplicação de números racionais....................................................................................39
Fatores comuns no numerador e no denominador..............................................................40
Fatores no numerador e no denominador (simplificados)...................................................40
Divisão de números racionais..............................................................................................40
Potenciação de números racionais.......................................................................................40
Equivalência de frações.......................................................................................................41
Correspondência de fração decimal com número decimal..................................................42
5. Porcentagem...................................................................................................................43
Razão centesimal ..........................................................................................................43
Porcentagem........................................................................................................................ 43
Problemas Propostos......................................................................................................... 43
Gabarito..............................................................................................................................44
Problemas de porcentagem..................................................................................................45
Problemas Propostos......................................................................................................... 45
Gabarito..............................................................................................................................46
Problemas Propostos......................................................................................................... 48
Gabarito..............................................................................................................................48
Problemas Propostos......................................................................................................... 49
Gabarito..............................................................................................................................52
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
4
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
6. Regra De Três............................................................................................................ 53
Regra de três simples...........................................................................................................53
Modo prático de resolver a regra de três direta................................................................... 54
Regra de três inversa........................................................................................................... 55
Modo prático de resolver a regra de três inversa.................................................................56
Problemas resolvidos...........................................................................................................56
7. Juros Simples.............................................................................................................. 59
Taxas....................................................................................................................................61
Taxa unitária e taxa percentual............................................................................................61
Taxas proporcionais e equivalentes .................................................................................. 62
Duas providências importantes............................................................................................62
Problemas Propostos......................................................................................................... 63
Gabarito..............................................................................................................................64
8. Área de Figuras Planas.............................................................................................. 65
Problemas Propostos com Gabarito.................................................................................68
Das medidas de volume.......................................................................................................69
Da transformação de unidades.............................................................................................69
Problemas Propostos......................................................................................................... 70
Gabarito..............................................................................................................................70
Cálculo do volume de um sólido......................................................................................... 71
9. Sistema Legal de Medidas...................................................................................... 72
Das medidas de comprimento...........................................................................................72
Leitura e transformações das unidades de comprimento.....................................................73
Problemas Propostos......................................................................................................... 74
Gabarito..............................................................................................................................74
Medida do perímetro de um polígono................................................................................. 75
Das medidas de capacidade................................................................................................ 76
Transformação de unidades.................................................................................................77
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
5
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Problemas Propostos.........................................................................................................78
Gabarito..............................................................................................................................78
10. Das Medidas de Massa................................................................................................ 78
Transformação de unidades.................................................................................................79
Das medidas de tempo.........................................................................................................79
Unidades maiores que o segundo........................................................................................ 79
Das medidas de superfície ..............................................................................................81
Da transformação de unidades.............................................................................................82
Da transformação das unidades agrárias............................................................................. 82
Problemas Propostos......................................................................................................... 83
Gabarito..............................................................................................................................83
Questões dos Últimos Concursos Públicos......................................................................84
e-mail: barbosadejesu@hotmail.com
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
6
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
mailto:barbosadejesu@hotmail.co
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
1.CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS (N)
Como já vimos em estudo realizado em curso de primeiro grau, para o estudo da 
Matemática, fazemos uso de alguns conjuntos numéricos, entre eles, destacamos o "conjunto dos 
números naturais". Começando pelo "zero" e acrescentando sempre uma unidade, teremos os 
chamados números naturais e seu conjunto é indicado por:
lN = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 21, ...}
Convém notar que quando excluímos o "Zero" deste conjunto, temos o conjunto dos 
números naturais não nulos, que é indicado por:
lN* = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 21, ...}
Se considerarmos a sucessão dos números naturais, veremos que: o "zero" é o menor dos 
números naturais e todo número natural tem um sucessivo ou sucessor.
Exemplos: 1 é o sucessivo de 0
 2 é o sucessivo de 1
 3 é o sucessivo de 2
. .
. .
. .
 n + 1 é o sucessivo de n
Sendo assim, como conseqüência de que todo número natural tem um sucessivo, "não 
existe um último número natural". Dizemos, então, que tanto o conjunto lN como o conjunto 
lN* "são infinitos". Todo número natural, com exceção do "zero" tem um antecessor.
Exemplos: 0 é o antecessor de 1
 1 é o antecessor de 2
 n - 1 é o antecessor de n
Dois ou mais números que se seguem na secessão dos números naturais são 
denominados "consecutivos". 
Exemplos: 21 e 22 são números naturais consecutivos.
 76, 77 e 78 são números naturais consecutivos.
Observe as seguintes notações:
1º) Quando queremos especificar que a letra n representa um número natural, 
escrevemos n є IN;
2º) Quando escrevemos n є IN e n < 5, queremos dizer que n representa um número 
natural menor que 5, ou seja, n pode ser 0, ou 1, ou 2, ou 3, ou 4;
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
7
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
 3º) Quando escrevemos n є IN e 2 < n < 6, queremos dizer que n representa um 
número natural que está compreendido entre 2 e 6, ou seja, n pode ser 3, 4 ou 5. Sejam, então, 
os seguintes conjuntos (que são subconjuntos de lN):
A = { n є IN / n < 5} (Lê-se: n pertence a IN tal que n é menor que 5)
Escrevendo os elementos desse conjunto, um a um, temos:
A = { 0, 1, 2, 3, 4 }
B = { n є IN / 2 < n < 6} (Lê-se: n pertence a IN tal que n está contido entre dois e seis)
Escrevendo, um a um, os elementos desse conjunto, temos:
B = { 3, 4, 5}
DA RETA NUMÉRICA NATURAL
Consideremos o conjunto dos números naturais IN = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....} e façamos 
corresponder ao número 0 (zero) o ponto origem ( O ), ao número 1 o ponto A, ao número 
2 o ponto B, e assim sucessivamente:
 O A B C D E
 
 0 1 2 3 4 5
Assim, estabelecemos uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos números 
naturais IN = { 0, 1, 2, 3, 4, ....} e o conjunto P = { O, A, B, C, ....} dos pontos assinalados na 
reta r. 
 
 Dizemos que: O conjunto P dos pontos assinalados sobre a reta r constitui uma 
representação geométrica do conjunto IN e cada ponto assinalado sobre a reta é denominado 
imagem geométrica do número correspondente.
Desta forma: o ponto O é a imagem geométrica do número 0
 o ponto A é a imagem geométrica do número 1
 o ponto B é a imagem geométrica do número 2
 o ponto C é a imagem geométrica do número 3
 o ponto D é a imagem geométrica do número 4 
 o ponto E é a imagem geométrica do número 5
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
8
r
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Obs: O conjunto P é denominado reta numérica natural . 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
O objetivo desta unidade é rever e aprofundar o estudo das operações fundamentais com 
números naturais, já que adicionar, subtrair, multiplicar e dividir são fatos constantes em nossos 
afazeres diários.
DA ADIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
Adição consiste na operação que faz corresponder a um par ordenado de números dados 
um único número, que é a soma do primeiro com o segundo. Sendo assim, atente-se para as 
seguintes propriedades:
Propriedade do Fechamento:
Observe: 8 + 6 = 14, Então 8 є IN, 6 є IN, (8 + 6 ) є IN
Logo: a soma de dois números naturais é sempre um número natural.
Propriedade Comutativa:
Observe: a soma dos números 7 e 5, nessa ordem, é 12, ou seja, 7 + 5 = 12. Trocando a 
ordem dos números, obtemos o mesmo resultado: 5 + 7 = 12.
Logo: a ordem das parcelas não altera a soma.
Propriedade do Elemento Neutro:
Observe as adições: 
Verifica-se que, adicionando o número 0 (zero) a um número natural, o resultado é sempre o 
próprio número natural, ou seja, o 0 (zero) não influi ao resultado da adição. Então: o número 
zero é chamado de elemento neutro da adição.
Propriedade Associativa:
Observe: (6 + 4) + 8 = 10 + 8 = 18
 6 + (4 + 8) = 6 + 12 = 18
Então: (6 + 4) + 8 = 6 + 4 + 8
Logo: a adição de três parcelas pode ser feita, associando-se as duas primeiras ou as 
duas últimas parcelas, indiferentemente. 
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
9
Daí: 7 + 5 = 12
5 + 7 = 12 Então: 7 + 5 = 5 + 7
0 + 2 = 2
2 + 0 = 2 Então: 0 + 2 = 2 + 0
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Propriedade do Cancelamento:
Exemplos: Se a + 10 = b + 10, então a = b
 Se x + 4 = 5 + 4, então x = 5
Propriedade Aditiva:
Exemplos: Se a = b, então: a +10 = b + 10
 Se a = 10 e b = 5, então: a + b = 10 + 5
Soma de Três ou Mais Números:
A soma de três ou mais números naturais é o número que se obtém, adicionando-se o 
terceiro à soma do primeiro com o segundo; e assim por diante.
Exemplo: 36 + 12 + 54 = 48 + 54 = 102
DA SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
Observe a seguintes operação:
 171.000 – 57.000 = 114.000 ou 171.000
 - 57.000 
 ________
 114.000
 A operação que realizamos denomina-se subtração.
 O número 171.000 denomina-se minuendo.
 O número 57.000 denomina-se subtraendo.
 O número 114.000 denomina-se diferença. 
Relação Fundamental da Subtração:
Minuendo – Subtraendo = diferença.
Subtraendo + diferença = minuendo.
171.000 – 57.000 = 114.000 Diferença
Observe:
7 – 4 = 3 pois 4 + 3 = 7; logo: 3 é a diferença entre 7 e 4.
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
10
Minuendo
Subtraendo
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
32 – 20 = 12 pois 20 + 12 = 32; logo: 12 é a diferença entre 32 e 20.
15 – 15 = 0 pois 15 + 0 = 15; logo: zero é a diferença entre 15 e 15.
6 – 9 = ? neste caso, a diferença entre 6 e 9 é impossível de calcular, pois não há número 
natural que adicionado a 9 dê 6.
Logo: a diferença entre dois números naturais só existe quando o primeiro é maior 
ou igual ao segundo. 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS SIMPLES
1º exemplo: Calcular o valor da expressão numérica: 10 – 6 + 4 – 7 
10 – 6 + 4 – 7 = 4 + 4 – 7 = 8 – 7 = 1
Observe: neste caso, por convenção, realizamos as operações obedecendo à ordem 
em que elas aparecem na expressão.
2º exemplo: Calcular o valor da expressão numérica 20 – (15 – 10 + 6)
20 – ( 15 – 10 + 6 ) = 20 – ( 5 + 6 ) = 20 – 11 = 9 
DA MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
Quanto à multiplicação podemos afirmar que:
 Produto é uma soma de parcelas iguais.
 Multiplicar é adicionar parcelas iguais.
Então: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5 x 2 = 10 Produto
Na multiplicação, devemos observar que:
 Multiplicando qualquer número por 1 dá o próprio número.
 Exemplo: 1 x 6 = 6
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
11
Parcelas Iguais
Fator
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
 Multiplicando qualquer número por 0 (zero) dá zero.
 Exemplo: 0 x 6 = 0
Propriedade de Fechamento:
Observe: 5 x 2 = 10 Se 5 є IN e 2 є IN, então ( 5 x 2 ) є IN.
Logo: o produto de dois números naturais é sempre um número natural.
Propriedade Comutativa:
Observe: 5 x 2 = 10
 2 x 5 = 10
Então: 5 x 2 = 2 x 5
Logo: a ordem dos fatores não altera o produto.
Propriedade do Elemento Neutro:
Observe: 8 x 1 = 1 x 8 
Logo: multiplicando-se o número 1 por um número natural, em qualquer ordem, o 
resultado é sempre o próprio número natural. O número 1 é chamado elemento 
neutro de multiplicação.
Propriedade Associativa:
Observe os seguintes cálculos:
( 5 x 2 ) x 3 = 10 x 3 = 30
5 x ( 2 x 3 ) = 5 x 6 = 30
 
Então: ( 5 x 2 ) x 3 = 5 x ( 2 x 3 )
Logo: numa multiplicação de três fatores, podem-se associar os dois primeiros ou os 
dois últimos, indiferentemente.
Propriedade Distributiva Em Relação Á Adição ou À Subtração: 
Observe os seguintes cálculos:
5 x ( 6 + 2 ) = ( 5 x 6 ) + ( 5 x 2 )
4 x ( 7 – 3 ) = ( 4 x 7 ) - ( 4 x 3 )
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
12
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Logo: o produto de um número por uma soma (ou diferença) pode ser obtido 
multiplicando-se o número por cada um dos termos da soma (ou diferença) e 
adicionando-se (ou subtraindo os produtos parciais).
DA DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS
Observe abaixo, o cálculo a seguir:
Então, temos: 
 o primeiro número dado (23) denomina-se dividendo.
 o segundo número dado (5) denomina-se divisor.
 O resultado da divisão (4) denomina-se quociente.
 o que sobra (3) denomina-se resto.
Observações:
O dividendo = divisor x quociente + resto
0 não existe.
5 : 0 não existe.
8 : 3 não pertence ao conjunto dos números naturais.
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
Observe os exemplos:
1º) Calcular o valor da expressão: 20 + 6 : 2
20 + 6 : 2 = 20 + 3 = 23
2º) Calcular o valor da expressão: 40 : 10 x 5
40 : 10 x 5 = 4 x 5 = 20
3º) Calcular o valor da expressão: 12 : 6 + 3 x 8
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
13
23 5
4 3
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
12 : 6 + 3 x 8 = 2 + 24 = 26
Regras: devemos efetuar, em primeiro lugar, as divisões ou as multiplicações, 
obedecendo à ordem em que aparecem, em seguida, as adições ou as subtrações, 
obedecendo também à ordem em que aparecem. Caso haja parênteses, calcular, 
inicialmente, o valor da expressão situada no interior dos parênteses. 
Exemplo: 40 : ( 16 - 3 x 4 ) = 40 : ( 16 – 12 ) = 40 : 4 = 10
Note: em se tratando de parênteses, primeiro efetuamos as divisões e as multiplicações, 
para depois efetuarmos as subtrações e as adições.
POTENCIAÇÃO COM NÚMEROS NATURAIS
Já dissemos anteriormente que multiplicar é somar parcelas iguais. Veja:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 x 3 = 15
Agora, você deverá considerar o seguinte produto de fatores iguais:
3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 
Observe que: a operação realizada denomina-se “potenciação”, sendo que o produto: 
3 x 3 x 3 x 3 x 3 pode ser indicado por 35 e o seu resultado: 243 chama-se “quinta 
potência de três”. Dessa forma, temos: 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243.
O fator que se repete denomina-se “base” da potência (no caso, o número 3). O número 
que indica quantas vezes o fator se repete denomina-se “expoente” (no caso, o número 5).
 
35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3
Então: 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
14
Cinco parcelas
Cinco fatores
expoente
base
fatores
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Observação: A expressão 35 lê-se : três elevado à quinta potência.
Logo: dados dois números naturais, a e n (com n > 1 ), a expressão an é igual ao 
produto de n fatores iguais ao número a. Quando o expoente é 2, lê-se quadrado.
Exemplo: 62 lê-se: seis elevado ao quadrado ou quadrado de seis. Quando o expoente é 
3, lê-se : “cubo”. Exemplo: 23 lê-se: dois elevado ao cubo ou cubo de dois.
Observações importantes:
 Toda potência de expoente 1 é igual à base: 51 = 5.
 Toda potência de expoente 0 é igual a 1: 50 = 1.
 Toda potência de base 0 é igual a 0 : 04 = 0 x 0 x 0 x 0 = 0.
 Toda potência de base 1 é igual a 1 : 14 = 1 x 1 x 1 x 1 = 1.
 Toda potência de 10 é igual ao algarismo 1 seguido de tantos zeros quantos forem 
as unidades do expoente: 104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000.
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
1ª) Calcular o valor da expressão : 33 + 1 = 27 + 1 = 28
2ª) Calcular o valor da expressão numérica: 20 – 42 : 2 = 20 – 16 : 2 = 20 – 8 = 12.
3ª) Calcular o valor da expressão numérica: 34 : 9 x 23 = 81 : 9 x 8 = 9x 8 = 72.
Não esqueça: efetuamos, em 1º lugar, as potenciações, em 2º lugar, as divisões ou 
multiplicações, na ordem em que aparecem, em 3º lugar as adições ou subtrações, na 
ordem em que aparecem.
Caso, haja parênteses, calculamos inicialmente o valor da expressão situada no seu 
interior: 
25 + (42 + 23 x 3 ) = 
 25 + (16 + 8 x 3 ) =
25 + (16 + 24 ) =
32 + 40 = 72.
 
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
15
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
NÚMEROS INTEIROS
O conjunto dos números inteiros nada mais é do que uma ampliação do conjunto dos números 
naturais. Sendo assim, atente-se para as seguintes subtrações:
Você observou que não pôde efetuar as subtrações, porque nelas, o minuendo é menor que o 
subtraendo. Então a operação a – b, quando a < b, é impossível de ser efetuada no conjunto 
dos números naturais IN. Para que esse tipo de operação seja sempre possível, foi necessária a 
ampliação do conjunto IN, com a criação de uma nova categoria de números denominada de 
“números inteiros positivos e negativos”.
 
NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS E NEGATIVOS
A fim de se obter um conjunto em que a operação subtração entre seus elementos seja sempre 
possível, foi necessário ampliar o conceito de número. Com esse objetivo criou-se para cada 
número natural n (com n diferente de zero) um número + n (lê-se mais n) e um número – n (lê-
se: menos n). Veja:
Exemplos:
 Para o número 1 criou-se: (+ 1) e (– 1)
 Para o número 2 criou-se: (+ 2) e (– 2)
 Para o número 3 criou-se: (+ 3) e (– 3)
 Para o número 9 criou-se: (+ 9) e (– 9)
Os números + 1, + 2, + 3 e + 9 são denominados “números inteiros positivos” e os números – 1, 
– 2, – 3 e – 9 são denominados “números inteiros negativos”.
Então, podemos afirmar: o conjunto constituído pelos números inteiros positivos, pelo número 
zero e pelos números inteiros negativos e denominado “conjunto dos números inteiros”, que é 
representado pela letra Z, e escrito:
Z = { ... , –5, – 4 , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 , 4 , 5, ...} 
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
16
 5 – 8 12 – 20 0 – 3 
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Observando o diagrama acima, podemos afirmar que:
IN ⊂ Z, então: IN é subconjunto de Z.
Além do conjunto IN, podemos identificar outros subconjuntos de Z:
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DOS NÚMEROS INTEIROS
Tomamos uma reta r e sobre ela, tomamos um ponto O que vai dividi-la em duas semi-retas. A 
seguir, procedemos da seguinte forma:
- à direita do ponto O, com certa unidade de medida assinalamos pontos consecutivos e, para 
cada ponto, fazemos corresponder um número inteiro positivo.
- À esquerda do ponto O, com a mesma unidade, assinalamos pontos consecutivos e, para cada 
ponto, fazemos corresponder um número inteiro negativo.
- Ao ponto O, denominado “origem” , fazemos corresponder o número “zero”. Veja: 
 
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
17
- Conjunto dos números inteiros diferentes de zero : Z*
 Z* = { ..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
- Conjunto dos números inteiros não negativos = Z +
 Z + = { 0, 1, 2, 3, 4, ....}
- Conjunto dos números inteiros não positivos = Z – 
 Z – { 0, – 1, –2 , –3, – 4, ...} 
- Conjunto dos números inteiros positivos = Z* +
 Z* + = { 1, 2, 3, 4, 5, ...}
 E’ D’ C’ B’ A’ O A B C D E
 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5
r
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Assim, estabelecemos uma correspondência biunívoca, isto é, a cada número positivo 
corresponde um número negativo, entre um subconjunto de pontos da reta r e o conjunto Z. O 
conjunto dos pontos assinalados sobre a reta r constitui a representação geométrica do conjunto 
Z. O conjunto dos pontos assinalados sobre a reta r constitui a representação geométrica do 
conjunto Z, e cada um dos pontos da reta é a “imagem” de um número inteiro.
Assim: o ponto A é a imagem geométrica do número + 1.
 o ponto E’ é a imagem geométrica do número – 5.
O número inteiro é denominado “abscissa” do ponto correspondente.
Assim: o número + 2 é a abscissa do ponto B’.
 o número – 3 é a abscissa do ponto C’. 
MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO INTEIRO
Como já vimos, para cada número natural (n diferente de zero) foi criado um número + n e um 
número – n. 
O número natural denomina-se módulo ou valor absoluto do número inteiro:
 O módulo do número + 5 é 5. Indica-se : / + 5 / = 5
 O módulo do número –5 é 5. Indica-se: / –5 / = 5
 O módulo de zero é zero mesmo. Indica-se: / 0 / = 0
 O módulo do número + 10 é 10. Indica-se : / + 10 / = 10
 O módulo do número – 10 é 10. Indica-se: / –10 / = 10
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
18
 4 20
+4
– 4 – 20 
+20
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
NÚMEROS INTEIROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS
Observe novamente a reta numérica:
 A distância do ponto A ao ponto S é igual à distância do ponto B ao ponto S.
 Os números que expressam as posições dos pontos A e B têm módulos iguais, isto é, /
+ 5 / = / –5 / = 5.
 Os números que expressam as posições dos pontos A e B têm sinais diferentes.
 Os pontos A e B são simétricos em relação ao ponto S.
 Dois números opostos têm sinais diferentes e o mesmo módulo.
 O oposto de zero é zero.
Daí: dois números inteiros são opostos ou simétricos quando têm módulos iguais e sinais 
diferentes.
COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Para tanto, vamos considerar também a reta numérica:
 Assim, podemos concluir que:
 5 > 1, pois 5 está a direita de + 1 na reta numérica.
 2 > 3, pois 2 está a direita de – 3 na reta numérica.
 – 1 > – 4, pois – 1 está a direita de – 4 na reta numérica. 
Assim: dados dois números inteiros, o maior é aquele que estiver mais à direita na reta numérica.
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
19
 B S A
 – 5 0 5
 B S A
 – 5 – 4 –3 –2 – 1 0 1 2 3 4 5
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
DETERMINAÇÃO DE UM SUBCONJUNTO DE Z 
Vamos escrever o conjunto do números inteiros maiores que – 3:
 Pela nomeação dos elementos: { – 2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
 Simbolicamente: { x ∈ Z / x > – 3}
 Então: { x ∈ Z / x > – 3}= { – 2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
Vamos escrever o conjunto do números inteiros menores ou iguais a – 5:
 Pela nomeação dos elementos: { – 5 , – 6, – 7, – 8, – 9, ...}
 Simbolicamente : { x ∈ Z / x ≤ – 5}
 Então: { x ∈ Z / x ≤ – 5} = { – 5 , – 6, – 7, – 8, – 9, ...}
Vamos escrever o conjunto dos números inteiros maiores ou iguais a – 4 e menores que + 2: 
 Pela nomeação dos elementos : { – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1} 
 Simbolicamente : { x ∈ Z / – 4 ≤ x < 2 }
 Então: { x ∈ Z / – 4 ≤ x < 2 } = { – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1}SOMA DE DOIS NÚMEROS INTEIROS DE MESMO SINAL
Para somar dois números inteiros de mesmo sinal, é importante ter conhecimento das seguintes 
recomendações:
 Quando ambos os números são positivos, a soma é um número positivo.
 Quando ambos os números são negativos, a soma é um número negativo.
 O módulo do resultado é sempre igual à soma dos módulos das parcelas.
Exemplos: ( + 6 ) + ( + 8 ) = + 14
 ( + 3 ) + ( + 7 ) = + 10
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
20
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
 ( –2 ) + (– 4 ) = – 6
 ( –5 ) + ( – 3 ) = – 8 
 ( + 2 ) + ( + 3 ) = + 5
 ( – 4 ) + ( – 2 ) = – 8
Regra: a soma de dois números inteiros (diferentes de zero) de mesmo sinal é obtida 
conservando-se o sinal comum às parcelas e adicionando-se os módulos.
SOMA DE DOIS NÚMEROS INTEIROS DE SINAIS DIFERENTES
Observe que, quando um número é positivo e o outro negativo, o número mais distante da 
origem é que determina se a soma é um número positivo ou um número negativo, e que o 
módulo do resultado é sempre igual à diferença entre os módulos da parcelas.
Atente-se para as operações seguintes:
 
 ( + 18 ) + ( – 8 ) = + 10
 ( + 15 ) + (– 10 ) = + 5
 ( + 11 ) + ( – 14 ) = – 3
 ( + 9 ) + ( – 19 ) = – 10 
 ( – 6 ) + ( + 4 ) = – 2
 ( + 7 ) + ( – 3 ) = + 4
Regra: a soma de dois números inteiros (diferentes de zero) de sinais diferentes é obtida dando-
se o sinal da parcela que tem maior módulo e calculando-se a diferença entre os módulos.
SOMA DE DOIS NÚMEROS INTEIROS ONDE UM DELES É ZERO
Atente-se para as seguintes operações:
(+ 6) + 0 = + 6 ( – 5 ) + 0 = – 5
0 + ( + 3 ) = + 3 0 + ( –2 ) = –2
Regra: a soma de dois números inteiros, um dos quais é zero, é igual ao outro número.
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
21
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
SOMA DE DOIS NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS
Atente-se para as seguintes operações:
( + 5 ) + ( –5 ) = 0
( + 9 ) + ( – 9 ) = 0
Pelo que se observa, nos cálculos acima, números opostos ou simétricos são números inteiros 
que têm o mesmo módulo e sinais diferentes.
Regra: a soma de dois números inteiros opostos ou simétricos é igual a zero.
SOMA DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS INTEIROS
Atente-se para os seguintes cálculos:
( + 9 ) + ( – 7 ) + ( + 5 ) + ( – 10 ) =
( + 14 ) + ( – 17 ) = – 3
Pelo que se observa, a soma de três ou mais números inteiros resume-se na soma de dois 
números inteiros (diferentes de zero), onde o resultado é obtido somando-se o total das parcerias 
positivas com o total das parcelas negativas.
Regra: obtemos a soma calculando:
• A soma de todas as parcelas positivas;
• A soma de todas as parcelas negativas;
• A soma dos resultados obtidos.
SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o minuendo ao oposto do subtraendo, 
isto é, obtemos o mesmo resultado. Sendo assim, observe os seguintes cálculos:
( + 7 ) – ( + 5 ) = ( + 7 ) + ( – 5 ) = + 2
( + 3 ) – ( – 2 ) = ( + 3 ) + ( + 2 ) = + 5
Regra: Para se determinar a diferença entre dois números inteiros, basta calcular a soma do 
minuendo com o oposto do subtraendo.
ADIÇÃO ALGÉBRICA
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
22
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
A adição e a subtração no conjunto Z podem ser considerados como uma única operação 
denominada adição algébrica, cujo resultado chama-se “soma algébrica”. Observe os seguintes 
cálculos:
a) ( + 7 ) + ( – 5 ) = + 7 – 5 = + 2
b) ( – 2 ) – ( + 3 ) = ( – 2 ) + ( – 3 ) = 2 – 3 = – 5
c) ( + 3 ) + ( 10 ) – ( + 8 ) = ( + 3 ) + ( + 10 ) + ( – 8 ) = + 3 + 10 – 8 = + 5 
ELIMINAÇÃO DE PARÊNTESES
Atente-se para os cálculos da seguinte soma algébrica:
– 5 + ( 2 – 8 + 6 ) = – 5 + 2 – 8 + 6 = – 13 + 8 = – 5
Regra: numa soma algébrica, os parênteses, que contém uma soma de números inteiros e que são 
precedidos pelo sinal ( + ), podem ser eliminados juntamente com o sinal ( + ) que os precede, 
escrevendo-se os números contidos no seu interior, cada qual com o próprio sinal.
Seja a soma algébrica: 3 – ( – 2 + 10 – 7 ) = 
 3 + 2 – 10 + 7 = 
 + 12 – 10 = + 2 
Regra: numa soma algébrica, os parênteses que contém uma soma de números inteiros e que são 
precedidos pelo sinal ( – ) , podem ser eliminados juntamente com o sinal ( – ) que os 
precede, escrevendo-se os números contidos no seu interior, com sinais trocados.
Observação: Quando existem colchetes e chaves, valem as mesmas regras práticas de 
eliminação. Note que, quando um desses sinais de associação contém outro, a eliminação se faz 
a partir do mais interno.
Exemplo: 20 – [ – 3 + ( – 5 + 18 + 6 ) – 1 ] = 
 20 – [ – 3 – 5 + 18 + 6 ] = eliminando os parênteses
 20 + 3 + 5 – 18 – 6 + 1 = eliminando os colchetes
 + 29 – 24 = + 5
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Na multiplicação de dois números inteiros, devemos ficar atentos para os seguintes casos:
QUANDO OS DOIS FATORES TÊM SINAIS IGUAIS :
1º Exemplo: ( + 5 ) . ( + 3 ) = 
 5 x 3 = 15 ou + 15
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
23
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
2º Exemplo: ( – 5 ) . ( – 3 ) = 
 5 x 3 = 15 ou + 15 
 Calcula-se o produto dos módulos dos fatores.
Logo: ( + 5 ) . ( + 3 ) = + 15
 ( – 5 ) . ( – 3 ) = + 15
Regra: para determinar o produto de dois números inteiros (diferentes de zero), com fatores de 
sinais iguais, calcula-se o produto dos módulos dos fatores, dando-lhe sinal positivo.
QUANDO OS FATORES TÊM SINAIS DIFERENTES
1º Exemplo: ( + 5 ) . ( – 3 ) = 5 . ( – 3 ) = ( – 3 ) + ( – 3 ) + ( – 3 ) + ( – 3 ) + ( – 3 ) = – 15 
 o módulo de + 5 = 5 produto é uma soma de parcelas iguais
2º Exemplo: ( – 5 ) . ( + 3 ) = ( – 5 ) . 3 = ( – 5 ) + ( – 5 ) + ( – 5 ) = – 15 
 Logo: ( + 5 ) . ( – 3 ) = – 15
 ( – 5 ) . ( + 3 ) = – 15
Regra: para determinar o produto de dois números inteiros (diferentes de zero), com fatores de 
sinais diferentes, calcula-se o produto dos módulos dos fatores, dando-lhe sinal negativo.
PRODUTO DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS INTEIROS
( + 6 ) . ( – 2 ) . ( – 3 ) . ( + 5 ) = ( – 12 ) . ( – 3 ) . ( + 5 ) = ( + 36 ) . ( + 5 ) = + 180 
Regra: para se obter o produto de três ou mais fatores, multiplica-se o primeiro pelo segundo, o 
resultado obtido, pelo terceiro, e assim por diante.
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
24
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Quanto à divisão de números inteiros, convocamos a atenção do estudante para os seguintes 
casos:
QUANDO O DIVIDENDO E O DIVISOR TÊM O MESMO SINAL
1º Exemplo: ( + 18 ) : ( + 6 ) = + 3
2º Exemplo: ( – 18 ) : ( – 6 ) = + 3
Regra: o quociente de dois númerosinteiros de sinais iguais, com o segundo diferente de zero, é 
obtido dividindo-se o módulo do dividendo pelo módulo do divisor e dando ao quociente o sinal 
positivo.
QUANDO O DIVIDENDO E O DIVISOR TÊM SINAIS DIFERENTES
1º Exemplo: ( + 18 ) : ( – 6 ) = – 3
2º Exemplo: ( – 18 ) : ( + 6 ) = – 3 
Regra: o quociente de dois números inteiros de sinais diferentes, com o segundo diferente de 
zero, é obtido dividindo-se o módulo do dividendo pelo módulo do divisor e dando ao quociente 
o sinal negativo.
POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Vamos estudar as regras para as potências de números inteiros com base diferente de zero. 
Atente-se para os seguintes casos:
QUANDO O EXPOENTE É UM NÚMERO PAR
( + 2 )2 = ( + 2 ) x ( + 2 ) = + 4 a potência é um número positivo.
( – 2 )2 = ( – 2 ) x ( – 2 ) = + 4 a potência é um número positivo.
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
25
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
( + 2 )4 = + 16 a potência é um número positivo.
( – 2 )4 = + 16 a potência é um número positivo.
Regra: quando o expoente é par, a potência é sempre um número positivo.
QUANDO O EXPOENTE É UM NÚMERO ÍMPAR
( + 2 )3 = ( + 2 ) x ( + 2 ) x ( + 2 ) = + 8 leva o mesmo sinal da base.
( – 2 )3 = ( – 2 ) x ( – 2 ) x ( – 2 ) = – 8 leva o mesmo sinal da base.
( + 2 )5 = + 32 leva o mesmo sinal da base.
( – 2 )5 = – 32 leva o mesmo sinal da base.
Regra: quando o expoente é ímpar, a potência tem sempre o mesmo sinal da base.
POTÊNCIA DE EXPOENTE 1 (UM)
( + 3 )1 = + 3
( – 3 )1 = – 3
Regra: a potência com expoente 1 (um) é igual ao próprio número da base.
POTÊNCIA DE EXPOENTE 0 (ZERO)
( + 2 )0 = + 1
( – 2 )0 = + 1
Regra: toda potência com expoente zero é igual a + 1
Observações: 
( – 2 )2 é diferente de – 22 , pois ( – 2 )2 = + 4 e – 22 = – 4.
( – 2 )2 representa o quadrado do número – 2.
 – 22 representa menos o quadrado do número 2.
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
26
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
PRODUTO DE POTÊNCIA DE MESMA BASE
1º Exemplo: ( + 5 )3 x ( + 5 )6 = ( + 5 )3+6 = ( + 5 )9
2º Exemplo: ( – 2 )4 x ( – 2 ) x ( – 2 )5 = ( – 2 )4 +1+5 = ( – 2 )10 
Regra: num produto de potências de mesma base, somam-se os expoentes e conserva-se a base.
QUOCIENTE DE POTÊNCIA DE MESMA BASE
1º Exemplo: ( – 6 )5 : ( + 6 )2 = ( + 6 )5 – 2 = ( + 6 )3
2º Exemplo: ( – 10 )8 : ( – 10 )3 = ( – 10 )8 – 3 = ( – 10 )5
Regra: num quociente de potências de mesma base, conserva-se a base e subtrai-se os expoentes.
POTÊNCIA DE POTÊNCIA
1º Exemplo: [ ( + 10 )2 ]5 = ( + 10 )2 x5 = ( + 10 )10
2 º Exemplo: [ ( – 8 )3 ]2 = ( – 8 )3x2 = ( – 8 )6 
Regra: num produto de potência de potência de mesma base, conserva-se a base e multiplica-se 
os expoentes.
POTÊNCIA DE UM PRODUTO OU DE UM QUOCIENTE
[ ( + 6 ) x ( – 5 ) ]2 = ( + 6 )2 x ( – 5 )2
[ ( – 10 ) : ( + 2 )]3 = ( – 10 )3 : ( + 2 )3
Regra: para se obter a potência de um produto ou de um quociente, eleva-se cada termo do 
produto ou do quociente a este expoente.
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
27
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
2. NÚMEROS PRIMOS
NÚMEROS PRIMOS
Os números que admitem apenas dois divisores (ele próprio e 1) são chamados números 
primos.
Exemplos:
a) 2 é um número primo, pois D2 = { 1, 2 }
b) 3 é um número primo, pois D3 = { 1, 3 }
c) 5 é um número primo, pois D5 = { 1, 5 }
d) 7 é um número primo, pois D7 = { 1, 7 }
e) 11 é um número primo, pois D11 = { 1, 11 }
O conjunto dos números primos é infinito.
P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}
NÚMEROS COMPOSTOS
Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
Exemplos:
a) 4 é um número composto, pois D4 = { 1, 2, 4 }
b) 6 é um número composto, pois D6 = { 1, 2, 3, 6 }
c) 8 é um número composto, pois D8 = { 1, 2, 4, 8 }
d) 9 é um número composto, pois D9 = { 1, 3, 9 }
CONCLUSÕES
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
28
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
• O número 2 é o único número par que é primo.
• O número 1 não é primo nem composto (tem apenas 1 divisor)
RECONHECIMENTO DE UM NÚMERO PRIMO
Para reconhecer se um número é primo, dividimos o número dado, sucessivamente, pelos 
números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13,.. até que o quociente seja menor ou igual ao divisor. Se isso 
acontecer e a divisão não for exata, dizemos que o número é primo.
DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS (FATORAÇÃO)
Um número composto pode ser indicado como um produto de fatores primos. Ou melhor, um 
número pode ser fatorado. 
Exemplo:
Vamos decompor o número 140 em fatores primos.
140 = 2 x 70
140 = 2 x 2 x 35
140 = 2 x 2 x 5 x 7 
Na prática você fará assim: 
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
29
N ú m eros P rim os 1 N ú m e ros C om p os to s
N ú m e ros N a tu ra is
COMPOSTO FATORES PRIMOS 
140 2
70 2
35 5
7 7
1 2 x 2 x 5 x 7 = 22 x 5 x 7
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
PROCEDIMENTOS
• Escrevemos o número dado à esquerda de uma barra vertical.
• Dividimos o número (140) pelo menor número primo possível. Neste caso, é o 2.
• Voltamos a dividir o quociente, que é 70, pelo número primo possível. 
Aqui novamente é o 2.
• O processo é repetido, até que o quociente seja 1.
PROBLEMAS PROPOSTOS
1) Dadas as afirmações:
• O número 1 é primo.
• O número 0 é primo.
• O número 1 é composto.
Temos:
a) só uma verdadeira.
b) só duas verdadeiras.
c) todas verdadeiras.
d) todas falsas.
2) Um número primo tem:
a) só dois divisores.
b) nenhum divisor.
c) apenas um divisor.
d) mais do que dois divisores. 
3) Dos conjuntos abaixo, o único que possui como elementos somente números primos é:
a) { 13, 17, 27 } b) { 13, 17, 19 } c){ 19, 21, 23 } d) { 21, 23, 29 }
4) O conjunto dos divisores de 30 que são primos é:
a) { 1, 2, 3 } b) { 1, 2, 5 } c) { 2, 3, 5 } d) { 1, 3, 5 }
5) Se A é o conjunto dos divisores de 15 e se B é o conjunto dos números primos menores do 
que 15, então A ∩ B é o conjunto:
a) { 3, 5 } b) { 2, 5 } c) { 3, 5, 15 } d) { 2, 3, 5, 15 }
6) Qual o número representado como um produto de fatores primos ?
a) 2 x 5 x 10 b) 2 x 3 x 7 c) 2 x 52 x 72 d) 22 x 52 x 72
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
30
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
7) A Fatoração completa de 4. 900 é:
a) 22 x 52 x 7 b) 22 x 5 x 72 c) 2 x 52 x 72 d) 22 x 52 x 72 
8) O produto de 2 x 3 x 72 é a fatoração completa de:
a) 84 b) 184c) 194 d) 294
9) O algarismo que deve ser colocado à direita de 12 para se obter um número primo é:
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7
10) Qual dos números abaixo é primo ?
a) 123 b) 143 c) 153 d) 163
11) Qual dos números abaixo é primo ?
a) 121 b) 401 c) 362 d) 201
12) Das seqüências a seguir, aquela que não contém números primos é:
a) 13, 427, 1029 b) 189, 300, 529 c) 2, 111, 169 d) 11, 429, 729
GABARITO
1 – D / 2 – A / 3 – B / 4 – C / 5 – A / 6 – B / 7 – D / 8 – D / 9 – D / 10 – D / 11 – B / 12 - B
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
31
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
3. MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.) E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)
MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)
Consideremos os conjuntos dos divisores dos números 20 e 30.
D (20) = { 1, 2, 4, 5, 10, 20 }
D (30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 }
Observe : a) D (20) ∩ D (30) = { 1, 2, 5, 10 }
b) Os divisores comuns de 20 e 30 são : 1, 2, 5, 10.
c) O maior divisor comum de 20 e 30 é 10.
Então, o número 10 é denominado máximo divisor comum de 20 e 30, o qual representamos por:
M.D.C. (20, 30) = 10
Daí podemos dizer : dados dois ou mais números, não simultaneamente nulos, denomina-se 
máximo divisor comum (m.d.c.) desses números o maior dos seus divisores comuns.
TÉCNICAS PARA O CÁLCULO DO M.D.C.
Vamos determinar o m.d.c. dos números 24 e 60.
Pela teoria dos conjuntos, já sabemos que:
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }
D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
D(60) ∩ D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 12 } = divisores comuns de 24 e 60 ⇔ m.d.c. (24, 60) = 12
TÉCNICA DE DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
1º) Decompõe-se cada número em seus fatores primos.
2º) Calcula-se o produto dos fatores comuns, cada um deles com o menor expoente. O produto 
assim obtido será o m.d.c. procurado.
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
32
EXEMPLO:
60 2
30 2
15 3
5 5
1
24 2
12 2
6 2
3 3
1
60 = 22 x 3 x 5 
24 = 23 x 3
Então, o M.D.C. de (60 e 24) = 22 x 3 = 4 x 3 = 12.
Regra : O M.D.C. de dois ou mais números é igual ao resultado 
do produto dos fatores comuns de menor expoente.
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
PROBLEMAS PROPOSTOS
Aplicando a decomposição em fatores primos, determine:
a) o m.d.c. de (24 e 30)
b) o m.d.c. de (24 e 40)
c) o m.d.c de (60 e 100)
d) o m.d.c. de (48 e 80)
e) o m.d.c de (72, 63 e 54).
GABARITO  a = 6, b = 8, c = 20, d = 16, e = 9
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)
Vamos considerar os conjuntos múltiplos de 4 e 6 :
M(4) = { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36,40.....}
M(6) = { 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ....} 
Agora, observe:
a) M(4) ∩ M(6) = { 0, 12, 24, 36,... }
b) Os múltiplos comuns de 4 e 6 são : 0, 12, 24, 36,.....
c) O menor múltiplo comum de 4 e 6, diferente de zero é 12.
Sendo assim, o número 12 é denominado mínimo múltiplo comum de 4 e 6, que representamos 
por: m.m.c. (4, 6) = 12.
Daí podemos dizer: dados dois ou mais números diferentes de zero, denomina-se mínimo 
múltiplo comum (m.m.c) desses números o menor de seus múltiplos comuns, diferente de zero.
TÉCNICAS PARA O CÁLCULO DO M.M.C.:
Vamos determinar o M.M.C de 60 e 24. Pela teoria dos conjuntos, já sabemos que:
M(60) = { 0, 60, 120, 180, 240, 300, ...}
M(24) = { 0, 24, 48, 72, 96, 120, 144, ...}
M(60) ∩ M(24) = { 0, 120, ... }
Então: M.M.C. de { 60 e 24 } = 120.
Porém, podemos determinar o M.M.C de dois ou mais números diferentes de zero de uma 
maneira mais simples, por meio de decomposição em fatores primos.
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
33
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Regra: decompõe-se cada número em seus fatores primos. Calcula-se o produto dos fatores 
comuns e não comuns, cada um deles elevado ao maior expoente. O produto assim obtido será o 
M.M.C. procurado.
Exemplo: Calcular o M.M.C de (60 e 24).
Então: 60 = 22 x 3 x 5 e 24 = 23 x 3. Logo, o M.M.C de (60 e 24) = 23 x 3 x 5 = 120.
De maneira mais prática, as decomposições podem ser realizadas ao mesmo tempo, pois desta 
forma já se obtém os fatores comuns e os fatores não comuns com o maior expoente:
Vamos calcular o M.M.C. de ( 8 e 10 ). 
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
34
 60 2
30 2
15 3
5 5
1
 24 2
12 2
 6 2
3 3
1
 8, 10 2
 4, 5 2
 2, 5 2
 1, 5 5
 1, 1
Então: o M.M.C de ( 8 e 10 ) = 23 x 5 = 8 x 5 = 40
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
PROPRIEDADES
1ª) Calculamos o M.M.C de ( 4, 6 e 12 ). Observa-se que 12 é múltiplo de 
2ª) Calculamos o M.M.C de ( 4 e 9 ). Observa-se que 4 e 9 são números primos entre si. 
RELAÇÃO ENTRE O M.M.C E O M.D.C DOS MESMOS NÚMEROS
Vamos trabalhar com os números 60 e 24 dos quais já sabemos que:
• M.M.C. de (60 e 24) = 120 e
• M.M.C de (60 e 24) = 12
Então: a ) o produto dos números dados : 60 x 24 = 1.440
b) M.D.C. de ( 60 e 24 ) x M.M.C. de ( 60 e 24 ) = 12 x 120 = 1.440
Propriedade: o produto de dois números, diferentes de zero, é igual ao produto do M.D.C. pelo 
M.M.C. dos mesmos números.
PROBLEMAS PROPOSTOS
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
35
 4, 6, 12
 2, 3, 6
 1, 3, 3
 1, 1, 1
2
2
3
Propriedade: dados dois ou mais números diferentes de zero, 
se um deles for múltiplo de todos os outros, então esse 
número será o M.M.C. dos números dados.
 4, 9
 2, 9
 1, 9 
 1, 3
 2
 2
 3
 3
O M.M.C. de ( 4 e 9 ) = 22 x 32 = 4 x 9 = 36.
Propriedade: dados dois ou mais números que são primos 
entre si, o M.M.C. entre eles será o produto dos números 
dados.
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
1) Aplicando a decomposição em fatores primos, calcule:
a) M.M.C. de (120 e 50)
b) M.M.C. de (12 e 16)
c) M.M.C. de (6 e 9)
d) M.M.C. de (14 e 35)
e) M.M.C. de (16 e 20)
f) M.M.C. de (12, 20 e 24)
g) M.M.C de (10, 20 e 40)
h) M.M.C. de (21, 28 e 42)
i) M.M.C. de ((50, 80 e 100).
2) Aplicando a decomposição simultânea em fatores primos, determine:
a) M.M.C. de (6 e 10)
b) M.M.C. de (18 e 12)
c) M.M.C. de (9 e 30)
d) M.M.C. de (14, 21 e 35)
e) M.M.C. de (6, 10 e 12)
f) M.M.C. de (8, 12 e 16)
g) M.M.C de (20, 15 e 25)
h) M.M.C. de (90 e 120)
i) M.M.C. de (100 e 150)
j) M.M.C. de (20, 36, 40 e 48)
k) M.M.C. de (80, 120 e 150)
l) M.M.C de (10, 14, 28 e 35).
3) Sabe-se que M.M.C de (50 e 60) = 300. Calcule os múltiplos comuns de 60 e 50 menores que 
2.000. (Sugestão: você conhece o menor múltiplo comum; para determinar os outros, calcule 
os múltiplos desse número).
4) Um conjunto A é formado pelos múltiplos comuns de 10 e 12, menores que 500. Quantos 
elementos tem esse conjunto A ?
GABARITO
1) a) 100 b) 48 c) 18 d) 70 e) 80 f) 120 g) 40 h) 84 i) 40
2) a) 30 b) 36 c) 90 d) 210 e) 60 f) 48 g) 150 h) 360 i) 300 j) 720 k) 1200 
l) 140
3) 300, 600, 900, 1.500 e 1.800
4) (oito) elementos
4. NÚMEROS RACIONAIS
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
36
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Agora, as divisões cujos resultados não são números inteiros e que, portanto,não podem 
ser realizadas no conjunto Z e para que a operação a : b (com a e b pertencendo ao conjunto dos 
números inteiros e b diferentes de zero), seja sempre possível, será necessária a ampliação do 
conjunto Z com a criação de uma nova categoria de números: números racionais positivos e 
números racionais negativos – (conjunto Q ). Então, do mesmo modo como vimos no conjunto 
Z, para cada número racional foi criado um número + a (lê-se: mais a) e um número – a (lê-se: 
menos a): 
 
O conjunto constituído pelos números racionais negativos, pelo número zero e pelos números 
racionais positivos é denominado “conjunto dos números racionais relativos, representado pela 
letra Q, e escrito:
Q = { ...., – 2, ...., – 5/3, ...., – 1,........, 1/2......, 0,......., + 2/3,........, + 1,........, + 2,..........} 
Observamos que: IN ⊂ Z e Z ⊂ Q IN ⊂ Z ⊂ Q
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
37
 2 2/3+2
– 2 – 2/3
+2/3
0,5 1,66
+0,5
– 0,5 – 1,66 
 +1,66
Z
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Além dos conjuntos IN e Z, podemos identificar os seguintes subconjuntos de Q:
Q * = Q – { 0 }
Q+ = { números racionais não negativos } = { números racionais absolutos }
Q – = { números racionais não positivos }
Q* + = { números racionais positivos } = Q+ – { 0 }
Q* – = { números racionais negativos } = Q – – { 0 }
Observações: + 2 e – 2
+ 1/4 e – 1/4/ 
+ 1,2 e – 1,2 
 
A RETA NUMÉRICA DECIMAL
 
Assim: o ponto A é a imagem geométrica do número racional + 1/3.
 o número racional – 7/2 é a abscissa do ponto D. 
ADIÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS – ADIÇÃO ALGÉBRICA
1º exemplo : ( + 3/5 ) + ( – 2/3 ) = + 3/5 – 2/3 = (+ 9 – 10) : 15 = – 1 /15
2ª exemplo: – 1/2 – [ 1/4 – ( 1/6 – 1/8 ) – 1/3] =
 – 1/2 – [ 1/4 – 1/6 + 1/8 ) – 1/3] = eliminando os parênteses
 – 1/2 – 1/4 + 1/6 – 1/8 + 1/3 = eliminando os colchetes
 – 12 – 6 + 4 – 3 + 8
 = obtendo o mínimo múltiplo comum e realizando os cálculos 
24
– 21 + 12 – 9/24 = 3/8 simplificando por 3 (três) 
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
38
Todos os números acima são números racionais opostos ou simétricos. 
 – 4 – 7/2 – 3 – 2 – 1 – 3/4 + 1/3 +1 +2 +5/2 +3 +4
r
 C A B
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
 24
3º exemplo: determine o valor da expressão:
x + y, para x = – 5/8 e para y = + 1/2
x + y = ( –5/8 ) + ( + 1/2 ) = (substituindo os valores de x e y) 
( –5/8 ) + ( + 1/2 ) = (eliminando os parênteses)
–5/8 + 1/2 = – 5 + 4 
= – 1 /8 (obtendo o mínimo múltiplo comum e realizando os cálculos)
 8
Regra: quando o sinal imediatamente anterior aos parênteses, colchetes ou chaves é positivo, 
conserva-se os sinais do interior dos parênteses, chaves e colchetes; se negativo, troca-se o sinal 
do interior deles.
Na adição ou subtração de frações, podem ocorrer os seguintes casos:
AS FRAÇÕES TÊM O MESMO DENOMINADOR
2/6 + 3/6 = 5/6
Desse exemplo, concluímos que:
Regra: a soma de frações que têm denominadores iguais é obtida somando-se os numeradores e 
conservando-se o denominador.
5/6 – 3/6 = 2/6
A partir desse exemplo, podemos dizer que:
Regra: a diferença entre frações que têm denominadores iguais é obtida subtraindo-se os 
numeradores e conservando-se o denominador.
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS
Observe o seguinte exemplo:
2/5 x 3/4 = 6/20
O exemplo nos mostra que:
Regra: o produto de dois números fracionários é obtido pela multiplicação dos numeradores 
entre si e dos denominadores entre si.
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
39
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Há casos em que a determinação do produto de números fracionários pode ser facilitada:
EXISTEM FATORES COMUNS NO NUMERADOR E NO DENOMINADOR
3/4 x 5/3 = 5/4 (cancela-se o fator 3 do numerador e o fator 3 do denominador)
5/3 x 2/5 x 7/2 = 7/3 (cancela-se os fatores 2 e os fatores 5)
EXISTEM FATORES NO NUMERADOR E NO DENOMINADOR QUE PODEM SER 
SIMPLIFICADOS
4/15 x 10/9 = 8/27 (dividem-se os fatores 10 e 15 por 5)
2/9 x 3/15 x 10/2 = 2/9 (dividem-se 10 e 15 por 5, e 3 e 9 por 3 cancelam-se os fatores 2)
DIVISÃO DE NÚMEROS RACIONAIS
Observe o seguinte exemplo:
2/3 : 5/4 = 2/3 x 4/5 = 8/15, o que nos permite concluir a seguinte regra:
Regra: o quociente de um número racional por outro é obtido multiplicando-se o primeiro pelo 
inverso do segundo.
Veja mais este exemplo:
Calcular o valor da expressão : 2/15 + 2/3 : 5/9
Solução:
2/15 + 2/3 : 5/9 = 2/15 + 2/3 x 9/5 = 2/15 + 2/3 x 9/5 = 2/15 + 6/5 = 2 + 18 = 
 15
 20/15 = 4/3
POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS
Vamos calcular a potência: (2/3)4 
(2/3)4 = 2/3 x 2/3 x 2/3 x 2/3 = 24 : 34 = 16/81 
 
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
40
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
 4 fatores
Regra: a potência de um número fracionário é obtida elevando-se o numerador e o denominador 
ao expoente indicado.
Vamos considerar as seguintes expressões:
( – 1/7)2 = + 1/49 (quando o expoente é par, a potência é sempre positiva).
( + 2/3)4 = + 16/81 (quando o expoente é par, a potência é sempre positiva).
( + 1/5)3 = + 1/125 (quando o expoente é ímpar, a potência tem o mesmo sinal da base).
( – 3/2)5 = – 243/32 (quando o expoente é ímpar, a potência tem o mesmo sinal da base).
( + 3/7)1 = + 3/7 (potência de expoente 1 é igual a base).
( – 5/6)0 = + 1 (potência de expoente zero é igual a + 1).
( + 3/4) – 1 = + 4/3 (a potência de um número racional com expoente – 1 é igual ao inverso 
 do número dado).
EQUIVALÊNCIA DE FRAÇÕES
Observando a figura abaixo, notamos que 1/2, 2/4, 3/6, 4/8, 5/10 representam a mesma parte 
da unidade tomada. 
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
41
2/4
1/2
3/6
4/8
5/10
Verificamos que existem frações diferentes 
que representam a mesma parte do todo. Daí a 
definição: duas ou mais frações que 
representam a mesma parte do todo são 
equivalentes.
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
CORRESPONDÊNCIA DE FRAÇÃO DECIMAL COM NÚMERO DECIMAL E VICE 
VERSA
Toda fração com denominador 10, ou 100, ou 1.000, ou ..... denomina-se fração 
decimal.
Exemplos: 3/10, 5/100, 8/1000
Para lermos uma fração decimal, lemos, inicialmente, o numerador da fração seguido:
- da palavra décimo quando o denominador for 10.
- da palavra centésimos quando o denominador for 100.
- da palavra milésimos quando o denominador for 1000.
2/10 lê-se : três décimos;
3/100 lê-se : três centésimos;
3/1000 lê-se três milésimos.
Representação decimal de cada parte:
1/10 = 0,1 são representações diferentes do mesmo número racional.
1/100 = 0,01 são representações diferentes do mesmo número racional.
1/1000 = 0,001 são representações diferentes do mesmo número racional.0,1; 0,01; 0,001; 0,3; 0,04 são chamados, simplesmente, números decimais.
São, também, números decimais, por exemplo. 2,5 ; 1,48 ; 12,624.
- A vírgula separa as unidades inteiras das unidades decimais.
- As unidades inteiras formam a parte inteira do número decimal.
- As unidades decimais formam a parte decimal do número decimal.
1 2 , 6 2 4 
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
42
parte inteira
parte decimal
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
5. PORCENTAGEM 
Freqüentemente, ouvimos frases como estas:
• “Sete por cento de desconto.”
• “Cinco por cento de comissão”.
• “Prejuízo de quinze por cento.”
RAZÃO CENTESIMAL
As razões cujos conseqüentes são iguais a 100 são chamadas razões centesimais.
Exemplos: a) 7/100 b) 5/100 c) 15/100
PORCENTAGEM
Porcentagem é uma razão centesimal representada pelo símbolo % (por cento).
Exemplos: a) 7/100 = 7% (que se lê: “7 por cento”)
 b) 5/100 = 5% (que se lê: “5 por cento”)
 c) 15/100 = 15% (que se lê: “15 por cento”)
Essa forma de representação (7%, 5%, 15%, etc.) chama-se taxa percentual.
PROBLEMAS PROPOSTOS
1) Escreva as razões na forma de taxa percentual:
a) 1/100 b) 9/100 c) 35/100 d) 100/100 e) 143/100 f) 387/100
2) Represente na forma de razões centesimais:
a) 3% b) 8% c) 34% d) 52% e) 89% f) 130%
3) Escreva as razões na forma de taxa percentual
Resolvido. 1/2 = 50/100 = 50%
a) 1/4 b) 3/5 c) 7/10 d) 1/50 e) 9/25 f) 17/10
g) 7/2 h) 5/4 i) 3/8
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
43
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
GABARITO
1)
a) 1%
b) 9%
c) 35%
d) 100%
e) 143%
f) 387%
2) 
a) 3/100
b) 8/100
c) 34/100
d) 52/100
e) 89/100
f) 130/100
3) 
a) 25%
b) 60%
c) 70%
d) 2%
e) 36%
f) 170%
g) 350%
h) 125%
i) 37,5%
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
44
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
PROBLEMAS DE PORCENTAGEM
São resolvidos através de regra de três simples.
EXEMPLO 1
Calcular 20% de R$ 700,00. 
100/700 = 20/x = 100 . x = 20 . 700 100 x = 14.000 x = 14.000 : 100
 x = 140
Resposta : R$ 140,00
Método Prático
Calcular 20% de R$ 700,00.
Solução : 20/100 . 700 = 20 . 700 = 14.000 = 140
100 100
Resposta: R$ 140,00.
PROBLEMAS PROPOSTOS
1) Calcule as porcentagens:
a) 8% de R$ 700,00 b) 5% de R$ 4.000,00 c) 12% de R$ 5.000,00
d) 15% de R$ 2.600,00 e) 100% de R$ 4.520,00 f) 125% de R$ 8.000,00
g) 0,4% de R$ 50.000,00 h) 1,2% de R$ 40.000,00
2) Calcule as porcentagens:
a) 3% de 400 b) 18% de 8.600 c) 35% de 42.000 d) 0,5% de 150.000
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
45
100 20
700 x
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
e) 1% de 3.000 f) 120% de 6.200 g) 3,2% de 6.000 h) 12,5% de 18.000
3) Numa escola de 900 alunos, 42% são rapazes. Calcule o número de rapazes.
4) Sobre um ordenado de R$ 380,00 são descontados 8% para o INSS. De quanto é total de 
desconto ?
5) Comprei uma bicicleta por R$ 500,00. Revendi com um lucro de 15%. Quanto ganhei ?
6) Uma caneta que custava R$ 0,60 sofreu um desconto de 5%. Quanto você pagará por essa 
caneta ?
7) Por quanto deverei vender um objeto que me custou R$ 72,00 para lucrar 30% ?
8) Seu pai comprou um rádio por R$ 85,00 e obteve um desconto de 12%. Quanto pagou pelo 
rádio ?
9) Um comerciante comprou uma mercadoria por R$ 9.500,00. Querendo obter um lucro de 12%, 
por que preço deverá vender a mesma ?
10) Ao se pagar com atraso, uma prestação de R$ 1.300,00 sofreu um acréscimo de 4%. Qual o 
novo valor dessa prestação
GABARITO
1)
a) R$ 56,00
b) R$ 200,00
c) R$ 600,00
d) R$ 390,00
e) R$ 4.520,00
f) R$ 10.000,00
g) R$ 200,00
h) R$ 480,00
2)
a) 12
b) 1548
c) 14700
d) 750
e) 30
f) 7440
g) 192
h) 2250
3) 378 rapazes
4) R$ 30,40
5) R$ 75,00
6) R$ 0,57
7) R$ 93,60
8) R$ 74,80
9) R$ 10.640,00
10) R$ 1.352,00
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
46
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
EXEMPLO 2
Numa classe de 40 alunos, 36 foram aprovados. Qual foi a taxa de porcentagem dos aprovados ?
Solução:
Proporção: 40 = 36 40 x = 3600 x = 3600 : 40 x = 90 
 100 x
Resposta: A aprovação foi de 90%.
EXEMPLO 3
Comprei uma camisa e obtive um desconto de R$ 1,20, que corresponde à taxa de 5%. Qual era o 
preço da camisa ?
Solução:
Proporção: 100 = 5 = 5 x = 120 x = 120 : 5 x = 24 
 x 1,20 
Resposta: A camisa custava R$ 24,00.
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
47
 40 36
 100 x
(Em cada 40 alunos, temos 36 aprovados.)
(Em cada 100 alunos, teremos x aprovados.)
 100 5
 x 1,20
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
PROBLEMAS PROPOSTOS
1) Numa escola de 40 alunos, 6 foram reprovados. Qual a taxa de porcentagem dos alunos 
reprovados ?
2) Um feirante observou que, em cada 75 laranjas, 6 estavam estragadas. Qual a taxa de 
porcentagem das frutas estragadas ?
3) Comprei um carro por R$ 23.000,00 e revendi com um lucro de R$ 1.610,00. Qual foi a taxa de 
lucro ?
4) Um comerciante recebeu um desconto de R$ 1.312,00 numa compra cujo valor era de 
R$82.000,00. Calcule a taxa de desconto.
5) Um produto custa R$ 40,00 e é vendido por R$ 52,00. Qual é a taxa de lucro?
6) Numa turma de 30 operários faltaram 12. Qual a taxa de operários presentes ?
7) As tarifas de ônibus foram majoradas, passando a R$ 1,60 para R$ 2,16. Qual foi a taxa de 
aumento ?
8) Oito (8) por cento dos vencimentos de um operário equivalem a R$ 33,60. Calcule o total de 
seus vencimentos.
9) Numa classe foram reprovados 15% dos alunos, isto é, 9 alunos. Quantos alunos havia na 
classe?
10) Um corretor de imóveis recebeu R$ 1.700,00 correspondentes a 5% de sua comissão. Qual o 
valor da venda ?
GABARITO
1) 15%
2) 8%
3) 7%
4) 1,6%
5) 30%
6) 60%
7) 35%
8) R$ 420,00
9) 60 alunos
10) R$ 34.000,00
www.escolajohnkennedy.com.br
www.spaces.msn.com/economistas/
48
http://www.spaces.msn.com/economistas/
http://www.escolajohnkennedy.com.br/
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
PROBLEMAS PROPOSTOS
1) Calculando 16% de 80, obtemos:
a) 12,8 b) 16 c) 24 e) 96
2) Calculando 7,4% de 6.000, obtemos:
a) 444 b) 454 c) 4440 e) 4540
3) Calculando 160% de 450, obtemos:
a) 72 b) 270 c) 620 e) 720
4) Somando-se 30% de 12 com 0,5% de 60, obtemos:
a) 3,6 b) 3,9 c) 6,6 d) 6,9
5) ( 10% )2 é igual a:
a) 1% b) 10% c) 20% d) 100%
6) Trinta por cento da quarta parte de 6400 é igual a :
a) 480 b) 640 c) 240 d) 160
7) Se 5% de x é igual a 12, então x é igual a:
a) 240 b) 280 c) 200 d) 320
8) O aluguel de um apartamento é de R$ 720,00. Se houver um reajuste de 52% sobre esse valor, 
ele será de:
a) R$ 1.084,40 b) R$ 1.094,40 c) R$ 1.095,40 d) R$1.094,50
9) Um salário de R$ 245,00 aumentado em