Exercícios de Trigonometria

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Trigonometria 
Usando as relações fundamentais da trigonometria 
1) Calcule o valor da expressão 𝒙 =
𝐜𝐬𝐜 𝒂−𝐬𝐢𝐧 𝒂
𝐬𝐞𝐜 𝒂 −𝐜𝐨𝐬 𝒂
 , sabendo que: 
 𝐜𝐨𝐬 𝒂 =
𝟏
𝟐
, 𝟎 < 𝒂 <
𝝅
𝟐
 . 
 
sin2 𝑎 + cos2 𝑎 = 1 ; csc 𝑎 =
1
sin 𝑎
 𝑒 sec 𝑎 =
1
cos 𝑎
 
sin2 𝑎 + (
1
2
)
2
= 1 
sin2 𝑎 = 1 −
1
4
 
sin 𝑎 = √
4 − 1
4
 
sin 𝑎 = ±
√3
2
 
sin 𝑎 > 0, 𝑑𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 sin 𝑎 =
√3
2
 
𝑥 =
1
sin 𝑎 − sin 𝑎
1
cos 𝑎 − cos 𝑎
 
𝑥 =
1
√3
2
⁄
−
√3
2
1
1
2⁄
−
1
2
 
𝑥 =
2
√3
−
√3
2
2 −
1
2
 
𝑥 =
4 − 3
2√3
4 − 1
2
 
𝑥 =
1
2√3
3
2
⇒ 𝑥 =
1
2√3
.
2
3
⇒ 𝑥 =
1
3√3
.
√3
√3
⇒ 𝑥 =
√3
9
 
2) De acordo com as relações fundamentais da trigonometria, simplifique a 
seguinte expressão: 
𝑾 = (𝐬𝐞𝐜 𝒙 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙)(𝐜𝐬𝐜 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧 𝒙)(𝐭𝐚𝐧 𝒙 − 𝐜𝐨𝐭 𝒙) 
 
𝑊 = (
1
cos 𝑥
− cos 𝑥) (
1
sin 𝑥
− sin 𝑥) (
sin 𝑥
cos 𝑥
+
cos 𝑥
sin 𝑥
) 
𝑊 = (
1 − cos2 𝑥
cos 𝑥
) (
1 − sin2 𝑥
sin 𝑥
) (
sin2𝑥 + cos2 𝑥
cos 𝑥 . sin 𝑥
) 
𝑊 = (
sin2 𝑥
cos 𝑥
) (
cos2 𝑥
sin 𝑥
) (
1
cos 𝑥 . sin 𝑥
) 
𝑊 =
sin2 𝑥 . cos2 𝑥
cos2 𝑥 . sin2 𝑥
 
𝑊 = 1 
 
3) A expressão 
𝐬𝐢𝐧(𝝅+𝒙) +𝐜𝐨𝐬(
𝝅
𝟐
+𝒙)
𝐭𝐚𝐧(𝝅−𝒙)
, onde 𝒙 ≠ 𝟐 + 𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ, possui 
equivalência com a expressão de qual alternativa? 
 
a) −cot 𝑥 
b) −2 cos 𝑥 
c) 0 
d) 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒙 
e) cot 𝑥 
 
(sin 𝜋 . cos 𝑥 +cos 𝜋 . sin 𝑥) + (cos
𝜋
2 . cos 𝑥 −sin
𝜋
2 . sin 𝑥)
tan 𝜋 −tan 𝑥
1 + tan 𝜋 . tan 𝑥
= 
=
−1. sin 𝑥 + (−1. sin 𝑥)
− tan 𝑥
 
=
−2sin 𝑥
−
sin 𝑥
cos 𝑥
 
= 2 sin 𝑥 .
cos 𝑥
sin 𝑥
 
= 2 cos 𝑥 
 
4) O dobro do seno de um ângulo 𝜶, onde temos 𝟎 < 𝒂 < 𝝅
𝟐
, é igual ao 
triplo do quadrado de sua tangente. Logo, qual o valor de seu cosseno? 
 
2 sin(𝛼) = 3 tan2(𝛼) 
2 sin(𝛼) = 3.
sin2(𝛼)
cos2(𝛼)
 
2 sin(𝛼) . cos2(𝛼) = 3 sin2(𝛼) 
2 cos2(𝛼) = 3.
sin2(𝛼)
sin(𝛼)
 
3 sin(𝛼) = 2(1 − sin2(𝛼)) 
3 sin(𝛼) = 2 − 2 sin2(𝛼) ; 𝑥 = sin(𝛼) 
3𝑥 = 2 − 2𝑥2 
2𝑥2 + 3𝑥 − 2 = 0 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥 =
−3 ± √(3)2 − 4.2(−2)
2.2
 
𝑥 =
−3 ± √9 + 16
4
 
𝑥 =
−3 ± √25
4
 
 𝑥 =
−3 ± 5
4
 
 𝑥′ =
−3 + 5
4
⇒ 𝑥′ =
2
4
⇒ 𝑥′ =
1
2
 
𝑥′′ =
−3 − 5
4
⇒ 𝑥′′ =
−8
4
⇒ 𝑥′′ = −2 
𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 sin(𝛼) > 0, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: 
𝑥 =
1
2
 
𝑥 = sin(𝛼) ⇒ sin(𝛼) =
1
2
 
2 cos2(𝛼) = 3 sin(𝛼) ⇒ cos2(𝛼) =
3
2
.
1
2
⇒ cos(𝛼) = √
3
4
⇒ cos(𝛼) =
√3
2
 
5) Qual o valor que obtemos simplificando a expressão: 
𝒀 =
𝟏
𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 . 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝒙
−𝐬𝐞𝐜𝟐 𝒙 + 𝟐 
 
𝑌 =
1
cos2 𝑥 .
1
sin2 𝑥
−
1
cos2 𝑥
+ 2 
𝑌 =
1
cos2 𝑥
sin2 𝑥
−
1
cos2 𝑥
+ 2 
𝑌 =
sin2 𝑥
cos2 𝑥
−
1
cos2 𝑥
+ 2 
𝑌 =
sin2 𝑥 − 1
cos2 𝑥
+ 2 
𝑌 =
− cos2 𝑥 + 1 − 1
cos2 𝑥
+ 2 
𝑌 =
−cos2 𝑥
cos2 𝑥
+ 2 ⇒ 𝑌 = −1 + 2 ⇒ 𝑌 = 1 
6) Um trabalhador encontra-se num ponto A, localizado a 120m de 
distância de um prédio, onde a base do prédio é o ponto B e do ponto A 
para o ponto C que é o topo do prédio formando um ângulo de 60º. Qual 
é a distância que o trabalhador tem que estar do prédio para se obter um 
ângulo de 30º? 
 
tan(60°) =
ℎ
120
 
√3 =
ℎ
120
 
ℎ = 120√3 𝑚 
 
tan(30°) =
ℎ
𝑥
 
tan(30°) =
120√3 
𝑥
 
√3
3
=
120√3 
𝑥
 
√3𝑥 = 360√3 
𝑥 =
360√3
√3
 
𝑥 = 360𝑚 
7) Um avião levanta voo sob um ângulo constante de 20º. Após percorrer 
2.000 metros em linha reta, qual será a altura atingida pelo avião, 
aproximadamente? 
(Utilize: sin(20°) = 0,342 , cos(20°) = 0,94 𝑒 tan(20°) = 0,364) 
 
 
 
 
sin(20°) =
ℎ
2000𝑚
 
0,342 =
ℎ
2000𝑚
 
ℎ = (0,342)(2000𝑚) 
ℎ = 684𝑚 
 
 
8) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o 
solo, um angulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião 
seja plana). Depois de percorrer 1000 metros, qual a altura atingida pelo 
avião? 
 
 
 
 
 
 
 
 
sin(𝜃) =
𝑐. 𝑜
ℎ
 
sin(30°) =
𝑥
1000𝑚
 
1
2
=
𝑥
1000𝑚
 
2𝑥 = 1000𝑚 
𝑥 =
1000𝑚
2
 
𝑥 = 500𝑚 
9) Uma pessoa está sentada em uma cadeira com inclinação de 45º 
formando um triangulo ABC, com as seguintes dimensões, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 10𝑐𝑚 ,
 𝐵𝐶 ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑥 (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎) 𝑒 𝐶𝐴̅̅ ̅̅ = ℎ (ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎). Qual a altura relativa 
oposta ao ângulo �̂� = 45°? 
 
cos(45°) =
10𝑐𝑚
ℎ
 
√2
2
=
10𝑐𝑚
ℎ
 
√2ℎ = 20𝑐𝑚 
ℎ =
20𝑐𝑚
√2
 
ℎ =
20𝑐𝑚
√2
.
√2
√2
 
ℎ =
20√2𝑐𝑚
2
 
ℎ = 10√2𝑐𝑚 
 
sin(45°) =
𝑥
ℎ
 
√2
2
=
𝑥
10√2𝑐𝑚
 
10.2𝑐𝑚 = 2𝑥 ⇒ 𝑥 =
20𝑐𝑚
2
⇒ 𝑥 = 10𝑐𝑚 
𝐿𝑜𝑔𝑜 𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 é 10𝑐𝑚. 
 
10) Determine o valor do lado oposto ao ângulo de 60º? 
 
𝑥2 = (6)2 + (8)2 − 2.6.8 cos(60°) 
𝑥2 = 36 + 64 − 96.
1
2
 
𝑥2 = 100 − 48 
𝑥2 = 52 
𝑥 = √52 
𝑥 = 2√3 
11) O menor arco positivo “x”, para o qual 81− cos(𝑥) =
1
9
 
a) 
𝜋
6
 
b) 
3𝜋
4
 
c) 
𝝅
𝟑
 
d) 
𝜋
2
 
e) 
2𝜋
3
 
(92)− cos(𝑥) = 9−1 
9−2 cos(𝑥) = 9−1 
−2 cos(𝑥) = −1 
cos(𝑥) =
1
2
 
𝑂 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎
1
2
 é 60°, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎,
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 é 𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑡𝑎. 
 
12) Se sin 𝑎 = −
4
5
 e 𝑎 ∈ 4º 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒, o valor da expressão 
𝒀 = √𝟓 𝐜𝐨𝐬 (
𝒂
𝟐
) − 𝟕 𝐭𝐚𝐧(𝟐𝒂), será: 
 
a) 28 
b) -24 
c) -26 
d) 27 
e) 25 
sin2 𝑎 + cos2 𝑎 = 1 
(−
4
5
)
2
+ cos2 𝑎 = 1 
cos(𝛼) = √1 −
16
25
 
cos(𝛼) = √
9
25
 
cos(𝛼) =
3
5
 
𝑆𝑎𝑏𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝒂 𝑒𝑠𝑡á 𝑛𝑜 4º 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 é 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑒 
3
5
. 
tan(𝑎) =
sin 𝑎
cos 𝑎
 
tan(𝑎) =
−4
5⁄
3
5⁄
 
tan(𝑎) =
−4
5
.
5
3
 
tan(𝑎) =
−4
3
 
 
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎𝑠 
cos(2𝑥) = cos2 𝑥 − sin2 𝑥 
sin(2𝑥) = 2 sin 𝑥 . cos 𝑥 
 
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎 − 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎: 
sin(𝑎) = 2 sin (
𝑎
2
) . cos (
𝑎
2
) (1) 
cos(𝑎) = cos2 (
𝑎
2
) − sin2 (
𝑎
2
) (2) 
 
𝑁𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (2) 𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 sin (
𝑎
2
) 𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖 𝑑𝑒 cos(𝑎) 𝑞𝑢𝑒 𝑗á 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠: 
cos(𝑎) = cos2 (
𝑎
2
) − sin2 (
𝑎
2
) 
 
3
5
= cos2 (
𝑎
2
) − sin2 (
𝑎
2
) 
sin2 (
𝑎
2
) = cos2 (
𝑎
2
) − 
3
5
 
sin (
𝑎
2
) = √cos2 (
𝑎
2
) − 
3
5
 
 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 é 𝑑𝑜 4º 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑎 𝑚𝑒𝑡𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑒 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑠𝑒𝑟á 𝑑𝑜 2º 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒, 
𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑡𝑒𝑟á 𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜. 
 
𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑛𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (1) 
sin(𝑎) = 2 (√cos2 (
𝑎
2
) − 
3
5
) . cos (
𝑎
2
) 
(−
4
5
)
2
= [2 (√cos2 (
𝑎
2
) − 
3
5
 ) . cos (
𝑎
2
)]
2
 
16
25
= 4 (cos2 (
𝑎
2
) − 
3
5
 ) cos2 (
𝑎
2
) 
1
4
.
16
25
= cos2 (
𝑎
2
) − 
3
5
cos2 (
𝑎
2
) ; 𝑌 = cos2 (
𝑎
2
) 
4
25
= 𝑌2 −
3
5
𝑌 
4 = 25𝑌2 − 15𝑌 
25𝑌2 − 15𝑌 − 4 = 0 
 
𝑌 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑌 =
−(−15) ± √(−15)2 − 4(25)(−4)
2(25)
 
 𝑌 =
15 ± √225 + 400
50
 
𝑌 =
15 ± √625
50
 
𝑌 =
15 ± 25
50
 
𝑌′ =
15 + 25
50
⇒ 𝑌′ =
40
50
⇒ 𝑌′ =
4
5
 
𝑌′′ =
15 − 25
50
⇒ 𝑌′′ = −
10
50
⇒ 𝑌′′ = −
1
5
 
 
 
 
 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑌 = cos2 (
𝑎
2
) , 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎 , é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜, 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟 
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑢𝑚 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑜 ú𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑌 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑡𝑖𝑟 é 
4
5
 
 𝑌 = cos2 (
𝑎
2
) 
4
5
= cos2 (
𝑎
2
) 
cos (
𝑎
2
) = ±√
4
5
 
cos (
𝑎
2
) = ±
2
√5
 
𝐶𝑜𝑚𝑜 
𝑎
2
 𝑒𝑠𝑡á 𝑛𝑜 2º 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑠𝑒𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑟á 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 
𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧. 𝐿𝑜𝑔𝑜 cos (
𝑎
2
) = −
2
√5
 
𝐴𝑔𝑜𝑟𝑎 𝑠ó 𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑎𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 tan(2𝑎) , 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜: 
tan(2𝑎) =
2 tan(𝑎)
1 − tan2(𝑎)
 
tan(2𝑎) =
2 (−
4
5
)
1 − (−
4
5)
2 
tan(2𝑎) = 
−8
3⁄
−7
9⁄
 
tan(2𝑎) = (−
83
) (−
9
7
) 
tan(2𝑎) = 
24
7
 
𝐴𝑔𝑜𝑟𝑎 é 𝑠ó 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑛𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 
 𝑌 = √5 cos (
𝑎
2
) − 7 tan(2𝑎) 
𝑌 = √5 (−
2
√5
) − 7 (
24
7
) 
𝑌 = −2 − 24 ⇒ 𝑌 = −26 
𝐿𝑜𝑔𝑜 𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑎, 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝐶.